2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第5回归教材突破max与min函数(解透一题)(学生版+解析)

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【厦门市2025届高三第二次质量检测T11】
(多选题)分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，．若，，则（ ）
A．
B．函数有2个零点
C．函数的图象关于轴对称
D．关于的方程的所有解的乘积为
本题主要考查函数的新定义（最小者 m(x) 和最大者 M(x)）、函数的值、函数的零点、函数的奇偶性以及方程的解等知识点.通过对 f(x) 和 g(x) 进行比较构造出新函数m(x) 和 M(x)，旨在考查学生对函数性质的综合运用能力，以及对新定义的理解和转化能力，需要学生具备较强的分析问题、解决问题的能力以及严谨的逻辑思维.
【人教A版教材对max/min函数研究分析】
人教A版教材对max/min函数的研究以分类讨论为核心，辅以数形结合和导数分析，需重点掌握分段转化、图像交点判断及导数工具的灵活运用.
【核心方法--图像构造法】
通过绘制 f(x) 和 )g(x) 的图像，直观展示 max{f(x)，g(x)} 或 min{f(x)，g(x)} 的形态.如图，作，在一个坐标系中的图象(图1)：
则的图像如图2， 的图像如图3红线.
对于A选项， 显然， 与关于原点对称.故，故A正确．
对于B选项：
如图4，在坐标系中作出函数的图象与直线（倾斜程度比大），观察可知只有1个交点，故B错误．
对于C选项： 因为与关于原点对称， 所以，所以，
所以函数为偶函数，故函数的图象关于轴对称.
图5
对于D选项：
由或
结合图象5可知，当时， 方程有两根，且，
故为的两根，即两根，故，
满足题意.
当时，方程增加两根，这两根满足，
所以满足，此时，显然也满足题意.
所以关于的方程的所有解的乘积为，故D正确．
综上，故选ACD．
本题是以符号函数min和max为背景，考察分析函数性质与求解方程的综合能力的中档题，难度适中，研究教材.挖掘出数形结合法，通过图像直观理解函数最值关系，主要采用图像叠加分析：将多个函数图像叠加，通过观察交点确定min或max函数的分段区间.
事实上，我们也可以推导，的表达式，但不如图象法直观.
令.
当时，即，此时，.
当时，，.
此时
（2024四川内江一模第11题）
1．给定函数，．分别用、表示、中的最小者、最大者，记为,．下列说法正确的是（ ）
A．
B．当直线与曲线有三个不同交点时，
C．当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点
D．函数的值域为
【答案】ACD
【分析】求出函数、的解析式，可判断A选项；数形结合可判断B选项；求出切线方程，将切线方程与函数的解析式联立，求出交点个数，可判断C选项；化简函数的解析式，并求其值域，可判断D选项.
【详解】函数、的定义域均为，且，
所以，，
，
对于A选项，当时，，则，此时，，
当时，，则，此时，，A对；
对于B选项，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，B错；
对于C选项，当时，，则，
因为，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即，
当时，由，
整理可得，可得（舍去），
当时，由可得，
解得或（舍去），
综上所述，当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点，C对；
对于D选项，当时，，
当时，.
综上所述，函数的值域为，D对.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
（2023贵州六盘水期末）
2．，用表示，的较小者，记为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数有最小值，无最大值
C．不等式的解集是
D．若a，b，c是方程的三个不同的实数解，则
【答案】ACD
【分析】由题可得，后可判断各选项正误.
【详解】注意到或，.
则.
A选项，，故A正确.
B选项，由可知无最小值，无最大值，故B错误；
C选项，当时，；
当时，不存在.
综上，不等式的解集是，故C正确；
D选项，当时，；
当时，，
则，故D正确.
故选：ACD
（2025黑龙江期末）
3．给定函数，对于，用表示中的最小者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．函数有三个零点
C．函数在递增D．函数有四个单调区间
【答案】ABD
【分析】作出函数的图象，确定函数的图象，利用图象结合奇偶性、单调性、零点逐项判断即可.
【详解】作出函数的图象，则函数的图象为图中实线部分所示，
对于A，函数的图象关于轴对称，因此是偶函数，A正确；
对于B，函数的图象与轴有三个交点，因此函数有三个零点，B正确；
对于C，函数在上单调递减，C错误；
对于D，在上的图象都是上升的，在上的图象都是下降的，
因此函数有四个单调区间，D正确.
故选：ABD
【讨论去符号】
4．已知，定义：，设.若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】令函数，通过分析的正负确定函数及的解析式，把零点问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得结果.
【详解】令函数，由解析式可知函数在上单调递增，
又，则当时，，即，
当时，，即，
因，
则，.
令，由，得，
故函数的零点为函数的图象与直线交点的横坐标，
其中直线恒过点，
如图，在同一坐标系内作出直线与函数的图象如下.
图1 图2 图3
由图1知，当，即时，直线与函数图象只有一个交点；
由图2知，当直线与平行时，即时，两者只有一个交点；
由图3知，而当时，即时，两者有2个交点，而当，即时，两者只有一个交点.
综上可得，当时，函数有两个零点，
即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定函数的解析式，根据得，其中，问题转化为函数的图象与直线有两个交点，数形结合求出的取值范围.
5．设，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意可得恒大于三个式子的和，再结合均值不等式求出和的最小值即可
【详解】因为，
所以，
故，当且仅当取等号.
故答案为：3