2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第13题方程的根、韦达定理与待定系数法(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第13题方程的根、韦达定理与待定系数法(一题多变)(学生版+解析)，共21页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【典例展示】（1）已知方程，均无实根，判断是否有实根．
（2）已知方程恒有非负的解，求实数a的取值范围．
【思路分析】 第（1）小题，由方程，均无实根，则，，判断方程是否有实根，要看这个方程的判别式，若，则此方程有实根，若，则此方程无实根，而判断的情况必须合理应用，所得的结论．
第（2）小题，有两种不同的思路：①将原式变形为．换元．得到，．转化成关于t的二次函数“值域”问题.②直接引入二次函数，结合二次函数的图像和性质，综合应用判别式、根与系数的关系，讨论根的分布.
【精细解析】（1）∵无实根，∴，即．
∵无实根，∴，即．
方程的判别式为．
由得；由得，
∴．
∵，∴，而，即，故方程无实根．
（2）解法一：将原式变形为．
设．则，，①
∵，∴，即．
又∵①式可看作以t为自变量的二次函数，则该函数在区间上的值域由得，即此实数a的取值范围是．
解法二：设，要使方程恒有非负数解，则
i 若有一个非负数解，另一负数解，则，即，因此解得；
ii 若有两个非负数解，则．
综上，实数a的取值范围是．
【题后反思】
本例两道小题，分别是讨论一元二次方程是否有根、根据方程解的情况求参数范围，所体现出的解法较为常规.一般地，讨论一元二次方程是否有根问题，就是要从根的“判别式”正、负入手；而根据方程根的情况求参数（范围），则思路较为灵活，一是应用根与系数的关系、结合判别式布列混合组；二是与二次函数的图像和性质相结合，根据零点存在定理布列混合组；三是在“参变分离”思想指导下，将问题予以转化.纵观近些年来的高考命题，相关问题大题中应用居多，也有独立考查的情况，随着新教材的推出，这仍是高考命题热点，应予足够重视.
【追根溯源】
1．零点存在性定理
设函数在上连续，且，则在内至少存在一点c，使得．
2．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
设一元二次方程，，是其两个根，则有，
3．待定系数法
一般而言，待定系数法解题是依据已知，正确列出等式或方程，即引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，通常有两种方法：比较系数法和特殊值法．待定系数法主要用来解决方程问题、函数问题，多项式分解因式、拆分分式、数列求和、复数计算、解析几何中求曲线方程、空间图形中求平面法向量、证明组合恒等式等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．
使用待定系数法解题的基本步骤如下．
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．
【变化角度】方程中含多个参数，在给定方程根的范围条件下，确定其中一个参数的最值.
已知一元二次方程有两个大于0、小于1的相异实根，其中a是正整数，b、c是整数，求a的最小值．
【思路分析】由于方程中含三个参数，为求其中a的最值，就应该从方程根的范围入手，建立不等关系，结合a是正整数，b、c是整数达到解题目的，设方程的两根为、，则，，，结合韦达定理得到．讨论及确定得到，①接下来，根据二次函数，图像开口向上，与x轴的两个交点在0，1之间，列出不等式组.
【详解】设方程的两根为、，则，，，由韦达定理得
从而．
∵，∴，即．同理，．
从而，即，①
设二次函数，由于，∴的图像是开口向上的抛物线．
又与x轴的两个交点在0，1之间，∴必有即．
又a、b、c是整数，∴，．再结合①式即有，即；
另一方面，当，时，b取，方程的两个根，均大于0且小于1，
∴a的最小值是5．
【变换角度】与指数函数相结合，利用换元法转化成根据一元二次方程有正实数解求参数范围.
若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是______．
【思路分析】本题解答思路较为明确，首先换元转化成一元二次方程有正实数解求参数范围问题.即等价于方程有正解，
思路一：应用韦达定理，分有两正实数解、有一正实数解一非正实数解讨论；
思路二：考查函数，结合二次函数的图象求解；
思路三：参变分离，加以转化.由得．考查函数，
方程，有正解，即a的取值范围是函数的值域，
【详解】解法一：令，关于x的方程有实数解，等价于方程有正解，
分下面两种情况；
i 两正实数解：，
ii 一正实数解一非正实数解：．
综上，a的取值范围是．
解法二：考查函数，即方程有正解，等价于函数与x轴正半轴有交点，等价于
或．
综上，a的取值范围是．
解法三：由方程变形得．
考查函数，
方程，有正解，即a的取值范围是函数的值域，将函数变形，得．
∵，∴，∴．∴．
∴a的取值范围是．
【变换角度】根据二次函数在指定区间有零点求参数的范围，利用分类讨论思想求参数求解.
（广东·高考真题）已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
【思路分析】对实数的取值进行分类讨论，对函数在区间上的零点个数进行分类讨论，可得出关于实数的等式或不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】
当时，，由可得，不合乎题意；
当时，分以下几种情况讨论：
①若在上两个相等的实根，则，解得；
②若函数在上只有一个零点（不是两个相等的实根），
则，即，解得，
当时，由，解得或（舍），合乎题意，
当时，由，解得或，不合乎题意，
此时，；
③若函数在有两个不等的零点，
则或，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
【变换角度】给出函数“不动点”的新定义，在二次函数恒有“不动点”条件下求参数范围.
（23-24高一上·上海·期末）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．
(1)已知函数，求函数的不动点；
(2)若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
(3)若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围．
【思路分析】（1）求函数的不动点，即求方程的根，即求方程的解；
（2）二次函数（）恒有两个相异的不动点，等价于方程有两个不等实根，对于任意的恒成立，只需要不等式恒成立，求实数a的取值范围即可；
（3）在区间上，函数有唯一零点，应用零点存在性定理即可，同时还要关注区间边界函数值为零和判别式为零的情形.
【详解】（1）设为不动点，因此，即，
解得或，所以为函数的不动点．
（2）方程，即，
有，
因为，于是得一元二次方程有两个不等实根，
即判别式，
依题意，对于任意的，不等式恒成立，
只需关于未知数的方程无实数根，
则判别式，
整理得，解得，
所以实数a的取值范围是．
（3）由，得，
由于函数在上有且只有一个不动点，
即在上有且只有一个解
令
①，则，解得；
②，即时，
方程可化为，另一个根为，不符合题意，舍去；
③，即时，
方程可化为，另一个根为1，满足；
④，即，解得，
（i）当时，方程的根为，满足；
（ii）当时，方程的根为，不符合题意，舍去；
综上，m的取值范围是或．
（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）
1．已知a，b，c为正整数，方程的两个实根为，，且，，则的最小值为 .
（2022·天津·高考真题）
2．设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 .
3．设a、b、c为实数，，且，若方程有实根，求证：方程有两个不相等的实根.
（浙江·高考真题）
4．设，若．
求证：（1）且；
（2）函数在上有两个零点．
（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）
5．定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点.已知函数.
(1)当时，求函数的不动点；
(2)设，若有两个不动点为，且，求实数的最小值.
（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）
6．已知函数，.
(1)求不等式的解集；
(2)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.