2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第11题“形觉数算”解决与圆有关的最值问题(解透一题)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第11题“形觉数算”解决与圆有关的最值问题(解透一题)(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了类题训练，侧重几何直观解题等内容，欢迎下载使用。

【江西省八所重点2025届高三下学期4月联考T14】
已知是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
本题已知是圆上的一个动点，求的最大值、主要考查学生对几何图形中角度的代数化处理能力，运用多种数学工具和方法求解角度相关量的能力， 训练几何直观和图形感觉，提升解决与圆、角度相关综合问题的能力.
本题可率先设定点P的坐标，而后运用向量的数量积公式来表示，从而达成的代数化，再依据三角函数的性质来求解的最大值. 通过坐标系设定点，结合向量点积和模长计算∠APB的余弦值，实现几何性质的代数化.
解法1 直译法（向量夹角）
已知点P为圆上的一个动点，设.由于点P位于圆上，故而满足圆的方程. 已知.依据向量坐标运算规则可得出： . 可得到： ，
将代入上式，可得到.
根据向量模长公式可得到：
，

根据向量的夹角公式可得到：
（关键点 设，则）
则．
故.
方法点评：思路自然，计算难度极大，大概率无法进行到底.但中间的技巧值得推敲掌握.
如果注意到点在圆上，采用圆的参数方程优化设元设元，减少参数的个数.
解法2 圆的参数方程优化设点
设
，当时等号成立．
即，则．
故
方法点评：圆的参数方程通过三角函数将几何问题代数化，将复杂的几何关系转化为参数θ的单一变量问题，降低问题维度，是解析几何中的重要工具.但是仍然没有解决计算繁杂的问题.思考角的代数化，借助到角公式推导的表达式， 依据直线斜率的夹角公式（其中为两直线夹角，分别为两直线斜率）.
解法3 夹角公式角的代数化
已知，将其代入夹角公式可得.
对分子分母分别进行通分运算，分子为，
分母为，所以.
化简得到.
表示点圆上与点所构成直线的斜率.
当直线与圆相切时，斜率取得最值.此时可得.
由以及，
可推知. 得出.
方法点评：采用夹角公式（直线方向向量夹角公式）将几何角度问题代数化，相对解三角形中利用余弦定理表示角得到了简化.如果进一步结合几何的图象特点呢？借助三角形外接圆的特性以及圆周角与圆心角的关联来求取的最大值.
解法4 圆的几何性实现角的代数化
设的外接圆为圆C，半径为R.
依据圆周角定理：同弧所对的圆周角为圆心角的一半.在的外接圆里，属于圆周角，它所对的弧为，设圆心角，则.
已知，则.
由于A，B两点均位于轴上，所以圆心C处于AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线为，
那么设圆心C的坐标为.
圆心C到弦 AB 的距离.
在以C为圆心，AB为弦的圆中，根据垂径定理可知，，将代入可得：，即.
在中，.
因为P是圆上的一个动点，当圆C与圆O内切时，圆C)的半径R最小，
此时最大.
圆O的圆心O(0，0)，半径R= 6，圆心C(1，b)到原点O的距离.
当圆C与圆O内切时，，即.
又因为，即，代入可得：
可得的最大值为.
方法点评：借助圆的特点，极大优化了角的代数化.如果联想到解三角形的正弦定理，是不是就直接联系到.
解法5 正弦定理直接实现目标代数化
设圆为的外接圆，且半径为，则，故
由于点既在圆上，也在圆上，即圆与圆有公共点，当圆与圆内切时，圆的半径最小，即
由于边的垂直平分线为，设，则，（两圆内切时圆心距等于两圆半径之差）
两边平方得，两边消去得：
，即，.
则，故.
方法点评：结合目标，借助正弦定理和隐藏的圆，进一步实现运算的优化.如果动态分析，研究角的变化.题目求sin∠APB的最大值，联想到米勒问题----最大视角问题，米勒问题.最大视角问题：已知点A、B是平面上的两个定点，点P是平面上一条定直线l上的动点，则当且仅当△ABP的外接圆与直线l相切于点P时，∠APB取得最大值.
定弦AB所对圆周角满足: 圆外角∠ADB，当且仅当的外接圆与圆0相切于点P时，∠APB最大.
由于边的垂直平分线为，设，则，（两圆内切时圆心距等于两圆半径之差）
两边平方得，两边消去得：
，即，.
则，故.
解析几何小题（选择题、填空题）的解题方法需兼顾速度与准确性，需结合几何性质、代数技巧和特殊方法灵活运用.解题可以思考形觉数算.
几何眼光观察是“形”的直觉推理，坐标法是“数”的精确运算.在解析几何中，前者为后者提供简化问题的思路，后者为前者提供严谨验证的工具，两者相辅相成
几何眼光观察的流程：① 识别图形的几何特征（如中点、垂直、对称）；② 利用几何定理推理（如三角形重心性质、平行线分线段成比例）；③ 直接得出几何结论.
坐标法的流程：① 建立坐标系；② 将几何条件翻译为代数方程（如直线方程、圆的方程）；③ 通过代数运算（如解方程、求距离、判别式）得出结论.
【类题训练】
1．已知点为圆上的一动点，点，，则的最大值为 ．
【侧重几何直观解题】
2．定义：点P为曲线外的一点，A，B为曲线上的两个动点，当取最大值时，为点P对曲线的张角．已知点P为直线l：上的动点，A，B为圆O：上的两个动点，设点P对圆O的张角为，则的最大值为 ．
3．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ）
A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6
B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cs∠APB的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为
4．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ．
【定线段张定角正弦定理隐藏圆】
5．在中，角所对的边分别为已知，若点M为中点，且，则中线的最大值是 ．
6．锐角中，内角、、所对的边分别为、、，，且，则面积的取值范围是 .