解三角形：爪形三角形中特殊线的相关计算、四边形中的解三角形问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)求角；
(2)若，边中线长为2，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
由正弦定理得，，
即，
即．
又由于，
所以，
又因为，所以，
所以，
又，所以．
（2）如图，
由题意可得，
将等式两边平方得，
因为，，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以，
联立，解得，
可得．
例2．（25-26高三上·江苏南通·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知
(1)求
(2)若，，的面积为.
①求;
②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求.
【答案】(1)
(2)①，；②
【详解】（1）由，可得，
由正弦定理得
因为，
所以
由于，则，所以.
又，则，故.
（2）①由题意，的面积，可得①，
由余弦定理得，，且，所以,
则，因为，所以②，
因为，联立①和②解得，，
② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点，
所以，，
因为
，
，
所以,
由题意，为锐角，则.
例3．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角A；
(2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
即，即，
且，则，可得，即，
且，所以.
（2）因为，，
由题意可知：，
又因为，，
则，即；
，即；
且；
可得，
所以的余弦值为.
例4．（25-26高三上·山东滨州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可化为：，
，又因为
即，即，
因为，解得：，且，即；
（2）因为及为的角平分线，所以，
由三角形面积公式得，
代入得：，
因为，由余弦定理，
化简得：，即得
解得：或舍去，即，
所以的面积为.
变式1．（25-26高三上·广东广州·月考）如图，在中，，点在线段上，，且．
(1)求和的值；
(2)的角平分线与相交于，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得.
所以.
因为.
所以，而，所以，
解得，所以，解得，
所以.
所以.
（2）因为，所以.
所以，因为，那么.
由于，解得.
而.
在中，根据正弦定理可得，，.
所以.
由于，所以根据余弦定理得
，代入数据得.
化简得，解得或（舍去）
所以.
变式2．（25-26高三上·福建龙岩·月考）在中，内角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若的角平分线交于点，且，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理的边角互化可得，
且，
即，
化简可得，且，
解得，其中，所以.
（2）因为是的角平分线，由角平分线定理可得，
且，则，即，
又，
由余弦定理可得，
即，解得，则，
又，
即，
化简可得，即.
变式3．（2026·吉林长春·一模）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为.
(1)求的值；
(2)若，求边上的高.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，所以，
又的面积，所以，
所以.
（2）由正弦定理得，则，所以，
由余弦定理，，解得，
即，又的面积，
解得，即边上的高为.
变式4．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知在中，.
(1)求的值；
(2)若边上的高等于，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，
，
所以
解得，
又因为，
又因为为三角形内角，故
则.
（2） 设，高为，则面积.
由面积公式，
， 得.
由，，
得
代入余弦定理：，
得，
代入，得
.
考点二 四边形中的解三角形问题
例1．（25-26高三上·湖北随州·月考）如图，在四边形中，，，平分且与相交于点．
(1)若的面积为，求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，且，可得，
在中，，
可得，，
在中，，，
可得，由，
可得，解得，
又由余弦定理得：，
所以，所以.
（2）因为，
在中，，，可得，，
所以，
由正弦定理，可得，解得，
所以，
所以.
例2．（25-26高三上·重庆·月考）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)如图，是外一点，若，，，求平面四边形的对角线的长.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由和正弦定理可得：
，
因，
代入化简得，
在中，，且，
则，即，因为，所以.
（2）由，则，因为，
所以，
则，因为均是锐角，
所以，则，
又，于是有，
在中，由余弦定理，，
则.
例3．（25-26高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，．
(1)求的值；
(2)若，且的面积是面积的4倍，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，则，
由正弦定理可知，，即，
整理得，又因为，，
可解得，即.
（2）由（1）可知，，.
由正弦定理可知，，解得，
又，.
，.
，
，，
，
解得.
例4．（25-26高三上·陕西·月考）如图，在四边形中，O为对角线的交点，，，，且．

(1)求的长.
(2)设若且，求的长．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设,,，，
在 与 中，，且，
由余弦定理得，
所以，
化简，得，即.
（2）+=，
∴，
在中，，
∴，，
由，得，
即，，
解得或（舍去），
所以，则，
,
在 与 中，由正弦定理得，,
结合（1），则，即
，所以.
变式1．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知平面四边形如图所示，其中.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
即，可得
在中，由正弦定理得.
（2）在中，由（1）可知，
由余弦定理得，
因为，从而
在中，，
由余弦定理得，
因为，从而,
所以
，
所以的面积
变式2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
(1)求线段AC的长度；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
，，
在中，由余弦定理得：
，；
（2）在中，由正弦定理得：，
，，
，，
在中，由正弦定理得：，
，.
变式3．（24-25高一下·江苏盐城·期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．
(1)若，求；
(2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)验证见解析，1
(3)14
【详解】（1）由，．，
在中，由余弦定理得,
所以.
又，所以是等边三角形，
所以；
（2）在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得，
∴
所以为定值；
（3），
则，
由（2）知：，∴
代入上式得：，
配方得：，
∵
又,
所以当时，取到最大值14．
变式4．（24-25高三上·广东深圳·月考）如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.

(1)求的大小；
(2)若外接圆半径为1，求的周长最大值.
(3)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）在中，由余弦定理知，，
所以，
因为，
所以，即，
又因为，所以；
（2）由正弦定理得，，又，
所以，，，
由(1)可知，所以，
所以的周长，
，
，
，
因为，所以，
所以，所以的周长的取值范围是，
所以的周长的最大值为；
（3）设，则，，，
在中，由正弦定理得，，即，
在中，由正弦定理，，即，
因为，
两式作商得，，
即，因为，所以，
所以，所以，
所以，，
假设，所以，
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