2026年新高考数学专题复习学案 36.突破爪型三角形的八大“妙手”

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 36.突破爪型三角形的八大“妙手”，共8页。
一．基本原理
1.爪型三角形的几何特征
基本几何特征:如图， .
例1．（2022全国甲卷）已知中，点在边上，，，．当取得最小值时， ．
解析：设，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，
要使得最小，即最小，，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，故答案为：．
例2.（2021新高考1卷）
记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求
解析：（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.
2.中线公式与向量方法
若已知顶角的大小，且时，可利用向量共线的基本结论求得.
例3（广州市2023届高三一模）在中，内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若的面积为，求边上的中线的长.
解析：（1）因为，所以，所以，即，
所以，由余弦定理及得：，
又，所以，即，
，所以.
（2）由，所以，由（1），
所以，因为为边上的中线，所以，所以
，所以，所以边上的中线的长为：.
例4．（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积．
【详解】（1）．
（2）如图所示：
因为，所以，．又，所以．
在中，由余弦定理得，即．①
又，所以，两边平方得，
即，所以．②，②－①得，所以，代入①得，在中，，
所以是以为直角的三角形，所以的面积为．
3.为角平分线：角平分线定理
如图，可设，这样可得.另一方面，设的高为，则，联立上面两式可得：，即角平分线性质定理.
例5.（2015全国2卷）中，是上的点，平分，面积是面积的倍．
（1） 求；
（2） 若=1，=求和的长.
解析：（1），
因为，，所以，由正弦定理可得
.
（2）因为，所以，在和中，由余弦定理知，
故，由（1）知，所以.
4.斯特瓦尔特定理
斯特瓦尔特定理：设为的边上异于的任一点，则有
.
证明：由余弦定理，可得：
①
②，将上述两式分别乘后相加整理，可得.
注：可以看到，斯特瓦尔特定理的证明关键是利用爪型三角形中两角互补，即： 这个隐含条件，而这个条件是处理爪型三角形的一个重要技巧.
推论1.当设为的边中点时，.
注：该结论还可由证得.
推论2.当设为的角平分线时，.
推论3.当设满足时，.
例6. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求
解析：（2）由斯特瓦特定理，得.
由及，得.化简变形，得.
因为，所以.即.解得或.
当时，.由余弦定理，得（不合题意，舍去）.
当时，.由余弦定理，得.
所以.
5.张角定理
在中，D是BC上的一点，连结AD，那么.
证明：因为，由三角形面积公式可得
两边同除，得到
例7 （2018年江苏卷）在中，角的对边分别为，，
的平分线交于点，且，则的最小值为________.
解 由张角定理有，即，
整理得.所以.当且仅当，即时取得最小值.
6.等面积思想.
设为的平分线，则设，那么有等面积可得：
，
进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.
例8.（2022成都一诊）在中，已知角，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.
解析：，依题意是角的角平分线，
由三角形的面积公式得，
化简得，，
.当且仅当，时等号成立.故答案为：
例9（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）在中，的对边分别为.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.
解析：（1）已知，由正弦定理可得，，
，，， 即，
.
（2）由（1）知，由，则.设，，，，
.
例10.（2021新高考1卷）在中，，点在边上，.
证明：；
若，求.
解析：（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，
因为，所以，即．又因为，所以．
方法2.（等面积思想）（2）如图，已知，则，
即，
而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，又，所以，则．
7.三角形相似
如图，在三角形中，已知角的大小，为边上一点.那么我们可利用初中的相似三角形来求解一些这种条件下的爪型三角形问题，简直妙！
如下图，过点做的平行线交延长线于，则，且由平行的性质可知：，于是，已知角的大小即可得的大小，倘若我们进一步指导的长度，以及点为边上的具体位置，那么在中可以解决很多问题，下面通过例题来分析.
例11.（2022成都一诊）在中，已知角，角的平分线与边相交于，，则的最小值为________.
解析：如上图，由于，故由可得，再加之为角的平分线，则，于是为等边，则，最后由于，可得：.
由于，等号成立当且仅当.
注：用辅助线加相似的方法来做这些题目非常容易，比起向量法简单的多.前面的例题读者也可尝试能否用几何方法思考，此处不再赘述.
8.坐标法
例12.记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
解析：以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，
即．⑥，联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，由余弦定理得．