第04讲 解三角形（专项训练） （含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
题型01 正弦定理解三角形
题型02 余弦定理解三角形
题型03 多边形解三角形（含一个确定三角形）
题型04 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
题型05 解三角形的实际应用
题型06 边角互化
题型07 三角函数与解三角形的综合应用
题型08 最值问题（基本不等式法）
题型09 最值问题（三角函数法）
题型10 切弦互化求最值问题
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练

01 正弦定理解三角形
1．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则 .
3．在中，内角A，B，C的对边分别为，，则 .
4．在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
02 余弦定理解三角形
5．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不确定
7．设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）．
A．1B．C．2D．
8．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则 .
9．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形
03 多边形解三角形（含一个确定三角形)
10．如图，在四边形中 ，．，， 则 ．
11．已知如图，在平面四边形ABCD中，，，，则平面四边形ABCD的面积为 ．

12．如图，在平面四边形ABCD中，,,,.
(1)求；
(2)若，求BC.
13．（ 2025·河北·一模）如图，在平面四边形中，为线段的中点，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
14．如图，在平面四边形中，.

(1)求；
(2)若的面积为，求.
04 多边形解三角形（不含一个确定三角形)
15．如图，在圆的内接四边形中，，的面积为，的面积为，则四边形的周长为 ．
16．在平面四边形中，，.
(1)求长度；
(2)求.
17．如图，四边形中，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
18．已知四边形中，，则四边形的面积为 .
19．如图，已知在平面四边形中，．
(1)设，若，求；
(2)若平分，求的长．
05 解三角形的实际应用
20．解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：）
A．30米B．35米C．45米D．70米
21．三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，，，三点在水平地面上的投影，，满足，.到地面的距离为，到地面的距离为，在测得的仰角为，在测得的仰角为，则到地面的距离约为（ ）（参考数据：）

A．B．C．D．
22．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
23．为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？
24．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
(1)若米，求角的余弦值；
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
06 边角互化
25．在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
26．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．B．C．D．
27．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 .
28．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
29．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，且，求.
07 三角函数与解三角形的综合应用
30．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值.
31．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积．
32．已知函数.
(1)若，求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积.
33．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)在中，角的对边分别为，若.
①求的值；
②求.
34．已知向量，，函数．
(1)求函数在上的最值，并求此时的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，得到函数的图象．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，求的面积．
08 最值问题（基本不等式法）
35．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
36．中，点在边BC上，，，，则面积的最小值是 .
37．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
38．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
(1)求角A和边a；
(2)若点是边上的中点，求的最大值．
39．记的内角所对的边分别为，若，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求边上的中线长度的最小值.
09 最值问题（三角函数法）
40．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（ ）．
A．B．3C．D．
41．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为 ．
42．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)若点M在线段上，，，求的最小值．
43．在中，内角的对边分别为，已知．
(1)证明：．
(2)若，求的值．
(3)求的最小值．
44．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求B的值；
(2)若b=2，求面积的取值范围.
45．在△中，内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若△为锐角三角形，记其面积为，求的取值范围．
10 切弦互化求最值问题
46．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的最大值为 .
47．记锐角内角，，的对边分别为，，，且.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
48．已知分别为的内角的对边，且．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值．

1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ）
A．B．C．D．
2．（ 2025·浙江绍兴·二模）在等腰直角三角形ABC中，．P为其内部一点，满足，，则的正切值为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在中，，BC边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（ ）
A．B．面积的最大值为
C．当时，D．d的取值范围是
4．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 .
5．如图，已知某三角形场地是直角三角形，且，，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 .
6．已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ．
7．（ 2025·广东惠州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知恰好满足下面四个条件中的三个：①，②，③，④
(1)问满足的是哪三个条件?请列举出来，并说明理由；
(2)求.
8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD.
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
4．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．