2025高考数学全国Ⅰ卷第11题三角魔法变换，破解三角形谜题（一题多解）（含答案解析）

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【新高考全国一卷第11题】已知△ABC的面积为14，若cs2A+cs2B+2sinC=2,csAcsBsinC=14，则（ ）
A．sinC=sin2A+sin2B B．AB=2
C．sinA+sinB=62 D．AC2+BC2=3
如何判断A选项呢？发现所给式子中有2A，2B，考虑利用余弦的二倍角公式化简变形即可判断；对于B：根据正弦定理得出a2+b2≥c2，利用分类讨论的方法判断出a2+b2=c2，得出C=π2，再结合题目中的第三个条件csAcsBsinC=14，进而求解；对于C：一般情况下，多选题各个选项之间有关联，所以利用选项A及选项B中sinAsinB=14可以作出判断；对于D：在直角三角形中，利用勾股定理可快速作出判断．
对于A：cs2A+cs2B+2sinC=1−2sin2A+1−2sin2B+2sinC=2，
所以sin2A+sin2B=sinC．
对于B： 令a=BC，b=AC，c=AB，
则asinA=bsinB=csinC=2R（R为△ABC的外接圆半径），
由sin2A+sin2B=sinC，得a2+b2=c⋅2R≥c2．
若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，即A>π2−B，
则sinA>sinπ2−B=csB，所以sinC=sin2A+sin2B>cs2B+sin2B=1，矛盾．
故a2+b2=c2，即C=A+B=π2，
所以csA+B=csAcsB−sinAsinB=0，
又csAcsBsinC=csAcsB=14，所以sinAsinB=14．
因为S△ABC=12absinC=12ab=14，所以ab=12，所以absinAsinB=2R2=1214=2，所以2R=2，
所以c=2R⋅sinC=2．
对于C：sinA+sinB2=sin2A+sin2B+2sinAsinB =sinC+2sinAsinB=1+2×14=32，
所以sinA+sinB=62．
对于D：AC2+BC2=AB2=c2=2．
故选ABC．
1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=ba+b，则（ ）
A．cπ2，注意到csAcsBsinC=14，则csAcsB>0，
于是csA>0,csB>0（两者同负会有两个钝角，不成立），于是A,B∈0,π2，
结合A+B>π2⇔A>π2−B，而A,π2−B都是锐角，则sinA>sinπ2−B=csB>0，
于是sinC=sin2A+sin2B>cs2B+sin2B=1，这和sinC≤1相矛盾，
故C∈(0,π2)不成立，则C=π2．
3．△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若acsB2=bcsA2，则△ABC是（ ）三角形.
A．等边B．等腰C．直角D．等腰或直角
先利用二倍角公式对cs2A+cs2B+2sinC=2变形，得出sinC=sin2A+sin2B，验证 A 选项．接着通过诱导公式、展开式推导，结合A、B范围，推出sinC=1，确定C=π2．再依据csAcsBsinC=14等条件，推出sinAcsA=14、sin2B=12的值，结合A、B范围设Ab，所以A错误，
对于B，因为c2=ba+b，所以由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=a2+ab2ac=a+b2c=c2b2c=c2b，
所以由正弦定理得csB=sinC2sinB，所以sinC=2sinBcsB=sin2B，
因为C∈0,π,2B∈0,2π，所以C=2B或C+2B=π，
若C+2B=π，则A=B，所以a=b，此时c2=b(a+b)=a2+b2，
所以C=π2，则A=B=π4，此时C=2B，所以B正确，
对于C，由选项B可知C=2B，所以B+C=3B∈0,π，所以B∈0,π3，所以C正确，
对于D，由正弦定理得ab=sinAsinB=sin(π−B−C)sinB=sin(B+C)sinB=sinBcsC+csBsinCsinB
=sinBcs2B+csBsin2BsinB
=cs2B+2sinBcs2BsinB
=2cs2B−1+2cs2B=4cs2B−1，
因为B∈0,π3，所以csB∈12,1，所以cs2B∈14,1，
所以4cs2B∈1,4，所以4cs2B−1∈0,3，所以ab∈0,3，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的综合问题，解题的关键是利用这两个定理进行边角互化，再三角函数质求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
2．B
【分析】化简得到csB=cs2A，从而得到2A=B，得到C=π−3A，A∈0,π3，利用正弦定理得到AC−BCAB=12csA+1，从而得到AC−BCAB的取值范围.
【详解】sinπ2−B=csB=cs2A，
在△ABC中，A,B∈0,π，故2A=B或2A+B=2π，
当2A+B=2π时，A+B2=π，故A+B>π，不合要求，舍去，
所以2A=B，C=π−A−B=π−A−2A=π−3A，
因为A,B∈0,π，所以2A∈0,π，即A∈0,π2，
因为C=π−3A∈0,π，所以A∈0,π3，
由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA，
故AC−BCAB=sinB−sinAsinC=sin2A−sinAsinπ−3A=2sinAcsA−sinAsin2A+A=2sinAcsA−sinAsin2AcsA+cs2AsinA因为A∈0,π，所以sinA≠0，
故AC−BCAB=2csA−12cs2A+cs2A=2csA−14cs2A−1=2csA−12csA−12csA+1，
因为A∈0,π3，所以2csA−1>0，
故AC−BCAB=12csA+1，
因为A∈0,π3，所以csA∈12,1，2csA∈1,2，2csA+1∈2,3，
故AC−BCAB=12csA+1∈13，12.
故选：B
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
3．B
【分析】根据正弦定理和二倍角公式得到sinA2=sinB2，即A2=B2或A2+B2=π，分析得到A2+B2=π不合要求，从而得到答案.
【详解】acsB2=bcsA2，由正弦定理得sinAcsB2=sinBcsA2，
即2sinA2csA2csB2=2sinB2csB2csA2，
由于A,B∈0,π，故A2,B2∈0,π2，故csA2≠0,csB2≠0，
故sinA2=sinB2，所以A2=B2或A2+B2=π.
若A2+B2=π，则A+B=2π，与三角形内角和矛盾，舍去，
若A2=B2，则△ABC是等腰三角形，满足要求.
故选：B
4．①②④
【分析】利用余弦定理可判断①；利用平方关系再结合正余弦定理可判断②；利用边化角结合两角和正弦公式可判断③；利用边化角结合弦切互化可判断④.
【详解】对于①，由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accs60°=a2+c2−ac，
又因为b2=ac，所以ac=a2+c2−ac⇒a−c2=0⇒a=c，
即△ABC一定是等边三角形，故①正确；
对于②，由平方关系可得：1−sin2A+1−sin2B−1−sin2C>1⇒sin2A+sin2B