2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点27直线与圆中常考的最值与范围问题(学生版+解析)

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\l "_Tc9324" 【题型1 斜率型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc9324 \h 3
\l "_Tc9214" 【题型2 直线型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc9214 \h 3
\l "_Tc9128" 【题型3 与距离有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc9128 \h 4
\l "_Tc573" 【题型4 定点到圆上点的最值（范围）】 PAGEREF _Tc573 \h 4
\l "_Tc944" 【题型5 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 PAGEREF _Tc944 \h 5
\l "_Tc17907" 【题型6 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc17907 \h 5
\l "_Tc2841" 【题型7 圆的切线长度最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc2841 \h 6
\l "_Tc7337" 【题型8 周长面积型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc7337 \h 7
\l "_Tc29602" 【题型9 角度型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc29602 \h 8
\l "_Tc25638" 【题型10 长度型最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc25638 \h 8
1、直线与圆中的最值与范围问题
从近几年的高考情况来看，直线与圆中的最值与范围问题是高考的重点、热点问题，由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与直线与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解.
知识点1 常用距离公式
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
知识点2 圆中与距离有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.
1．圆上的点到定点的距离最值问题
一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.
2．圆上的点到直线的距离最值问题
已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：.
知识点3 利用代数法的几何意义求最值
1．利用代数法的几何意义求最值
(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题.
知识点4 圆的切线长度最值问题
1．圆的切线长度最值问题
(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
知识点5 圆的弦长最值问题
1．过圆内定点的弦长最值问题
已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
知识点6 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法
1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法
(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解.
(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证.
(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.
(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.
【题型1 斜率型最值（范围）问题】
【例1】（2025·陕西商洛·三模）已知Px0,y0是圆C:x2+y2−2x−2y+1=0上任意一点，则y0+1x0−3的最大值为（ ）
A．−2B．−12C．−4−73D．−4+73
【变式1-1】（2025·全国·模拟预测）已知点Px,y是圆C:(x+2)2+(y−5)2=4上一点，则yx的最大值是（ ）
A．−2120B．−52C．−1D．−54
【变式1-2】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆的方程为x2+y2−2x=0，Mx,y为圆上任意一点，则y−2x−1的取值范围是（ ）
A．−3,3B．−1,1
C．−∞,−3∪3,+∞D．−∞,−1∪1,+∞
【变式1-3】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆C的方程为x2+y2−2y−1=0，Pa,b为圆C上任意一点，则2a+b−5a−2的取值范围为（ ）
A．−1,2B．−∞,−1∪2,+∞
C．1,3D．−∞,1∪3,+∞
【题型2 直线型最值（范围）问题】
【例2】（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知实数x,y满足x−22+y2=4，则3x−4y的取值范围为（ ）
A．−4,16B．−8,12C．−10,10D．−16,4
【变式2-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知实数x,y满足x+22+y2=4，则4x+3y的取值范围为（ ）
A．−18,2B．−2,18
C．−10,10D．−10,−6
【变式2-2】（24-25高三下·全国·开学考试）已知实数x,y满足(x−3)2+(y−4)2=3，则y−3x的最大值为（ ）
A．5−30B．30+5C．−30−5D．30−5
【变式2-3】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知x，y是实数，且x−12+y−22=4．
(1)求3x+4y的最值；
(2)求yx的取值范围；
(3)求x2+y2的最值．
【题型3 与距离有关的最值（范围）问题】
【例3】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）直线l1:5x−12y+4=0与直线l2:10x−24y−18=0上各有一动点P、Q，那么PQ最小值为（ ）
A．0B．1C．513D．2213
【变式3-1】（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数a,b,c,d满足ab=c−1d−3=43，则a−c2+b−d2的最小值为（ ）
A．12125B．8125C．6425D．4925
【变式3-2】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点Na,b的距离．结合上述观点，可得y=x2−2x+5+x2−6x+25的最小值为（ ）
A．210B．22C．2+10D．3+5
【变式3-3】（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为2,0，4,0，点C的坐标为m,3m（m>0），则CA+CB的最小值是（ ）
A．6B．37C．27D．5
【题型4 定点到圆上点的最值（范围）】
【例4】（2025·辽宁·模拟预测）已知点M0,2，N43,0，过点M作直线交圆O：x2+y2=9于A，B两点，AB的中点为Q，则NQ的最小值为（ ）
A．13B．23C．1D．43
【变式4-1】（2025·重庆·三模）已知点A2,4,B4,4,动点P满足PA⊥PB,则OP(O为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式4-2】（2025·河北·模拟预测）已知直线l1:λx+2y+λ=0，直线l2:2x−λy−2=0，若l1与l2的交点为P，且Q2,5，则PQ的最小值为（ ）
A．2B．52C．3D．5
【变式4-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知点F(0,1)，圆M:x2+(y+1)2=1上一动点P，以线段PF为直径的圆N交x轴于A，B两点，则|MN|的取值范围是（ ）
A．12,32B．12,32C．12,1D．12,1
【题型5 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】
【例5】（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线3x−4y+15=0的距离为d，则d的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-1】（2025·陕西渭南·一模）若动点C到A(−1,0),B(1,0)的距离之比为3．则点C到直线x+2y−6=0的最小距离为（ ）
A．23B．433C．3D．33
【变式5-2】（2025·安徽·模拟预测）已知点A，B为圆x−62+y2=16上两点，AB=43，点P为线段AB的中点，点Q为直线x−3y+4=0上的动点，则PQ的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．33
【变式5-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线l：2+tx−1+ty−12−8t=0，Q是圆O：x2+y2=4上的一动点，则点Q到直线l的距离d的取值范围为（ ）
A．0,42−2B．0,42+2C．0,42+2D．1,42−2
【题型6 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】
【例6】（2025·全国·模拟预测）直线y=kx+2被圆x2+y2−6x−7=0截得的弦长的最小值为（ ）
A．2B．3C．22D．23
【变式6-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线l:tx+y−2t−3=0(t∈R)与圆C:x−12+y2=16相交于A,B两点，则弦长AB的取值范围是（ ）
A．[23,8]B．[43,8]C．(43,8)D．[4,43]
【变式6-2】（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆C:x2+y2−2x+2y−14=0，直线l:m+2x+m−1y+2m−8=0．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值以及最短弦长．
【变式6-3】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知A1,0,B−2,3，动点Px,y满足到A,B两点的距离之比为12，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l:2m+1x−m−1y−m−2=0与曲线C交于M,N两点，求MN的取值范围.
【题型7 圆的切线长度最值（范围）问题】
【例7】（2025·全国·模拟预测）已知P为直线l:x−y+1=0上一点，过点P作圆C:x−12+y2=1的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式7-1】（2025·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．2B．2C．6D．22
【变式7-2】（2024·新疆·二模）从直线x−y+2=0上的点向圆x2+y2−4x−4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．22B．1C．24D．22−1
【变式7-3】（2024·湖北·模拟预测）已知点P为直线l:3x−4y+12=0上的一点，过点P作圆C:x−32+y−22=1的切线PM，切点为M，则切线长PM的最小值为（ ）
A．125B．135C．1705D．1945
【题型8 周长面积型最值（范围）问题】
【例8】（2024·上海普陀·二模）直线l经过定点P(2,1)，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，动圆M在△OAB的外部，且与直线l及两坐标轴的正半轴均相切，则△OAB周长的最小值是（ ）
A．3B．5C．10D．12
【变式8-1】（2025·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PD的最小值为−1；④PC⋅PD的最大值为32．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①④
【变式8-2】（24-25高二上·江西抚州·期末）已知O为原点，直线x+2y−3=0与圆C:x2+y2+x−6y+m=0交于P、Q两点.
(1)若PQ=27，求m的值；
(2)若过O点作圆的两条切线，切点为M、N，求四边形ONCM面积的最大值.
【变式8-3】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆C过点P2,1，圆心在直线2x−y−2=0上，且圆C与直线x+y−3=0相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点M为直线l:x−y+2=0上的动点，过M作圆C的两条切线，切点分别为A、B，求四边形MACB面积的最小值，并求出此时点M的坐标．
【题型9 角度型最值（范围）问题】
【例9】（2025·湖南邵阳·三模）已知直线l：x−y−2=0与圆O：x2+y2=1，过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为（ ）
A．3π4B．2π3C．π2D．π6
【变式9-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆C:x2+2x+y2=0，点P为直线2x+y−2=0上的一点，过P作圆C的切线，切点分别为A,B，则cs∠APB的最小值为（ ）
A．455B．38C．−455D．−38
【变式9-2】（2025·全国·模拟预测）已知点P为抛物线y2=8x上一点，过点P作圆C:(x−5)2+y2=1的两条切线，切点分别为M，N，则cs∠MPN的最小值为（ ）
A．32B．23C．910D．1112
【变式9-3】（2025·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线2x−y−3=0上一点P作圆C:x2+2x+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则sin∠APB的最大值为（ ）
A．265B．255C．65D．55
【题型10 长度型最值（范围）问题】
【例10】（24-25高二上·江苏南京·开学考试）设圆C1：x2+y2−10x+4y+25=0与圆C2：x2+y2−6x+8=0，点A，B分别是C1，C2上的动点，M为直线y=x+1上的动点，则MA+MB的最小值为（ ）
A．22+3B．3−22C．62−3D．62+3
【变式10-1】（24-25高二上·河南安阳·期中）已知Ax1,y1、Bx2,y2为圆C:x2+y2=1不同两点，且满足OA⋅OB=12，则x1+y1−22+x2+y2−22的最小值为（ ）
A．2−3B．2−3C．2−5D．22−3
【变式10-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知P为直线l:x+y=0上一点，过点P作圆M:(x−1)2+(y−1)2=1的切线PA（A点为切点），B为圆N:(x−3)2+(y−3)2=4上一动点． 则PA+PB的最小值是（ ）
A．31−2B．32−1C．31D．27−2
【变式10-3】（24-25高二上·黑龙江·期末）已知直线y=kx+2k∈R交圆O:x2+y2=9于Px1,y1,Qx2,y2两点，则3x1+4y1+16+3x2+4y2+16的最小值为（ ）
A．9B．16C．27D．30
一、单选题
1．（2025·河南信阳·模拟预测）P是圆x−a22+y−a2=1上的动点，Q是直线y=x+2上的动点，则PQ的最小值为（ ）
A．2−1B．2C．728−1D．728
2．（2025·北京·三模）已知直线y=kx−3+1与圆x−12+y−22=25交于A、B两点，则AB的最小值为（ ）
A．5B．10C．25D．45
3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知P(x0,y0)是圆C：x2+y2−2x−2y+1=0上任意一点，则y0+1x0−3的最小值为（ ）
A．4+73B．−4−73C．4−73D．−4+73
4．（2025·湖南长沙·三模）已知点Ax1,y1,Bx2,y2，定义A，B两点间的曼哈顿距离D(A,B)=∣x1− x2+y1−y2，欧氏距离d(A,B)=x1−x22+y1−y22．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,2)，点M满足d(M,O)≤1，点N满足D(N,P)≤1，则MN的最大值为（ ）
A．22−1B．22+1C．13−1D．13+1
5．（2025·山东聊城·三模）已知M是直线l:3x+y−8=0上一点，过点M作圆O:x2+y2=4的切线，切点分别为P，Q，则△OPQ面积的最大值为（ ）
A．3B．23C．1D．2
6．（2025·四川成都·模拟预测）过点P(m,3)作圆C:(x+2)2+(y+2)2=1的切线，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．26B．5C．26D．4+2
7．（2025·全国·模拟预测）已知Ax1,y1，Bx2,y2是圆x2+y2=4上的两点，若x1x2+y1y2=2，则x1+x2+y1+y2的取值范围是（ ）
A．−25,25B．−26,26C．−2,2D．−6,6
8．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足PAPB=3，则PA2+PB2的最大值为（ ）
A．16+83B．8+43C．7+43D．3+3
二、多选题
9．（2025·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，点P2,1在圆C上，则（ ）
A．y轴与圆C可能相切
B．直线x+y=0与圆C可能相交
C．x轴被圆C所截得的弦长的最大值是2
D．原点O与圆C上的点的距离的最大值为5+1
10．（2025·四川凉山·三模）已知x2+y2=4，则（ ）
A．(x−2)2+y−322的最小值是12B．|3x+4y−12|的最小值是25
C．5−2x+13−6y的最小值是10D．213−6y−20−8x的最大值是210
11．（2025·湖南·模拟预测）已知直线l:2x+y=8和圆O:x2+y2=8，不过原点O的直线m过点A2,1，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（）
A．l与圆O没有公共点B．点O到直线m距离的最大值为5
C．PQ的最大值为42D．OM的最小值为855
三、填空题
12．（2025·重庆·二模）过点 P−2,0的直线l与曲线y=−x2+2x+2 有公共点，则直线l的斜率的最大值为 .
13．（2025·上海松江·二模）已知点P为直线l:x+y+1=0上的点，过点P作圆N:(x−1)2+(y−1)2=1的切线PA，切点为A，则cs∠PNA最大值为 .
14．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点A1,0、B2,0，曲线C上动点P满足PA=2PB，m+1x−2m+3y−m=0与曲线C交于M、N两点，则MN最小值为 ．
四、解答题
15．（2025高三·全国·专题练习）求函数fx=x2−8x+20−x2−6x+10的最大值.
16．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点．
(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；
(2)求x−2y的最大值和最小值．
17．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知圆O:x2+y2=1和点A2,1，由圆O外一点P向圆O引切线PQ，切点为Q，且有PQ=PA．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求PO−PQ的最大值．
18．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A−1,0和B2,1，且该平面内的点P满足PA=2PB．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P的轨迹关于直线mx+ny−2=0m>0,n>0对称，求2m+3n−15的最小值．
19．（2025高二上·全国·专题练习）已知圆C过A1,−7，B6,23，且圆心C在x轴上.
(1)求圆C的周长；
(2)若直线l过点D2,10，且被圆C截得的弦长为43，求直线l的方程；
(3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线OM，ON分别与直线x=8相交于P，Q，记△OMN的面积为S1，△OPQ的面积为S2，求S1S2的最大值.