2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点33圆锥曲线中的参数范围及最值问题(学生版+解析)

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\l "_Tc24566" 【题型1 弦长的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc24566 \h 2
\l "_Tc4921" 【题型2 离心率的取值范围问题】 PAGEREF _Tc4921 \h 6
\l "_Tc17918" 【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc17918 \h 9
\l "_Tc2675" 【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc2675 \h 14
\l "_Tc3922" 【题型5 斜率的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc3922 \h 18
\l "_Tc29009" 【题型6 圆锥曲线中向量的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc29009 \h 23
\l "_Tc15326" 【题型7 参数的取值范围问题】 PAGEREF _Tc15326 \h 28
1、圆锥曲线中的参数范围及最值问题
圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，考查方式灵活多变，各类题型都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.
知识点1 圆锥曲线中的最值问题及其解题策略
1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路
(1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)；
(2)构建不等关系.
【注】：若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路.
知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题
1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略：
结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即可得出所求参数的范围.
【题型1 弦长的最值及范围问题】
【例1】（2025·河南郑州·三模）斜率为1的直线l与椭圆x22+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．233C．263D．433
【答案】D
【解题思路】设直线方程y=x+m与椭圆方程联立，求得弦长AB=223⋅6−2m2，即可得到最大值.
【解答过程】设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，直线l的方程为y=x+m，
由y=x+mx22+y2=1消去y得3x2+4mx+2(m2−1)=0，
则x1+x2=−4m3，x1x2=2(m2−1)3.
∴AB=1+k2x1−x2=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=2⋅−43m2−8m2−13
=223⋅6−2m2，
∴当m=0时，AB取得最大值433，
故选:D.
【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）设抛物线C:y2=2x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A,B两点，则AB的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．3
【答案】C
【解题思路】方法一设出直线方程，联立方程组并利用韦达定理得到y1+y2=2m，y1y2=−1，再利用弦长公式表示出弦长，进而求出最小值，方法二利用二级结论得到1AF+1BF=2，再对条件合理变形AB=AF+BF，再利用基本不等式求解最小值，方法三利用抛物线的性质得到抛物线的焦点弦最短时为通径，直接求解最小值即可.
【解答过程】方法一：由已知得F12,0，直线l的斜率不为0，
如图，设Ax1,y1，Bx2,y2， 设直线l的方程为x=my+12，
联立方程组y2=2xx=my+12，得到y2−2my−1=0，且易得Δ>0，
则由韦达定理得y1+y2=2m，y1y2=−1，
由弦长公式得AB=1+m2y1−y2=1+m2⋅y1+y22−4y1y2=21+m2≥2，
故当m=0时，AB取最小值，且该值为2，故C正确.
故选：C．
方法二：由二级结论得1AF+1BF=2p=2，易得AB=AF+BF，
而12AF+BF1AF+1BF=12(1+BFAF+AFBF+1)
≥12(1+2BFAF×AFBF+1)=2，当且仅当AF=BF=1时等号成立，故C正确.
故选：C．
方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而AB≥2p=2，故C正确.
故选：C．
【变式1-2】（2025·安徽·一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2.且经过点2,3.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求AB的取值范围.
【答案】(1)x2−y23=1
(2)6,+∞
【解题思路】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得3k2+3=2m2，根据弦长公式，结合不等式即可求解，
【解答过程】（1）由题意可得4a2−9b2=1a2+b2a2=2，解得a2=1,b2=3，
故双曲线方程为C:x2−y23=1.
（2）当直线l斜率不存在时，可设AxA,yA,BxA,−yA，
则OA=xA,yA,OB=xA,−yA，
将其代入双曲线方程xA2−yA23=1，
又OA⋅OB=xA2−yA2=0，解得yA=±62，
此时AB=2yA=6，
当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立y=kx+mx2−y23=1⇒3−k2x2−2kmx−m2−3=0，
故3−k2≠0x1+x2=2km3−k2x1x2=−m2−33−k2Δ=4k2m2+12m2+13−k2=12m2−k2+3>0，
则OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m
=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=1+k2−m2−33−k2+km2km3−k2+m2=0，
化简得3k2+3=2m2，此时Δ=6k2+9>0，
所以AB=1+k2x1−x2=1+k2⋅x1+x22−4x1x2
=1+k22km3−k22−4−m2−33−k2 =1+k212m2−k2+33−k22
=6k4+10k2+9k4−6k2+9=61+16k2k4−6k2+9，
当k=0时，此时AB=6，
当k≠0时，此时AB=6⋅1+16k2+9k2−6，
∵3−k2≠0,∴k2+9k2>2k2⋅9k2=6，故16k2+9k2−6>0，
因此AB=6⋅1+16k2+9k2−6>6，
综上可得AB∈6,+∞.
【变式1-3】（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，焦距为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l的斜率为−1，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线l与椭圆交于A,B两点，求线段AB的长度的取值范围.
【答案】(1)x24+y23=1
(2)867,4427
【解题思路】（1）根据题意，得到ca=12且2c=2，求得a,b,c的值，即可得到椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=−x+m，且m∈−3,3，联立方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，由韦达定理结合椭圆弦长公式得到AB=4677−m2，进而求得AB的取值范围.
【解答过程】（1）因为C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且焦距为2，
可得e=ca=12且2c=2，解得a=2，c=1，则b=a2−c2=3，
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
（2）直线l的斜率为−1，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，
设直线l：y=−x+m，且m∈−3,3，
联立方程组x24+y23=1y=−x+m，整理得7x2−8mx+4m2−12=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=8m7，x1x2=4m2−127，
因此AB=x1−x22+y1−y22=2⋅x1+x22−4x1x2
=2⋅64m249−4⋅4m2−127=4677−m2，
由m∈−3,3，可得7−m2∈2,7，即867b>0)的左顶点，M、N是椭圆上的点.若四边形OPMN满足OM=OP+ON，∠PON∈2π3,5π6，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．0,23B．0,232
C．0,32D．63,1
【答案】B
【解题思路】根据题意，结合椭圆的对称性可得Na2, t，则t=32b，设α为直线ON的倾斜角，可得tanα=3ba，进而求得ba的范围，得解.
【解答过程】由题意知P(−a,0)，由OM=OP+ON知OPMN为平行四边形，则M、N关于y轴对称，
设M−a2, t，Na2, t（不妨设t>0），将N点坐标代入椭圆方程可得t=32b，
因为∠PON∈2π3, 5π6，设α为直线ON的倾斜角，则α∈π6, π3，
所以tanα=ta2=32ba2=3ba∈33, 3，所以ba∈13, 1，
∴e=ca=1−ba2∈0, 232.
所以椭圆离心率的取值范围为0, 232.

故选：B.
【变式2-1】（2025·山西·模拟预测）如图，F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形ABF2F1为等腰梯形，且|AF1|=|F1F2|=|BF2|=2c．若∠ABF21， 设Bx1,y1,Cx2,y2，得到x1+x2=30k5k2+4,x1x2=255k2+4，再由AB和AC的方程，求得M−x1y1+2,−3和N−x2y2+2,−3，结合PM+PN≤15，得到x1y1+2+x2y2+2≤15，将y1=kx1−3和y2=kx2−3，代入化简得到x1y1+2+x2y2+2=5k，求得k≤3，进而得到答案.
【解答过程】（1）由椭圆E:x2a2+y2b2=1的离心率为55，且椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45，
可得e=ca=5512×2a⋅2b=45a2=b2+c2，解得a=5,b=2，椭圆C:x25+y24=1.
（2）设直线l:y=kx−3，联立方程组x25+y24=1y=kx−3，整理得5k2+4x2−30kx+25=0，
则Δ=(−30k)2−45k2+4×25>0且k>0，可得k2>1，所以k>1，
设Bx1,y1,Cx2,y2，则x1+x2=30k5k2+4x1x2=255k2+4，
则直线AB的方程为y=y1+2x1x−2，与直线y=−3交于点M−x1y1+2,−3，
直线AC的方程为y=y2+2x2x−2，与直线y=−3交于点N−x2y2+2,−3，
当PM+PN≤15时，且−x1y1+20，
即4k2− t2+3>0①又x1+x2=−8kt4k2+3，x1⋅x2=4t2−124k2+3
故Q−4kt4k2+3,3t4k2+3，将Q−4kt4k2+3,3t4k2+3，代λy2=4x，
得：t=−16k4k2+39②,k≠0，
将②代入①，得：162k24k2+3