2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点30圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题(学生版+解析)

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\l "_Tc18016" 【题型1 椭圆的弦长问题】 PAGEREF _Tc18016 \h 2
\l "_Tc4858" 【题型2 双曲线的弦长问题】 PAGEREF _Tc4858 \h 3
\l "_Tc25069" 【题型3 抛物线的弦长问题】 PAGEREF _Tc25069 \h 4
\l "_Tc20921" 【题型4 长度及其最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc20921 \h 5
\l "_Tc12791" 【题型5 长度之和问题】 PAGEREF _Tc12791 \h 6
\l "_Tc5038" 【题型6 长度之差问题】 PAGEREF _Tc5038 \h 7
\l "_Tc25352" 【题型7 长度之商问题】 PAGEREF _Tc25352 \h 7
\l "_Tc2698" 【题型8 长度之积问题】 PAGEREF _Tc2698 \h 9
1、圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题
圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，弦长问题与长度和、差、商、积问题是考查的重要方向，以选择题或填空题的形式考查时，难度不大；以解答题的形式考查时，有时会与向量、数列等知识结合考查，难度较大；联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键，复习时要加强此类问题的训练，学会灵活求解.
知识点 圆锥曲线中的弦长问题
1．椭圆的弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，则或.
2．双曲线的弦长问题
(1)弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.
(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
(4)双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.
3．抛物线的弦长问题
设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或
|AB|== (k为直线的斜率，k≠0).
4．弦长公式的两种形式
(1)若A,B是直线y=kx+m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去y，得到一元二次方程
，则.
(2)若A,B是直线x=my+n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去x，得到一元二次方程
，则.
【题型1 椭圆的弦长问题】
【例1】（2025·福建泉州·模拟预测）椭圆C:x2+2y2=1，其右焦点为F，若直线l过点F与C交于A,B，则AB最小值为（ ）
A．22B．1C．2D．2
【变式1-1】（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆C:y29+x2=1的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABF的面积是2105，则|AB|=（ ）
A．355B．655C．1855D．21855
【变式1-2】（2025·云南昆明·模拟预测）已知直线l:y=x+m与椭圆C:x23+y2=1交于A,B两点.
(1)若直线l过椭圆C的左焦点F1，求AB；
(2)设线段AB的垂直平分线与x轴交于点N12,0，求AB.
【变式1-3】（24-25高三上·河南周口·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点P−1,32在C上，过F2的直线l与C相交于A，B两点（均不在y轴左侧），△APF1与△BPF1的面积之和为2710；
(1)求C的方程；
(2)求AB.
【题型2 双曲线的弦长问题】
【例2】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线x23−y2=1的右焦点作与x轴垂直的直线，交双曲线于A、B两点，则AB=（ ）
A．23B．233C．3D．6
【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）双曲线C:x24−y25=1的焦点弦长为92的弦有（ ）
A．8条B．4条C．2条D．1条
【变式2-2】（2025·安徽·一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2.且经过点2,3.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求AB的取值范围.
【变式2-3】（24-25高三下·福建宁德·开学考试）已知双曲线C的渐近线方程为y=±55x，左、右焦点分别为F1−6,0,F26,0.
(1)求C的方程；
(2)若直线l:y=13x+1与C交于A,B两个不同的点，求AB；
(3)已知点M0,mm>0，且直线F1M与C只有一个公共点N，求点N的横坐标.
【题型3 抛物线的弦长问题】
【例3】（2025·北京通州·一模）已知点F为抛物线y2=4x的焦点，过点F且倾斜角为π3的直线与抛物线交于A、B两点，则AB等于（ ）
A．16B．6C．163D．4
【变式3-1】（2025·宁夏·一模）已知抛物线C的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过F且垂直于l的直线与C的准线交于点D．若AF=3FB,|DF|=433，则|AB|=（ ）
A．83B．163C．8D．16
【变式3-2】（2025·河南·二模）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点.
(1)求C的准线方程；
(2)设Mt,2为C准线上一点，且MF⊥l，求AB.
【变式3-3】（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P2,y0在抛物线上，且|PF|=4.
(1)求抛物线C的方程.
(2)已知过点F的直线交抛物线C于A,B两点，△AOB的面积为82，求直线AB的方程.
【题型4 长度及其最值（范围）问题】
【例4】（2025·重庆·模拟预测）已知过点P−5,0的直线与抛物线y2=4x相切，切点为Q，抛物线的焦点为F，则线段FQ的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式4-1】（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，若直线l交C于A，B两点，且OA⋅OB=−4，点O关于l的对称点为D，则DF的取值范围为（ ）
A．12,72B．1,3C．32,72D．2,4
【变式4-2】（2025·山东威海·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,A,B为C上两点，线段AB中点的横坐标为−1，当AB⊥x轴时，|AB|=2．
(1)求C的方程；
(2)当AB不垂直x轴时，设线段AB的中垂线与x轴的交点为P，求OP．
【变式4-3】（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，F是椭圆C:x2a2+y2=1a>1的左焦点，若F与椭圆上任一点距离的最大值为2+3.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若A为椭圆C的上顶点，P､Q为椭圆上的点，△APQ是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的△APQ的个数，并说明理由.
(3)若斜率为12的直线l交椭圆C于G､H两点，N为以线段GH为直径的圆上一点，求ON的最大值.
【题型5 长度之和问题】
【例5】（2025·河南新乡·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，离心率为12.过点F1且垂直于PF2的直线与C交于M,N两点，MN=6，则PM+PN=（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知抛物线C1: y2=2pxp>0的焦点F是圆C2: x2+y2−8x+12=0的圆心，过点F的直线与C1,C2相交，交点自上而下分别为A,B,C,D，则AB+CD的取值范围为（ ）
A．4,+∞B．8,+∞
C．12,+∞D．16,+∞
【变式5-2】（2025·江苏南京·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点P2,2，短轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方），直线l:y=kx+4椭圆C交于不同的两点M、N.设直线AN与直线BM相交于点G，求GA+GP的最小值.
【变式5-3】（2025·天津南开·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1,F2,M1,32为C上一点，且在△F1MF2中，tan∠MF1F2=34．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P1,3的直线l与椭圆C交于A,B两点（点A在点B的上方），线段AB上存在点Q，使得PAPB=QAQB，求QF1+QF2的最小值．
【题型6 长度之差问题】
【例6】（24-25高二上·重庆·期末）已知F1是椭圆x29+y28=1的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆(x−1)2+y2=1相切，切点为Q，则PQ−PF1的取值范围是（ ）
A．[3−4,15−2]B．[5−4,17−2]
C．[−1,13] D．[1,15]
【变式6-1】（24-25高二上·四川成都·期中）若点P在曲线C1:x216−y29=1上，点Q在曲线C2:x−52+y2=1上，点R在曲线C3:x+52+y2=1上，则PQ−PR的最大值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【变式6-2】（24-25高三下·河南·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，左顶点为A，双曲线C的右支上任意一点P都使得∠PFA=2∠PAF.
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若点−6,6在双曲线C上，且点P不在坐标轴上，求PA−PF的取值范围.
【变式6-3】（2025·辽宁沈阳·三模）已知圆N:x−32+y2=25，抛物线G:y2=2pxp>0的准线与圆N相切，过抛物线焦点F的动直线l与抛物线交于A、B两点，线段AB的中点为M．
(1)求抛物线G的方程；
(2)当MN⊥x轴时，求直线l的斜率；
(3)求证：AB−2MN为定值，并求出该定值．
【题型7 长度之商问题】
【例7】（2025·辽宁·三模）过椭圆C:x25+y24=1的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则1|AF|+1|BF|=（ ）
A．54B．45C．52D．255
【变式7-1】（2025·福建福州·模拟预测）已知椭圆C:x24+y23=1，直线l:my=x+3m−2恒过定点P，且与C交于A，B两点，PA0的焦点为F，C上动点P到点F的最小距离为1.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，S△AOB=433，求AFBF的值.
【变式7-3】（2025·安徽六安·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(−1,32)，P2(1,32)，P3(0,3)，P4(1,3)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点D4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M,N两点.
（i）若O为原点，求△MON面积的最大值；
（ii）点A−2,0，设点Q是线段MN上异于M,N的一点，直线QA,QM的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=0，求DM⋅NQDN⋅MQ的值.
【题型8 长度之积问题】
【例8】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知D为双曲线C:x24−y2=1右支上一点，过点D分别作C的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点A,B，则DA⋅DB=（ ）
A．2B．5C．54D．52
【变式8-1】（2025·广东湛江·一模）已知F为抛物线C:x2=8y的焦点，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与圆x2+y−22=4交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则AD⋅BE=（ ）
A．1B．4C．8D．16
【变式8-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）过点E(−12,0)的直线l与抛物线C:y2=2x交于A，B两点，F是C的焦点．
(1)若线段AB中点的横坐标为1，求|AF|+|BF|的值；
(2)求|AF|⋅|BF|的取值范围．
【变式8-3】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0过点0,2，1,72.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点（点A，B不重合），且l交直线y=x+4于点M，探究MA⋅MB是否有最小值.
一、单选题
1．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆x22+y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A．827B．2027C．27D．1327
2．（2025·北京·模拟预测）已知双曲线C:y2−x23=1的两个焦点分别为F1,F2，过F1的直线与双曲线C的同一支交于A，B两点，且BF1=2AF1，则线段AB的长度为（ ）
A．94B．9C．274D．6
3．（2025·广东·一模）已知抛物线y2=4x的弦AB的中点横坐标为5，则AB的最大值为（ ）
A．12B．11C．10D．9
4．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若|AB|=a，则C的离心率为（ ）
A．33B．63C．32D．64
5．（2025·山西临汾·三模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A,B两点，若AF=2FB，则AB=（ ）
A．32B．3C．4D．92
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，圆O:x2+y2=a2.若过F1的直线分别交C的左、右两支于A，B两点，且圆O与F1B相切，C的离心率为3,F1到C的渐近线的距离为22，则|AB|=（ ）
A．327B．307C．207D．167
7．（2025·辽宁·模拟预测）已知抛物线y2=4x焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A,B两点（点A在第一象限），其准线与x轴交于点K，若线段BF的垂直平分线恰好过K，则AB=（ ）
A．833B．433C．3D．2
8．（2024·江西上饶·模拟预测）如图所示，曲线C是由半椭圆C1:x24+y23=1(y0,b>0的左､右焦点，以坐标原点O为圆心，W的焦距为直径的圆与W交于A,B,C,D四点，则（ ）
A．W的渐近线方程为y=±x
B．AF1AF2=2a2
C．AF1+AF2=4a
D．四边形ABCD的面积为23a2
10．（2025·山西·三模）已知抛物线M:y2=4x，焦点为F，过F的直线交M于点A，B，其中Ax1,y1在第一象限，Bx2,y2在第四象限，O为坐标原点，连接BO交抛物线的准线于点C，则下列说法正确的是（ ）
A．AB的最小值是4B．1AF+1BF=2
C．直线AC平行于x轴D．△ABC的面积的最大值为1639
11．（2025·宁夏银川·三模）已知椭圆E:x29+y25=1的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线l与E交于A,B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．AB∈103,6
B．若AF1=2BF1，则AB=5
C．若直线l与y轴的交点P是线段AF1的中点，则△AOF1的面积为53
D．若直线l与y轴的交点P是线段AF1的中点，直线m与椭圆相切于点A，过点A且与直线m垂直的直线n与椭圆的长轴交于点Q，则QF1:QF2=13:5
三、填空题
12．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知P为双曲线C:x24−y2=1的右支上一点，点A,B分别在C的两条渐近线上，O为坐标原点，若四边形OAPB为平行四边形，且PA=1，则PB= ，
13．（2025·安徽六安·模拟预测）已知F1，F2分别为椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，若△ABF2的内切圆的半径为613，则l的方程为 ．
14．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点F是圆x−22+y2=1的圆心，过点F的直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D，则AB+CD的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上任意一点P到C的两个焦点F1−22,0,F222,0的距离之和为43.
(1)求C的方程；
(2)已知直线l:y=13x+m与C相交于A，B两点，若AB=5，求m的值.
16．（2025·全国·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，点A2,3在C上，且AF2⊥F1F2.
(1)求C的标准方程；
(2)过F2的直线交C于M，N两点，线段AM与线段F1N交于点R，若△F1RM的面积等于△ARN的面积，求MN.
17．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且过点P−1,32.
(1)求C的方程；
(2)设Q为C上一动点，当PQ+QF取得最大值时，求直线QF被C截得的弦长.
18．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点分别为A，B，P22,1在C上，满足kPA⋅kPB=14．
(1)求C的方程；
(2)过点Q3,0的直线l（与x轴不重合）交C于M，N两点．若MN=833，求直线l的方程．
19．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）平面直角坐标系xOy中，已知曲线E上任意一点到点F2,0的距离比到直线x=−1的距离大1．
(1)求曲线E的方程；
(2)过点F2,0作两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1与曲线E交于A、B两点，直线l2与曲线E交于C、D两点，求AB2+CD2的最小值．