2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点29巧解圆锥曲线的离心率问题(学生版+解析)

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\l "_Tc20735" 【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc20735 \h 2
\l "_Tc771" 【题型2 根据离心率求圆锥曲线的标准方程】 PAGEREF _Tc771 \h 4
\l "_Tc19901" 【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc19901 \h 6
\l "_Tc20076" 【题型4 利用余弦定理求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc20076 \h 9
\l "_Tc24639" 【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 PAGEREF _Tc24639 \h 12
\l "_Tc3031" 【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 PAGEREF _Tc3031 \h 15
\l "_Tc20426" 【题型7 函数法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc20426 \h 17
\l "_Tc12785" 【题型8 坐标法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc12785 \h 20
1、巧解圆锥曲线的离心率问题
从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的重点、热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁，复习时要加强这方面的训练.
知识点1 圆锥曲线的离心率
1．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：01的左､右焦点分别为F1,F2，过点F1的直线l与C交于A,B两点，若△ABF2的周长为12，则C的离心率为（ ）
A．13B．23C．23D．223
【答案】D
【解题思路】根据椭圆的定义求出a，即可求出c，从而求出离心率.
【解答过程】依题意及椭圆的定义可知△ABF2的周长为：AB+AF2+BF2=AF2+BF2+AF1+BF1=4a=12，
则a=3，又b=1，所以c=a2−b2=22，
则离心率e=ca=223.
故选：D.
【变式1-1】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）双曲线C:x2a2−y2=1a>0经过点22,1，则C的离心率e等于（ ）
A．32B．3C．5D．52
【答案】D
【解题思路】首先代入点求a，再求离心率.
【解答过程】将22,1代入C:x2a2−y2=1a>0中得a=2，因为c=a2+b2=5，
所以e=ca=52.
故选：D.
【变式1-2】（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为2x−y=0，则它的离心率为（ ）
A．5B．52C．3D．2
【答案】B
【解题思路】根据题意，得到ba=12，结合e=ca=1+(ba)2，即可求解.
【解答过程】因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为2x−y=0，
可得ab=2，即ba=12，所以双曲线的离心率为e=ca=1+(ba)2=52.
故选：B.
【变式1-3】（2025·山东济南·三模）已知焦点在x轴上的椭圆C:x29+y2b2=1，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=3x+4相交，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．(0,23)B．(0,53)C．(23,1)D．(53,1)
【答案】B
【解题思路】利用直线与圆的位置关系求出b的范围，再利用离心率的定义求出范围.
【解答过程】依题意，b>4(3)2+(−1)2=2，又椭圆焦点在x轴上，则a=3，bb>0，
双曲线x216−y29=1的焦点为−5,0,5,0，
所以c=5，又因为离心率为57，所以ca=5a=57，
所以a=7，又因为b=a2−c2=26，
所以圆的方程为x249+y224=1.
故选：C.
【变式2-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2，离心率为23，过点F1作直线l（与y轴不重合）交椭圆C于M,N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是（ ）
A．x23+y2=1B．y23+x2=1C．x29+y25=1D．y29+x25=1
【答案】D
【解题思路】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出a的值，结合离心率求出b的值，即得椭圆方程.
【解答过程】
如图依题意，△MNF2的周长为MF2+MN+NF2=MF1+MF2+NF1+NF2=4a=12，
解得a=3．
设椭圆C的半焦距为c，因为椭圆C的离心率为23，所以e=ca=23，解得c=2．
所以b=a2−c2=32−22=5．
故椭圆C的标准方程为y29+x25=1．
故选：D.
【变式2-3】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）双曲线C与椭圆x26+y22=1有公共的焦点，且C的离心率是2，则C的标准方程是（ ）
A．x2−y23=1B．y2−x23=1C．x24−y212=1D．y24−x212=1
【答案】A
【解题思路】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出a，根据a,b,c关系求出b2后即可得解.
【解答过程】椭圆x26+y22=1的焦点为±2,0，
所以双曲线C的焦点为±2,0且焦点在x轴上，即c=2，
因为C的离心率是2，所以e=ca=2，即a=1，
所以b2=c2−a2=3，故双曲线C的标准方程为x2−y23=1.
故选：A.
【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】
【例3】（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点为F1,O为坐标原点，若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q，使得△PF1Q为正三角形，且OQ⊥F1P，则C的离心率为（ ）
A．2B．1+2C．3D．1+3
【答案】D
【解题思路】连接PF2，利用中位线性质得到△PF1F2是∠F2F1P=π6的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线定义即可建立a,c的关系，从而求得离心率．
【解答过程】设双曲线的焦距为2cc>0，右焦点为F2，直线OQ交F1P于点M，连接PF2，
因为△PF1Q为正三角形，OQ⊥F1P，所以M为F1P的中点，所以OM//F2P，
故∠F1PF2=π2，易知∠F2F1P=π6，所以PF2=c,PF1=3c，
由双曲线的定义知PF1−PF2=2a，即3c−c=2a，得e=ca=23−1=1+3.
故选：D.
【变式3-1】（2025·湖北·模拟预测）已知F1、F2分别为椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，点P（不在Γ上）为y轴上一点，线段PF1与Γ交于点Q，F2Q⋅PF1=0，△PQF2内切圆的直径为b，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．53B．223C．104D．32
【答案】A
【解题思路】利用切线长定理可得出QF2−QF1=b，再由椭圆定义可求出QF1、QF2，结合勾股定理可得出关于a、b、c的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【解答过程】设△PQF2的内切圆I分别切该三角形三边于点A、B、C，如下图所示：
由切线长定理可得PA=PC，QA=QB，F2B=F2C，
所以，QP+QF2−PF2=QA+PA+QB+F2B−PC+F2C
=QA+QB=2QA，
因为F2Q⋅PF1=0，则QA⊥QB，
由圆的几何性质可得IA⊥QA，IB⊥QB，故四边形AQBI为正方形，且其边长为b2，
由对称性可知PF1=PF2，由椭圆定义可得QF1+QF2=2a①，
又因为QP+QF2−PF2=2QA=b，即QF2−QF1=b②，
联立①②可得QF1=a−b2，QF2=a+b2，
由勾股定理可得QF12+QF22=F1F22，即a−b22+a+b22=4c2，
整理可得2a2+b22=4c2，即4a2+b2=8c2，即4a2+a2−c2=8c2，整理可得5a=3c，
因此，该椭圆的离心率为e=ca=53.
故选：A.
【变式3-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A在C的左支上，AF2交C的右支于点B，若∠F1AB=∠F1BA=30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A．155B．153C．3D．5
【答案】B
【解题思路】取AB的中点M，设BF2=x，利用双曲线的定义，结合题设条件，求出x=433a−2a，借助于Rt△F1F2M，利用勾股定理列出关于a,c的齐次方程，即可求得.
【解答过程】
如图，取AB的中点M，因为∠F1AB=∠F1BA=30°，故得AF1=F1B，F1M⊥AB,
设BF2=x，由双曲线的定义得AF1=BF1=|BF2|+2a=x+2a①，
AF2=AF1+2a=x+4a，所以|AB|=|AF2|−|BF2|=4a，
在△ABF1中，∠AF1B=120°，AF1=F1B，|AB|=4a，所以F1M=MBtan60∘=2a3=233a，
F1B=2|F1M|=433a，代入①式可得，x=433a−2a.
所以MF2=12|AB|+x=2a+433a−2a=433a，
在Rt△F1F2M中，233a2+433a2=4c2，解得e=ca=53=153，
则双曲线C的离心率为153.
故选：B.
【变式3-3】（2025·河南·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0上有动点P,P在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点M,N，使△PMN的重心为右焦点F，则椭圆E的离心率的取值范围为（ ）
A．0,12B．13,1C．0,13D．12,1
【答案】C
【解题思路】首先利用点P,F坐标表示MN的中点Q的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解.
【解答过程】设Px0,y0,Mx1,y1,Nx2,y2，
MN的中点为QxQ,yQ,Fc,0，由PF=2FQ，
得xQ=3c−x02yQ=−y02，
而xQ2a2+yQ2b2=x1+x224a2+y1+y224b2b>0 的左右焦点分别为 F1,F2 ，椭圆存在一点 P ，若 ∠F1PF2=120∘ ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．22,32B．12,1C．32,1D．12,32
【答案】C
【解题思路】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，根据椭圆的定义和余弦定理得4a2−4c2=r1r2，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.
【解答过程】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则r1+r2=2a，
在△F1PF2中，cs120∘=r12+r22−4c22r1r2，
所以r12+r22−4c2=−r1r2，得(r1+r2)2−2r1r2−4c2=−r1r2，
所以4a2−4c2=r1r2，
因为2a=r1+r2≥2r1r2，当且仅当r1=r2=a时，取等号，
所以r1r2≤a2，
所以4a2−4c2≤a2，所以3a2≤4c2，
所以c2a2≥34，所以e=ca≥32，又00和双曲线C2:x2m2−y2n2=1m>0,n>0有相同的焦点F1,F2,P为两曲线在第一象限的交点，e1,e2分别为曲线C1,C2的离心率.若∠PF1F2=∠F2PO，则e2+2e1的最小值为（ ）
A．22B．32C．42D．62
【答案】C
【解题思路】先根据椭圆、双曲线的定义，结合三角形的相似，探索a,m,c的关系，再利用基本不等式求e2+2e1的最小值.
【解答过程】如图：
根据椭圆和双曲线的定义，可得PF1+PF2=2aPF1−PF2=2m ⇒ PF1=a+mPF2=a−m.
又∠PF1F2=∠F2PO，∠PF2F1=∠OF2P，所以△PF1F2∽△OPF2.
所以PF2OF2=F1F2PF2 ⇒ a−mc=2ca−m ⇒ a−m2=2c2 ⇒ a=m+2c.
又e1=ca∈0,1，e2=cm∈1,+∞，
所以e2+2e1=cm+2ac =cm+2m+2cc =cm+2mc+22 ≥2cm⋅2mc+22 =42，
当且仅当cm=2mc，即cm=2时取“=”.
故选：C.
【变式5-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1,F2,P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且∠F1PF2=π3，其离心率分别为e1,e2，则3e12+e22的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
【答案】A
【解题思路】根据椭圆以及双曲线定义利用余弦定理和基本不等式计算可得当e12=12,e22=32时，3e12+e22取得最小值为3.
【解答过程】设PF1=m>PF2=n,F1F2=2c，由余弦定理得m2+n2−2mncsπ3=4c2，即m2+n2−mn=4c2；
在椭圆C1中，m+n等于椭圆的长轴长，因此e1=2cm+n，
在双曲线C2中，m−n等于双曲线的实轴长，因此e2=2cm−n，
则1e12+3e22=m+n24c2+3m−n24c2=4m2+n2−mn4c2=4．
所以3e12+e22=141e12+3e223e12+e22=143+3+e22e12+9e12e22≥146+2e22e12⋅9e12e22=3，
当且仅当e12=12,e22=32时等号成立，
故选：A.
【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】
【例6】（2025·浙江绍兴·模拟预测）设椭圆C1:x24+y2=1和双曲线C2:x2a2−y2=1a>0的离心率分别为e1,e2.若e1⋅e2=1，则a=（ ）
A．3B．3C．13D．33
【答案】A
【解题思路】分别求两个曲线的离心率，再根据方程，即可求解.
【解答过程】椭圆的离心率e1=32，双曲线的离心率e2=a2+1a，
由题意可知，e1e2=3a2+32a=1，且a>0，得a=3.
故选：A.
【变式6-1】（2024·四川乐山·三模）设双曲线C1:x2a2−y2=1(a>0)，椭圆C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2，若e1=23e2，则a=（ ）
A．28B．24C．22D．63
【答案】B
【解题思路】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求a的值.
【解答过程】由椭圆C2:x24+y2=1，可得a2=2,b2=1，
所以c2=4−1=3，所以椭圆的离心率e2=32，
又e1=23e2，所以双曲线的离心率为e1=3，
又双曲线C1:x2a2−y2=1(a>0)，所以c=a2+1，
所以a2+1a=3，解得a=24.
故选：B.
【变式6-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．e1e2>2B．e1+e2>2
C．02，
当e1=32，e2=62时，e1e2=3242．
故选：B.
【变式6-3】（2025·山东菏泽·二模）已知e1,e2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x2a2−y2b2=1的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过255，则e2e1的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解题思路】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出e2e1=a2+b2a2−b2，令k=ba，结合ba≤255，即可求解.
【解答过程】由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e1=ca=1−b2a2，
双曲线x2a2−y2b2=1的离心率e2=ca=1+b2a2，可得e2e1=a2+b2a2−b2=1+(ba)21−(ba)2，
令k=ba，因为双曲线的渐近线的斜率不超过255，即ba≤255，
则00)于A,B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP,AQ，且分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于点M，若AM=34AP，则椭圆C的离心率为（ ）
A．13B．33C．12D．32
【答案】D
【解题思路】设Ax1,y1,Qx2,y2，则B−x1,−y1,Px1,−y1,Mx1,−y12，由AB⊥AQ，B,M,Q共线，点A,Q在椭圆上，得坐标关系，联立求解即可.
【解答过程】设Ax1,y1,Qx2,y2，则B−x1,−y1,Px1,−y1,Mx1,−y12，
由AB⊥AQ，则y1x1⋅y2−y1x2−x1=−1，即y2−y1x2−x1=−x1y1，①
由B,M,Q三点共线，则kBQ=kBM，即y1+y2x1+x2=y14x1，②
又因为x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，即x12−x22a2+y12−y22b2=0,y12−y22x12−x22=−b2a2，③
将①②代入③得b2a2=14，则e=ca=1−b2a2=32.
故选：D.
【变式8-3】（2025·甘肃白银·三模）已知A是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0在第一象限上的一点，点B与点A关于原点O对称，过点A作AM⊥AB，与C的另外一个交点为M，连接BM，与y轴交于点N，若ON2=7OA⋅NO，则C的离心率为（ ）
A．5B．6C．7D．3
【答案】C
【解题思路】设O为AB的中点，设Bx1,y1x10)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）A,B两点，若AB=b，则双曲线C的离心率为（ ）
A．4B．2C．3D．2
【答案】B
【解题思路】根据题意写出以OF为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点A,B的纵坐标，再根据AB=b即可求得.
【解答过程】由题意，双曲线的渐近线方程为y=±bax，
如图，设双曲线C的焦距为2c，以OF为直径的圆的方程为：x−c22+y2=c24，
即x2−cx+y2=0，联立x2−cx+y2=0y=bax，
解得y=abc，即yA=abc由对称性可得，yB=−abc，且xA=xB，
则AB=yA−yB=2abc=b，可得c=2a，故离心率e=2.
故选：B.
5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，直线AF1交M于另一点B，△ABF2的内切圆与AB相切于点C，若|BC|=F1F2，则椭圆M的离心率为（ ）
A．34B．14C．13D．12
【答案】D
【解题思路】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案.
【解答过程】由题意，如图，P，D是内切圆与BF2,AF2的切点，
因为左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，椭圆参数关系a2=b2+c2，
由BF1+BF2=2a，结合对称性、圆的切线性质，
令CF1=DF2=PF2=n，且F1F2=|BP|=|BC|=2c，
所以BF1+|BP|+PF2=|BC|−CF1+|BP|+PF2=2a，
所以2c−n+2c+n=2a，可得2c=a，故e=ca=12，
故选：D．
6．（2025·江西·模拟预测）已知椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>n>0)，且离心率与双曲线x24−y212=1的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（ ）
A．x2.4+y23=1B．x216+y24=1C．x22+23y2=1D．3x2+4y2=1
【答案】B
【解题思路】由题可得双曲线离心率为e′=2，则椭圆离心率e=12，进而得到nm=34，然后逐一判断即可.
【解答过程】因为双曲线x24−y212=1的离心率为e′=4+122=2，
所以椭圆x2m+y2n=1的离心率为e=12，
椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>n>0)，
则该椭圆的长、短半轴长分别为a=m,b=n，
离心率e=m−nm=1−nm=12，解得nm=34，
对于A，m=4,n=3，符合；
对于B，m=16,n=4，不符合；
对于C，m=2,n=32，符合；
对于D，m=13,n=14，符合.
故选：B.
7．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0)，若圆M:(x+2)2+(y−6)2=4上存在点P 使得PF2的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．[2,+∞)B．[3,+∞)C．(1,2]D．(1,3]
【答案】B
【解题思路】设P(x0,y0)为圆M上一点，得到PF2的中点Q(x0+22,y02)，求得y0=±ba(x0+2)，结合直线y=±ba(x+2)与圆M有公共点，得到−6(ba)2+1≤2，求得b2a2≥8，进而求得双曲线的离心率的取值范围.
【解答过程】因为双曲线C:x2a2−y2b2=1的右焦点为F2(2,0)，则c=2，即a2+b2=4，
且双曲线C的渐近线方程为y=±bax，
设P(x0,y0)为圆M:(x+2)2+(y−6)2=4上一点，且圆心为M(−2,6)，半径r=2，
则PF2的中点Q(x0+22,y02)在其渐近线上，可得y02=±ba(x0+22)，
即y0=±ba(x0+2)，所以点P在直线±bax−y±2ba=0上，
因为圆心M(−2,6)到直线的距离为d=±ba×(−2)−6±2ba(±ba)2+(−1)2=−6(ba)2+1，
因为圆M上存在点P满足条件，所以直线y0=±ba(x0+2)与圆M有公共点，
所以d≤2，即−6(ba)2+1≤2，可得36(ba)2+1≤4，可得(ba)2+1≥9，所以b2a2≥8，
又因为双曲线的离心率e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2≥9，所以e≥3，
所以双曲线C的离心率的取值范围为[3,+∞).
故选：B.
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，M、N是椭圆上的点.若四边形OPMN满足OM=OP+ON，∠PON∈2π3,5π6，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．0,23B．0,232
C．0,32D．63,1
【答案】B
【解题思路】根据题意，结合椭圆的对称性可得Na2, t，则t=32b，设α为直线ON的倾斜角，可得tanα=3ba，进而求得ba的范围，得解.
【解答过程】由题意知P(−a,0)，由OM=OP+ON知OPMN为平行四边形，则M、N关于y轴对称，
设M−a2, t，Na2, t（不妨设t>0），将N点坐标代入椭圆方程可得t=32b，
因为∠PON∈2π3, 5π6，设α为直线ON的倾斜角，则α∈π6, π3，
所以tanα=ta2=32ba2=3ba∈33, 3，所以ba∈13, 1，
∴e=ca=1−ba2∈0, 232.
所以椭圆离心率的取值范围为0, 232.

故选：B.
二、多选题
9．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆E：x225+y29=1的左、右焦点分别为F1,F2，点Px0,y0）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为5B．椭圆E的离心率为45
C．1≤PF1≤9D．恰好存在两个点P使得PF1⋅PF2=0
【答案】BC
【解题思路】由椭圆的方程可得a=5,b=3,c=4，即可判断AB；由a−c≤PF1≤a+c判断C，确定P点所在方程，联立椭圆方程可求出符合题意的点的个数，判断D.
【解答过程】对于椭圆E：x225+y29=1，a=5,b=3,c=4，故椭圆长轴长为2a=10，A错误；
椭圆离心率为e=ca=45，B正确；
点Px0,y0）是椭圆E上的一个动点，则a−c≤PF1≤a+c，即1≤PF1≤9，C正确；
由PF1⋅PF2=0可知P点位于以F1F2为直径的圆上，F1−4,0,F24,0，
则该圆方程为x2+y2=16，联立x225+y29=1，解得x=±574,y=±94，
则P574,94或P574,−94或P−574,94或P−574,−94，故满足题意的点P有4个，D错误，
故选：BC.
10．（2025·广东揭阳·三模）已知双曲线E：x218−y22=1，则（ ）
A．E的实轴长是虚轴长的9倍B．E的渐近线方程为y=±13x
C．E的焦距为4D．E的离心率为103
【答案】BD
【解题思路】由双曲线方程结合实轴和虚轴定义、渐近线方程定义、焦距以及离心率公式即可逐项判断.
【解答过程】对于A，由双曲线方程可得a=32,b=2,c=18+2=25，
故得E的实轴长是虚轴长的3倍，故A错误；
对于B，E：x218−y22=1的渐近线方程是y=±13x，故B正确；
对于C，E的焦距为2c=45，故C错误；
对于D，E的离心率为e=ca=2532=103，故D正确.
故选：BD.
11．（2025·湖北黄冈·三模）若圆锥曲线C:mx2+ny2=1的离心率为12，则实数m与n的关系为 （ ）
A．4m=3nB．m=4n
C．4n=3mD．n=4m
【答案】AC
【解题思路】先根据离心率判断曲线类型为椭圆，再将方程化为标准式.因椭圆焦点位置有两种情况，所以分情况讨论：
焦点在x轴时，确定a2、b2，由c2=a2−b2求出c2，结合离心率公式e2=c2a2列方程求解m与n关系.
焦点在y轴时，同样确定a2、b2、c2，再根据离心率公式列方程求解m与n关系.
【解答过程】因为圆锥曲线的离心率e=12∈(0,1)，所以该圆锥曲线为椭圆.
方程mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1.
当焦点在x轴上时，此时1m>1n>0，即n>m>0，a2=1m，b2=1n，
根据c2=a2−b2可得c2=1m−1n.
已知离心率e=ca=12，则e2=c2a2=(12)2=14，即1m−1n1m=14.
化简1m−1n1m=14，则4m=3n
当焦点在y轴上时，此时1n>1m>0，即m>n>0，a2=1n，b2=1m，
根据c2=a2−b2可得c2=1n−1m.
已知离心率e=ca=12，则e2=c2a2=(12)2=14，即1n−1m1n=14.
化简1n−1m1n=14得，4n=3m
实数m与n的关系为4m=3n或4n=3m.
故选：AC.
三、填空题
12．（2025·湖南长沙·三模）椭圆C:x225+y29=1的离心率为 ．
【答案】45
【解题思路】由椭圆x225+y29=1方程可知，a,b,c的值，由离心率e=ca求出结果.
【解答过程】因为椭圆方程为x225+y29=1，
所以a2=25,b2=9,
所以c2=a2−b2=25−9=16，
所以a=5,c=4,
所以离心率e=ca=45，
故答案为：45.
13．（2025·河南南阳·模拟预测）已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，O为原点，A为C上一点，OA=OF，若AF=2a3，则C的离心率为 ．
【答案】53
【解题思路】由条件可知△F1AF为直角三角形，结合椭圆定义确定a,c关系，由此可求离心率.
【解答过程】取椭圆C的左焦点F1，连结AF1，

在△FAF1中，由OA=OF=OF1，得∠FAF1=π2，
设FF1=2c，由AF=2a3，得AF1=2a−2a3=4a3，
由△F1AF为直角三角形，得4c2=49a2+169a2=209a2，则c2a2=59，
所以椭圆C的离心率是e=ca=53.
故答案为：53.
14．（2025·黑龙江大庆·一模）已知F1,F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点，若3|AB|≥2|F1F2|，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】(1,32613]
【解题思路】根据已知条件结合圆的弦长公式求得AB=2a2−b2，利用3|AB|≥2|F1F2|建立不等式即可求得双曲线的离心率范围.
【解答过程】设以F2(c,0)为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx−ay=0交于A,B两点，
则F2到渐近线bx−ay=0的距离d=bca2+b2=b，AB=2a2−b2，
由3|AB|≥2|F1F2|，得6a2−b2≥4c，即9a2−9b2≥4c2，解得18a2≥13c2，
即c2a2≤1813，于是e≤32613，而e>1，
所以双曲线的离心率的取值范围是1b>0切于点P.
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为42，求l的方程.
【答案】(1)e=22；
(2)l:y=22x.
【解题思路】（1）根据点在椭圆上，可得4a2+2b2=1，再根据直线与椭圆相切，列方程，可得椭圆方程，进而可得离心率；
（2）设点Bx0,y0，由已知可确定AP方程与AP，结合三角形面积可得2x0+2y0−42=82，再由点B在椭圆上，可得方程组，联立方程组即可得解.
【解答过程】（1）由已知点P2,2在椭圆上，则4a2+2b2=1，
又A4,0，P2,2，可知AP:y=22−4x−4，即y=−22x+22，
又直线AP与椭圆相切，
联立直线与椭圆x2a2+y2b2=1y=−22x+22，得a2+2b2x2−8a2x+16a2−2a2b2=0，
即Δ=−8a22−4a2+2b216a2−2a2b2=0，
化简可得a2+2b2−16=0，
联立a2+2b2−16=04a2+2b2=1，解得a2=8b2=4，
则c2=4，即a=22，b=2，c=2，
所以离心率e=ca=222=22；
（2）由（1）得椭圆方程为x28+y24=1，
设Bx0,y0，由已知AP:y=−22x+22，且AP=2−42+2−02=6，
则点B到直线AP的距离d=−22x0−y0+22−222+−12=2x0+2y0−426，
又△ABP的面积S=12AP⋅d=12×6×2x0+2y0−426=42，
化简可得2x0+2y0−42=82，
又点Bx0,y0在椭圆上，则x028+y024=1，
联立方程2x0+2y0−42=82x028+y024=1，解得x0=−2y0=−2，则B−2,−2，
所以PB:y−2=2+22+2x−2，即直线l:y=22x.

16．（2025·湖南娄底·二模）已知双曲线C：x2−y2b2=1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是C上的两点，线段PQ的中点为R．当PF⊥AF时，PF=AF．
(1)求C的离心率；
(2)若R12,32，求直线PQ的一般式方程．
【答案】(1)2
(2)x−y+1=0
【解题思路】（1）先计算当PF⊥AF时点P坐标，利用PF=AF得出关于b,c的方程；
（2）利用点差法求直线的方程即可.
【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为c，则c2=b2+1，
当PF⊥AF时，点P的横坐标为c，
代入C的方程，得y2=b2c2−b2=b2c2−1=b4，故y=±b2，即PF=b2
因PF=AF，所以c+1=b2，故c2=c+2，解得c=2，
故C的离心率为ca=2．
（2）由（1）知C:x2−y23=1，设Px1,y1，Qx2,y2，
因为P，Q是C上的两点，故x12−y123=1x22−y223=1，
两式相减得：x12−x22−y12−y223=0，
若x1=x2，则直线PQ的斜率不存在，
由双曲线的对称性可知，此时线段PQ的中点位于x轴，故不符合题意；
若x1≠x2，则y1−y2x1−x2=3x1+x2y1+y2，
因为R12,32是线段PQ的中点，所以x1+x2=1，y1+y2=3，
则y1−y2x1−x2=kPQ=3x1+x2y1+y2=1，
所以直线PQ的方程为y=x−12+32=x+1，即x−y+1=0，
经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意，
则直线PQ的一般式方程为x−y+1=0，
17．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆C的中心与坐标原点O重合，F3,0为C的一个焦点，且点B0,7在C上.
(1)求C的方程及离心率；
(2)设点P为C在第一象限的部分上一点，求四边形OFPB面积的最大值.
【答案】(1)x216+y27=1；34
(2)572.
【解题思路】（1）根据椭圆的基本性质，利用已知的半焦距和短半轴长求出长半轴长，进而得到椭圆方程和离心率；
（2）通过设出椭圆上一点的参数坐标，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和，再利用三角函数的性质求出面积的最大值.
【解答过程】（1）由题可设C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的半焦距为c(c>0)，
则c=3，b=7，a=b2+c2=7+9=4，
所以C的方程为x216+y27=1，
离心率e=ca=34；
（2）设点P4csθ,7sinθ，00)经过点1,32，且右顶点为A(2,0)．
(1)求椭圆M的方程及离心率；
(2)过点P(−2,2)的直线与椭圆M交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：|OM|=|ON|．
【答案】(1)x24+y2=1，离心率32
(2)证明见解析
【解题思路】（1）根据椭圆过的点及右顶点坐标得到a，b，c之间的关系，列出等式求解即可.
（2）设出直线BC的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到x1+x2=−16k(k+1)1+4k2，x1x2=16k2+32k+121+4k2，求出M，N两点的横坐标，代入公式再求证即可.
【解答过程】（1）由题意a=2，
又因为经过点1,32，所以14+34b2=1，所以b2=1
所以椭圆M的方程x24+y2=1，离心率e=32.
（2）证明：设BC:y=kx+2k+2,Bx1,y1,Cx2,y2，
由y=kx+2k+2x2+4y2=4，消去y可得，1+4k2x2+16k(k+1)x+16k2+32k+12=0，
则Δ>0⇔k