2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点18平面向量中的最值(范围)、新定义问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点18平面向量中的最值(范围)、新定义问题(学生版+解析)，共25页。

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\l "_Tc3368" 【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc3368 \h 2
\l "_Tc24876" 【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc24876 \h 5
\l "_Tc10275" 【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc10275 \h 8
\l "_Tc6692" 【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc6692 \h 10
\l "_Tc32670" 【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc32670 \h 12
\l "_Tc11306" 【题型6 平面向量中的新定义问题】 PAGEREF _Tc11306 \h 16
1、平面向量中的最值（范围）、新定义问题
平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，复习时要加强这方面的训练.
从近几年的高考情况来看，平面向量的新定义问题也是高考的一个重要趋势，解决此类问题要注意对新定义、新概念的理解.
知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略
1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：
(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；
(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：
(1)定义法
①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；
②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.
(2)坐标法
①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；
②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.
(3)基底法
①适当选取一组基底，利用基底转化向量；
②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论.
知识点2 平面向量中的新定义问题
1．平面向量中的新定义问题的求解策略
遇到与平面向量有关的新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，结合平面向量的相关知识进行求解，验证，使得问题得以解决.
【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】
【例1】（2025·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2AE=3EB，在平面ABCD中，动点P满足PE⋅PB=0，则DP⋅AC的最大值为（ ）
A．41+4B．41−6C．213+4D．213−6
【答案】A
【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.
【解答过程】以O为坐标原点（O是BE中点），建立如图所示的直角坐标系，
因为在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，2AE=3EB，PE⋅PB=0，
所以动点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设Pcsθ,sinθ，
则A0,4,D4,4,C4,−1,
DP⋅AC=csθ−4,sinθ−4⋅4,−5=4csθ−4−5sinθ−4=41csθ+φ+4，
其中锐角φ满足tanφ=54，故DP⋅AC的最大值为41+4,
故选：A.
【变式1-1】（2025·江西鹰潭·二模）在Rt△ABC中，角A,B,C所对应的边为a,b,c,A=π6，C=π2，c=2，P是△ABC外接圆上一点，则PC⋅PA+PB的最大值是（ ）
A．4B．2+10C．3D．1+10
【答案】A
【解题思路】先判断△ABC外接圆圆心O是AB的中点，将PC⋅PA+PB化简为2PC⋅PO，再将PC分解整理得2PO2+2PO⋅OC，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得PC⋅PA+PB的最大值.
【解答过程】
如图，设Rt△ABC的外心为O，则点O是AB的中点，
由PC⋅PA+PB=2PC⋅PO=2PO+OC⋅PO=2PO2+2PO⋅OC，
因c=2，故|PO|=|OC|=1,而PO⋅OC=cs〈PO,OC〉，
故PC⋅PA+PB≤2+2=4,当且仅当PO与OC同向时取等号.
故选：A.
【变式1-2】（2025·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A1,A2,⋯,A8的边上，点M在边A1A2上，则A1M ⋅A1N的取值范围是（ ）
A．−4−22,22B．−4,4+22
C．−22,4+22D．−22,4
【答案】C
【解题思路】以A1为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M、N的坐标，计算A1M ⋅A1N即可.
【解答过程】以A1为原点，A1A2为x轴，A1A6为y轴建立平面直角坐标系，
设Nx1,y1,Mx2,0，则A1M=x2,0,A1N=x1,y1，
所以A1M ⋅A1N=x1x2，
由于正八边形的每个外角都为π4；
则x2∈0,2,x1∈−2,2+2，
所以A1M ⋅A1N=x1x2∈−22,4+22.
故选：C.
【变式1-3】（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， C 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 AC⋅AB 的最大值为（ ）
A．12B．16C．18D．20
【答案】C
【解题思路】过C作CE⊥AB交AB延长线于E点，则AC⋅AB=AE⋅AB=|AE|⋅|AB|，当C位于D点时，AC⋅AB取得最大值，求此时的数量积即可.
【解答过程】
过C作CE⊥AB交AB延长线于E点，则AC⋅AB=AE⋅AB=|AE|⋅|AB|，
因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，AC⋅AB取得最大值，
此时∠DAE=π6,AD=3AF=63,AE=9，
AD⋅AB=AE⋅AB=9×2=18，
故选：C.
【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】
【例2】（2025·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若AF=xAB+2yACx>0,y>0，则1x+2y的最小值为（ ）
A．3B．4C．8D．9
【答案】D
【解题思路】先根据共线向量基本定理得到x+2y=1，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以设BF=λBC，故AF−AB=λAC−λAB，
即AF=λAC+1−λAB，
又AF=xAB+2yACx>0,y>0，
故x+2y=1−λ+λ=1，
故1x+2y=1x+2yx+2y=1+4+2yx+2xy≥5+22yx⋅2xy=9，
当且仅当2yx=2xy，即x=y=13时，等号成立，
故1x+2y的最小值为9.
故选：D.
【变式2-1】（2025·安徽淮北·一模）在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数x,y使得AC=1x−4AB+1−1yAD成立，则2x+y的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解题思路】由面积比得2DF=BE，再利用三角形相似得到2DO=OB，从而利用向量的线性运算得到x,y的关系，进而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【解答过程】根据题意，如图，连接BD，设AC与BD交于点O，
过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，
若△ABC面积是△ACD面积的2倍，即2DF=BE，
根据相似三角形的性质可知，2DO=OB，
∴2DA+AO=OA+AB,∴AO=13AB+23AD，
设AC=λAO=13λAB+23λAD，
∵AC=1x−4AB+1−1yAD,∴1x−4=13λ,1−1y=23λ，
即1−1y=2x−8,∴2x+1y=9，即192x+1y=1，
∴2x+y=2x+y×192x+1y=194+1+2xy+2yx≥195+22xy×2yx=1，
当且仅当2xy=2yx，即x=y=13时取等号，∴2x+y的最小值为1.
故选：A.
【变式2-2】（24-25高一下·四川巴中·阶段练习）已知点G为△ABC的重心，D,E分别是AB,AC边上一点，D,G,E三点共线，F为BC的中点，若AF=λAD+μAE，则4λ+1μ的最小值为（ ）
A．6B．7C．92D．272
【答案】A
【解题思路】根据重心性质可得AF=32AG，再由三点共线得出2λ3+2μ3=1(λ>0,μ>0)，根据“1”的变形技巧利用均值不等式求最值.
【解答过程】由点G为△ABC的重心，F为BC的中点知，
AF=32AG=λAD+μAE,
所以AG=2λ3AD+2μ3AE，
因为D,G,E三点共线，D,E分别是AB,AC边上一点，
所以2λ3+2μ3=1(λ>0,μ>0)，即λ+μ=32(λ>0,μ>0)，
4λ+1μ=23λ+μ4λ+1μ=235+4μλ+λμ≥235+24μλ⋅λμ=6，
当且仅当4μλ=λμ，即λ=1,μ=12时等号成立，
故选：A.
【变式2-3】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若BM=λAB+μAC，则λ+μ的最大值为（ ）
A．12B．33C．1D．32
【答案】B
【解题思路】过点M作MP//BC，设AP=kAB，AQ=kAC，得到BM=kx−1AB+kyAC，再由BM=λAB+μAC，求得λ+μ=k−1，结合圆的性质，当PM与半圆BC相切时，k最大，分别求得AB,AE的长，即可求解.
【解答过程】如图所示，过点M作MP//BC，交直线AB,AC于点P,Q，
设AM=xAP+yAQ，可得x+y=1.
设AP=kAB，AQ=kAC，则BM=AM−AB=kx−1AB+kyAC，
因为BM=λAB+μAC，所以λ+μ=kx−1+ky=k−1，
由图可知，当PM与半圆BC相切时，k最大，
又由AB=2，BE=1sinπ3=233，可得AE=2+233=6+233，
所以k=AEAB=3+33，即k最大为3+33，所以λ+μ的最大值为33.
故选：B.
【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】
【例3】（2025·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(0,2)，则|PA+PB+PC|的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【解题思路】由题意可得AC为直径，且|PA+PB+PC|=2PO+PB，当PO,PB共线且方向相同时模长最长，即可得出答案.
【解答过程】因为AB⊥BC，所以AC为直径且过原点，AC的中点为原点O，
所以由平行四边形法则可得：PA+PC=2PO，
所以|PA+PB+PC|=2PO+PB，
所以当PO,PB共线且方向相同时模长最长，即当B运动到D0,−1时，
|PA+PB+PC|=2PO+PB取得最大值为2×2+3=7.
故选：C.
【变式3-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）已知a,b,c均为单位向量，且〈a,b〉=2π3,〈a+b,c〉=π3，则|a+b+tc|(t∈R)的最小值为（ ）
A．34B．32C．94D．32
【答案】B
【解题思路】利用向量的模的计算可得|a+b+tc|=1+t+t2，结合二次函数可求最小值.
【解答过程】因为a,b,c均为单位向量，且且〈a,b〉=2π3,〈a+b,c〉=π3，
所以|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2=12+2×1×1×cs2π3+12=1，
|a+b+tc|=(a+b+tc)2=(a+b)2+2t(a+b)·c+(tc)2
=12+2t×1×1×csπ3+t2=1+t+t2=(t+12)2+34≥34=32，
当t=−12时，|a+b+tc|(t∈R)的最小值为32.
故选：B.
【变式3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形ABCD中A=45∘,AB=1,AD=2，若AP=AB+xADx∈R,则AP的最小值为（ ）
A．12B．22C．1D．2
【答案】B
【解题思路】利用平面向量的数量积的运算律，求出|AP|2的表达式，利用二次函数的最值即得.
【解答过程】由AP=AB+xAD可得|AP|2=(AB+xAD)2=|AB|2+x2|AD|2+2xAB⋅AD
=1+2x2+2x×1×2cs45∘=2x2+2x+1=2(x+12)2+12，
因x∈R，故x=−12时，|AP|min2=12，即AP的最小值为22.
故选：B．
【变式3-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆O1和圆O2外切于点P，A，B分别为圆O1和圆O2上的动点，已知圆O1和圆O2的半径都为1，且PA⋅PB=−1，则PA+PB2的最大值为（ ）
A．2B．4C．22D．23
【答案】D
【解题思路】由PA⋅PB=PO1+O1A⋅PO2+O2B=1，化简得到O1A⋅O2B=PO1⋅O2B−O1A≤O2B−O1A，两边平方化简可得：−1−3≤O1A⋅O2B≤−1+3，由PA+PB2=PO1+O1A+PO2+O2B2化简即可得到答案.
【解答过程】PA⋅PB=PO1+O1A⋅PO2+O2B=PO1⋅PO2+PO1⋅O2B+O1A⋅PO2+O1A⋅O2B
=−1+PO1⋅O2B−O1A+O1A⋅O2B=−1，
所以O1A⋅O2B=PO1⋅O2B−O1A≤O2B−O1A，
所以O1A⋅O2B2≤O2B2+O1A2−2O1A⋅O2B，即O1A⋅O2B2+2O1A⋅O2B−2≤0，
解得−1−3≤O1A⋅O2B≤−1+3.
PA+PB2=PO1+O1A+PO2+O2B2=O1A+O2B2=O1A2+O2B2+2O1A⋅O2B
=2+2O1A⋅O2B≤2+2×−1+3=23.
故选：D.
【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】
【例4】（2025·江西·模拟预测）若平面向量a、b、c满足a−2c=3b−c=1，则csa−6b,3b−c有（ ）
A．最大值32B．最小值32
C．最大值−32D．最小值−32
【答案】C
【解题思路】设a−2c=csα,sinα，3b−c=1,0，求出a−6b的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算以及基本不等式可求得csa−6b,3b−c的最值，即可得出合适的选项.
【解答过程】因为a−2c=3b−c=1，不妨设a−2c=csα,sinα，3b−c=1,0，
则a−6b=a−2c−23b−c=csα−2,sinα，
所以csa−6b,3b−c=a−6b⋅3b−ca−6b⋅3b−c=csα−2csα−22+sin2α=−14⋅8−4csα5−4csα
=−148−4csα25−4csα=−143+5−4csα25−4csα=−1495−4csα+5−4csα+6
≤−14295−4csα5−4csα+6=−124=−32，
当且仅当95−4csα=5−4csα时，即当csα=12时，等号成立，
故csa−6b,3b−c有最大值−32.
故选：C.
【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量a=−1,−2，b=1,λ，若a，b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．−∞,−12B．−12,2∪2,+∞
C．−12,+∞D．2,+∞
【答案】B
【解题思路】由a，b的夹角为钝角，可得a⋅b0，则可得−3t2≤a·b≤3t2，利用向量的夹角公式可求csθ的最小值.
【解答过程】设b=tt>0，则a=3t，因为a·b=abcsa,b=3t2csa,b，
所以−3t2≤a·b≤3t2，所以0≤(a·b)2≤9t4，
则csθ=a−b⋅a+ba−ba+b=8t210t2−2a·b⋅10t2+2a·b=8t2100t4−4(a·b)2≥45，
当(a·b)2=0时取等号，所以csθ的最小值为45．
故选：B．
【变式4-3】（2025·甘肃·一模）已知梯形ABCD中，AB // CD,AB=2BC=2CD=2AD=4，点M为边CD上的动点，若∠AMB=α，则csα的范围是（ ）
A．0,17B．−17,1C．12,17D．−17,0
【答案】D
【解题思路】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解.
【解答过程】如图所示建立平面直角坐标系，则
A−2,0,B2,0,C1,3，D−1,3，
设Mx,3−1≤x≤1，则AM=x+2,3，BM=x−2,3，
csα=x2−4+3(x+2)2+3⋅(x−2)2+3=x2−1x4−2x2+49=x2−1x2−12+48，
令x2−1=t，则−1≤t≤0，
csα=tt2+48=−t2t2+48=−1−48t2+48，
可得csα∈−17,0，
故选:D.
【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】
【例5】（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知直角梯形ABCD中，A=90∘，AB//CD，且CD=2，AB=3，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设AP=λAB+μAD（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（ ）
A．1,52B．32,52C．1,53D．32,53
【答案】C
【解题思路】过点P作BD的平行线l，并分别交AB，AD的延长线于B1,D1，过点C作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设AB1=mAB，根据共线结论可得λ+μ=m，再结合平行关系可得.
【解答过程】过点P作BD的平行线l，并分别交AB，AD的延长线于B1,D1，
过点C作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，
因P,B1,D1三点共线，则AP=tAB1+(1−t)AD1，
设AB1=mAB，AD1=mAD，则AP=mtAB+(m−mt)AD，
而AP=λAB+μAD，因此λ=mt，μ=m−mt，则得到λ+μ=m，
由题意知DC//AE，则四边形BECD为平行四边形，所以BE=DC=2，
从而m=AB1AB=AB+BB1AB=1+BB13∈1,53，
则λ+μ的取值范围是1,53．
故选：C.
【变式5-1】（2025·安徽池州·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF=xAE+yDCx>0,y>0，则2−3x4y2+1的最大值为（ ）
A．12B．34C．1D．2
【答案】A
【解题思路】设BD、AE交于O，根据题意可得△AOB∽△EOD，所以AE=32AO，进而可得AF=32xAO+yAB，根据O、F、B三点共线，可得x，y的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.
【解答过程】设BD、AE交于O，因为DE∕∕AB，
所以△AOB∽△EOD，所以AOOE=ABDE=2,
所以AO=2OE，则AE=32AO，
所以AF=xAE+yDC=32xAO+yAB，
因为O、F、B三点共线，
所以32x+y=1，即2−3x=2y，
所以2−3x4y2+1=2y4y2+1=24y+1y，
因为x>0,y>0，所以4y+1y≥24y⋅1y=4，
当且仅当4y=1y，即y=12时等号成立，此时x=13，
所以2−3x4y2+1=24y+1y≤24=12，
故选：A.
【变式5-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，点P是以A为圆心，半径为1的圆弧BC（包含B,C两个端点）上的一点，且∠CAB=2π3,AB=1，且AP=λAB+μACλ,μ∈R；

(1)若P为圆弧BC的中点，求λ和μ的值；
(2)若P在圆弧BC（包含B,C两个端点）上运动，求λ+μ的取值范围.
【答案】(1)λ=μ=1
(2)1,2
【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；
（2）由平面向量的坐标运算表示出λ,μ，然后结合三角函数的值域，即可得到结果.
【解答过程】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

由AB=1可得B1,0，
又∠CAB=2π3，由三角函数的定义可得Ccs23π,sin23π，
即C−12，32，
因为P为圆弧BC的中点，所以∠PAB=π3,又AP=1，
则Pcsπ3,sinπ3=12,32，
所以AP=12,32，AB=1,0，AC=−12,32，
由AP=λAB+μAC可得12，32=λ1,0+μ−12，32=λ−μ2，32μ，
即λ−μ2=1232μ=32，解得λ=1μ=1.
（2）设∠PAB=θ,θ∈0,23π，则Pcsθ,sinθ，所以AP=csθ,sinθ，
由AP=λAB+μAC可得csθ,sinθ=λ1,0+μ−12，32=λ−μ2,32μ，
可得λ−μ2=csθ32μ=sinθ，解得λ=csθ+sinθ3μ=2sinθ3，
所以λ+μ=3sinθ+csθ=2sinθ+π6，
因为θ∈0,23π，所以θ+π6∈π6，56π，
当θ+π6=π2时，即θ=π3时，sinθ+π6取得最大值1，此时λ+μ的最大值为2，
当θ+π6=π6或56π时，即θ=0或23π时，sinθ+π6取得最小值12，
此时λ+μ的最小值为1，
所以λ+μ的取值范围为1,2.
【变式5-3】（24-25高三上·河南·阶段练习）在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC．
(1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求PB⋅PC的取值范围；
(2)若AD上一点K满足DK=2KA，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，△AMN的面积为S1，四边形BCNM的面积为S2，且S2=kS1，求实数k的最大值．
【答案】(1)(−1,0)
(2)738
【解题思路】(1)取BC的中点E，则EB=−EC，所以PB⋅PC=PE2−EC2=PE2−1，根据PB＝1，可以得到PE∈(0,1)，进而求出结果；
(2)根据BD=2DC得到AD=13AB+23AC，利用题干已知条件进行转化，再利用三点共线可以得出19x+29y=1，然后将比值化为一个二次函数求最值问题即可求解.
【解答过程】（1）取BC的中点E，所以PB⋅PC=(PE+EB)⋅(PE+EC)，
因为E为BC的中点，所以EB=−EC，
所以PB⋅PC=(PE−EC)⋅(PE+EC)=PE2−EC2=PE2−1，
又因为PB＝1，所以PE∈(0,1)，故PE2−1∈(−1,0)，
故PB⋅PC的取值范围(−1,0).
（2）因为BD=2DC，所以AD=13AB+23AC，
因为AM=xAB，AN=yAC，DK=2KA，
所以3AK=13⋅1xAM+23⋅1yAN，也即AK=19xAM+29yAN，
因为点K,M,N三点共线，所以19x+29y=1①
因为S△AMN=12AMANsin∠BAC，所以S△AMN=xyS△ABC，
所以S△ABC=1xyS△AMN=1xyS1，又因为S△ABC=S1+S2，所以S2=(1xy−1)S1，
所以k=S2S1=(1xy−1)②，
由①得：1x=9−2y，将其代入②式可得：k=−2y2+9y−1=−2(1y−94)2+738，
所以当y=94时，k取最大值738.
【题型6 平面向量中的新定义问题】
【例6】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）定义a⊗b=a2−a⋅b.若向量a=1,22 ，向量b为单位向量，则a⊗b的取值范围是（ ）
A．0,6B．6,12C．0,6D．−1,5
【答案】B
【解题思路】根据题意，先求得a,b，再由平面向量数量积的公式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由题意可得，a=12+222=3，b=1，设=θ，
则a⊗b=a2−a⋅b=a2−a⋅bcsθ=9−3csθ，
又θ∈0,π，则csθ∈−1,1，所以a⊗b∈6,12.
故选：B.
【变式6-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：“a×b”为向量a与向量b的“外积”，若向量a与向量b的夹角为θ，它的长度规定a×b=a⋅bsinθ，现已知：在△ABC中，若AB+AC=1,CA+CB=2，则AB×AC的最大值为（ ）
A．13B．25C．12D．23
【答案】D
【解题思路】设E,F分别为BC,AB的中点，结合三角形相似推出S△ABC=43S四边形ACEF，由题意可得|AE|=12,|CF|=1，确定四边形ACEF面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果.
【解答过程】设E,F分别为BC,AB的中点，连接EF，
则EF∥AC，则△BEF∽△BCA，故S△BEF=14S△ABC,
则S四边形ACEF=34S△ABC，故S△ABC=43S四边形ACEF，
又因为AB+AC=2AE=1,CA+CB=2CF=2，即AE=12,CF=1，
当AE⊥CF时，四边形ACEF面积最大，最大值为12×12×1=14，
故△ABC的面积的最大值为43×14=13，
且AB×AC=AB⋅ACsin∠BAC=2S△ABC，所以AB×AC的最大值为2×13=23.
故选：D.
【变式6-2】（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）定义：已知两个非零向量a与b的夹角为θ.我们把数量absinθ叫做向量a与b的叉乘a×b的模，记作a×b，即a×b=absinθ.
(1)若向量a=2,4，b=−3,1，求a×b；
(2)若平行四边形ABCD的面积为4，求AB×AD；
(3)若a×b=3，a⋅b=1，求a+2b的最小值.
【答案】(1)14
(2)4
(3)23
【解题思路】（1）利用向量数量积的运算求得a,b,csθ，从而利用新定义即可得解；
（2）利用平行四边形的面积公式，结合新定义即可得解；
（3）利用新定义与向量数量积的定义求得a,b的夹角，从而得到a⋅b，再利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解.
【解答过程】（1）因为a=2,4，b=−3,1，
则a⋅b=2×−3+4×1=−2，a=4+16=25,b=9+1=10
所以csθ=a⋅b|a||b|=−225×10=−210，
因为θ是向量a,b的夹角，所以θ∈[0,π]，
因此sinθ=1−cs2θ=7210，故a×b=absinθ=25×10×7210=14.
（2）因为平行四边形ABCD的面积为4，
所以AB⋅ADsin∠BAD=4，所以AB×AD=4.
（3）因为a×b=3,a⋅b=1，
所以a⋅bsina,b=3,a⋅bcsa,b=1，所以tana,b=3，
因为a,b∈0,π，所以a,b=π3，所以a⋅b=2，
所以a+2b2=a2+4a⋅b+4b2≥2a2×4b2+4=12，
当且仅当a2=4b2，即a=2b=2时等号成立，所以a+2b的最小值为23.
【变式6-3】（24-25高一下·河北承德·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(00，即OB=m,OC=n，
则BC=m2+n2−2mncsπ3=1，所以m2+n2−mn=1，
E，F分别为BD,BC的中点，
则OE=12(OB+OD)=12(m+738n,7338n)，OF=12(OB+OC)=12(m+12n,32n)
OE⋅OF=14[(m+738n)(m+12n)+7338n⋅32n] =14(m2+1319mn+719n2) =119(8m2+5n2)−1376，
△OBC中，由正弦定理BCsinπ3=OBsin∠BCO=OCsin∠CBO，
设∠BCO=θ，则sin∠CBO=sin(θ+π3),θ∈(0,2π3)，
所以m=23sinθ，n=23sin(θ+π3)，
8m2+5n2=323sin2θ+203sin2(θ+π3)=323×1−cs2θ2+203×1−cs(2θ+2π3)2
=23[8(1−cs2θ)+5(1+12cs2θ+32sin2θ)]
=23(13+532sin2θ−112cs2θ)=23(13+7sin(2θ−φ)]，其中φ为锐角，且tanφ=1153，
因为θ∈(0,2π3)，则−φPA
C．∠CPD的取值范围是(π6,π3]
D．PC的取值范围是[2,23]
【答案】AC
【解题思路】根据题中向量等式，可推得BP=λAF,λ∈R，所以P在正六边形ABCDEF的对角线BE上运动，，由此判断A选项，根据正六边形的轴对称性，可判断B，观察图形，结合解三角形的知识加以计算，可判断C、D.
【解答过程】由AP=AB+λAF,λ∈R可得AP−AB=λAF,λ∈R，即BP=λAF,λ∈R，
所以P在正六边形ABCDEF的对角线BE上运动，
对于A，因为BE//CD，即点P到CD的距离d为定值，
所以△PCD的面积S=12CD⋅d为定值，A正确；
对于B，因为正六边形ABCDEF关于直线BE对称，所以不论P在何处，总有PC=PA，
即不存在λ，使得PC>PA，B错误；
对于C，根据图形的对称性，当P为BE中点时，∠CPD=π3达到最大值，
当P与B或E重合时，∠CPD=π6达到最小值，
故∠CPD的取值范围是(π6,π3]，C正确；
对于D，因为正六边形边长为2，所以平行线BE，CD的距离d=3，
当P与点C在BE上的射影重合时，PC有最小值3，
可见PC的取值范围不是[2,23]，D错误；
故选：AC.
11．（24-25高一下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）

A．若函数fx=AD−xAB，则函数fx的最小值为2+2
B．PA⋅PB的最大值为12+82
C．AG在AB方向上的投影向量为−AB2
D．OA+OC=3OB
【答案】AB
【解题思路】以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算向量坐标，求出函数解析式，利用二次函数求出最值，A正确；取AB的中点M，得到PA⋅PB=PM2−MA2=PM2−14，求出PM2的最大值，从而得到PA⋅PB的最大值，B正确；利用数量积的几何意义求解投影向量，C错误；计算向量坐标即可判断D错误，得到答案.
【解答过程】如图所示：以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系，
设OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a，
在△OAB中，根据余弦定理可得，4=a2+a2−2a2×csπ4，整理得到a2=4+22，
A0,−a,B22a,−22a,Ca,0,D22a,22a,E0,a,F−22a,22a，
G−a,0，H−22a,−22a，设Px0,y0，
对选项A：AD=22a,22a+a，AB=22a,a−22a，
所以AD−xAB=(22a(1−x),22a(1+x)+a(1−x))，
所以fx=AD−xAB=[22a(1−x)]2+[22a(1+x)+a(1−x)]2
=(2+2)a2+(2−2)a2x2−2a2x=4x2−(8+42)x+12+82
=2x2−(2+2)x+3+22，
所以当x=1+22时，函数fx有最小值为2+2，A正确；
对选项B：取AB的中点M，则PA+PB=2PM，PA−PB=BA=2MA，
则PA+PB2=4PM2，PA−PB2=4MA2，
两式相减得：PA⋅PB=PM2−MA2=PM2−1，
由正八边形的对称性知，当点P与点E或F重合时，PM2最大，
又M24a,−12a−24a,E0,a，所以EM=24a,−32a−24a，
所以EM2=EM2=(24a)2+(−32a−24a)2=10+324a2=13+82，
所以PA⋅PB的最大值为EM2−1=13+82−1=12+82，B正确；
对选项C：AG=−a,a，AB=22a,a−22a，
所以AG⋅ABAB2=−22a2+a2−22a212a2+a−22a2=−22，即投影向量为−22AB，C错误；
对选项D：因为OA=0,−a，OC=a,0，所以OA+OC=a,−a，
又3OB=62a,−62a，所以OA+OC≠3OB，D错误.
故选：AB.
三、填空题
12．（2024·北京石景山·一模）已知向量a,b满足b=2，a与b的夹角为π6，则当实数λ变化时，b−λa的最小值为 ．
【答案】1
【解题思路】根据题意利用平面向量的几何特征，可知当b−λa⊥a时，b−λa取得最小值.
【解答过程】如图所示：

设OA=a,OB=b，
当b−λa⊥a时，b−λa取得最小值，
过点B作BD⊥OA于点D，即可得b−λa的最小值为BD，
又a与b的夹角为π6，即∠AOB=π6，易知OB=2，
所以BD=OBsinπ6=1.
即b−λa的最小值为1.
故答案为：1.
13．（2024·全国·模拟预测）已知等边△ABC的外接圆O的面积为36π，动点M在圆O上，若MA⋅MB+MB⋅MC≤λ，则实数λ的取值范围为 ．
【答案】72,+∞
【解题思路】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长AB，取线段AC的中点N，取线段BN的中点P，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得MA⋅MB+MB⋅MC=2MB⋅MN，且MB⋅MN= MP2−14BN2,再由三角形三边关系列不等式得结论.
【解答过程】依题意，设△ABC的外接圆的半径为R，则πR2=36π，故R=6，
在等边△ABC中由正弦定理得ABsin60∘=12，则AB=63；
取线段AC的中点N，连接BN，则BN=32AB=9，
所以MA⋅MB+MB⋅MC=MB⋅MA+MC=2MB⋅MN；
取线段BN的中点P，连接BP，则O在线段BN上，且ON=13BN=3，所以OP=NP−ON=92−3=32，
则MB⋅MN= MP2−14BN2,又MP2=MP2≤MO+OP2=6+322=2254，
故MB⋅MN≤2254−814=36，则λ≥72．
故答案为：72,+∞.
14．（2025·江苏·三模）设Ox、Oy是平面内相交成α00，则E1,y0，C2,y0，F3,y02，
∴AC=2,y0，EF=2,−y02，
由AC⋅EF=2，则4−y022=2，即y02=4，
又y0>0，∴y0=2，∴AD=2，
E(1,2)，F(3,1)，AE=(1,2)，AF=(3,1)，
∴cs∠EAF=AE⋅AFAEAF=55⋅10=12=22，
又∠EAF为锐角，∴∠EAF=π4；
（2）设Px0,00≤x0≤4，∴PE=1−x0,2,PE=1−x0,2，
∴PE+PF=4−2x0,3，PA=−x0,0，
∴(PE+PF)⋅PA=4−2x0,3⋅−x0,0=4−2x0⋅−x0=2x02−4x0
=2x0−12−1=2x0−12−2，
∵0≤x0≤4，∴(PE+PF)⋅PA∈[−2,16].
16．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）对任意非零向量m，n，定义m⊗n=m⋅nn2．
(1)若向量a=3,2，b=−2,3，求a⊗a+2b的值；
(2)若单位向量a，b满足a+b⊗2a−b=14，求向量a与a−b的夹角的余弦值．
【答案】(1)15
(2)74
【解题思路】（1）先求出向量a+2b的坐标，再根据题目所给定义求出a⊗a+2b的值；
（2）根据所给条件求出a⋅b的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可.
【解答过程】（1）因为向量a=3,2，b=−2,3，所以a+2b=−1,8，
a+2b2=1+64=65，
则a⊗a+2b=a⋅a+2ba+2b2=3,2⋅−1,865=−3+1665=15；
（2）a+b⊗2a−b=a+b⋅2a−b2a−b2=2a2+a⋅b−b24a2−4a⋅b+b2
=1+a⋅b5−4a⋅b=14，解得a⋅b=18，
所以csa,a−b=a⋅a−ba⋅a−b=a2−a⋅ba2−2a⋅b+b2=1−182−2×18=74.
17．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(1,0)，(−1,0)，OC=1，且∠AOC=θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ=3π4，设D为线段OA上的动点，求OC+OD的最小值；
(2)若θ∈0,π2，向量m=BC，向量n=(1−csθ,sinθ−2csθ)，求m⋅n的最小值.
【答案】(1)22
(2)1−2
【解题思路】（1）设出D点坐标，求得|OC+OD|的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.
（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得m⋅n的最小值.
【解答过程】（1）已知点A的坐标为(1,0)，D为线段OA上的动点，设Dt,00≤t≤1，
因为OC=1，且∠AOC=θ，θ=3π4，
则C−22,22，
所以OC+OD=−22+t,22，
所以OC+OD2=t−222+12，
所以当t=22∈0,1时，OC+OD最小，最小值为22.
（2）因为OC=1，且∠AOC=θ，B的坐标为(−1,0)，
则Ccsθ,sinθ，则m=BC=csθ+1,sinθ，
又n=1−csθ,sinθ−2csθ，
则m⋅n=1−cs2θ+sin2θ−2sinθcsθ，
=1−cs2θ−sin2θ=1−2sin2θ+π4，
因为θ∈0,π2，所以π4≤2θ+π4≤5π4，
所以当2θ+π4=π2，即θ=π8时，sin2θ+π4取得最大值1，
则m⋅n取得最小值为1−2.
18．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，AB⋅AC=−1，CP=λCB0≤λ≤1，Q为线段CA延长线上的一点，且AQ=tACt