2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点28直线与圆的综合(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点28直线与圆的综合(学生版+解析)，共28页。

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\l "_Tc5995" 【题型1 直线与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc5995 \h 2
\l "_Tc17620" 【题型2 圆的弦长与中点弦问题】 PAGEREF _Tc17620 \h 4
\l "_Tc24507" 【题型3 圆的切线及切线方程问题】 PAGEREF _Tc24507 \h 6
\l "_Tc3608" 【题型4 直线与圆中的面积问题】 PAGEREF _Tc3608 \h 8
\l "_Tc3194" 【题型5 直线与圆的位置关系求距离的最值】 PAGEREF _Tc3194 \h 11
\l "_Tc8404" 【题型6 阿波罗尼斯圆】 PAGEREF _Tc8404 \h 13
\l "_Tc25091" 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 PAGEREF _Tc25091 \h 16
\l "_Tc1727" 【题型8 直线与圆中的向量问题】 PAGEREF _Tc1727 \h 21
1、直线与圆的综合
直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、切线、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.
知识点1 直线与圆相交时的弦长求法
1．圆的弦长的求法：
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
知识点2 圆的切线及切线方程问题
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.
知识点3 阿波罗尼斯圆
1．阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.
知识点4 直线与圆中的最值与范围问题的解题策略
1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法
直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【题型1 直线与圆的位置关系】
【例1】（2025·北京海淀·三模）已知圆C:x−12+y−22=25，直线l:mx−y−2m=0，则直线l与圆C的公共点个数为（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．与m有关，不能确定
【答案】C
【解题思路】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数.
【解答过程】由直线l:(x−2)m−y=0恒过定点A2,0，而2−12+0−22=50”是“直线x−ay+2a−1=0(a∈R)与圆x2+y2=1相交”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再集合的包含关系得条件关系..
【解答过程】由题知，圆的圆心为0,0，半径为1，
设圆心到直线x−ay+2a−1=0 a∈R的距离为d
则d=2a−11+−a20的距离为2，则m的取值范围是（ ）
A．32,72B．32+1,72+1
C．22,72D．22+1,72+1
【答案】B
【解题思路】求得圆心到直线的距离d，由r−2