2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点15解三角形的最值和范围问题(学生版+解析)

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\l "_Tc27901" 【题型1 三角形（四边形）面积的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc27901 \h 2
\l "_Tc1158" 【题型2 三角形边长的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc1158 \h 2
\l "_Tc9199" 【题型3 三角形周长的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc9199 \h 3
\l "_Tc27163" 【题型4 三角形的角的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc27163 \h 4
\l "_Tc26385" 【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】 PAGEREF _Tc26385 \h 5
\l "_Tc2992" 【题型6 转化为三角函数求最值（范围）】 PAGEREF _Tc2992 \h 6
\l "_Tc28026" 【题型7 转化为其他函数求最值（范围）】 PAGEREF _Tc28026 \h 6
\l "_Tc12949" 【题型8 “坐标法”求最值（范围）】 PAGEREF _Tc12949 \h 7
\l "_Tc12497" 【题型9 与平面向量有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc12497 \h 8
1、解三角形的最值和范围问题
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解.
知识点 三角形中的最值和范围问题
1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：
(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；
(2)利用基本不等式求最值（范围）；
(3)转化为三角函数求最值（范围）；
(4)转化为其他函数求最值（范围）；
(5)坐标法求最值（范围）.
2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：
(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．
(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略
三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.
(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略
“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．
【题型1 三角形（四边形）面积的最值或范围问题】
【例1】（2025·江西萍乡·二模）在△ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若a=2, 5sinA1+csA+csAsinA=3，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．3B．32C．3D．23
【变式1-1】（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE=3,DF=2,∠DEF=90°．则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．733B．23C．73D．63
【变式1-2】（2024·重庆·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c，若a=1,cb+bc=1+bcbc.
(1)求A；
(2)求△ABC面积的最大值.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcsA=3−acsB，2asinC=3.
(1)求A.
(2)求△ABC面积的取值范围.
【题型2 三角形边长的最值或范围问题】
【例2】（2025·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，bcsA=1+csB，则边b的取值范围为（ ）
A．0,1B．1,2C．0,2D．2,3
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2−b2=bc，则ba+c的取值范围是（ ）
A．33,22B．2−3,1C．2−3,2−1D．2+1,3+2
【变式2-2】（2025·山东德州·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sinB=sinA+csAtanC．
(1)求C；
(2)若2(a+b)=c2，求△ABC的边c的最大值．
【变式2-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且3bcsB=acsC+ccsA．
(1)求tanB；
(2)若A∈π4,π3，且a=1，求b+c的取值范围．
【题型3 三角形周长的最值或范围问题】
【例3】（2025·江西赣州·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=2A，a=2，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A．4+22,6+23B．4+22,6+23
C．4+22,6+23D．4+22,6+23
【变式3-1】（24-25高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且3b=2asinB，a=3，则三角形ABC的周长的取值范围是（ ）
A．3−3,33 B．3−3,33 C．3+3,33 D．3+3,33
【变式3-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边，且acsC+3asinC−b−c=0.
(1)求A；
(2)若a=3；求△ABC周长的取值范围.
【变式3-3】（2025·湖南永州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=1，asinA−sinCa−b=sin(A+C)，a≠b.
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.
【题型4 三角形的角的最值或范围问题】
【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=3,b=2，则B+C的取值范围是（ ）
A．2π3,5π6B．2π3,π
C．5π6,πD．π2,5π6
【变式4-1】（2025·河南许昌·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsA+bcsB=8ccsC，则tanB+tanC的最小值是（ ）
A．32B．332C．94D．33
【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=1，b=2，则B+C的取值范围是（ ）
A．2π3,5π6B．2π3,πC．5π6,πD．π2,5π6
【变式4-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a−bb=sinCsinA+sinB，则tanAtanB的取值范围为（ ）
A．0,1B．1,3C．1,+∞D．3,+∞
【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】
【例5】（24-25高一下·湖北武汉·期中）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式5-1】（24-25高三下·广东·开学考试）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinBcsC+3csA+csBsinC=0，AD为∠BAC的平分线且与BC交于点D，AD=3，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．23B．33C．43D．63
【变式5-2】（24-25高一下·重庆九龙坡·阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bsinA+π6=a+c．
(1)求B的大小；
(2)若点M在线段AC上，∠ABM=∠CBM，BM=4，求2a+c的最小值．
【变式5-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知a、b、c分别为斜△ABC中角A、B、C的对边，2asinA−sinBcsC=asinA+bsinB−csinC．
(1)求sinBsinA；
(2)已知△ABC的面积为15b2csC，求c+4a的最小值．
【题型6 转化为三角函数求最值（范围）】
【例6】（2024·海南省直辖县级单位·一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=60°，则b的取值范围是（ ）
A．0,6B．0,23C．3,23D．3,6
【变式6-1】（24-25高三上·河北沧州·期中）在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知2b−ccsC=3csA且a=3，则b+c的取值范围为（ ）
A．(3, 6)B．(3, 6]C．(33, 6]D．(33, 6)
【变式6-2】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acsC+3asinC−b−c=0.
(1)求A；
(2)若△ABC是锐角三角形，c=4，求△ABC面积的取值范围.
【变式6-3】（2025·安徽马鞍山·一模）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bcsB=2sin2B.
(1)求A；
(2)求3−1b+2c的最大值.
【题型7 转化为其他函数求最值（范围）】
【例7】（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知c=6,sinBsinA=6a−bb，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．192B．212C．12D．15
【变式7-1】（24-25高一下·湖南郴州·期末）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2=bcsinA+b−c2，则2b2+c2bc的取值范围为（ ）
A．4315,5915B．22,4315C．22,5915D．［22,+∞）
【变式7-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足csB−csAcsA=2c−(b+a)a．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形且a=2，求a2+b2c2的取值范围．
【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知AD是∠BAC的角平分线，且AD=bcb+c．
(1)求角A的值；
(2)若a=1，求AD长的最大值．
【题型8 “坐标法”求最值（范围）】
【例8】（2025·北京朝阳·一模）在△ABC中，CA=CB=5，AB=4，点M为△ABC所在平面内一点且AM⋅BC=0，则AM⋅CM的最小值为（ ）
A．0B．−1625C．−45D．−165
【变式8-1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形ABCD中， ∠ADC=60°，E，F分别为边AB，BC的中点，若DE⋅DF=13，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．2B．23C．4D．43
【变式8-2】（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（ ）
A．8,12B．82,12
C．8,82D．4,82
【变式8-3】（2025·山西晋城·模拟预测）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，D是边BC的中点，AD=1.
(1)若A=π3，求△ABC面积的最大值；
(2)若△ABC的面积为23且∠ADB=π3 ，求sinB的值;
(3)若BC=4，求cs∠BAC的取值范围.
【题型9 与平面向量有关的最值（范围）问题】
【例9】（2024·湖北·一模）如图，在△ABC中，∠BAC=120∘,AB=2,AC=1,D是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC边上的动点，则AE⋅CD的取值范围为（ ）

A．−77,103B．−77,73C．−43,103D．−43,73
【变式9-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知a+csinA−sinC+bsinB=asinB,b+2a=4,CA=3CD−2CB，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B．223C．3D．233
【变式9-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a，b，c满足a=1，b=3，a⋅b=−32，a−c,b−c=30°，则c的最大值等于（ ）
A．27B．7C．23D．33
【变式9-3】（2025·重庆九龙坡·三模）在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 a+csinA−sinC+bsinB=asinB,b+2a=4 ，若 CA+2CB=3CD ，则 CD 的最小值为（ ）
A．23B．43C．223D．233
一、单选题
1．（2025·广东佛山·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A＝120∘，且A的内角平分线AD＝3，则△ABC面积的最小值为（ ）
A．2B．23C．3D．33
2．（2025·山东聊城·二模）△ABC中，BC=23,A=60°，则BA⋅BC的最大值为（ ）
A．6B．3+23C．12D．6+43
3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在△ABC中，已知B=60∘，最大边与最小边的比为3+12，则△ABC的最大角为（ ）
A．60∘B．75∘C．90∘D．105∘
4．（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A,B∈0,π2，c=asinB，则tanC的取值范围是（ ）
A．−43,−1B．−43,−1C．1,43D．1,43
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=π3,AD=DB,P为CD上一点，且满足AP=mAC+13AB，若S△ABC=23，则AP的最小值是（ ）
A．2B．4C．263D．83
6．（2025·浙江·三模）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bsinB+C2=5asinA+C，则cb的取值范围为（ ）
A．25,43B．25,53C．35,43D．35,53
7．（2025·全国·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知∠BAC=5π6，边BC上一点D使得AD=2，且∠BAD=π6，则3b+c的最小值为（ ）
A．23B．43C．83D．8
8．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2,B=2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A．2,10B．2+22,10 C．2+22,4+23 D．4+23,10
二、多选题
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）记△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b2+c2=2a2，则下列选项正确的是（ ）
A．2bccsA=a2B．角A的最大值为π3
C．tanA=tanBtanCtanB+tanCD．abc2的取值范围是33−5，33+5
10．（2025·四川·三模）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=4,sinB+sinC=2sinA，则（ ）
A．△ABC的周长为12B．角A的最大值为π3
C．△ABC的面积最小值为23D．△ABC的面积最大值为43
11．（2025·安徽·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，则下列说法正确的是（ ）
A．4b+c的最小值为63
B．BDCD=sinBsinC
C．1BD+1CD的最大值是3
D．△ABC的周长的取值范围是43,+∞
三、填空题
12．（2025·湖北武汉·三模）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A=π3,a≥b，则b2+c2bc的取值范围为 .
13．（2025·福建厦门·三模）锐角△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，满足a2=bb+c，a+b=3，则△ABC的周长的取值范围为 .
14．（2025·河北衡水·模拟预测）已知△ABC为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ．
四、解答题
15．（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c且满足csinAb−acsC=3．
(1)求A的大小；
(2)角A的平分线AD与边BC相交于点D，且AD=3，求2b+3c的最小值．
16．（2025·山东泰安·模拟预测）已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c，3acsB=bsinA.
(1)求角B的大小.
(2)设点D是AC的中点，若BD=3，求a+c的取值范围.
17．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AD=2，∠ACD=30°，∠CAD=45°.

(1)求AC的长.
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.
18．（2025·福建泉州·模拟预测）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acsB−C=23csinB−acsA.
(1)求A；
(2)若a=23，求△ABC的面积与周长的比值的最大值.
19．（2025·江苏南通·三模）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，满足2S=b2−a2sinB．
(1)求证：B=2A；
(2)求2acsB−3b2a的取值范围．