2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点26立体几何中的探索性及新定义问题(学生版+解析)

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\l "_Tc28455" 【题型1 线、面平行的探索性问题】 PAGEREF _Tc28455 \h 2
\l "_Tc9307" 【题型2 线、面垂直的探索性问题】 PAGEREF _Tc9307 \h 4
\l "_Tc29285" 【题型3 与空间角有关的探索性问题】 PAGEREF _Tc29285 \h 6
\l "_Tc20999" 【题型4 与空间距离有关的探索性问题】 PAGEREF _Tc20999 \h 8
\l "_Tc24015" 【题型5 立体几何新定义】 PAGEREF _Tc24015 \h 10
1、立体几何中的探索性及新定义问题
空间向量与立体几何是历年高考的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，立体几何中的探索性问题是近年命题的趋势方向，这类问题以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角、空间距离存在的条件，主要以解答题的形式考查，计算量大，难度较高；备考时需强化坐标系建立技巧、法向量求解步骤及空间角公式的熟练应用，同时注重向量运算的严谨性，避免因计算失误失分.
立体几何中的新定义问题也是近年命题的一个趋势，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点和性质，按新定义的要求进行求解，使得问题得以解决.
知识点1 立体几何中的探索性问题
1．与空间向量有关的探索性问题：
在立体几何中，与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角、二面角或点线面距离满足特定要求时的存在性问题．
2．立体几何中的探索性问题的求解策略：
解决这两类探索性问题的解题策略是：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”.
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
知识点2 立体几何中的新定义问题
1．空间向量与立体几何中的新定义问题
(1)空间向量与立体几何中的新定义问题，核心是用已知空间向量工具（如坐标运算、数量积、法向量）翻译新定义，再结合立体几何性质求解.
(2)常见新定义类型
①位置关系类：如定义“斜垂”（直线与平面所成角为45°）、“共面向量”新判定规则等；
②度量计算类：如定义“空间两点的新距离”、“二面角的新度量”（如用两个法向量的正弦值表示）等；
③概念拓展类：如将平面中的“中点”拓展为空间中的“重心”、平面向量“投影”拓展为空间向量“投影长度”等.
2．立体几何中新定义问题的解题策略
核心解题策略（四步走）：
第一步：精读定义，拆解内涵：逐句分析新定义的数学描述，明确其涉及的空间元素（点、线、面）和数量关系（如等式、不等关系），避免漏看条件；
第二步：建立坐标系，转化为向量语言：根据几何体特征（如长方体、正棱锥）建立空间直角坐标系，将点、线（方向向量）、面（法向量）用坐标表示，再把新定义翻译成坐标运算公式；
第三步：利用向量工具，求解核心问题：根据翻译后的向量关系，结合立体几何常见考点（如求距离、夹角、证明平行/垂直）计算或证明，此时完全套用常规空间向量解题方法；
第四步：验证结果，贴合定义：求解后需检查结果是否符合新定义的约束条件（如定义域、特殊情况），避免因忽略新定义细节导致错解,
【题型1 线、面平行的探索性问题】
【例1】（2025·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE//CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)在线段PE上是否存在点M，使得DM//平面PBC?若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
【变式1-1】（2024·贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AB=AD=22,CB=CD=4,AA1=4，∠BCD=60°，M,M1分别是线段BC,B1C1的中点.
(1)证明:BC⊥平面MM1D；
(2)求直线BC与平面BDA1所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点P，使得PB1//平面BDA1，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由.
【变式1-2】（2025·天津河东·二模）在多面体ABC−DEF中（如图所示），底面正三角形ABC边长为2，EA⊥底面ABC，AE//BF//CD，CD=3，AE=2，BF=1.
(1)求AD与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点A到平面CEF的距离；
(3)AB的中点为G，线段CD上是否存在点P使得PG与平面DEF平行，若存在求PC长度，若不存在说明理由.
【变式1-3】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2.

(1)求证：平面A1C1B//平面ACD1.（使用向量方法）
(2)线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
【题型2 线、面垂直的探索性问题】
【例2】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=3，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别是棱BB1,DD1的中点.
(1)在底面ABCD内是否存在点M，满足C1M⊥平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由；
(2)设平面CPQ交棱AA1于点T，平面CPTQ将四棱台ABCD−A1B1C1D1分成上，下两部分，求CT与平面CDD1C1所成角的正弦值.
【变式2-1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形AECD是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将△BCE沿BC翻折至△BCP，使得PD=3，如图2所示.
(1)求证：PD⊥BC；
(2)求直线BD与平面BCP所成角的正弦值；
(3)试问在△ABP内是否存在一点N，使得CN⊥平面ABP？若存在，求BN的长度；若不存在，请说明理由.
【变式2-2】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别是棱BB1、DD1的中点．

(1)在底面A1B1C1D1内是否存在点M，满足AM⊥平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由；
(2)设平面CPQ交棱AA1于点T，平面CPTQ将四棱台ABCD−A1B1C1D1，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比．
【变式2-3】（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60∘,DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．
(1)求证：A1E⊥平面BCDE；
(2)求点B到平面A1CD的距离；
(3)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求BPBD的值；若不存在，说明理由．
【题型3 与空间角有关的探索性问题】
【例3】（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=BB1,E,F分别为BC,BB1的中点，且AF⊥EC1.
(1)证明：AC⊥平面BCC1B1.
(2)若AC=BC，在线段EC1上是否存在点M，使平面AMA1与平面AME夹角的余弦值为310234？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
【变式3-1】（24-25高三下·广东·开学考试）如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAB是等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，BC//AD，AD=2AB=2BC，PC=2AB.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD.
(2)线段PC上是否存在点E，使得直线BE与平面PCD所成角的正弦值为35？若存在，求PEEC的值；若不存在，请说明理由.
【变式3-2】（24-25高二上·北京·期中）在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，DC=AD=1，AB=2，∠PAD=45°，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足CF⋅BD=0.
(1)求证：DE//平面PBC；
(2)求二面角F−PC−B的余弦值；
(3)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的正弦值是33，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.
【变式3-3】（2025·广西·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，∠BAD=120°，四边形ABCD是菱形，PB=2AB=2PA，E是棱PD上的动点，且PE=λPD.

(1)证明：PA⊥平面ABCD.
(2)是否存在实数λ，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是21919？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
【题型4 与空间距离有关的探索性问题】
【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等腰直角三角形，其中∠EBC=π2，且AB=BC=2CD=4．
(1)设线段BE中点为F，证明：CF∥平面ADE；
(2)在线段AB上是否存在点M，使得点B到平面CEM的距离等于22，如果存在，求MB的长．
【变式4-1】（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.已知E，F分别为PA，PC的中点，平面DEF与棱PB交于点G.
(1)求证：DE⊥平面PAB；
(2)求平面CDG与平面ABCD的夹角的余弦值；
(3)判断线段EF上是否存在一点H，使得点H到平面CDG的距离为510？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式4-2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为8，E，F分别为所在边的中点，O为线段EF的中点，现将三角形ABC沿直线EF折起，使得二面角A−EF−B为直二面角．
(1)求线段AC的长度；
(2)求直线BE与平面ABC所成角的正弦值；
(3)棱AC上是否存在异于端点的点M，使得点A到平面OBM的距离为43311．若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB ∥ DC,AB=12CD=AD=1,M为棱PC的中点.
(1)证明：BM //平面PAD；
(2)若PC=5,PD=1，
（i）求二面角P−BM−D的余弦值；
（ii）在棱PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是5618？若存在，求出PQ的长；若不存在，说明理由.
【题型5 立体几何新定义】
【例5】（24-25高一下·山西运城·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为ΦP=1−12π∠Q1PQ2+Q2PQ3+⋯+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1，其中Qii=1,2,⋯,k,k≥3为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3,⋯，平面Qk−1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面.如图，在三棱锥P−ABC中.
(1)求三棱锥P−ABC在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2，三棱锥P−ABC在顶点C处的离散曲率为38，求点A到平面PBC的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为306，求BQ的长度.
【变式5-1】（2025·山东青岛·模拟预测）在空间直角坐标系O−xyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C，D∈R，A2+B2+C2≠0，且n=A,B,C为该平面的法向量.已知集合P=x,y,zx≤1,y≤1,z∣≤1，Q=x,y,zx+y+z∣≤2，T=x,y,zx+y≤2,y+z≤2,z+x∣≤2.
(1)设集合M=x,y,z∣z=0，记P∩M中所有点构成的图形的面积为S1，Q∩M中所有点构成的图形的面积为S2，求S1和S2的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1，P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V2，求V1和V2的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积V3的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
【变式5-2】（2025高三·全国·专题练习）空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，i,j,k分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量n=xi+yj+zk，则n与有序实数组x,y,z相对应，称向量n的斜坐标为x,y,z，记作n=x,y,z．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，AB⊥AD，∠BAA1=∠DAA1=π3．以AB,AD,AA1为基底建立“空间斜坐标系”．
(1)若点E在平面ABCD内，且A1E⊥平面ABCD，求A1E的斜坐标；
(2)若AF的斜坐标为1,0,1，求平面AD1F与平面ABCD的夹角的余弦值．
【变式5-3】（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：在四面体P−ABC中，取其异面的两条棱的中点连线称为P−ABC的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.

(1)如左图，在四面体P−ABC中，Mii=1,2,...,6分别为所在棱的中点，证明：P−ABC的三条内棱交于一点.
(2)同左图，若P−ABC为垂棱四面体，M1M2=2,M3M4=4,M5M6=6，求直线PB与平面ABC所成角的正弦值.
(3)如右图，在空间直角坐标系中，xOy平面内有椭圆C：x2+y22=1，F1为其下焦点，经过F1的直线y=kx+m与C交于A、B两点，P为xOy平面下方一点，若P−ABO为垂棱四面体，则其外接球表面积S是k的函数Sk，求Sk的定义域与最小值.
一、单选题
1．（2025·山东临沂·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，C1D的中点，则（ ）
A．直线MN与A1C所成角的余弦值为63B．平面BMN与平面BC1D1夹角的余弦值为1010
C．在BC1上存在点Q，使得B1Q⊥BD1D．在B1D上存在点P，使得PA//平面BMN
2．（2025·河北保定·二模）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，则其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π．若正四棱锥S−ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为2，则四棱锥S−ABCD在顶点S处的曲率为（ ）
A．π2B．πC．3π4D．2π3
3．（24-25高三上·北京·阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD−AB1C1D1中，点E,F分别为棱AD,BB1的中点.点P为正方体表面上的动点，满足A1P⊥EF.给出下列四个结论，不正确的是（ ）
A．存在点P，使得A1P=23
B．存在点P，使得A1P⊥平面ADF
C．存在点P，使得DP//EF
D．存在点P，使得B1P=DP
4．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．EF ∥平面A1BCD1
B．存在点E，使EF⊥平面BB1C1C
C．存在点E，使EF∥A1C
D．DB1⊥EF
5．（2025·北京怀柔·模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）

A．存在点E，使EF//平面ABCD
B．三棱锥B1−ACE的体积随动点E变化而变化
C．直线EF与AD1所成的角不可能等于30°
D．存在点E，使EF⊥平面AB1C1D
6．（2025·北京朝阳·二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得PQ//BDB．存在点Q，使得PQ⊥平面AB1C1D
C．三棱锥Q−APD的体积是定值D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为π6
7．（2024·北京顺义·二模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段BC1上的动点，有下列四个说法：
①存在点P，使得D1P//平面A1DB；
②对于任意点P，四棱锥P−A1ADD1体积为定值；
③存在点P，使得A1P⊥平面C1DB；
④对于任意点P，△A1DP都是锐角三角形.
其中，不正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
8．（24-25高二上·湖北武汉·期中）在正四面体D−ABC中，点E在棱AB上，满足AE=2EB，点F为线段AC上的动点，则（ ）
A．存在某个位置，使得DE⊥BF
B．存在某个位置，使得∠FDB=π4
C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为714
D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为32
二、多选题
9．（2025·山东青岛·一模）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E为AC的中点，点P满足BP=λBC，λ∈[0,1]，则（ ）
A．当λ=12时，EP//ABB．当λ=12时，EP⊥A1C1
C．存在λ，使得A1E//C1PD．存在λ，使得EP⊥平面A1ACC1
10．（2024·山东·二模）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2,AB⊥BC,P,Q分别为棱BC,A1C1上的动点，且BP=λBC,C1Q=λC1A1,λ∈(0,1)，则（ ）
A．存在λ使得PQ⊥A1B
B．存在λ使得PQ//平面ABB1A1
C．若BB1,B1C1长度为定值，则λ=12时三棱锥B−A1PQ体积最大
D．当λ=12时，直线PQ与A1B所成角的余弦值的最小值为223
11．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，点M是正方体ABCD−A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上的一个动点，则（ ）
A．点M存在无数个位置满足CM⊥AD1
B．在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30∘
C．若正方体的棱长为1，三棱锥B−C1MD的体积最大值为13
D．点M存在无数个位置满足到直线AD和直线C1D1的距离相等
三、填空题
12．（2024·北京海淀·二模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱AB上的动点，DQ⊥平面D1PC,Q为垂足.给出下列四个结论：
①D1Q=CQ；
②线段DQ的长随线段AP的长增大而增大；
③存在点P，使得AQ⊥BQ；
④存在点P，使得PQ //平面D1DA.
其中所有正确结论的序号是 .
13．（2025·北京大兴·三模）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1，中，M，N分别为线段A1D1，BC1上的动点.给出下列四个结论:

①存在点M，存在点N，满足MN∥平面ABB1A1；
②任意点M，存在点N，满足MN∥平面ABB1A1；
③任意点M，存在点N，满足MN⊥BC1；
④任意点N，存在点M，满足MN⊥BC1.
其中所有正确结论的序号是 .
14．（24-25高二上·北京朝阳·期末）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=4,P为棱AA1上的动点（不与A,A1重合），在直线CC1上的点Q满足DQ⊥CP.给出下列四个结论：
①CP⊥BD；
②∠PDQ为定值；
③存在点P，使得平面DBQ⊥平面DBP；
④存在点P，使得点Q到平面DBP的距离为2.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
15．（2025·贵州遵义·模拟预测）在多面体ABCDMN中，已知四边形ABNM是边长为2的正方形，AB=AD=12BC，AD//BC，AB⊥AD，平面ABNM⊥平面ABCD，H为线段BC的中点．
(1)若平面ANH∩平面MNC=l，求证：MC//l；
(2)在线段NC上是否存在一点P，使得平面PAH⊥平面NAH？若存在，求PNNC的值；若不存在，说明理由．
16．（2025·湖南邵阳·二模）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=22，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且AP=λAA1．
(1)证明：A1C⊥平面ABC1；
(2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为455？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
17．（2025·湖北黄冈·二模）如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC，AB⊥AD,∠CAE=30∘．
(1)求∠FCB的余弦值；
(2)在三棱锥的棱AP上是否存在点Q，使得平面ABP和平面BCQ所成角的余弦值为155？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由．
18．（2025·辽宁·三模）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为AB的中点，AB=BC1=AC1=2B1C1=4,B1E=22．
(1)求证：B1E⊥C1D1；
(2)在棱CC1上是否存在一点P，使得直线BP与平面CDD1C1所成角的余弦值为13？若存在，求C1PC1C的值；若不存在，请说明理由．
19．（2025高二上·全国·专题练习）已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作a,b.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模a×b=a⋅bsina,b.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=4，E为AD上一点，AD×BP=85.
(1)求AB的长；
(2)若E为AD的中点，求二面角P−EB−A的余弦值；
(3)若M为PB上一点，且满足AD×BP=λEM，求λ.