2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训07圆锥曲线的最值及范围问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训07圆锥曲线的最值及范围问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共13页。
\l "_Tc6933" 题型一：弦长的最值及范围 PAGEREF _Tc6933 \h 2
\l "_Tc1709" 题型二：三角形（四边形）面积的最值及范围 PAGEREF _Tc1709 \h 2
\l "_Tc31055" 题型三：长度（距离）的最值及范围 PAGEREF _Tc31055 \h 8
\l "_Tc21270" 题型四：斜率的最值及范围 PAGEREF _Tc21270 \h 18
\l "_Tc31468" 题型五：向量的最值及范围 PAGEREF _Tc31468 \h 24
\l "_Tc17758" 题型六：参数的最值及范围 PAGEREF _Tc17758 \h 31
\l "_Tc15326" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc15326 \h 42
\l "_Tc17354" 巩固过关 PAGEREF _Tc17354 \h 42
\l "_Tc25327" 创新提升 PAGEREF _Tc25327 \h 42
圆锥曲线最值范围问题处理策略
圆锥曲线的最值范围问题是高频考点，核心思路是依托几何性质、代数运算或函数转化，构建不等关系或求函数值域，具体策略如下：
（1）利用圆锥曲线几何性质与判别式构建不等关系。椭圆、双曲线、抛物线各自有明确的几何特征，如椭圆上点到中心的距离范围、双曲线的渐近线约束等，可直接结合这些性质确定参数范围。同时，直线与圆锥曲线相交时，联立方程后根的判别式（有交点）或（无交点），是构建不等关系的常用手段，能快速锁定斜率、截距等参数的取值边界。
（2）通过参数转化与隐含条件推导范围。若已知某一参数的范围，可建立其与待求参数的等量关系，利用“代入法”将待求参数表示为已知参数的表达式，再根据已知参数的限制推导目标范围。此外，题目常隐含不等条件，如点在曲线内/外的约束、线段长度非负、角度范围等，需深入挖掘这些隐含信息，转化为不等式求解。
（3）借助函数值域与已知不等关系求解。将待求量（如距离、斜率、面积等）转化为单一变量的函数，通过分析函数的单调性、最值（利用配方法、基本不等式、导数等）确定值域，进而得到参数范围。若题目直接给出不等关系（如“某量大于等于2”），可直接据此建立不等式，结合圆锥曲线方程化简求解，确保结果符合曲线自身的范围限制（如椭圆中的取值区间）。
解题时需灵活结合几何直观与代数运算，兼顾曲线自身约束和题目条件，避免遗漏特殊情况（如直线斜率不存在、参数取边界值等），确保范围求解准确全面。
题型一：弦长的最值及范围
例1．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
例2．已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值．
变式1-1．给定椭圆，我们称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．求弦长的最大值．
变式1-2．已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．24
变式1-3．已知是椭圆的一个顶点，点是上一点．
(1)求椭圆的方程．
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）证明：为定值．
（ⅱ）求的最小值．
题型二：三角形（四边形）面积的最值及范围
例3．设椭圆的离心率为,是的右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是上的两点，且．
（i）设直线的斜率为，求直线的方程；
（ii）求面积的最大值与最小值．
例4．已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
变式2-1．已知抛物线的焦点为，斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，点在抛物线上，且点在直线的下方，若面积的最大值是，则抛物线的方程是 ．
变式2-2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且.
(1)求证：为定值，并求出该定值；
(2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.
变式2-3．已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．

(1)求C的方程；
(2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且．
（ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围．
题型三：长度（距离）的最值及范围
例5．已知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行．若点为双曲线右支上一点，，的最小值为1，则 ．
例6．已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3．
(1)求的方程；
(2)设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点
①求动点的轨迹方程；
②求线段的长度的取值范围．
变式3-1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 .
变式3-2．已知圆：.
(1)若直线平分圆，求的最小值；
(2)顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值.
变式3-3．已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，，
(1)求双曲线C的方程;
(2)若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点
(i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标;
(ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值.
题型四：斜率的最值及范围
例7．已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 .
例8．已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点．
(1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；
(2)设点，当时，求点A的坐标；
(3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围．
变式4-1．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则的方程是 ；设点在直线上，过点的两条直线分别与相切于两点，记直线的斜率分别为，则的最小值是 .
变式4-2．已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积的最大值；
(3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围．
变式4-3．已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
题型五：向量的最值及范围
例9．过抛物线的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
例10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，且，求的最大值.
变式5-1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 .
变式5-2．若为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 .
变式5-3．从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线，从点发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别为A、B，求的取值范围．
题型六：参数的最值及范围
例11．已知点A，B分别是椭圆：的右顶点和上顶点，点P是椭圆上除A，B外的任意一点，若，则的取值范围是 ．
例12．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
变式6-1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围．
变式6-2．已知点和是双曲线的左、右焦点.
(1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率；
(2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积；
(3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围.
变式6-3．如图，矩形ABCD中，，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，R、 S、 T 是线段OF的四等分点，是线段CF 的四等分点．

(1)证明直线ER与、ES与、ET 与的交点L、M 、N都在椭圆 上．
(2)若椭圆 与直线交于不同的两点，如果存在过点 的直线l，使得点关于l对称，求实数m的取值范围
巩固过关
1．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 .
5．若点在抛物线上运动，点在圆上运动，，则的最小值为 ．
6．已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．
①求的值；
②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围．
8．已知椭圆短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于M，N两点，其中M，N分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点．
(1)若坐标为，求椭圆的方程；
(2)若，求实数的取值范围．
9．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？
(2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x．
（i）若，求实数的值；
（ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围．
10．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围.
11．已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点.
(1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标；
(2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围.
12．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点
(1)设直线的方程为，求线段的长
(2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程
(3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围
创新提升
1．已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ．
3．已知O为坐标原点，F为曲线的焦点，点A（不与O重合）在C上，且，则直线斜率的取值范围是 ．
4．已知满足，，，且是锐角.
(1)求；
(2)设，所在直线分别为直线，，A，B分别在，上，过A，B分别作的角平分线的垂线，垂足为M，N，且为定值，以，为邻边作平行四边形.
（i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C；
（ⅱ）若直线交C于P，Q两点，以线段，为直径的两圆的另一个交点为G，且，求的最大值.
5．已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，求证；
(3)求的最小值.
6．如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.
(1)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程；
(2)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值.
重难点专训07圆锥曲线的最值及范围问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc19021" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc19021 \h 1
\l "_Tc9308" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc9308 \h 2
\l "_Tc6933" 题型一：弦长的最值及范围 PAGEREF _Tc6933 \h 2
\l "_Tc1709" 题型二：三角形（四边形）面积的最值及范围 PAGEREF _Tc1709 \h 2
\l "_Tc31055" 题型三：长度（距离）的最值及范围 PAGEREF _Tc31055 \h 8
\l "_Tc21270" 题型四：斜率的最值及范围 PAGEREF _Tc21270 \h 18
\l "_Tc31468" 题型五：向量的最值及范围 PAGEREF _Tc31468 \h 24
\l "_Tc17758" 题型六：参数的最值及范围 PAGEREF _Tc17758 \h 31
\l "_Tc15326" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc15326 \h 42
\l "_Tc17354" 巩固过关 PAGEREF _Tc17354 \h 42
\l "_Tc25327" 创新提升 PAGEREF _Tc25327 \h 42
圆锥曲线最值范围问题处理策略
圆锥曲线的最值范围问题是高频考点，核心思路是依托几何性质、代数运算或函数转化，构建不等关系或求函数值域，具体策略如下：
（1）利用圆锥曲线几何性质与判别式构建不等关系。椭圆、双曲线、抛物线各自有明确的几何特征，如椭圆上点到中心的距离范围、双曲线的渐近线约束等，可直接结合这些性质确定参数范围。同时，直线与圆锥曲线相交时，联立方程后根的判别式（有交点）或（无交点），是构建不等关系的常用手段，能快速锁定斜率、截距等参数的取值边界。
（2）通过参数转化与隐含条件推导范围。若已知某一参数的范围，可建立其与待求参数的等量关系，利用“代入法”将待求参数表示为已知参数的表达式，再根据已知参数的限制推导目标范围。此外，题目常隐含不等条件，如点在曲线内/外的约束、线段长度非负、角度范围等，需深入挖掘这些隐含信息，转化为不等式求解。
（3）借助函数值域与已知不等关系求解。将待求量（如距离、斜率、面积等）转化为单一变量的函数，通过分析函数的单调性、最值（利用配方法、基本不等式、导数等）确定值域，进而得到参数范围。若题目直接给出不等关系（如“某量大于等于2”），可直接据此建立不等式，结合圆锥曲线方程化简求解，确保结果符合曲线自身的范围限制（如椭圆中的取值区间）。
解题时需灵活结合几何直观与代数运算，兼顾曲线自身约束和题目条件，避免遗漏特殊情况（如直线斜率不存在、参数取边界值等），确保范围求解准确全面。
题型一：弦长的最值及范围
例1．设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】方法一：由已知得，直线的斜率不为0，
如图，设，， 设直线的方程为，
联立方程组，得到，且易得，
则由韦达定理得，，
由弦长公式得，
故当时，取最小值，且该值为2，故C正确.
故选：C．
方法二：由二级结论得，易得，
而
，当且仅当时等号成立，故C正确.
故选：C．
方法三：易得抛物线的焦点弦最短时为通径，从而，故C正确.
故选：C．
例2．已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）依题意不妨取右焦点，如下图所示;
易知椭圆C过点，则，得，
又因为得，
解得，，
椭圆C的方程为；
（2）显然，设，
当直线AB斜率不存在时，可得，此时；
当AB斜率存在，设直线，
与椭圆方程联立可得，
则，则，
令，，，
则，
当，时，等号成立；
综上可得最大值为．
变式1-1．给定椭圆，我们称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．求弦长的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】
【详解】（1）由题可知，，，且，解得，
故椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）可求“伴随圆”为：，
因为，所以圆心到直线距离为，
由圆心到直线距离公式得，解得，
联立直线与椭圆方程，得，
由得，由得，，
设，则，
由弦长公式可得：
，
若时，则；
若时，则
当且仅当时取到等号，
综上所述：弦长的最大值2.
变式1-2．已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（ ）
A．8B．12C．16D．24
【答案】C
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以，得，
所以，，所以，
所以双曲线方程为，
所以，
设直线为，设，
由，得，
所以，，
所以
，
因为直线与的左支交于两点，
所以，得，
所以
令，则，
所以，
所以当时，取得最小值，
所以，得，
因为的周长为
所以最小值时，的周长取得最小值，即为，
故选：C
变式1-3．已知是椭圆的一个顶点，点是上一点．
(1)求椭圆的方程．
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）证明：为定值．
（ⅱ）求的最小值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3
【分析】
【详解】（1）由题可知
解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）（ⅰ）证明：若直线的斜率为，则直线与椭圆的交点为，矛盾，
故直线的斜率不为，设其方程为，，．
由，
消得:，
方程的判别式，
由已知为方程的解，
所以，，
因为，，
所以
，为定值．
（ⅱ）
，
因为，当且仅当时，取得最小值，
所以的最小值为．
【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．
题型二：三角形（四边形）面积的最值及范围
例3．设椭圆的离心率为,是的右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是上的两点，且．
（i）设直线的斜率为，求直线的方程；
（ii）求面积的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)（i）或；（ii）最大值为，最小值为.
【分析】
【详解】（1）由题意可知：
解得，
故椭圆的方程为.
（2）
（i）设，直线的方程为：，
联立，消去整理得：
由，可得，
由韦达定理，，(*)，
则（**），
因为，所以，
即.
将(*)，（**）代入整理得：，解得或．
经检验或都满足，
故直线的方程为：或.
（ii）不妨设．则，
，，
因为点在椭圆上，所以，
整理得：，
解得，或（负值舍去），
同理可得：，
故，
令，则，且，
则，
因在上单调递减，故，
故，即．
当时，即时，；
当时，即时．.
面积的最大值为，最小值为.
例4．已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】
【详解】（1）依题意，双曲线半焦距，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，则，
由消去得，
则，解得，，
直线的方程为，即，
而
，因此直线的方程为，
所以直线经过定点.
或令，得
，
所以直线经过定点.
（ii）由（i）知，
，
而，令，
因此在上单调递增，则，
所以的取值范围是.

变式2-1．已知抛物线的焦点为，斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，点在抛物线上，且点在直线的下方，若面积的最大值是，则抛物线的方程是 ．
【答案】
【详解】由题意可知：，且直线与抛物线必相交，
则直线的方程为，设，，
联立方程，消去y整理得，
则，，
可得，故，
设，由题意可知当直线与过点，且与抛物线相切的直线平行时，的面积取最大值.
因为，则，
可得，解得，即，
此时点到直线的距离，故，解得，
故抛物线的方程为.
故答案为：.
变式2-2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且.
(1)求证：为定值，并求出该定值；
(2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，定值为：
(2)
【分析】
【详解】（1）由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0，
因，过点，可设的方程为，则的斜率为，
设与相交于，，
由，得，则，，
，
同理可得，
所以；
（2）设，，，，
因为，
所以直线，即.
同理：直线.
联立，解得.
设直线的方程为：，由对称性不妨设，，，
联立.
因为，解得，，，所以，
因为，
所以
，化简得：.
所以.
因为，
，
所以
.
，
因，故，可得，则，
故的取值范围为.
变式2-3．已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．

(1)求C的方程；
(2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且．
（ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）过定点，定点坐标，理由见解析；（ⅱ）
【分析】
【详解】（1）因为离心率，所以，而，所以．
所以双曲线的方程为．
将点代入双曲线方程，得，所以．
所以的方程为．
（2）（ⅰ）直线过定点．
由双曲线的方程可知，设．
方法一：由，可设，则直线即的方程为．
联立整理得.
由题设知，且．
由根与系数关系，得，所以．
所以，即．
又直线即的方程为，
联立得，
由题设知，且．
由根与系数关系，得，所以，
所以.
∴．
当时，直线的斜率
．
直线的方程为．
化简整理得，直线过定点．
当时，，即，
解得．直线也过定点．
综上，直线过定点．
法二：设直线的方程为，联立
整理得，
则．
所以．
直线．令，得．
直线，令，得．
由，得，
即，
所以．
即．
因为，
所以．
整理可得．
所以，所以直线过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线过定点，

则．
由（ⅰ）知，
∴．
又点在双曲线的右支上，双曲线的渐近线方程为．
所以．
令，则，
于是．
令，，则，在单调递减，
所以在单调递增，
当，即时，取得最小值．
所以的取值范围是．
题型三：长度（距离）的最值及范围
例5．已知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行．若点为双曲线右支上一点，，的最小值为1，则 ．
【答案】2
【详解】求解双曲线的方程有两种方法：
法一：设的标准方程为，
依题意，，解得，，
因此的标准方程为；
法二：由渐近线与平行，可设渐近线方程为，
设双曲线的方程为，即，
由焦点为，得且，解得，
因此的标准方程为，
设，，则，因,
则，
当，即时，则当时，，则（舍去）；
当，即时，则当时，，不合题意.
.
故答案为：2
例6．已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3．
(1)求的方程；
(2)设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点
①求动点的轨迹方程；
②求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】
【详解】（1）由题可知，，解得，，
又，所以椭圆方程为.
（2）由（1）知，设，则的中点为，
①当时，的垂直平分线方程为，
此时，则或；即或
当时，的垂直平分线方程为：，
由，消得，
，
整理得，
因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
则，
即，
整理得，
即，
因为，所以，
而，也满足该式，
故点的方程为，即．
②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点，
又易知点在圆内，则，
又由椭圆的性质知，，得到，
故所求线段MQ长度的取值范围是

变式3-1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，
当轴时，，
所以；
当AB为长轴时，，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
变式3-2．已知圆：.
(1)若直线平分圆，求的最小值；
(2)顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值.
【答案】(1)4
(2)
【分析】
【详解】（1）由圆的方程，即，
则圆的圆心，半径，
由题意知，直线过圆心，
则，即，，，
由，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是4.
（2）由题意，抛物线的准线为，所以抛物线方程为，焦点，
所以，，，其中，
所以，时有
，
当且仅当，即时等号成立；
而时，，，则.
所以的最大值是.
变式3-3．已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，，
(1)求双曲线C的方程;
(2)若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点
(i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标;
(ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值.
【答案】(1)
(2)(i)；(ⅱ)4
【分析】
【详解】（1）由题意得，
所以，，
所以双曲线C的方程为
（2）设，则直线PA的方程为，
由，得，
当时，有，此时直线PA与双曲线的渐近线平行，
故直线PA与双曲线只有一个交点，舍去.
当时，有，
所以，所以，
(i)因为，，
由，得，
所以，
即点P的坐标为；
(ⅱ)直线PB的方程为，
由，得，
因为，所以，即，
所以，
当时，有，所以MN的方程为；
当时，直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，
即，
所以直线MN恒过定点，
又，所以点G在以HO为直径的圆上，
所以当MN垂直于x轴时，点 G与点H重合，
所以，所以线段OG的最大值为.
题型四：斜率的最值及范围
例7．已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 .
【答案】 （除去点） /
【详解】由题可设，，则，
解得或者（不符合题意，舍），
设直线的方程为，与抛物线方程联立得，
所以，，故，故直线的方程为，
所以直线过定点，
又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆，
因为，，中点坐标为，
所以点的轨迹方程为（除去点），
过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大，
所以直线斜率的最大值为.
故答案为：（除去点）；.
例8．已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点．
(1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；
(2)设点，当时，求点A的坐标；
(3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围．
【答案】(1)3
(2)或
(3)
【分析】
【详解】（1）由题意可知，，所以，
又因为当直线垂直于轴时，直线的方程为，
由得，，
所以弦的长为.
（2）因为，且直线过点，
所以，在中，，
所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点,
所以，又由椭圆的定义可得，
所以点在线段的垂直平分线上，
又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点，
所以或.
（3）当直线的斜率不存在时，不妨设，
所以，
故；
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线：，设，
由得，，
所以，
所以，
化简得，
①当时， ，当且仅当时等式成立；
②当时，，当且仅当时等式成立；
③当时，；
综上所述可得，的取值范围为.
变式4-1．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则的方程是 ；设点在直线上，过点的两条直线分别与相切于两点，记直线的斜率分别为，则的最小值是 .
【答案】
【详解】因抛物线和等边三角形均关于轴对称，设等边三角形在第一象限的顶点坐标为，
则，即，
代入抛物线，解得，所以；
显然，过点的切线斜率必存在，如图，可设过点的切线的方程为：，
由消去，可得，
因为直线和抛物线相切，所以
化简可得：，即（*），
依题意，为方程（*）的两根，则.
因为，所以
，当且仅当时，等号成立，
即当时，取得最小值为3.
故答案为：；3.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与抛物线相切有关的最值问题，属于难题.
解题的关键在于，利用直线方程与抛物线方程联立，由得到后，要结合题意，把看成该方程的两根，利用韦达定理，将所求式转化成关于一个变量的二次函数，即可求其最值.
变式4-2．已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积的最大值；
(3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆的方程为
（2）,
设直线,
联立可得，
故，
当且仅当，即时取到等号，
故的面积的最大值为.
（3）设直线
联立可得，
则，又，
所以，，
同理可得，
故
,
由于位于第一象限，故，
因此
变式4-3．已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由双曲线的左顶点，则，
由双曲线的渐近线，则，即，
所以双曲线.
（2）设，由，已知直线斜率存在，
则直线方程可设为，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
联立，消去可得，
由，则，，
又因为，，所以
，代入，，
可得，
所以直线的斜率之和为.
（3）设，，，
联立，解得，同理可得，
联立，解得，同理可得，
所以，，
因为，所以为外接圆的切线，且，
所以，由，，
则化简可得，当时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
题型五：向量的最值及范围
例9．过抛物线的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【详解】如图所示，
由抛物线可得焦点，设直线AB的方程为：，，
因为，所以，可得直线CD的方程为，
设，，，，
联立，化为，
得，，同理可得，，
，
同理可得，
，
当且仅当时取等号，
的最大值等于
故选：B.
例10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故，
由题意得，故，
故椭圆C的方程为
（2）设，如下图所示：
则，
因为，且，
所以，即，
所以，解得，
所以
，
因为，
所以，当且仅当，即时，取等号，
故的最大值为
变式5-1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 .
【答案】
【详解】由椭圆得左，右焦点分别为，，

设，
因为，所以，整理得，
又因为，联立方程组，解得，，
所以点A点坐标为，
设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为，
将，代入解得直线方程为，
再将直线与直线联立解得点坐标为，
所以，
当时，取最大值，最大值为，
故答案为：
变式5-2．若为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径为2.
因为
.
又因为椭圆的，为椭圆的右焦点，
设，，
，
，
所以，，
∴．
故答案为： .
变式5-3．从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线，从点发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别为A、B，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由题设，令，，根据抛物线性质知：直线必过焦点，
所以，则，整理得，，则，
所以抛物线C的方程为.
（2）由题意，，且，，，
所以，
而，
令，则，
所以，，
综上，，
又，，若，则，
由，当，即时，无最大值，
所以，即，故，，
令，则，
令，在上恒成立，即递减，所以.
题型六：参数的最值及范围
例11．已知点A，B分别是椭圆：的右顶点和上顶点，点P是椭圆上除A，B外的任意一点，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由可得，则，
设，由于点P与点A和点B不同，则，
则，，，
即，
上式除以再与下式相加得，
设，则，
由于，则，
则，故，
则，
故答案为：.
例12．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）渐近线方程为.
又，
双曲线的方程为.
（2）直线与双曲线交于不同的两点，
由 ，得，
，且 ，
，且.
设，则，
，
线段的中点坐标为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
又在由点与构成的三角形中，，
点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，
，
又，
且，解得，或，
实数的取值范围是.
变式6-1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）依题意，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知、，
依题意直线的斜率，则直线的方程为，
由，消去整理得，
设，，
当，即，由，
则，，
所以
，
因为为锐角，所以，
即
，解得或，
则或或，
又，所以的取值范围为.
变式6-2．已知点和是双曲线的左、右焦点.
(1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率；
(2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积；
(3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）若是双曲线的一条渐近线，则，可得，
此时，双曲线的离心率为.
（2）若，不妨设点位于第一象限，且，则，
由双曲线的定义可得，
又因为，则，，
所以，，
所以，，
故.
（3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上，
连接、，
则为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，，
又因为，则，即、、三点共线，
易知，直线不与轴重合，设直线的方程为，
设点、，
因为，
所以，，则，
联立可得，
由题意可得，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
整理可得，
令，则，则关于的二次方程在上有解，
设，则二次函数在上单调递减，
所以，，解得，
因此，的取值范围是.
变式6-3．如图，矩形ABCD中，，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，R、 S、 T 是线段OF的四等分点，是线段CF 的四等分点．

(1)证明直线ER与、ES与、ET 与的交点L、M 、N都在椭圆 上．
(2)若椭圆 与直线交于不同的两点，如果存在过点 的直线l，使得点关于l对称，求实数m的取值范围
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析.
【分析】
【详解】（1）设点，依题意，，
则直线ER即直线EL的斜率为，
直线即直线GL的斜率为，
以上两式相乘得，，化简可得，
所以点L在椭圆 上，同理可证点M 、N都在椭圆 上.
（2）由消去并整理得 ，
，即，设，
则，线段的中点，，，
当时，；当时，直线l方程为，
由点在直线l上，得，整理得，
因此，解得，又，解得，于是，
当点在上时，，而方程，即无解．
即直线不过椭圆左顶点，同理直线不过椭圆右顶点，则，
所以当时，m的取值范围为 ；当时，m的取值范围为 .
巩固过关
1．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且，
又为的中点，所以，即，所以，
要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部，
根据对称性可知，即的取值范围是.
故选：B
2．已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为，
设的中点为，则，
因为点在直线上，则，
得①，
又②，且③，④，
将③④代入②可得：，
代入①可得，

所以的中点坐标为，
则直线的方程为：，令得：，
而位于抛物线内部，即，可得，则．
故选：C.
3．（多选）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】如图，当点位于第一象限时，点位于第二象限，设直线的斜率为，
则直线的斜率为，
因为渐近线方程为，所以，，
所以，因为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而时，；时，；时，，
所以的取值范围为；
当点位于第四象限，点位于第一象限，同理可得的取值范围为．
综上所述，的取值范围为.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合双曲线的对称性和性质得到，，进而求得的取值范围，从而结合对勾函数的单调性确定的取值范围.
4．已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 .
【答案】
【详解】显然直线l的方程斜率不为0，因为焦点，
所以设直线l的方程为，联立得，
故，故，
所以，
显然G为的中点，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点，
设，则，
，
，
而，当且仅当，轴时取等号，则，
所以当时，.
故答案为：
5．若点在抛物线上运动，点在圆上运动，，则的最小值为 ．
【答案】2
【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
为圆的圆心，圆的半径为，
设点，则由抛物线的定义得，
，
由三角形三边关系得到，当且仅当共线时，等号成立，
所以，
令，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2．
故答案为：2
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
6．已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为．
①求的值；
②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】
【详解】（1）的圆心为，半径，
因为点在线段的垂直平分线上，所以，
由题意，点在线段的延长线或反向延长线上，
所以，
所以动点在以、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，
则，，所以，
所以点的轨迹方程，即曲线的方程为；
（2）①设，，，
则，所以，
即，即，
因为关于直线对称，所以，所以，
即，因为，所以，所以；
②依题意直线的斜率存在，设其方程为，
由，整理得，
由，所以，
则，，
所以，则，
因为，所以，所以，
所以，
，
在中，，
又均在轴的右侧，所以，解得，
所以，
所以，所以，所以，
即的取值范围为.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
由，得，
又的周长为，
即
所以，
，
椭圆的标准方程为．
（2）设，
直线的斜率为时，得，
此时的方程为，
代入方程可得，，
所以；
当直线的斜率不为时，
设直线，直线，
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得
，
．
由根与系数的关系得，
所以
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得，
由根与系数的关系得，
，
所以．
令，则，
不妨设
，
，
，
，
综上可得，的取值范围为．
8．已知椭圆短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于M，N两点，其中M，N分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点．
(1)若坐标为，求椭圆的方程；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）依题意，，故椭圆，
易知点为的重心，则，故，
代入椭圆方程得，
所以椭圆的方程为．
（2）解法一：易知点分别为的重心，
设，设点，
则根据重心性质及面积公式得，
，
而，
所以，则，所以；
设直线，则联立椭圆方程得，消元化简得，，，
，
对任意的恒成立，
即得，故实数的取值范围为．
解法二：易知点为的重心，，
，
此时，设点，则根据重心的性质可得，
，，
，而，
；
设直线，则联立椭圆方程得，消元化简得，，，
，
对任意的恒成立，
即得，故实数的取值范围为．
9．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？
(2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x．
（i）若，求实数的值；
（ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围．
【答案】(1)，且
(2)（i）；（ii）.
【分析】
【详解】（1）设，则到轴的距离力，，，
，，即
若曲线为椭圆，则，解得，且.
（2）（i）因为曲线C为曲线，所以，即，
设，
因为两点在双曲线上，所以
两式相减得，得，即，
所以，
因为是的垂直平分线，有，所以，
即，化简得，
因为的中点M的横坐标为x，所以
故．
（ii）

由于，故可知直线斜率存在，
设直线的方程为：，由，
消去并整理得,
则，，即，
所以，
所以，
于是点的坐标为，．
易知，所以，解得：，
代入得，得或，
由在双曲线的右支上得：，得，即，
且，
综上得，，
又
所以
因为，所以，故,所以，
所以，所以
10．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围.
【答案】(1)2；
(2).
【分析】
【详解】（1）设，由对称性不妨设，由，
有，可得，
又由，
有
又由，有，
有，
又由，有，
又由，有，可得，
故双曲线的离心率为2.
（2）由（1）可知双曲线的方程为，代入点的坐标，
有，可得，
设，由双曲线的渐近线的倾斜角及双曲线的图像和性质，
可得，
又由，在中，由正弦定理，有，
有，
有
，
由，有，有，
可得的取值范围为．
11．已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点.
(1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标；
(2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当时，双曲线，其中，
因为为等腰三角形，点在第一象限，
所以由双曲线性质可知，为三角形的底边，，
所以P点在以为圆心、3为半径的圆上，
设，其中，则有，解得，即.
（2）由题意的斜率不为0，设直线，
设点，则
联立得
由已知二次项系数，且， 即，
所以，
则
即.
代入得，
即，
化简得，即，所以
因为，代入，得，
所以所以，
综上，
12．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点
(1)设直线的方程为，求线段的长
(2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程
(3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】
【详解】（1）由抛物线方程知：，则直线过焦点，
设，
由得：，，
.
（2）由题意知：直线斜率不为零，可设，，
由得：，则，解得：；
，，
，，，
，
解得：（满足），
直线得方程为：或.
（3）
由题意知：直线斜率不为零，可设，，，，
，；
由得：，则，即，
，，，
由得：，
即，，，
，，即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，本题求解参数范围的关键是能够将已知条件中的向量运算转化为坐标运算的形式，从而将所求变量表示为另一变量的函数的形式，利用函数值域来求得参数范围.
创新提升
1．已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】在椭圆中，，，则，所以右焦点.
当直线的斜率存在且不为时，
设直线的方程为，，.
联立，消去可得： 即
由韦达定理可得，.
根据弦长公式，可得：
因为，所以直线的斜率为，同理可得.
则四边形的面积
根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立.
所以.
当直线的斜率为时，
此时，，则四边形的面积.
当直线的斜率不存在时，
此时，，则四边形的面积.
综上所得，则四边形的面积最小值为
故选：B.
2．已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
如图，因为直线过的焦点，令，解得：，即，故由可得，即．
把代入的方程整理得：，设，则，，
于是，，故得：，
则，
，所以，由，得．
故答案为: .
3．已知O为坐标原点，F为曲线的焦点，点A（不与O重合）在C上，且，则直线斜率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为F为曲线的焦点，所以，
因为，所以，
不妨设，，
则，即，解得，
所以直线斜率为，
因为，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
综上，直线斜率的取值范围为.
故答案为：.
4．已知满足，，，且是锐角.
(1)求；
(2)设，所在直线分别为直线，，A，B分别在，上，过A，B分别作的角平分线的垂线，垂足为M，N，且为定值，以，为邻边作平行四边形.
（i）请建立适当的坐标系求出R点轨迹方程C；
（ⅱ）若直线交C于P，Q两点，以线段，为直径的两圆的另一个交点为G，且，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)（i）R点轨迹方程C为；（ⅱ）2.
【分析】
【详解】（1）由题可得；
（2）（i）以O为原点、的角平分线所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，
由题意，则，
又由（1）得，
，即，
所以可设，
则，
设，由题意，所以，
所以，所以，即，
所以R点轨迹方程C为.
（ⅱ）由题意可得，所以三点共线，且，
因为，所以原点到直线l的距离为1，
当直线l的斜率不存在时，即直线轴时，直线l的方程为，代入得，
所以；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
所以原点到直线l的距离为，即，
联立，
设，则，
因为，
所以，
令，则且，
因为，所以当即时有，
综上，的最大值为2.
5．已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，求证；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3).
【分析】
【详解】（1）设，，，
与联立可得，，
，，，
因为，所以，
由可得，故
因为在第一象限，所以，解得，
由得；
（2）由题意得，，故，
，
，
则，即；
（3）由（1）得，，故，
因为，所以，
当时，，，，故，，
，故，所以⊥，，
则，
由对称性可知，
则，
当时，，，
由得，
将其代入中得，
显然，当时，，当时，，
解得，，，
因为，
其中，
由（2）知，
又，故，
故，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，
由于，
故.
6．如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.
(1)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程；
(2)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】
【详解】（1）
当时，椭圆，双曲线.
联立，由得，
由得，两式相减消去得，
代入双曲线方程得，又因为点在第一象限，所以.
设.，
由，得，即，所以，
当直线斜率不存在时，其方程为，此时，则，
成立.
当直线斜率存在时，由题知交点必定在直线两侧，即左侧为与椭圆的交点，右侧为直与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段之间时，，此时，故不可能，舍去；
因为双曲线的渐近线方程为，
所以直线与双曲线没有横坐标大于2的交点，
即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去；同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去，
综上：直线方程为.
（2）
如图，已知，由（1）知椭圆，双曲线.
直线过点且斜率为，则直线的方程为.
设，由，
根据三角形面积公式，
则，
即.
，
因为双曲线的渐近线方程为，而，故直线与双曲线右支无交点，
故均为直线与椭圆的交点，联立，
消去得，则，
，
令，则，
设，则，当时，即，解得或，因为，所以在上，单调递增.
故单调递增且，所以单调递减，所以当时取得最大值，又所以的最大值为.