2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题5.1直线与圆的最值与范围(培优热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题5.1直线与圆的最值与范围(培优热点专练)(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了已知点P，Q在直线l等内容，欢迎下载使用。

题型01 与斜率、倾斜角有关的范围问题
1．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 .
题型02 与两点距离、点到直线的距离有关的最值与范围
1．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ．
2．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
3．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏南京·二模）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为 .
5．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
题型03 与直线与圆的位置关系有关的最值与范围
1．（2025·湖南·一模）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·浙江金华·一模）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ）
A．B．(3,23]C．D．
4．（2025·江西新余·模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
题型04 由圆上点到直线距离为定值的个数求最值与范围
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山东青岛·三模）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数取值范围是
3．（2025·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型05 与圆的弦长有关的最值与范围
1．（2025·全国·模拟预测）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条.
2．（2025·贵州黔东南·三模）直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为 ．
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ．
题型06 代数式的几何意义与最值与范围
1．（2025·辽宁·三模）函数（）的最小值（ ）
A．4B．C．5D．
2．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 .
3．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．0D．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型07 与新定义有关的最值与范围
1．（2025·湖南长沙·三模）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河南·二模）已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（ ）
A．曲线围成的图形的面积为
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．曲线有且仅有2条对称轴
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）若点为上一动点，为直线上一动点，其中．记，则最小值的取值范围是 ．
4．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ．
题型08 直线与圆的最值与范围综合题
1．（2025·广东深圳·模拟预测，多选）设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点B．当取得最小值时，
C．当最小时，其余弦值为D．的最大值为24
2．（2025·湖南·一模，多选）已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（ ）
A．的最小值为
B．当时，直线与圆相切
C．的最小值为
D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则
3．（2025·辽宁·三模，多选）已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ）
A．直线与圆C相离B． 的面积为12
C．当最小时，D．点P到直线距离的最大值为
4．（2025·河北·模拟预测，多选）已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最大值为
5．（2025·湖北武汉·三模，多选）已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．直线的方程为
D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个
（建议用时：30分钟）
1．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 .
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·甘肃·模拟预测）若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则 .
5．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为 ．
6．（2025·上海松江·二模）已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 .
7．（2025·天津·二模）已知点P，Q在直线l：上运动，点H在圆C：上，且有，则的面积的最大值为 .
8．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 ；若是曲线C上任意一点，的最小值为 .
9．（2025·广东广州·模拟预测，多选）已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（ ）
A．直线过定点
B．的最小值为2
C．的取值范围为
D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时，
10．（2025·山东聊城·模拟预测，多选）已知圆与轴相交于两点，且与直线不相交．则下列选项正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．为坐标原点，则的最小值为6
C．当圆与直线相切时，（在下方）
D．若，过上一点作圆的切线（为切点），则切线长的最小值为3
近三年：
1、考查内容与频率：“直线与圆的最值与范围”问题是解析几何的基础核心考点，在近三年的高考全国卷及各省市试卷中出现频率极高。
2、考查重点：命题重点集中在利用直线与圆、圆与圆的位置关系，通过距离公式、斜率公式、圆的参数方程等工具，求解距离、斜率、截距、长度（弦长、切线长）、面积等几何量的取值范围或最值。其核心目标是检验考生的数形结合思想和基本代数变形能力。
预测2026年：
将继续以选择题或填空题为主，考查内容、频率、题型、难度将保持稳定，命题将重点考查几何意义的转化与运用。考生需要具备从复杂条件中识别出“隐形圆”轨迹的能力，并能熟练运用直线与圆相切时判别式为零这一关键条件来求解临界值。同时，利用圆的参数方程进行三角代换以求最值的方法，仍是重要的命题方向，需重点关注最值问题与向量、函数、三角函数等知识的简单结合，体现基础知识的综合运用能力。
解｜题｜策｜略
几何条件代数化
即先将题目中关于直线位置、变化的几何约束条件，准确地转化为关于斜率 k 或倾斜角 α 的不等式（或方程），然后通过求解这个不等式（或方程）来确定范围。
数形结合
画图定性：首先根据题意画出满足条件的直线大致位置，直观判断倾斜角的大致范围。
找临界：确定倾斜角变化的边界（通常是垂直或水平位置）。
转化求解：
若已知的是斜率k的范围，则根据 k = tanα 的单调性求解。在 (0°, 90°) 和 (90°, 180°) 上，tanα 分别单调递增。
若已知的是几何条件（如直线与线段相交、在两直线之间等），先求出斜率的范围，再转化为倾斜角范围。
注意直角：时刻检查是否存在斜率不存在（α = 90°）的情况，并判断它是否包含在范围内。
解｜题｜策｜略
在几何问题上，求与距离相关的最值时，核心为“两点之间，线段最短”或“点到直线的距离，垂线段最短”这两个最基本的几何公理。
动态问题处理：
找定点：如动直线过某定点，找到这个定点，就找到了问题的“锚点”。
找轨迹：如题目给出动点，若能找到该动点的运动轨迹，问题就能迎刃而解了。
解｜题｜策｜略
如果直线是动直线，则分析直线与圆不同的位置关系时，目标值的变化，关键在相切时。
根据圆心到直线的最短距离为圆心到直线的垂线，半径不变这两个原则去分析目标值的变化
解｜题｜策｜略
几何转化：圆上点到直线l的距离为 m 的点的轨迹，是与l 平行且距离为 m 的两条直线l1 和 l2。
问题等价于 “圆与两条平行直线l1 和 l2有几个公共点”。
分类讨论：通过比较圆心 C 到直线 l 的距离 d与圆的半径 r，以及定值 m 之间的关系，来确定交点个数。
解｜题｜策｜略
通常问题是求过定点的直线与圆的相交弦长的最短与最长。
当直线过圆心时，与圆的相交弦是最长的，为直径的长度
当直线垂直于定点与圆心的连线时，此时的相交弦时最短的，根据半径与定点与圆心连线的长度可求得。
解｜题｜策｜略
将代数式转化为几何意义，然后进行数形结合来求最值。
若遇到带平方跟开方的，联想到两点间的距离公式，把它构造成两个点。
遇到跟x、y有关的代数式，可以联想到点到直线的距离，两平行直线的距离公式
熟悉圆的方程、直线方程，把代数式转化成圆上点或者直线上点，将代数问题转化为几何问题。
解｜题｜策｜略
理解题目中的给出的定义，如果能画出轨迹，既可以使用几何方法，与平时常用的知识点结合，如两点间的距离最短、点到直线的垂线最短，求出最值。
如果没法得到轨迹，可以尝试用代数方法，根据基本不等式、求导等方式去求取最值。
解｜题｜策｜略
主要考察动直线、动圆、直线上的动点、圆上的动点等距离相关的最值与范围问题。
利用点到直线的垂线最短、两点间距离的最短，来求最短距离
由动点向圆做切线，考察切线的变化。此时可以用动点与圆心的距离d，半径r来求切线长，在根据d的变化来确定切线长的变化。
动直线与圆相交弦长。找到动直线过的定点，则动直线过圆心时，截的弦最长，动直线与定点圆心确定的直线垂直时，截的弦最短