2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点34圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(学生版+解析)

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\l "_Tc28158" 【题型1 直线过定点问题】 PAGEREF _Tc28158 \h 2
\l "_Tc28090" 【题型2 存在定点满足某条件问题】 PAGEREF _Tc28090 \h 3
\l "_Tc14745" 【题型3 面积定值问题】 PAGEREF _Tc14745 \h 5
\l "_Tc10897" 【题型4 斜率的和差商积定值问题】 PAGEREF _Tc10897 \h 6
\l "_Tc29009" 【题型5 线段定值问题】 PAGEREF _Tc29009 \h 8
\l "_Tc6660" 【题型6 圆锥曲线中其他定值问题】 PAGEREF _Tc6660 \h 9
\l "_Tc2884" 【题型7 圆锥曲线中的定直线问题】 PAGEREF _Tc2884 \h 11
1、圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有直线过定点问题、满足某条件的定点问题、定值问题以及定直线问题等热点问题，主要在解答题中考查，选择、填空题中考查较少，在解答题中考查时综合性强，难度较高，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解.
知识点1 圆锥曲线中的定点、定值问题
1．圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下：
(1)变量——选择合适的参变量；
(2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数；
(3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值.
一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸.
2．定点问题的求解思路：
一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；
二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点.
3．过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题
解法：设动直线方程（斜率存在）为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=mk+n，得y=kx+m+n，故动直线过定点−m,n；
(2)动曲线C过定点问题
解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
4．定值问题的求解思路：
将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关.
5．求解定值问题的三个步骤
(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；
(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
(3)得出结论．
知识点2 圆锥曲线中的定直线问题
1．圆锥曲线中的定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：
(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；
(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；
(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
【题型1 直线过定点问题】
【例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右焦点，点A(1,32)在C上，FA⊥x轴，直线l与x轴不重合，l与C交于P、Q两点，∠PFA=∠QFA.
(1)求C的方程；
(2)证明：l过定点.
【变式1-1】（2025·湖北黄冈·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左顶点A−1,0到其渐近线的距离为32 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 l:x=12 于M,N,P三点，过N作平行于x轴的直线交直线AP于点G，点G满足NG=GH .
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MH过定点.
【变式1-2】（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线T:y2=2px(p>0)上的点Ax0,y0的直线l1，l2分别交抛物线T于点B，C．设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1k2=−1，当x0=0且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为16．
(1)求抛物线T的方程；
(2)当y0=2时，证明：直线BC过定点．
【变式1-3】（2025·北京大兴·三模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的短轴长为23，过左焦点F−1,0作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交椭圆E于A，B和C，D四点．设AB，CD的中点分别为M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线MN是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
【题型2 存在定点满足某条件问题】
【例2】（2025·陕西宝鸡·三模）已知双曲线C过点P3,1且一条渐近线方程为x+y=0.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若过点M1,0的直线l与双曲线C相交于A,B两点，试问在x轴上是否存在定点N，使直线NA与直线NB关于x轴对称，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式2-1】（2025·北京昌平·二模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为26，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6．
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)过点2,0且斜率为kk≠0的直线与椭圆E交于A,B两点，点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点Dm,0，使A,C,D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由．
【变式2-2】（2025·四川雅安·一模）已知O为坐标原点，过点P2,0的动直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点．
(1)求OA⋅OB；
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在不同于点P的定点Q，使得∠AQP=∠BQP恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（2025·上海·三模）如图，椭圆Γ：x24+y22=1，F为其右焦点，过点P(0,1)的动直线l与椭圆Γ相交于A，B两点.

(1)若直线l经过焦点F，求此时线段AB的长度；
(2)若焦点F不在直线l上，求△FAB周长的最大值及相应直线l的方程；
(3)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【题型3 面积定值问题】
【例3】（2025·山西·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为5，点A2,2在双曲线C上．
(1)求C的方程；
(2)过双曲线C右支上一动点M分别作C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于P，Q，O为坐标原点，证明：平行四边形MPOQ的面积为定值，并求出该定值．
【变式3-1】（2025·江西·一模）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为2，直线 l:y=kx+mk>0与C交于M、N两点，O为坐标原点，P为MN中点．若kOP⋅k=−34.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若OM、ON的斜率分别为k1、k2且始终满足k1k2=34+k1+k2，求直线l的斜率k的值；
(3)A、B为椭圆C上关于原上对称的两点且满足2MN=AB，直线MB、AN交于点Q，问：△QAB的面积是否为定值？若是求出此定值，若不是请说明理由．
【变式3-2】（2025·山东聊城·模拟预测）已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，准线与抛物线对称轴的交点为H,P为抛物线C上的动点，当P的纵坐标为1时，PFPH取得最小值.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l1与曲线C交于A,B两点，作直线l2与曲线C交于C,D两点，E,M分别为AB,CD的中点，直线l1与l2的斜率满足k1k2=−2.试判断△OEM与△MEF的面积之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.
【变式3-3】（2025·陕西安康·模拟预测）“如果两个椭圆的离心率相同，我们称这两个椭圆相似”.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆E:x2b2+y2d2=1(b>d>0)相似，E的短轴长为2，离心率为32.
(1)求C的标准方程.
(2)设O为坐标原点，P为E上的动点，过点P且斜率为k(k≠0)的直线与E相切，与C交于A，B两点，射线PO交C于点Q，试问：△ABQ的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由.
【题型4 斜率的和差商积定值问题】
【例4】（2025·河北唐山·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线l1:y=k1x与C交于P，Q两点，其中点P位于第一象限，当PF2⊥x轴时，PF1=3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l2:y=k2xk1≠k2与C交于M，N两点，四边形PMQN的面积为42，问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点为A,B，右焦点为5,0，离心率为5．
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点T2,0的直线l交双曲线C于点M,N（点M在第一象限），记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：k1k2为定值．
【变式4-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线C:y2=−2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)在C上，且MF=2OF，其中O为坐标原点，过点A(0,1)的直线l与C相交.
(1)求C的方程；
(2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率；
(3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为k1，k2，证明：k1 +k2为定值，并求出该定值.
【变式4-3】（2025·广东湛江·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的上顶点为A(0,2)，线段OA的中垂线交C于B,D两点，且|BD|=6.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点E为椭圆C上位于直线BD上方（不与点B,D重合）的动点，过点B作直线DE的平行线交椭圆C于点F，点M为直线EF与BD的交点，点N为直线BE与OM的交点.证明：直线OM与直线DE的斜率之积为定值；
【题型5 线段定值问题】
【例5】（2025·陕西汉中·一模）已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦点，焦距为2，离心率e=12，过左焦点F1的直线交椭圆C于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证1AF1+1BF1为定值.
【变式5-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知F为抛物线C:y2=2px的焦点，点P在拋物线C上，且点P的纵坐标为3，以线段PF为直径的圆与直线x=3相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l交抛物线C于A、B两点，作PD⊥l于点D，若直线PA、PB的斜率之和为3，是否存在定点R，使得DR为定值？若存在，求出定点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2025·吉林·三模）已知A,B分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点，ab=62，M,N均为椭圆C上异于顶点的点，H为椭圆C上的点，直线HM经过左焦点F1，直线HN经过右焦点F21,0.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)试问HF1MF1+HF2NF2是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
【变式5-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的上下焦点分别为F10,c、F20,−c，离心率为62，点F1到渐近线的距离为1，过点F1且斜率为k的直线l1在第一象限交双曲线C于点P，过点F2且斜率为k的直线l2在第四象限交双曲线C于点Q，PF2与QF1交于点M.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若PF1−QF2=2，求k的值；
(3)证明：MF1+MF2是定值.
【题型6 圆锥曲线中其他定值问题】
【例6】（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为2，且点P1,32在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C交于M,N两点，且坐标原点O到直线l的距离为2217，则∠MON的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
(3)在（2）的条件下，试求三角形△MON的面积S的取值范围.
【变式6-1】（2025·河北邢台·二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过点P1,1的直线l与C相交于A,B两点，且当l的斜率为0时，AB=2393．
(1)求C的方程；
(2)是否存在l，使得A,B两点关于直线y=x+2对称？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由；
(3)l与直线l′:3x−y−12=0交于点Q，设QA=λAP,QB=μBP，问：λ+μ是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【变式6-2】（2025·全国·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px经过点P2,4，过点Q0,2的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
(1)求抛物线C的方程；
(2)①求直线l的斜率的取值范围；
②若O为原点，将上述P,Q两点坐标改为Pp2,p,Q0,p2，且满足QM=λQO,QN=μQO，其他条件不变，试探究1λ+1μ是否为定值，并说明理由．
【变式6-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知在平面直角坐标系Oxy中，一直线与从原点O出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于M，N两点，且满足OM⋅ON=2，线段MN的中点为S，记点S的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)点P1,0，Q1,1，R0,−1，过点Q的一条直线l与E交于A、B两点，直线PA，PB分别交直线QR于点C，D，且满足QC=λQR，QD=μQR，证明：1λ+1μ为定值.
【题型7 圆锥曲线中的定直线问题】
【例7】（2025·安徽蚌埠·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点P3,32在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点Q(0,6)的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上．
【变式7-1】（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0过点P3,6，渐近线方程为y=±3x．
(1)求Γ的方程；
(2)已知点A1,0，过点Q1,2作动直线l与双曲线右支交于不同的两点B、C，点H在线段BC上（不含端点）．
①若H为BC的中点，△AQH的面积为7，求直线l的斜率；
②直线AB、AH、AC分别与y轴交于点D、E、F，若E为DF的中点，证明：点H恒在定直线3x−2y−3=0上．
【变式7-2】（2025·甘肃金昌·二模）已知抛物线T:y2=2pxp>0，过抛物线上一点A1,p作两条直线l1,l2分别交抛物线T于B,C两点，直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，且k1k2=−4.
(1)求抛物线T的方程.
(2)证明：直线BC过定点.
(3)记直线BC经过的定点为M,N为直线BC上一点（异于点M），且满足BMCM=BNCN，证明点N在某定直线上，并求出该定直线的方程.
【变式7-3】（2025·浙江·二模）已知F是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，椭圆离心率e=12，且椭圆上任意一点与点F距离的最大值为3.

(1)求椭圆E的方程；
(2)点Mx1,y1x1>0,y1>0在椭圆E上，椭圆在点M处的切线l:xx14+yy13=1交x轴于点P.
①求FP−4FM的最小值；
②设A1,A2分别为椭圆E的左､右顶点，不垂直x轴的直线MF交椭圆于另一点N，直线NA1与直线MA2交于点Q，问直线MN与直线PQ的交点R是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
一、单选题
1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线y2=8x上两点A，B满足OA⋅OB=−16，则直线AB恒过定点（ ）
A．2,0B．4,0C．6,0D．8,0
2．（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：x2−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到F1，F2距离之和的比值（ ）
A．恒为定值24B．恒为定值22
C．不为定值但有最小值24D．不为定值但有最大值22
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：x24+y2=1的下顶点为A，斜率不为0的直线l与C交于B，D两点，记线段BD的中点为E，若AE⊥BD，则（ ）
A．点E在定直线y=13上B．点E在定直线y=12上
C．点E在定直线y=23上D．点E在定直线y=14上
4．（2024·山东·模拟预测）已知抛物线C：x2=4y，过直线l：x+2y=4上的动点P可作C的两条切线，记切点为A,B，则直线AB（ ）
A．斜率为2B．斜率为±2C．恒过点0,−2D．恒过点−1,−2
5．（2024·河南·模拟预测）已知O为坐标原点.等轴双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与E的右支交于点P，Q.设△PF1F2与△QF1F2的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是k1，k2，则k1k2=（ ）
A．22−3B．3−22C．2−3D．3−2
6．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T9,m的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m>0,y1>0,y21)的离心率为32,P是C上任意一点，O为坐标原点，P到x轴的距离为d，则（ ）
A．4|OP|2−d2为定值B．3|OP|2−d2为定值
C．|OP|2+4d2为定值D．|OP|2+3d2为定值
8．（2025·河南郑州·模拟预测）已知A，B分别为双曲线x29−y2=1的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设∠PAB=α，∠PBA=β，△PAB的面积为S，则（ ）
A．tanα+tanβ为定值B．tanα2⋅tanβ2为定值
C．S⋅tanα+β为定值D．Stanα+β为定值
二、多选题
9．（2025·广东·模拟预测）已知椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l:y=x+m与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（ ）
A．C的离心率为12B．△AF1F2的周长为22+2
C．△OAB面积的最大值为32D．若OQ=OA+OB，则点Q在定直线上
10．（2025·江西赣州·一模）已知Ax1,y1，Bx2,y2为抛物线C：y2=4x上异于原点O的两个动点，且∠AOB=90∘，作ON⊥AB交直线AB于点N，则（ ）
A．直线AB恒过定点2,0B．AB≥8
C．存在一个定点Q，使得NQ为定值D．x1−y1+1+x2−y2+1≥9
11．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）已知F1,F2分别为双曲线C:y2−x2b2=1b>0的上､下焦点，且C的一条渐近线方程为y=33x，下列说法正确的有（ ）
A．C的焦距为4
B．过原点的直线l与C相交，则l的倾斜角的取值范围为π6,5π6
C．若M为C上支上的一点.N1,0，则MN+MF2的最小值为5
D．若M为C上的一点，O为坐标原点，则|OM|2−MF1⋅MF2恒为定值
三、填空题
12．（2025高三·全国·专题练习）过x24+y2=1左顶点A作两条互相垂直的直线交椭圆于P，Q，直线PQ必过定点 ．
13．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，过定点的直线l与抛物线交于A,B两点，若抛物线上存在动点P，使得四边形APBF为平行四边形，则定点坐标为 .
14．（2025高三·全国·专题练习）若直线AB与曲线C:x2−y23=1(x≥1)交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点M，若直线AB经过定点P(4,0)，则点M在定直线 上．
四、解答题
15．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为3.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y=kx+mk>0,m>0与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段AB为直径的圆经过点P1,0，证明：直线l过定点.
16．（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，上顶点为B，离心率为12，△AOB的面积为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线y=kx（k存在且不等于0）与椭圆交于P，Q两点，直线PA与y轴交于点M，直线QA与直线y=b交于点N，判断kPB−kMN是否为定值并证明．
17．（2025·安徽合肥·模拟预测）设双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右顶点为P2,0，其焦距为25．
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点Q2,1作斜率为k的直线l与双曲线右支相交于两个不同点A、B，其中A点在x轴上方，连接PA、PB分别交直线y=b于C、D两点，求证：1QC−1QD为定值．
18．（2025·四川巴中·模拟预测）如图，椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为（1，0），过点M0, 233的动直线l与椭圆相交于A, B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2303.

(1)求椭圆E的方程.
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点M不同的定点N，使NANB=MAMB恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（2025·湖南岳阳·三模）已知抛物线E的顶点在坐标原点O处，对称轴为x轴，且过点T2,−4，A，B是E上两个动点．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知C是E上一点，且E的焦点F为△ABC的重心，设C的横坐标为t，求t的取值范围；
(3)已知P为直线OT在第二象限内一点，直线PA，PB与抛物线E分别相切于A，B两点，设PA，PB与y轴分别交于M，N两点，证明：直线AN与直线BM的交点在定直线上．