2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点20数列的综合应用(学生版+解析)

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\l "_Tc26850" 【题型1 等差、等比数列的综合问题】 PAGEREF _Tc26850 \h 2
\l "_Tc22963" 【题型2 数列中的数学文化问题】 PAGEREF _Tc22963 \h 3
\l "_Tc99" 【题型3 数列的通项公式的求解】 PAGEREF _Tc99 \h 4
\l "_Tc23838" 【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】 PAGEREF _Tc23838 \h 5
\l "_Tc24567" 【题型5 数列中的不等式证明问题】 PAGEREF _Tc24567 \h 6
\l "_Tc10746" 【题型6 数列求和问题】 PAGEREF _Tc10746 \h 7
\l "_Tc15164" 【题型7 数列中的结构不良题】 PAGEREF _Tc15164 \h 8
\l "_Tc17610" 【题型8 数列与其他知识的交汇问题】 PAGEREF _Tc17610 \h 10
\l "_Tc3729" 【题型9 数列中的新定义、新情景问题】 PAGEREF _Tc3729 \h 11
1、数列的综合应用
数列是高考的重点内容和热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容，以解答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.
从近几年的高考情况来看，高考压轴题中出现数列的新定义、新情景问题也是高考的一个重要趋势，这类问题综合性强，难度大，需要学会灵活求解.
知识点1 等差、等比数列的交汇问题的解题策略
1．等差、等比数列的交汇问题的求解思路：
(1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.
(2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.
知识点2 数列的数学文化问题
1．数列的数学文化问题的解题步骤：
(1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意；
(2)构造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型；
(3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前n项和等，解决问题.
知识点3 数列的新定义、新情景问题
1．数列的新定义、新情景问题的求解策略
(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的
要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
知识点4 数列的综合应用
1．数列与不等式交汇问题的解题策略
(1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
(2)数列与不等式交汇问题的答题模板
第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式；
第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和；
第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；
第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.
2．数列与函数交汇问题的解题策略
数列与函数综合问题的主要类型及解题策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.
3．子数列问题的解题策略
子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.
4．数列中结构不良题的解法
(1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解.
(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答.
【题型1 等差、等比数列的综合问题】
【例1】（2025·湖南永州·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，若S5=70，且a2，a4，a9成等比数列，则a6=（ ）
A．30B．32C．36D．40
【变式1-1】（2025·湖北黄冈·三模）给出条件p: △ABC的三边既成等差数列又成等比数列；q: △ABC为正三角形；则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）已知等差数列an满足a2n=2an+1，且a1+1，a2+1，a3+3为等比数列.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=3n−1an，求数列bn的前n项和Sn.
【变式1-3】（2025·辽宁大连·一模）已知首项相同的等差数列an的公差与等比数列bn的公比大小相等，且bn+1>bn，a4b2=72，a4−b2=5.
(1)求数列an和bn的通项公式;
(2)令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn.
【题型2 数列中的数学文化问题】
【例2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【变式2-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为1mm､公差为4mm的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为190mm，则该鬼工球的层数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【变式2-2】（2025·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式2-3】（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ）
A．13B．12C．23D．56
【题型3 数列的通项公式的求解】
【例3】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列an满足3an+1−3an=2n，且a1=1，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=2n−1B．an=lg32n−1+1
C．an=lg32n+1D．an=lg32n+1−1
【变式3-1】（2025·云南·一模）已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an−1n∈N*，若数列bn满足b1=2，bn+1=an+bn，则数列bn的通项公式为（ ）
A．bn=2n−1+1 B．bn=2n+1 C．bn=2n−1−1 D．bn=2n−1
【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，且Sn=32an−1.
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=an+1SnSn+1+lg3an，求bn的前n项和Tn．
【变式3-3】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn,an≠0,a1=12,Sn=anan+1．
(1)求an的通项公式；
(2)若b1=1，且bn+1+bn=4an+12，求数列bn的通项公式；
(3)在（2）的条件下，若en=1−n⋅2n−1bn，求en的前n项和Tn．
【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】
【例4】（2025·海南·模拟预测）数列an满足a1=52, an+1=2an−12，对于任意的n∈N∗, λ2an−10，对于任意的n∈N∗，an0，对于任意的n∈N∗,Snλn⋅3n恒成立，求实数λ的取值范围．
【变式4-3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设Sn为数列an的前n项和，已知an>0,4Sn=an2+2an+1，数列bn满足bn=an+1+an,n为奇数,an+1−an,n为偶数,
(1)求数列an的通项公式；
(2)记数列bn的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*,Tn≥10n+λ恒成立，求实数λ的取值范围.
【题型5 数列中的不等式证明问题】
【例5】（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列an中，a1=3，a3=15，且数列ann为等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)记Sn为数列1an的前n项和，证明：Sn