2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点19数列的单调性、周期性、最值性质及其应用(学生版+解析)

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\l "_Tc11313" 【题型1 数列的单调性及其应用】 PAGEREF _Tc11313 \h 4
\l "_Tc10385" 【题型2 数列的周期性及其应用】 PAGEREF _Tc10385 \h 4
\l "_Tc31061" 【题型3 数列的最大（小）项】 PAGEREF _Tc31061 \h 5
\l "_Tc29132" 【题型4 求数列前n项和Sn的最值】 PAGEREF _Tc29132 \h 5
\l "_Tc21199" 【题型5 定义法求数列的最值】 PAGEREF _Tc21199 \h 6
\l "_Tc28799" 【题型6 函数法求数列的最值】 PAGEREF _Tc28799 \h 6
1、数列的单调性、周期性、最值性质及其应用
数列的性质及其应用是高考的热点问题，也是重点问题，主要包括数列的单调性问题、数列的周期性问题以及数列的最值问题这几类问题.
从近几年的高考情况来看，对数列的性质的考查也是高考的一个重要趋势，所以在高考复习时要注意加强对数列的性质的理解，对数列的几类性质问题学会求解.
知识点1 数列的概念与基本知识
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示⋯⋯第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{an}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
6．数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
=.
知识点2 数列的性质
1．数列的性质
(1)单调性
如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递减数列.
(2)周期性
如果对所有的，都有 (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列.
(3)有界性
如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列.
知识点3 数列的性质有关问题的解题策略
1．数列的单调性的判断方法
(1)作差比较法：
数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列.
(2)作商比较法：
①当an>0时，数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列；
②当ana1”是“an为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2025·贵州黔南·三模）数列cn满足cn=an−1,n>2,3−an+2,n≤2n∈N*，若数列cn单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．2,3B．1,3C．1,2D．2,3
【变式1-2】（2025·江西·二模）已知数列an的首项a1为常数且a1≠23，an+1+2an=4nn∈N*，若数列an是递增数列，则a1的取值范围为（ ）
A．−23,23B．−23,23∪23,43
C．0,23D．0,23∪23,43
【变式1-3】（2025·湖北·模拟预测）已知△ABC的面积为1，取△ABC各边的中点A1,B1,C1作△A1B1C1，然后再取△A1B1C1各边的中点A2,B2,C2作△A2B2C2,⋯依此方法一直继续下去.记△AnBnCn(n∈N*)的面积为an，数列an的前n项和为Sn，则（ ）
A．数列2nan为常数列B．数列2nan为递增数列
C．数列{Snn}为递减数列D．数列{Snn}为递增数列
【题型2 数列的周期性及其应用】
【例2】（2025·全国·模拟预测）数列an满足an+1=11−an，a3=4，则a2025=（ ）
A．−13B．2025C．4D．2024
【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列an满足anan+4=−14,a4=12，则a200=（ ）
A．12B．−12C．0D．−14
【变式2-2】（2025·天津南开·二模）若数列an满足a1=2,a2=1，且an+2=an+1−an,an+1≥an,an−an+1,an+11600的最小正整数n的值为（ ）
A．26B．27C．28D．29
【变式4-2】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若数列an满足an=2n−128n，其前n项和为Sn，则（ ）
A．Sn既无最大值，又无最小值B．当且仅当n=1时，Sn取得最小值
C．当且仅当n=8时，Sn取得最小值D．∀n∈N∗，Sn≥S7
【变式4-3】（2025·北京海淀·三模）已知数列an的通项公式为an=2n−72n−15，前n项和为Sn，前n项积为Tn.则下列结论正确的个数为（ ）
①an既有最小值，又有最大值，
②满足anan+1an+2