2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点16坐标法与极化恒等式、等和(高)线定理在平面向量中的应用(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点16坐标法与极化恒等式、等和(高)线定理在平面向量中的应用(学生版+解析)，共25页。

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\l "_Tc112" 【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】 PAGEREF _Tc112 \h 4
\l "_Tc17038" 【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】 PAGEREF _Tc17038 \h 6
\l "_Tc19601" 【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】 PAGEREF _Tc19601 \h 7
\l "_Tc25698" 【题型4 利用极化恒等式求值】 PAGEREF _Tc25698 \h 9
\l "_Tc18068" 【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】 PAGEREF _Tc18068 \h 11
\l "_Tc384" 【题型6 等和线解决系数和问题】 PAGEREF _Tc384 \h 15
\l "_Tc20711" 【题型7 等和线解决其他系数问题】 PAGEREF _Tc20711 \h 18
1、坐标法、极化恒等式与等和（高）线定理
坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.
极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.
知识点1 坐标法解决平面向量问题
1．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量a=()，b=()等价于a=，b=，所以a+b=()+()=
，即a+b=().同理可得a-b=().
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由a=(x,y)，可得a=，则λa==，即λa=(λx,λy).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量a=()，b=()等价于a=，b=，所以a·b=()·()=
.又=1，=1，==0，所以a·b=.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若a=(x,y)，则或.
其含义是：向量a的长度(模)等于向量a的横、纵坐标平方和的算术平方根.
3．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设a=()，b=()，其中b≠0.向量a，b (b≠0)共线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即.
(2)夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a=()，b=()，是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
(3)垂直的坐标表示
设a=()，b=()，则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
知识点2 极化恒等式
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
知识点3 等和(高)线定理
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】
【例1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量a=−1,0，b=0,1，则a+2b的坐标为（ ）
A．−1,2B．−1,1C．0,1D．1,2
【答案】A
【解题思路】利用平面向量的坐标运算求得结果.
【解答过程】由a=−1,0，b=0,1，
则a+2b=−1,0+0,2=−1,2.
故选：A.
【变式1-1】（2025·云南曲靖·二模）已知A−2,1,B−1,3,C3,4，若点D满足AB=DC，则点D的坐标为（ ）
A．2,2B．3,1C．1,3D．5.5
【答案】A
【解题思路】设点D x,y，求出AB,DC，再列出方程，即可得解.
【解答过程】设点D x,y，
则AB=1,2,DC=3−x,4−y，
又AB=DC，所以1=3−x2=4−y⇒x=2y=2，
所以点D的坐标为2,2，
故选：A.
【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）已知向量a=1,x−2，b=x,3，若a=λbλ>0，则x等于（ ）
A．−3B．−1C．1D．3
【答案】D
【解题思路】根据向量平行的坐标条件列出关于x的方程，结合λ>0求解即可.
【解答过程】因为a=λb，所以1,x−2=λx,3，即1=λxx−2=3λ，
因为λ>0，解得λ=13x=3．
故选：D.
【变式1-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量w，v，u在正方形网格中的位置如图所示，将w绕着起点顺时针方向旋转90∘后得到向量a，若u=ma−nv，则m+n=（ ）

A．−72B．−12C．32D．52
【答案】A
【解题思路】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可；
【解答过程】

由图可得a=EG，以A为原点，AC为y轴，AE为x轴建立平面直角坐标系，
设每个小正方形的边长为1，
C0,3,A0,0,E3,0,B3,1,D3,2,G5,−2，
所以a=2,−2,u=AB=3,1,v=CD=3,−1，
因为u=ma−nv，即3,1=m2,−2−n3,−1⇒3,1=2m−3n,−2m+n，
所以3=2m−3n1=−2m+n⇒n=−2m=−32，
所以m+n=−72.
故选：A.
【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】
【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量a=2,4,b=m,8，若a⋅b=40，则b=（ ）
A．5B．25C．45D．10
【答案】C
【解题思路】根据向量的数量积坐标公式计算得出m=4，最后应用模长公式计算求解.
【解答过程】因为a⋅b=2m+32=40，所以m=4，所以b→=m2+82=45.
故选：C.
【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）已知a为单位向量，b=−1,3，若|2a−b|=2，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律求出a⋅b，再利用夹角公式求解.
【解答过程】依题意，|a|=1,|b|=2，由|2a−b|=2，得4a2+b2−4a⋅b=4，解得a⋅b=1，
则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=12，而0∘≤〈a,b〉≤180∘，解得〈a,b〉=60∘，
所以a与b的夹角为60∘.
故选：B.
【变式2-2】（2025·四川广安·模拟预测）已知向量a→=1,2，b→=3,−1，若向量c满足c·a=4且c·b=5，则向量c的坐标为（ ）
A．2,1B．1,2C．−1,3D．3,−1
【答案】A
【解题思路】设向量c的坐标为x,y，运用向量坐标运算，联立即可求解.
【解答过程】设c=x,y，根据题意有：
c·a=x+2y=4c·b=3x−y=5， 解方程组得： x=2y=1，
因此c=2,1.
故选：A.
【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·三模）在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，若AC⋅AP=32，则AB⋅BQ=（ ）
A．12B．−12C．22D．−22
【答案】B
【解题思路】建系，设AB=2a，标相关点，根据向量的坐标运算求解即可.
【解答过程】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
设AB=2a，则A0,0,B2a,0,C2a,2a,D0,2a,P2a,a,Qa,2a，
可得AC=2a,2a,AP=2a,a,AB=2a,0,BQ=−a,2a，
因为AC⋅AP=4a2+2a2=6a2=32，可得a2=14，
所以AB⋅BQ=−2a2=−12.
故选：B.
【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】
【例3】（2025·湖北武汉·三模）在矩形ABCD中，A−1,0,Bx,1−x，若n=2,−3，且n//AD，则x=（ ）
A．−5B．−15C．15D．5
【答案】C
【解题思路】由已知n⊥AB，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值.
【解答过程】由题设知n⊥AB，且AB=(x+1,1−x)，则n⋅AB=2(x+1)−3(1−x)=0，
所以5x−1=0，即x= 15.
故选：C.
【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量a=λ−1,1,b=2,λ，若a−b⊥a+b，则λ=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】B
【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求a−b,a+b，最后利用数量积的坐标运算即可求解.
【解答过程】由题意有a−b=λ−3,1−λ,a+b=λ+1,1+λ，又因为a−b⊥a+b，
所以a−b⋅a+b=λ−3λ+1+1−λ1+λ=−2λ+1=0⇒λ=−1，
故选：B.
【变式3-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量AB=5,1，BC=m,9，CD=8,5.若A、C、D三点共线，则m=（ ）
A．54B．−11C．11D．−54
【答案】C
【解题思路】求出向量AC，由题意可得AC//CD，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于m的等式，解之即可.
【解答过程】因为向量AB=5,1，BC=m,9，CD=8,5，
所以，AC=AB+BC=m+5,10，
因为A、C、D三点共线，则AC//CD，所以，5m+5=8×10，解得m=11.
故选：C.
【变式3-3】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量a=1,2，b=2,m，若a+b⊥a−b，则实数m=（ ）
A．−1B．1C．−1或1D．4
【答案】C
【解题思路】根据向量垂直的坐标表示即可求出m的值.
【解答过程】因为a→=1,2,b→=2,m，
所以a→+b→=3,m+2,a→−b→=−1,2−m.
因为a→+b→⊥a→−b→，所以a→+b→·a→−b→=0
所以−3+m+22−m=0.
解得m=±1.
故选：C.
【题型4 利用极化恒等式求值】
【例4】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a⋅b=14AD2−BC2，我们称为极化恒等式. 已知在△ABC中，M是BC中点，AM=3，BC=10，则AB⋅AC=（ ）
A．−16B．16C．−8D．8
【答案】A
【解题思路】可以把三角形补形为平行四边形，AM=12AD,利用已知条件求解即可.
【解答过程】由题设，△ABC可以补形为平行四边形ABDC，
由已知得AM=3,BC=10, AB⋅AC=144AM|2−BC|2 =14×36−100=−16．
故选：A．
【变式4-1】（2024·四川绵阳·三模）如图，在△ABC中，AF=BF=6,EF=5，则EA⋅EB=（ ）
A．−11B．−13C．−15D．15
【答案】A
【解题思路】根据极化恒等式，结合已知数据，直接求解即可.
【解答过程】因为a⋅b=a+b22−a−b22，
故EA⋅EB= EA+EB22−EA−EB22=EF2−BF2=25−36=−11.
故选：A.
【变式4-2】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN=2BC，点E为DC的中点，则EM⋅EN=（ ）

A．1B．3C．−1D．−3
【答案】D
【解题思路】根据条件转化向量，再结合向量的运算律，即可求解.
【解答过程】由题可知MN=2BC=4，OM=2，OE=1，
EM⋅EN=EO+OM⋅EO+ON =EO+OM⋅EO−OM=EO2−OM2=1−4=−3.

故选：D.
【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：a+b2=a2+2a⋅b+b2，a−b2=a2−2a⋅b+b2，两式相减得a+b2−a−b2=4a⋅b⇒a⋅b=14[a+b2−a−b2] 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求AB⋅AC的值；
(2)若AB⋅AC=4，FB⋅FC=−1，求EB⋅EC的值．
【答案】(1)32
(2)78
【解题思路】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可
（2）设AD=3m,BC=2n(m>0,n>0)，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于m,n 的方程组，解出m,n ，再根据“极化恒等式”计算出EB⋅EC的值.
【解答过程】（1）AB⋅AC=14[(AB+AC)2−(AB−AC)2]=AD2−14CB2=36−4=32；
（2）由题意，AD=3m,BC=2n(m>0,n>0)，
∵AB⋅AC=4，由（1）知AD2−14CB2=4，即9m2−n2=4 ①，
∵FB⋅FC=−1，同理可得FD2−14CB2=−1，即m2−n2=−1 ②，
由①②解得：m2=58,n2=138，
∴EB⋅EC=ED2−14BC2=4m2−n2=208−138=78.
【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】
【例5】（24-25高一下·福建泉州·期中）在Rt△ABC中，∠A=90∘,AB=2,AC=6，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则PB·PC的取值范围为（ ）
A．−10,0B．−6,0C．0,6D．0,10
【答案】A
【解题思路】先将PB·PC转化成PD+DB·PD+DC，再结合平方差公式和已知条件即可求解.
【解答过程】由题AD=DB=DC=12BC=22+622=10，
所以由点P在△ABC斜边BC的中线AD上得PD∈0,10，
故PB·PC=PD+DB·PD+DC=PD+DB·PD−DB
=PD2−DB2=PD2−10∈−10,0，
故选：A.
【变式5-1】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且AB=2，MC=MD=CD=1．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则NA⋅NB的取值范围是（ ）
A．−14,0B．0，34C．14,1D．−34,0
【答案】A
【解题思路】连接MN，求出|NM|的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.
【解答过程】连接MN，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，

因为MC=MD=CD=1，即△MCD是正三角形，于是32≤|NM|0,y>0，
所以1x+2y=1x+2yx+4y=9+4yx+2xy≥9+24yx×2xy =9+42，
当且仅当4yx=2xy即x=22−17,y=4−214时等号成立.
故选：D.
【变式7-3】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在△ABC中，点D满足BD=34BC，点E在射线AD（不含点A）上移动，若AE=λAB+μAC,则(μ+2)2+λ2的取值范围是（ ）
A．[4,+∞)B．(4,+∞)C．(1,+∞)D．[1,+∞)
【答案】B
【解题思路】设AE=kAD,k>0，利用向量的线性运算用k表示λ,μ，再代入求出范围即得.
【解答过程】由点E在射线AD（不含点A）上，设AE=kAD,k>0，又BD=34BC，

则AE=k(AB+BD)=k[AB+34(AC−AB)]=k4AB+3k4AC，于是λ=k4μ=3k4，
因此t=(μ+2)2+λ2=(3k4+2)2+116k2=58k2+3k+4>4，
所以(μ+2)2+λ2的取值范围是(4,+∞).
故选：B.
一、单选题
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量a=2,−1,b=x,2，若a⊥b，则a−b的值为（ ）
A．10B．35C．32D．10
【答案】D
【解题思路】根据向量垂直的坐标关系求出x=1，再结合向量的坐标运算和模长公式求解.
【解答过程】由a⊥b，可得2x−2=0，解得x=1，
∴b=1,2，
∴a−b=1,−3，则a−b=12+−32=10.
故选：D.
2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）在△ABC中，BC=10，M为BC中点，AM=4，则AB⋅AC=（ ）
A．−9B．−16C．9D．16
【答案】A
【解题思路】由题意作图，根据图象，利用平面向量的线性运算，结合数量积的运算律，可得答案.
【解答过程】由题意可作图如下：
则AB=AM+MB，AC=AM+MC，由M为BC的中点，则MB=−MC，
AB⋅AC=AM+MB⋅AM+MC=AM−MC⋅AM+MC
=AM2−MC2=42−52=−9.
故选：A.
3．（2025·全国·模拟预测）已知向量a=2,0，a−b=3,−3，则csa−2b,a=（ ）
A．−35B．75C．277D．77
【答案】C
【解题思路】根据已知向量a=2,0，a−b=3,−3，利用向量减法求出b和a−2b，再通过点积计算求出a−2b⋅a，通过模长计算求出a−2b和a，利用向量夹角的余弦公式csa−2b,a=a−2b⋅aa−2b⋅a求解.
【解答过程】∵a=2,0,a−b=3,−3，
∴b=a−a−b=2−3,0−−3=−1,3.
∴2b=−2,23.
∴a−2b=2,0−−2,23=4,−23.
∴a−2b⋅a=4,−23⋅2,0=4×2+−23×0=8.
∴a=22+02=2,a−2b=42+−232=28=27.
∴csa−2b,a=a−2b⋅aa−2b⋅a=827⋅2=277.
故选：C.
4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D的三等分点，G为EF的中点，记AG=λAB+μAD，则λ+μ=（ ）
A．1712B．1312C．712D．512
【答案】A
【解题思路】根据向量线性运算可得AG→=23AB→+34AD→，计算即可求解.
【解答过程】由题意可得AF→=13AB→+AD→，AE→=AB→+12AD→，
因为G为EF的中点，
所以AG→=12AF→+12AE→=12AD→+16AB→+14AD→+12AB→=23AB→+34AD→，
则λ=23,μ=34，所以λ+μ=23+34=1712.
故选：A.
5．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量a=1, 2, b=2, 3，则下列结论不正确的是（ ）
A．b−a⋅a=3B．a+b⊥21a−13b
C．2b−a=26D．b在a方向上的投影向量为85, 165
【答案】C
【解题思路】根据向量减法的坐标运算求出b−a，再根据向量的数量积运算判断A；根据向量加减的坐标运算求出a+b,21a−13b，再根据数量积是否为0判断B；根据向量模长的计算公式判断C；根据投影向量的计算公式判断D.
【解答过程】对于A，因为a=1, 2, b=2, 3，所以b−a=1,1，所以b−a⋅a=1×1+1×2=3，故A正确；
对于B，因为a=1, 2, b=2, 3，所以a+b=3,5，21a−13b=−5,3，
所以a+b⋅21a−13b=3×−5+5×3=0，故B正确；
对于C，因为a=1, 2, b=2, 3，所以2b−a=3,4，所以2b−a=32+42=5，故C错误；
对于D，因为a=1, 2, b=2, 3，所以a=12+22=5，a⋅b=1×2+2×3=8，
b在a方向上的投影向量为a⋅ba2·a=85·1,2=85,165，故D正确.
故选：C.
6．（2025·河南·二模）在△ABC中，D是AC边的中点，且点M满足BD=3BM，若AM=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．12B．23C．34D．56
【答案】D
【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
【解答过程】因为AM=AB+BM=AB+13BD①，AM=AD+DM=12AC−23BD②，
由①×2+②，得3AM=2AB+12AC，所以AM=23AB+16AC，
即λ=23，μ=16，所以λ+μ=56.
故选：D.
7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：a⋅b=14AD2−BC2，我们称为极化恒等式.在△ABC中，M是BC中点，AM=3，BC=10，则AB⋅AC=（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
【答案】D
【解题思路】由题设有|AM→|=3，|BC|=10代入极化恒等式求AB⋅AC即可.
【解答过程】由题设，|AM|=3，|BC|=10，
AB⋅AC=14×(4|AM|2−|BC|2)=14×(36−100)=−16.
故选：D.
8．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=13EF，则AF⋅BC的值为（ ）
A．34B．18C．−58D．118
【答案】A
【解题思路】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量AF，BC的坐标，利用数量积的坐标运算求AF⋅BC的值即可.
【解答过程】如图，以BC所在直线为x轴，E为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，
由题意可得E0,0，B−12,0，C12,0，A0,32，
则D−14,34,DE=14,−34，BC=1,0
设Fx,y，由DE=13EF得，EF=3DE，
所以x,y=314,−34=34,−334
所以F34,−334，所以AF=34,−534，BC=1,0
所以AF⋅BC=34×1+−534×0=34.
故选：A.
二、多选题
9．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）设向量a→=7,−1，b→=2,−1，下列结论正确的是（ ）
A．a=50
B．a−3b⊥b
C．a与b夹角的余弦值为31010
D．a在b方向上的投影向量的坐标为(6,−3)
【答案】BCD
【解题思路】利用平面向量模长公式、两向量垂直条件、两向量夹角计算公式、投影向量计算公式逐项分析.
【解答过程】对于A，∵a→=7,−1，则a=72+−12=52，A错误；
对于B，因a→−3b→=7,−1−32,−1=7,−1−6,−3=1,2，
则a−3b⋅b=1×2+2×−1=0，∴a−3b⊥b，B正确；
对于C，因a=72+−12=52，b=22+−12=5，
则a与b夹角的余弦值为csa,b=a⋅ba⋅b=7×2+1×152×5=31010，C正确；
对于D，a→⋅b→b→2⋅b→=7×2+1×1(5)2⋅2,−1=6,−3 ，D正确.
故选：BCD.
10．（24-25高一下·浙江·期中）已知△ABC的内角A=π3，AB=5，AC=3，O为△ABC所在平面上一点，设AO=mAB+nAC，则下列说法正确的是（ ）
A．若OA+OB+OC=0，则m=23
B．若OA+OB+OC=0，则m+n=23
C．若OA=OB=OC，则m+3n=45
D．若OA=OB=OC，则m+2n=25
【答案】BC
【解题思路】对A，B，对AO=mAB+nAC变形可得m+n−1OA=mOB+nOC，结合已知条件即可求解；对C，D，结合已知条件，首先利用数量积公式求出AO⋅AB和AO⋅AC的值，再利用AO=mAB+nAC得到关于m和n的两个关系式，进而即可求解；
【解答过程】对于A，B，因为AO=mAB+nAC，则−OA=mOB−OA+nOC−OA，
所以m+n−1OA=mOB+nOC，
若OA+OB+OC=0，则1−m−nOB+OC=mOB+nOC，
由题易知点O不在BC上，即OB→,OC→不共线，
∴1−m−n=m1−m−n=n，解得m=n=13，故A错误，B正确；
对于C，D，若OA=OB=OC，则O是△ABC的外心，
故AO⋅AB=AO⋅AB⋅csAO,AB=AB22=252，
同理，可得AO⋅AC=AC22=92，
由AO=mAB+nAC，知AO⋅AB=mAB2+nAB⋅AC=25m+152n，
∴25m+152n=252，即10m+3n=5，
又AO⋅AC=mAB⋅AC+nAC2=152m+9n，可得5m+6n=3，
联立10m+3n=55m+6n=3，解得m=715，n=19，
所以m+3n=715+3×19=45，m+2n=715+2×19=3145，故C正确，D错误.
故选：BC.
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形ABCD中，AB=10，BC=8，BM=λBC，DN=μDC，其中0≤λ，μ≤1，MN=5，则（ ）
A．λ+μ是定值B．若μ=35，则AN=58AD+35AM
C．AM⋅AN>90D．AM+AN2≤521
【答案】BCD
【解题思路】举例可说明λ+μ不是定值，当μ=35时，由MN=5可确定λ的值，再利用向量的线性运算可求AN，设线段MN的中点P，则AM⋅AN=AP2−PM2，再利用基本不等式可确定C，由AM+AN2=4|AP|2即可确定D.
【解答过程】当CM=5时，N与C重合，λ+μ=38+1=118，当CN=5时，，M与C重合，
1+12=32，故A错误；
当μ=35时，CN=4，而MN=5，故CM=3，
则AN=AD+DN=AD+35AB=58AD+38AD+35AB=58AD+3558AD+AB
=58AD+3558BC+AB=58AD+35BM+AB=58AD+35AM，故B正确；
取线段MN的中点P，因为CP=12MN52，故点P在以C为圆心、52为半径的圆上,与BC,DC分别交于H、I，且在矩形ABCD内（含边上位置），
∵AP+PC≥AC，∴AP≥AC−PC=241−52，
当点P在H处时，AP取得最大值100+8−522=5212，
AM⋅AN=(AP+PM)⋅(AP−PM)=AP2−PM2≥241−522−254=164−1041>90，故C正确；
AM+AN2=2AP2=4|AP|2≤4AH2=4×5214=521，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知平面向量a=(x,1)，b=(1−x,2x)，若a⊥(a+b)，则|a|= ．
【答案】103
【解题思路】根据给定条件，利用向量坐标运算求出x，再利用坐标求出向量的模.
【解答过程】由向量a=(x,1)，b=(1−x,2x)，得a+b=(1,1+2x)，
由a⊥(a+b)，得a⋅(a+b)=x+1+2x=3x+1=0，解得x=−13，
所以|a|=x2+1=103.
故答案为：103.
13．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在△ABC中，AD为中线，AD=3,BC=2，则AB⋅AC等于 .
【答案】8
【解题思路】根据题意结合数量积的运算律即可得到答案.
【解答过程】因为AD为中线，BC=2，则CD=1，
可得AB→⋅AC→=AD→−DC→·AD→+DC→=AD→2−DC→2=AD→2−DC→2=9−1=8.
故答案为：8.
14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥AD，E是CD的中点，若AC=λBD+μAE，则λ+μ= .
【答案】1
【解题思路】首先用AD→,DC→将向量BD→,AE→表述出来，然后化简原等式，从而可求出λ,μ的值，从而得到答案.
【解答过程】AC→=λBD→+μAE→=λ−12DC→+AD→+μAD→+12DC→=12μ−12λDC→+λ+μAD→，
而AC→=AD→+DC→，所以12μ−12λ=1μ+λ=1，解得μ=32λ=−12.
所以λ+μ=1.
故答案为：1.
四、解答题
15．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量a=x,0，b=1,x，且a−b=1．
(1)求x的值；
(2)求向量a与b的夹角；
(3)求向量a在b方向上的投影向量的模．
【答案】(1)1
(2)π4
(3)22
【解题思路】（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案.
（2）根据向量的夹角公式求解即可.
（3）求出向量a在b方向上的投影向量，即可求得答案.
【解答过程】（1）已知非零向量a=x,0，b=1,x，故a−b=x−1,−x，
而a−b=1，故x−12+−x2=1，解得x=1或x=0，
由于a=x,0为非零向量，故x≠0，故x=1；
（2）结合（1）可知a=1,0，b=1,1，则a⋅b=1,0⋅1,1=1，
故cs⟨a,b⟩=a⋅bab=11×2=22，
故向量a与b的夹角为π4；
（3）向量a在b方向上的投影向量为a⋅bb⋅bb=12b，b→=2，
故向量a在b方向上的投影向量的模为12b=22.
16．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知向量a=1,x−1，b=2,3.
(1)若b⊥(a+b)，求x的值；
(2)若向量c=1,2，b//a+c，求a与b的夹角的余弦值.
【答案】(1)−4
(2)52626
【解题思路】（1）先求a+b，再由关系b⊥a+b结合向量垂直的坐标表示列方程可求x，
（2）先求a+c，再由条件结合向量平行的坐标表示列方程求x，根据向量夹角公式求结论.
【解答过程】（1）因为a=1,x−1，b=2,3，
所以a+b=3,x+2，
因为b⊥a+b，b=2,3，a+b=3,x+2，
所以2×3+3x+2=0，
所以x=−4，
所以x的值为−4，
（2）因为a=1,x−1，c=1,2，
所以a+c=2,x+1，
因为b//a+c，b=2,3，a+c=2,x+1，
所以2x+1=2×3，
所以x=2，
所以a=1,1，又b=2,3，
所以a⋅b=1×2+1×3=5，a=2，b=4+9=13，
所以csa,b=a⋅bab=52×13=52626，
所以a与b的夹角的余弦值为52626.
17．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=6，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且BE=λBC(0