新高考数学一轮复习考点题型训练 5.5平面向量中的最值、范围问题（精练）（2份，原卷版+解析版）

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【题型一 平面向量数量积的最值范围问题】
1.（2022·河南高三月考）已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】如图，
，，且，
，
．
由题意可得，，，
，
，则，
（当且仅当时等号成立），
的最小值为．
故答案为：．
2.（2022·陕西·交大附中模拟预测）如图，已知两个模都为10的向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心，10为半径的上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
要使最小，即最大
而为定值，为定值10
只要与同向即可使最大
的最小值为.
故选：A
3. （2022·山东·山师附中模拟预测）在平面内，若有，，则的最大值为________．
【答案】
【解析】根据条件，；
；
，如图，作，则，连接，取的中点，连接，则；
由得，；
；
作，连接，，则；
；
点在以为直径的圆上；
当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，即最大；
又,
又,且,
所以,
所以在上的最大投影为，
所以,
故答案为：
4. （2022·云南玉溪·高三月考）等边的面积为，且的内心为M，若平面内的点N满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等边的边长为，则面积，解得
以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
由为的内心，则M在上，且
则，
由，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.
设，则，即，且
，
故选: A

5. （2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．
【答案】
【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．
设，，
，
在中，由勾股定理得，则，
BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，
∴且，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在等边中，F为MN中点，则，，
，
在中，由余弦定理得
，
当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，
当且仅当时等号成立．
∵关于b的函数在上单调递增，
∴，当且仅当时等号成立．
∴，当且仅当，时等号成立.
故答案为：．
6. （2022·四川凉山·三模）已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，
所以正六边形的内切圆的半径为，
外接圆的半径为，
又由
，
因为，即，可得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【题型二 平面向量模的最值范围问题】
1.（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知为单位向量，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，所以为等边三角形，
以为原点建立如图所示直角坐标系，则，
设，，则，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，
因为，
所以.
故选：A.
2.（2022·福建泉州·模拟预测）已知平面向量，，满足，且，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，又，
所以，
如图所示：
不妨设，
则，
所以，
因为，
所以，即，
表示点C在以为圆心，以2为半径的圆上，
所以最小值为，
故选：D
3. （2022·全国·高三课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．4
【答案】B
【解析】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，
因为，，
所以，
所以，，
所以，
所以，
所以当，即时，的最小值为.
故选：B
4. （2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知平面向量满足，，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】，，，
解得：，即，即，
不妨令，，设，
则，
，，
则的几何意义为：直线上的点到和的距离之和，即；
作出点关于直线的对称点，
，（当且仅当三点共线时取等号），
设，则，解得：，
，即的最小值为.
故答案为：.
5. （2022·吉林长春·模拟预测）已知在中，，，点是边上的动点，则当取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，，，.
，则当时，取得最小值，此时
，.
故选：.
【题型三 平面向量夹角的最值范围问题】
1.（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值．当时，夹角的取值范围为
A．B．，C．，D．
【解析】解：由题意可得，，
，
由二次函数知，当上式取最小值时，，
由题意可得，求得，
，
故选：．
2.（2022·河北武强中学高三月考）设两向量、满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为，，求实数的取值范围．
【解析】解：两向量、满足，，、的夹角为，
不妨设，，
则，，．
向量与向量的夹角为，，
向量，
化为，
解得或．
实数的取值范围是或．
【题型四 平面向量中系数的最值范围问题】
1.（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．
故选：B．
2.（2022·海南海口·二模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
3. （2022•南通期末）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时

所以，即
当M与C重合时，最大，此时

所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即
所以选B
4. （2022•济南期末）在直角中，为直角，，M是内一点，且，若，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】，，，，则，且，
则，
点在内，则，，设，，
，其中，
因此，的最大值为.
故答案为：.