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高考数学第一轮复习(新教材新高考)第06讲平面向量中的范围与最值问题(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)
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这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第06讲平面向量中的范围与最值问题(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共52页。试卷主要包含了模长的范围及最值问题，夹角的范围及最值问题，双空题等内容，欢迎下载使用。
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
知识讲解
模长的范围及最值
与向量的模有关的问题, 一般都会用到 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
夹角的范围及最值
结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
考点一、模长的范围及最值问题
1．（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1B．2C．D．
2．（湖南·高考真题）已知是单位向量，.若向量满足（ ）
A．B．
C．D．
3．（四川·高考真题）已知正三角形的边长为，平面内的动点满足，，则的最大值是
A．B．C．D．
1．（全国·高考真题）设向量满足，，，则的最大值等于
A．4B．2C．D．1
2．（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为
A．6B．7C．8D．9
3．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A．B．C．D．
考点二、夹角的范围及最值问题
1．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则
1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量满足，则与所成夹角的取值范围是 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知不共线向量，满足，且，向量，的夹角为，若，则的最小值为 ．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东潍坊·校考一模）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·统考模拟预测）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
5．（2021·全国·校联考模拟预测）在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·重庆·校联考二模）已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13B．C．5D．
8．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A．B．C．D．
9．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（ ）
A．12B．C．D．
10．（2021春·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·浙江·模拟预测）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ．
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为 .
15．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为 ．
16．（2023·吉林·统考三模）已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是 ．
17．（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 .
18．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为 .
19．（2023·青海西宁·统考一模）1955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点A的坐标为，点满足，，则的最小值是 .
20．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）等腰直角的斜边的端点分别在，的正半轴上移动（点与原点在两侧），，若点为中点，则的取值范围是 .
21．（2023·上海·统考模拟预测）已知向量满足与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ．
22．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是
23．（2022·浙江温州·统考二模）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是 .
24．（2022·浙江金华·统考三模）已知平面向量，，满足，当取到最小值sh，对任意实数，的最小值是 ．
25．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 .
26．（2023·上海宝山·统考二模）已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为 ．
27．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
28．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是 .
29．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 .
30．（2021·上海浦东新·统考三模）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为 .
31．（2022·浙江金华·浙江省义乌中学校联考模拟预测）已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为 .
32．（2023·四川南充·统考一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
33．（2021·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，则的最大值是 .
34．（2021·浙江嘉兴·统考二模）已知向量，，，若且，则的最小值是 ．
35．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值
36．（2022·全国·高三专题练习）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是 .
37．（2023·全国·高三专题练习）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
38．（2022·浙江·模拟预测）已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为 .
三、双空题
39．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在平面内，定点，满足，且，则 ；平面内的动点满足，，则的最大值是 ．
40．（2022·浙江·高三专题练习）已知是空间单位向量，，若空间向量满足：，则 ，对于任意，向量与向量所成角的最小值为 ．
第06讲 平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
知识讲解
模长的范围及最值
与向量的模有关的问题, 一般都会用到 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
夹角的范围及最值
结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
考点一、模长的范围及最值问题
1．（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1B．2C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，
，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．
考点：平面向量数量积的运算．
2．（湖南·高考真题）已知是单位向量，.若向量满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.
3．（四川·高考真题）已知正三角形的边长为，平面内的动点满足，，则的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又
，它表示圆上点与点距离平方的，，故选B．
考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.
1．（全国·高考真题）设向量满足，，，则的最大值等于
A．4B．2C．D．1
【答案】A
【详解】
因为，，所以,.
如图所以，设，则,,.
所以，所以，所以四点共圆.
不妨设为圆M，因为,所以.
所以,由正弦定理可得的外接圆即圆M的直径为.
所以当为圆M的直径时，取得最大值4.
故选A.
点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.
考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质
【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.
3．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
考点二、夹角的范围及最值问题
1．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到，，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值.
【详解】，
即，；
，
即，；
设向量与所成夹角为，
（当且仅当时取等号）；
又，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向量夹角的余弦值表示为关于的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.
3．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则
【答案】
【分析】方法一：记，，，由条件可得，由此确定点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，设圆的半径为，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O为原点，OA，OB为x，y轴建立坐标系，求点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，由求点E的坐标，由此可求.
【详解】解：记，，，
则，
即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）．
下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，
所以．
下面求当最大时，的值．
记圆的半径为，则．
所以只需求出圆的半径为即可．
法一：如右图，为弦的中点，
在中，由余弦定理求得，
，则．
在中，，，，，
由余弦定理得，．
即．
法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上．
以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大．
圆心在弦的中垂线上，设，
则，
即，
化简得，即或（舍去），
此时，得．
故答案为：.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量满足，则与所成夹角的取值范围是 .
【答案】
【解析】令||＝|2|＝x，向量（）与（2）的夹角为θ，与的夹角为α，即可得到方程cs2α，化简为对勾函数的形式，根据对勾函数的值域求cs2α的范围，从而可得α的最大值．
【详解】令||＝|2|＝x，向量（）与（2）的夹角为θ∈[0，π]，
因为2（）﹣（2），
所以（）•（）＝（）•[2（）﹣（2）]＝2||2﹣|||2|csθ①，
若与的夹角为α∈[0，π]，即（）•（）＝||||csα②，
所以由①②知，||csα＝2||﹣|2|csθ＝2x﹣xcsθ＝x（2﹣csθ），
所以csα＞0，
即||2cs2α＝4x2﹣4x2csθ+x2cs2θ，
又因为||2＝|2（）﹣（2）|2＝5x2﹣4x2csθ，
所以cs2α，令m＝5﹣4csθ，
即cs2α，m∈[1，9]，有cs2α∈[，1]，
又因为csα＞0，
所以csα∈[，1]，
所以α的最大值是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义及向量加减运算转化（）•（）＝（）•[2（）﹣（2）]求解
3．（2022·全国·高三专题练习）已知不共线向量，满足，且，向量，的夹角为，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先分别表示出和，然后代入，整理变形得，再结合求解的最小值.
【详解】因为，
同理，
所以，
变形得：，
两边平方整理得：，
再两边平方整理得：，
又因为，所以，故
解得：．
故答案为：.
【点睛】本题考查根据向量的模长关系求向量夹角余弦值最值问题，难度较大.解答时，将原式灵活变形是关键.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先设，，，画出图形，根据已知条件得到在以为直径的圆上，再结合图形求解即可.
【详解】如图所示：
设，，，
则，，
因为，所以，即.
所以在以为直径的圆上.
设的中点为，因为和是平面内两个单位向量，且，
所以，.
所以.
故选：B
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在平面内一点，作，，，取的中点，计算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.
【详解】在平面内一点，作，，，则，则，
因为，则，故为等腰直角三角形，则，
取的中点，则，
所以，，所以，，
因为，
所以，，则，
所以，.
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.
故选：B.
3．（2023·山东潍坊·校考一模）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.
【详解】由可知,，故，
如图建立坐标系，，，
设，由可得：
，
所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，
所以，几何意义为到距离的2倍，
由儿何意义可知，
故选：D.
4．（2021·全国·统考模拟预测）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.
【详解】如图:令，，则，故.
因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.
设，连接，因为，所以点在直线上.
因为，所以，即，所以.
结合图形可知，当时，即取得最大值，且.
故选：D
【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.
5．（2021·全国·校联考模拟预测）在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的加法可得，再由向量的数量积运算得，由可得选项．
【详解】因为，，
又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以，
又因为，
所以，
且 ，
所以，即，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查向量的数量积运算，求线段的长度的范围，关键在于待求向量用已知向量表示，由已知向量的数量积的范围得以解决．
6．（2023·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，
设中点为，，
由垂径定理得，
在圆上，
又 ，
由图可知，
，
的范围为.
故选：C
7．（2022·重庆·校联考二模）已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13B．C．5D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，可以表示出的坐标，再设点，即可用与表示出，即可求出答案.
【详解】建立如图所示坐标系，
则点，
设点，且，
则
故当 时，有最大值为13
故选：A.
8．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
9．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】A
【分析】画出图分析，将的最大值转化为点到圆上一点距离的最大值求解即可.
【详解】如图：
取BC，BD中点E，G，可知，且，
取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以最大值为，
故的最大值为12.
故选：A.
10．（2021春·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作，，，取的中点，连接，分析出为等边三角形，可求得，计算得出，利用圆的几何性质求出面积的最大值，即可得出结果.
【详解】如下图所示，作，，，取的中点，连接，
以点为圆心，为半径作圆，
，，，
所以，为等边三角形，
为的中点，，所以，的底边上的高为，
，，
所以，，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，
的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，
因此，的最大值为.
故选：B.
【点睛】结论点睛：已知圆心到直线的距离为，且圆的半径为，则圆上一点到直线距离的最大值为.
11．（2022·浙江·模拟预测）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量运算，由米勒最大角定理分析运算可得结果，或者直接建立坐标系，利用坐标结合基本不等式计算可得结果.
【详解】根据题意：与共线，点位于的等分点处(靠近点)
解法一：欲使最大，根据“米勒最大角定理”，此时以为弦圆与相切，根据切割弦定理：,故.
解法二：设，则，有=
，
当且仅当时成立.
故选:A
12．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解.
【详解】由，两边平方得
又，且对任意实数恒成立，
即恒成立，所以，
即，所以，即.
由，知，
所以,
当且仅当与同向时取等号.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力.
二、填空题
13．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ．
【答案】/2.5
【分析】由，可求得，再求解，结合向量模长的三角不等式，即得解.
【详解】由题意，，又，
故，
故，
由向量模长的三角不等式，，
即，
解得：，则的最大值为.
故答案为：
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为 .
【答案】104
【分析】首先根据平面向量的线性运算得到，根据的外接圆半径为3，得到，即可得到答案.
【详解】如图所示：
，，
因为，所以.
因为的外接圆半径为3，所以，当且仅当AE为圆直径时等号成立.
所以，
当且仅当AE为圆直径时等号成立.
故答案为：
15．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理可求得，设，根据向量线性运算和数量积运算的定义可求得，结合余弦定理可得，由此可得结果.
【详解】
，，
由圆的方程知：圆的半径，．
设，则，为线段的中垂线，，
，即，
；
，，解得：，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的最值问题的求解，解题关键是能够根据几何关系，利用向量线性运算和数量积运算的定义，结合图形关系和已知不等关系将问题转化为求解线段长度最值的问题.
16．（2023·吉林·统考三模）已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是 ．
【答案】/
【分析】由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件确定确定点C在以(1,2)为圆心，1为半径的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案.
【详解】由，得，
建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设 ，由，
得 ，
所以点C在以Q(1,2)为圆心，1为半径的圆上.
所以
故答案为：
17．（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据题意作出图形，利用数形结合即可求解.
【详解】如图，设，，，，，
则点在以为圆心，以为半径的圆上，点在以为圆心，以为半径的圆上，
，所以点在射线上，
所以，
作点关于射线对称的点，则，且，
所以（当且仅当点三点共线时取等号）
所以的最小值为，
故答案为：.
18．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为 .
【答案】
【分析】由，可得为的外心，又可得为的垂心，则为的中心，即为正三角形．运用向量的数量积定义可得的边长，以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求得的坐标，再设，由中点坐标公式可得的坐标，运用两点的距离公式可得的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．
【详解】解: 由，可得为的外心，
又
可得 ，即，
即有，可得为的垂心，
则为的中心，即为正三角形，
由即有，
解得，的边长为，
以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
可得，
由，可设，
由，可得为中点，即有，
则
，
当，即时，取得最大值，且为．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．（2023·青海西宁·统考一模）1955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点A的坐标为，点满足，，则的最小值是 .
【答案】
【分析】先根据得到点M的轨迹方程，利用和几何意义要想使最小，只需最小，设出，用两点间距离公式得到，根据求出，进而求出的最小值.
【详解】因为，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为，所以，要想使最小，只需最小，设，，则，其中，因为，所以当时，取得最小值，，此时.
故答案为：
20．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）等腰直角的斜边的端点分别在，的正半轴上移动（点与原点在两侧），，若点为中点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，用的正余弦表示出点C，D坐标，结合向量模的坐标表示及三角函数性质求解作答.
【详解】如图，设，则，线段中点，
，，则有，
，
，由得，
于是得，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
21．（2023·上海·统考模拟预测）已知向量满足与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，根据向量减法的模的几何意义求得最小值.
【详解】如图，设，
当时，取得最小值，
过B作，即取得最小值为，
因为与的夹角为，
所以，
所以．
故答案为：
22．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是
【答案】
【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.
【详解】
解：如图，，，则，，
已知，即，所以，
取BD的中点O，则有，
而，根据三角形的三边关系可知
则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，
记向量的夹角为，则，
同理，
由，可得，
则，
当，即时取等号，
所以，即的最小值是，
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长.
23．（2022·浙江温州·统考二模）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】分析题目条件，利用向量的数量积结合几何性质解题
【详解】由题，令，则,
因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上，
，又因为，利用数量积公式展开可得，
所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆，
所以C的横坐标的最大值为，
，即为在上的投影，最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何图形的关系转化向量的关系.
24．（2022·浙江金华·统考三模）已知平面向量，，满足，当取到最小值sh，对任意实数，的最小值是 ．
【答案】/
【分析】构造单位圆，设出向量，，，由题设得到CA、CB是圆O的两条切线，，从而由当取到最小值时，求得，结合表示的是以O为起点，终点在AB上的向量，可求得答案.
【详解】如图，设为单位圆O的两条半径，记，，，
设，由题意，
可知CA、CB是圆O的两条切线，则 ，
故，
当且仅当，即时取“＝”，此时 ，
因为表示的是以O为起点，终点在AB上的向量，
故当该向量垂直于向量 时，其模最小，
记，则 ，则，
故答案为：
25．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与的夹角为，由题意，计算，，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将转化为，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值.
【详解】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，
与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF.
由，，，得，，
因为，所以，在中，由余弦定理得.
又由，得，即，
所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.
因为
，
当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.
26．（2023·上海宝山·统考二模）已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为 ．
【答案】4
【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值.
【详解】由非零平面向量不共线，且满足，建立如图所示的平面直角坐标系：
则，则，由，则，
则直线的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即时取等号，此时，则，
所以，故填：4.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.
27．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到的，并将其平移至使，即有，问题化为求点到直线距离.
28．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出图形，表示出，，从而确定，利用正弦定理得到，结合，求出的取值范围.
【详解】设，，如图所示，
则，
因为与的夹角为，
所以，
因为，所以由正弦定理得：
，所以，
因为，所以
故答案为：.
29．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 .
【答案】/
【分析】根据题意，设， ， ，，利用题设可确定向量对应的轨迹以及向量对应的轨迹，将的最小值转化为两轨迹上的点之间的距离的最小值，数形结合，求解答案.
【详解】根据题意，设，，，，
因为与夹角为，
所以，整理得，
即向量对应的轨迹为射线或，
因为向量满足 ，
所以，即向量对应的轨迹为抛物线：，
则即为上的点与射线或上的点之间的距离，
如图，
当最小值时，对应的点在上，
设直线，由图可知，当直线与相切时，切点设为A，
此时最小，联立方程 ，得，
由得，则，解得，
故，则A到射线的距离为,
所以的最小值为，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解答本题求解的最小值，关键在于确定向量对应的点所在的轨迹方程，将的最小值转化为曲线上的点之间距离的最小值问题，数形结合，可求解答案.
30．（2021·上海浦东新·统考三模）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时、关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.
【详解】由题意，，
∴令，，故有共线，
∵，故当且仅当为最小时，最小，
∴有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，
∴，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知，、、的终点共线，且可分析得、关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.
31．（2022·浙江金华·浙江省义乌中学校联考模拟预测）已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为 .
【答案】/
【分析】设出向量，根据题干条件得到关于的不等式问题，由根的判别式得到不等关系，求出，从而求出的模的最大值.
【详解】设，，满足，
即满足①，都存在，使得恒成立，
即存在，使得②，
由①②可知：存在，使得成立
即，即，
化简得：③，
即③式恒成立，则必须满足，
解得：，即，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】有关于向量模长的取值问题或最值问题，坐标化处理是一种重要方法和思路，结合题目特征，合理设出向量，利用向量的坐标运算公式，二次函数根的分布或基本不等式，导函数等进行求解.
32．（2023·四川南充·统考一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合二次函数的性质，由的最小值求得向量与的夹角，判断出点对应的轨迹，从而求得的取值范围.
【详解】设向量与的夹角为，，则，
，
所以当时，取得最小值为，
即，
所以.
如图所示，设，三角形是等边三角形，
设是的中点，则，
由于，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，
根据圆的几何性质可知，即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本小题解题难点有两点，第一点是的最小值的用法，有关向量模的试题，可以考虑利用平方再开方的方法进行转化，结合向量的数量积运算来求解.第二点是的用法，转化为向量垂直、轨迹为圆来配合解题.
33．（2021·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，则的最大值是 .
【答案】
【分析】先得到，然后假设坐标，得到的终点坐标满足的方程，同时得到的终点的轨迹方程，最后使用参数方程进行求解，计算即可.
【详解】由，又，所以可知
又，所以
设的终点为，的终点为，其中
由①，设，
则，
所以， ②
将②代入①并化简可得
令设，
所以
当时，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用坐标求解并得到的终点轨迹方程是关键.
34．（2021·浙江嘉兴·统考二模）已知向量，，，若且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据条件可设，利用向量的坐标运算求出点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，问题可转化为圆上动点到定点的距离问题求解.
【详解】，
，
，
故可设
则，
，
,
,
,
即点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
，
即求圆M上动点到点的距离的平方的最小值减1即可，
设圆心M到的距离为，
则，
则的最小值为
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标运算，求出满足条件的动点C的轨迹方程，所求的坐标表示，利用圆的几何性质是解题的关键，属于难题.
35．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值
【答案】
【分析】先根据平面向量的数量积公式求出与的夹角，根据条件，可设，再设，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出，即可求出结果.
【详解】解：，设与的夹角为，
，
，又，则，
不妨设，再设，
则
，
即，
所以的最大值为.
故答案为：.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】分析题目条件，利用向量的数量积结合几何性质解题
【详解】由题，令，则,
因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上，
，又因为，利用数量积公式展开可得，
所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆，
所以C的横坐标的最大值为，
，即为在上的投影，最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何图形的关系转化向量的关系.
37．（2023·全国·高三专题练习）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
38．（2022·浙江·模拟预测）已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为 .
【答案】-3
【分析】先数形结合得出到OA距离为1，再建立坐标系，利用三角形内角和关系转化为求的最大值，利用坐标转化为求函数最值问题，利用求导找出函数的单调性，结合单调性可得函数的最值，进一步得到答案.
【详解】设,
由的最小值为1（为实数），
到OA距离为1，
如图建立坐标系，，
，，
，
，
令
，
令，得，
单调递减；
单调递增；
单调递减；
单调递增；
，
，
，即最大值为
故答案为：
【点睛】思路点睛：建立坐标系，在图形中找到角度的关系，转化为求的最大值，再转化为求函数最值问题，结合导数求证函数的单调性，即可分析函数的最值.
三、双空题
39．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在平面内，定点，满足，且，则 ；平面内的动点满足，，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出，进而根据，平方后计算出，从而求出；然后建立平面直角坐标系，设出，表达出和，利用三角函数有界性求出最大值.
【详解】因为，，
所以，两边平方得：，
即，解得：，
因为，
所以，
因为
所以；
可得到△ABC是等边三角形，且边长为，
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，
，，
因为，所以设，，
由可得：是线段PC的中点，则，
则
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：，
40．（2022·浙江·高三专题练习）已知是空间单位向量，，若空间向量满足：，则 ，对于任意，向量与向量所成角的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意得：，根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；
设向量与向量所成角为，根据求夹角公式，令,计算可得，令，（），利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得的最大值，即可得答案.
【详解】由题意得：
=.
因为
设向量与向量所成角为，
所以，
当时，夹角才可能最小，令（），
则，
令，（），则，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，
所以，即.
所以向量与向量所成角的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】解题的关键是熟练掌握求模，求夹角的方法，并灵活应用，难点在于，需结合导数，判断的单调性，求得最值，当最大时，角度最小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
类别
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
类别
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
知识讲解
模长的范围及最值
与向量的模有关的问题, 一般都会用到 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
夹角的范围及最值
结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
考点一、模长的范围及最值问题
1．（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1B．2C．D．
2．（湖南·高考真题）已知是单位向量，.若向量满足（ ）
A．B．
C．D．
3．（四川·高考真题）已知正三角形的边长为，平面内的动点满足，，则的最大值是
A．B．C．D．
1．（全国·高考真题）设向量满足，，，则的最大值等于
A．4B．2C．D．1
2．（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为
A．6B．7C．8D．9
3．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A．B．C．D．
考点二、夹角的范围及最值问题
1．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则
1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量满足，则与所成夹角的取值范围是 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知不共线向量，满足，且，向量，的夹角为，若，则的最小值为 ．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东潍坊·校考一模）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·统考模拟预测）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
5．（2021·全国·校联考模拟预测）在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·重庆·校联考二模）已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13B．C．5D．
8．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A．B．C．D．
9．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（ ）
A．12B．C．D．
10．（2021春·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·浙江·模拟预测）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ．
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为 .
15．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为 ．
16．（2023·吉林·统考三模）已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是 ．
17．（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 .
18．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为 .
19．（2023·青海西宁·统考一模）1955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点A的坐标为，点满足，，则的最小值是 .
20．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）等腰直角的斜边的端点分别在，的正半轴上移动（点与原点在两侧），，若点为中点，则的取值范围是 .
21．（2023·上海·统考模拟预测）已知向量满足与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ．
22．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是
23．（2022·浙江温州·统考二模）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是 .
24．（2022·浙江金华·统考三模）已知平面向量，，满足，当取到最小值sh，对任意实数，的最小值是 ．
25．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 .
26．（2023·上海宝山·统考二模）已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为 ．
27．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
28．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是 .
29．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 .
30．（2021·上海浦东新·统考三模）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为 .
31．（2022·浙江金华·浙江省义乌中学校联考模拟预测）已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为 .
32．（2023·四川南充·统考一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
33．（2021·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，则的最大值是 .
34．（2021·浙江嘉兴·统考二模）已知向量，，，若且，则的最小值是 ．
35．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值
36．（2022·全国·高三专题练习）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是 .
37．（2023·全国·高三专题练习）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
38．（2022·浙江·模拟预测）已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为 .
三、双空题
39．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在平面内，定点，满足，且，则 ；平面内的动点满足，，则的最大值是 ．
40．（2022·浙江·高三专题练习）已知是空间单位向量，，若空间向量满足：，则 ，对于任意，向量与向量所成角的最小值为 ．
第06讲 平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
知识讲解
模长的范围及最值
与向量的模有关的问题, 一般都会用到 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
夹角的范围及最值
结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
考点一、模长的范围及最值问题
1．（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1B．2C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，
，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．
考点：平面向量数量积的运算．
2．（湖南·高考真题）已知是单位向量，.若向量满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.
3．（四川·高考真题）已知正三角形的边长为，平面内的动点满足，，则的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又
，它表示圆上点与点距离平方的，，故选B．
考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.
1．（全国·高考真题）设向量满足，，，则的最大值等于
A．4B．2C．D．1
【答案】A
【详解】
因为，，所以,.
如图所以，设，则,,.
所以，所以，所以四点共圆.
不妨设为圆M，因为,所以.
所以,由正弦定理可得的外接圆即圆M的直径为.
所以当为圆M的直径时，取得最大值4.
故选A.
点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.
考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质
【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.
3．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
考点二、夹角的范围及最值问题
1．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.
【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
，，，
，，三者直接各自的夹角都为锐角，
，，，
，，即在上的投影为1，在上的投影为3，
，，如图
，
即，且
则，
由基本不等式得，
，
与的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到，，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值.
【详解】，
即，；
，
即，；
设向量与所成夹角为，
（当且仅当时取等号）；
又，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向量夹角的余弦值表示为关于的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.
3．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则
【答案】
【分析】方法一：记，，，由条件可得，由此确定点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，设圆的半径为，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O为原点，OA，OB为x，y轴建立坐标系，求点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，由求点E的坐标，由此可求.
【详解】解：记，，，
则，
即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）．
下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，
所以．
下面求当最大时，的值．
记圆的半径为，则．
所以只需求出圆的半径为即可．
法一：如右图，为弦的中点，
在中，由余弦定理求得，
，则．
在中，，，，，
由余弦定理得，．
即．
法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上．
以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大．
圆心在弦的中垂线上，设，
则，
即，
化简得，即或（舍去），
此时，得．
故答案为：.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】设与夹角为，与所成夹角为，
，
所以，，①
，②
又，③
②与③联立可得，④
①④联立可得，
当且仅当时，取等号，，，则，
故与所成夹角的最大值是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量满足，则与所成夹角的取值范围是 .
【答案】
【解析】令||＝|2|＝x，向量（）与（2）的夹角为θ，与的夹角为α，即可得到方程cs2α，化简为对勾函数的形式，根据对勾函数的值域求cs2α的范围，从而可得α的最大值．
【详解】令||＝|2|＝x，向量（）与（2）的夹角为θ∈[0，π]，
因为2（）﹣（2），
所以（）•（）＝（）•[2（）﹣（2）]＝2||2﹣|||2|csθ①，
若与的夹角为α∈[0，π]，即（）•（）＝||||csα②，
所以由①②知，||csα＝2||﹣|2|csθ＝2x﹣xcsθ＝x（2﹣csθ），
所以csα＞0，
即||2cs2α＝4x2﹣4x2csθ+x2cs2θ，
又因为||2＝|2（）﹣（2）|2＝5x2﹣4x2csθ，
所以cs2α，令m＝5﹣4csθ，
即cs2α，m∈[1，9]，有cs2α∈[，1]，
又因为csα＞0，
所以csα∈[，1]，
所以α的最大值是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义及向量加减运算转化（）•（）＝（）•[2（）﹣（2）]求解
3．（2022·全国·高三专题练习）已知不共线向量，满足，且，向量，的夹角为，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先分别表示出和，然后代入，整理变形得，再结合求解的最小值.
【详解】因为，
同理，
所以，
变形得：，
两边平方整理得：，
再两边平方整理得：，
又因为，所以，故
解得：．
故答案为：.
【点睛】本题考查根据向量的模长关系求向量夹角余弦值最值问题，难度较大.解答时，将原式灵活变形是关键.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先设，，，画出图形，根据已知条件得到在以为直径的圆上，再结合图形求解即可.
【详解】如图所示：
设，，，
则，，
因为，所以，即.
所以在以为直径的圆上.
设的中点为，因为和是平面内两个单位向量，且，
所以，.
所以.
故选：B
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在平面内一点，作，，，取的中点，计算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.
【详解】在平面内一点，作，，，则，则，
因为，则，故为等腰直角三角形，则，
取的中点，则，
所以，，所以，，
因为，
所以，，则，
所以，.
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.
故选：B.
3．（2023·山东潍坊·校考一模）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.
【详解】由可知,，故，
如图建立坐标系，，，
设，由可得：
，
所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，
所以，几何意义为到距离的2倍，
由儿何意义可知，
故选：D.
4．（2021·全国·统考模拟预测）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.
【详解】如图:令，，则，故.
因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.
设，连接，因为，所以点在直线上.
因为，所以，即，所以.
结合图形可知，当时，即取得最大值，且.
故选：D
【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.
5．（2021·全国·校联考模拟预测）在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的加法可得，再由向量的数量积运算得，由可得选项．
【详解】因为，，
又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以，
又因为，
所以，
且 ，
所以，即，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查向量的数量积运算，求线段的长度的范围，关键在于待求向量用已知向量表示，由已知向量的数量积的范围得以解决．
6．（2023·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，
设中点为，，
由垂径定理得，
在圆上，
又 ，
由图可知，
，
的范围为.
故选：C
7．（2022·重庆·校联考二模）已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13B．C．5D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，可以表示出的坐标，再设点，即可用与表示出，即可求出答案.
【详解】建立如图所示坐标系，
则点，
设点，且，
则
故当 时，有最大值为13
故选：A.
8．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
9．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】A
【分析】画出图分析，将的最大值转化为点到圆上一点距离的最大值求解即可.
【详解】如图：
取BC，BD中点E，G，可知，且，
取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以最大值为，
故的最大值为12.
故选：A.
10．（2021春·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作，，，取的中点，连接，分析出为等边三角形，可求得，计算得出，利用圆的几何性质求出面积的最大值，即可得出结果.
【详解】如下图所示，作，，，取的中点，连接，
以点为圆心，为半径作圆，
，，，
所以，为等边三角形，
为的中点，，所以，的底边上的高为，
，，
所以，，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，
的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，
因此，的最大值为.
故选：B.
【点睛】结论点睛：已知圆心到直线的距离为，且圆的半径为，则圆上一点到直线距离的最大值为.
11．（2022·浙江·模拟预测）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量运算，由米勒最大角定理分析运算可得结果，或者直接建立坐标系，利用坐标结合基本不等式计算可得结果.
【详解】根据题意：与共线，点位于的等分点处(靠近点)
解法一：欲使最大，根据“米勒最大角定理”，此时以为弦圆与相切，根据切割弦定理：,故.
解法二：设，则，有=
，
当且仅当时成立.
故选:A
12．（2022秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解.
【详解】由，两边平方得
又，且对任意实数恒成立，
即恒成立，所以，
即，所以，即.
由，知，
所以,
当且仅当与同向时取等号.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力.
二、填空题
13．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ．
【答案】/2.5
【分析】由，可求得，再求解，结合向量模长的三角不等式，即得解.
【详解】由题意，，又，
故，
故，
由向量模长的三角不等式，，
即，
解得：，则的最大值为.
故答案为：
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为 .
【答案】104
【分析】首先根据平面向量的线性运算得到，根据的外接圆半径为3，得到，即可得到答案.
【详解】如图所示：
，，
因为，所以.
因为的外接圆半径为3，所以，当且仅当AE为圆直径时等号成立.
所以，
当且仅当AE为圆直径时等号成立.
故答案为：
15．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理可求得，设，根据向量线性运算和数量积运算的定义可求得，结合余弦定理可得，由此可得结果.
【详解】
，，
由圆的方程知：圆的半径，．
设，则，为线段的中垂线，，
，即，
；
，，解得：，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的最值问题的求解，解题关键是能够根据几何关系，利用向量线性运算和数量积运算的定义，结合图形关系和已知不等关系将问题转化为求解线段长度最值的问题.
16．（2023·吉林·统考三模）已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是 ．
【答案】/
【分析】由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件确定确定点C在以(1,2)为圆心，1为半径的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案.
【详解】由，得，
建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设 ，由，
得 ，
所以点C在以Q(1,2)为圆心，1为半径的圆上.
所以
故答案为：
17．（2023·上海金山·统考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据题意作出图形，利用数形结合即可求解.
【详解】如图，设，，，，，
则点在以为圆心，以为半径的圆上，点在以为圆心，以为半径的圆上，
，所以点在射线上，
所以，
作点关于射线对称的点，则，且，
所以（当且仅当点三点共线时取等号）
所以的最小值为，
故答案为：.
18．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为 .
【答案】
【分析】由，可得为的外心，又可得为的垂心，则为的中心，即为正三角形．运用向量的数量积定义可得的边长，以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求得的坐标，再设，由中点坐标公式可得的坐标，运用两点的距离公式可得的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．
【详解】解: 由，可得为的外心，
又
可得 ，即，
即有，可得为的垂心，
则为的中心，即为正三角形，
由即有，
解得，的边长为，
以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
可得，
由，可设，
由，可得为中点，即有，
则
，
当，即时，取得最大值，且为．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．（2023·青海西宁·统考一模）1955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点A的坐标为，点满足，，则的最小值是 .
【答案】
【分析】先根据得到点M的轨迹方程，利用和几何意义要想使最小，只需最小，设出，用两点间距离公式得到，根据求出，进而求出的最小值.
【详解】因为，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为，所以，要想使最小，只需最小，设，，则，其中，因为，所以当时，取得最小值，，此时.
故答案为：
20．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）等腰直角的斜边的端点分别在，的正半轴上移动（点与原点在两侧），，若点为中点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，用的正余弦表示出点C，D坐标，结合向量模的坐标表示及三角函数性质求解作答.
【详解】如图，设，则，线段中点，
，，则有，
，
，由得，
于是得，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.
21．（2023·上海·统考模拟预测）已知向量满足与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，根据向量减法的模的几何意义求得最小值.
【详解】如图，设，
当时，取得最小值，
过B作，即取得最小值为，
因为与的夹角为，
所以，
所以．
故答案为：
22．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是
【答案】
【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.
【详解】
解：如图，，，则，，
已知，即，所以，
取BD的中点O，则有，
而，根据三角形的三边关系可知
则，所以，当A，O，C三点共线时取等号，
记向量的夹角为，则，
同理，
由，可得，
则，
当，即时取等号，
所以，即的最小值是，
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长.
23．（2022·浙江温州·统考二模）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】分析题目条件，利用向量的数量积结合几何性质解题
【详解】由题，令，则,
因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上，
，又因为，利用数量积公式展开可得，
所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆，
所以C的横坐标的最大值为，
，即为在上的投影，最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何图形的关系转化向量的关系.
24．（2022·浙江金华·统考三模）已知平面向量，，满足，当取到最小值sh，对任意实数，的最小值是 ．
【答案】/
【分析】构造单位圆，设出向量，，，由题设得到CA、CB是圆O的两条切线，，从而由当取到最小值时，求得，结合表示的是以O为起点，终点在AB上的向量，可求得答案.
【详解】如图，设为单位圆O的两条半径，记，，，
设，由题意，
可知CA、CB是圆O的两条切线，则 ，
故，
当且仅当，即时取“＝”，此时 ，
因为表示的是以O为起点，终点在AB上的向量，
故当该向量垂直于向量 时，其模最小，
记，则 ，则，
故答案为：
25．（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与的夹角为，由题意，计算，，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将转化为，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值.
【详解】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，
与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF.
由，，，得，，
因为，所以，在中，由余弦定理得.
又由，得，即，
所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.
因为
，
当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.
26．（2023·上海宝山·统考二模）已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为 ．
【答案】4
【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值.
【详解】由非零平面向量不共线，且满足，建立如图所示的平面直角坐标系：
则，则，由，则，
则直线的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即时取等号，此时，则，
所以，故填：4.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.
27．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到的，并将其平移至使，即有，问题化为求点到直线距离.
28．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出图形，表示出，，从而确定，利用正弦定理得到，结合，求出的取值范围.
【详解】设，，如图所示，
则，
因为与的夹角为，
所以，
因为，所以由正弦定理得：
，所以，
因为，所以
故答案为：.
29．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 .
【答案】/
【分析】根据题意，设， ， ，，利用题设可确定向量对应的轨迹以及向量对应的轨迹，将的最小值转化为两轨迹上的点之间的距离的最小值，数形结合，求解答案.
【详解】根据题意，设，，，，
因为与夹角为，
所以，整理得，
即向量对应的轨迹为射线或，
因为向量满足 ，
所以，即向量对应的轨迹为抛物线：，
则即为上的点与射线或上的点之间的距离，
如图，
当最小值时，对应的点在上，
设直线，由图可知，当直线与相切时，切点设为A，
此时最小，联立方程 ，得，
由得，则，解得，
故，则A到射线的距离为,
所以的最小值为，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解答本题求解的最小值，关键在于确定向量对应的点所在的轨迹方程，将的最小值转化为曲线上的点之间距离的最小值问题，数形结合，可求解答案.
30．（2021·上海浦东新·统考三模）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时、关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.
【详解】由题意，，
∴令，，故有共线，
∵，故当且仅当为最小时，最小，
∴有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，
∴，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知，、、的终点共线，且可分析得、关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.
31．（2022·浙江金华·浙江省义乌中学校联考模拟预测）已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为 .
【答案】/
【分析】设出向量，根据题干条件得到关于的不等式问题，由根的判别式得到不等关系，求出，从而求出的模的最大值.
【详解】设，，满足，
即满足①，都存在，使得恒成立，
即存在，使得②，
由①②可知：存在，使得成立
即，即，
化简得：③，
即③式恒成立，则必须满足，
解得：，即，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】有关于向量模长的取值问题或最值问题，坐标化处理是一种重要方法和思路，结合题目特征，合理设出向量，利用向量的坐标运算公式，二次函数根的分布或基本不等式，导函数等进行求解.
32．（2023·四川南充·统考一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合二次函数的性质，由的最小值求得向量与的夹角，判断出点对应的轨迹，从而求得的取值范围.
【详解】设向量与的夹角为，，则，
，
所以当时，取得最小值为，
即，
所以.
如图所示，设，三角形是等边三角形，
设是的中点，则，
由于，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，
根据圆的几何性质可知，即的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本小题解题难点有两点，第一点是的最小值的用法，有关向量模的试题，可以考虑利用平方再开方的方法进行转化，结合向量的数量积运算来求解.第二点是的用法，转化为向量垂直、轨迹为圆来配合解题.
33．（2021·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，则的最大值是 .
【答案】
【分析】先得到，然后假设坐标，得到的终点坐标满足的方程，同时得到的终点的轨迹方程，最后使用参数方程进行求解，计算即可.
【详解】由，又，所以可知
又，所以
设的终点为，的终点为，其中
由①，设，
则，
所以， ②
将②代入①并化简可得
令设，
所以
当时，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用坐标求解并得到的终点轨迹方程是关键.
34．（2021·浙江嘉兴·统考二模）已知向量，，，若且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据条件可设，利用向量的坐标运算求出点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，问题可转化为圆上动点到定点的距离问题求解.
【详解】，
，
，
故可设
则，
，
,
,
,
即点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
，
即求圆M上动点到点的距离的平方的最小值减1即可，
设圆心M到的距离为，
则，
则的最小值为
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标运算，求出满足条件的动点C的轨迹方程，所求的坐标表示，利用圆的几何性质是解题的关键，属于难题.
35．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值
【答案】
【分析】先根据平面向量的数量积公式求出与的夹角，根据条件，可设，再设，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出，即可求出结果.
【详解】解：，设与的夹角为，
，
，又，则，
不妨设，再设，
则
，
即，
所以的最大值为.
故答案为：.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】分析题目条件，利用向量的数量积结合几何性质解题
【详解】由题，令，则,
因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上，
，又因为，利用数量积公式展开可得，
所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆，
所以C的横坐标的最大值为，
，即为在上的投影，最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何图形的关系转化向量的关系.
37．（2023·全国·高三专题练习）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
38．（2022·浙江·模拟预测）已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为 .
【答案】-3
【分析】先数形结合得出到OA距离为1，再建立坐标系，利用三角形内角和关系转化为求的最大值，利用坐标转化为求函数最值问题，利用求导找出函数的单调性，结合单调性可得函数的最值，进一步得到答案.
【详解】设,
由的最小值为1（为实数），
到OA距离为1，
如图建立坐标系，，
，，
，
，
令
，
令，得，
单调递减；
单调递增；
单调递减；
单调递增；
，
，
，即最大值为
故答案为：
【点睛】思路点睛：建立坐标系，在图形中找到角度的关系，转化为求的最大值，再转化为求函数最值问题，结合导数求证函数的单调性，即可分析函数的最值.
三、双空题
39．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在平面内，定点，满足，且，则 ；平面内的动点满足，，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出，进而根据，平方后计算出，从而求出；然后建立平面直角坐标系，设出，表达出和，利用三角函数有界性求出最大值.
【详解】因为，，
所以，两边平方得：，
即，解得：，
因为，
所以，
因为
所以；
可得到△ABC是等边三角形，且边长为，
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，
，，
因为，所以设，，
由可得：是线段PC的中点，则，
则
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：，
40．（2022·浙江·高三专题练习）已知是空间单位向量，，若空间向量满足：，则 ，对于任意，向量与向量所成角的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意得：，根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；
设向量与向量所成角为，根据求夹角公式，令,计算可得，令，（），利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得的最大值，即可得答案.
【详解】由题意得：
=.
因为
设向量与向量所成角为，
所以，
当时，夹角才可能最小，令（），
则，
令，（），则，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，
所以，即.
所以向量与向量所成角的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】解题的关键是熟练掌握求模，求夹角的方法，并灵活应用，难点在于，需结合导数，判断的单调性，求得最值，当最大时，角度最小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
类别
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
类别
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
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