2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点17平面向量中的四心问题与奔驰定理(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点17平面向量中的四心问题与奔驰定理(学生版+解析)，共25页。

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\l "_Tc23333" 【题型1 重心问题】 PAGEREF _Tc23333 \h 3
\l "_Tc10805" 【题型2 垂心问题】 PAGEREF _Tc10805 \h 5
\l "_Tc29329" 【题型3 内心问题】 PAGEREF _Tc29329 \h 8
\l "_Tc3782" 【题型4 外心问题】 PAGEREF _Tc3782 \h 11
\l "_Tc22650" 【题型5 奔驰定理】 PAGEREF _Tc22650 \h 14
1、平面向量中的四心问题与奔驰定理
三角形中的四心问题是平面向量中的重要问题，包括：重心问题、垂心问题、内心问题和外心问题四大类型，是高考的重点、热点内容，在高考复习中，对于四心问题要学会灵活求解.
奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用和求解.
知识点1 四心问题
1．三角形的重心及向量表示
(1)重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.
(2)重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心.
(3)重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P.
2．三角形的垂心及向量表示
(1)垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.
(2)垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心.
3．三角形的内心及向量表示
(1)内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.
(2)内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为△ABC内心.
4．三角形的外心及向量表示
(1)外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等.
(2)外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心.
知识点2 奔驰定理
1．奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，且满足，则有△APB、△APC、△BPC的面积之比为.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
2．三角形的四心与奔驰定理的关系
(1)O是△ABC的重心：.
(2)O是△ABC的垂心：.
(3)O是△ABC的内心：.
(4)O是△ABC的外心：.
【题型1 重心问题】
【例1】（2025·吉林·二模）在△ABC中，点D为AB的中点，点O为△ABC的重心，则OA+OB=（ ）
A．COB．ODC．2COD．2DO
【答案】A
【解题思路】结合重心性质与向量运算化简可得.
【解答过程】
如图，连接CD，因为点O为△ABC的重心，
则O为CD的三等分点，且CO=2OD，
所以OA+OB=2OD=CO，
故选：A.
【变式1-1】（2025·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则直线OP经过△ABC的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】A
【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.
【解答过程】设BC的中点为点D，所以OB+OC=2OD，
则OP−OA=AP=2OD，
若A,P,O,D四点共线时，即点O,P都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心，
若A,P,O,D四点不共线时，AP//OD，且AP=2OD，连结AD,OP，交于点G，
如图，
AGGD=APOD=2，即点G是三角形的重心，即OP经过△ABC的重心，
综上可知，OP经过△ABC的重心.
故选：A.
【变式1-2】（2025·重庆·模拟预测）已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若GM=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．112B．16C．−16D．−112
【答案】C
【解题思路】根据向量的线性运算化简GM=λAB+μAC，求得λ,μ，进而求得正确答案.
【解答过程】GM=13BM=13AM−AB=1312AC−AB =−13AB+16AC，
所以λ=−13,μ=16,λ+μ=−16.
故选：C.
【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）已知△ABC，O为平面内任意一点，动点P满足5OP=2+λOA+2+λOB+1−2λOC，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心D．△ABC的外心
【答案】C
【解题思路】取AB中点为D，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断.
【解答过程】先设AB的中点为D，则2OD=OA+OB，

又因为5OP=2+λOA+2+λOB+1−2λOC=4+2λOD+1−2λOC，
而4+2λ+1−2λ=5，
由三点共线的充要条件知P,C,D三点共线，
则点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
故选：C．
【题型2 垂心问题】
【例2】（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+4OC=0，则csB=（ ）
A．23B．13C．23D．33
【答案】A
【解题思路】根据垂心的性质，通过面积比，得出三个角的正切值之比，根据题目条件列出方程，根据两角和的正切公式和同角三角函数关系，求出角的余弦值.
【解答过程】∵O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P，
设s△BOC=s1,s△AOC=s2,s△AOB=s3，
∴S1:S2=12⋅OC⋅BP:12⋅OC⋅AP=BP:AP=OPtan∠POB:OPtan∠AOP
=tan∠BOC:tan∠AOC=tanπ−A:tanπ−B=tanA:tanB，
同理可得S1:S3=tanA:tanC，∴S1:S2:S3=tanA:tanB:tanC，
又S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OC=0，∴tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0，
又OA+2⋅OB+4⋅OC=0，∴tanA:tanB:tanC=1:2:4，
不妨设tanA=k，tanB=2k，tanC=4k，其中k≠0，
∵tanA=tanπ−B+C=−tanB+C=−tanB+tanC1−tanBtanC，
∴k=−2k+4k1−2k⋅4k，解得k=78或k=−78，
当k=−78时，此时tanA0，csB>0，
于是sinBcsB=142sin2B+cs2B=1，解得csB=23.
故选：A.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点A,B,C,D，其中任意三个不共线．若AB⋅AD=AC⋅AD，则直线AD一定经过三角形ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解题思路】由题意得AD⊥CB，即BC边上的高所在直线为AD，由此即可得解.
【解答过程】因为AB⋅AD=AC⋅AD，所以CB⋅AD=AB−AC⋅AD=AB⋅AD−AC⋅AD=0，
所以AD⊥CB，即直线AD一定经过三角形ABC的BC边上的高，即直线AD一定经过三角形ABC的垂心.
故选：D.
【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，动点H满足：OH=OA+λABAB2sin2B+ACAC2sin2C，其中λ∈0,+∞，则动点H的轨迹一定通过△ABC的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解题思路】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项.
【解答过程】AB2sin2B=2sinBcsBAB2，AC2sin2C=2sinCcsCAC2，
由正弦定理得ABsinC=ACsinB，则ABsinB=ACsinC
令ABsinB=ACsinC=k，
因为OH=OA+λABAB2sin2B+ACAC2sin2C，
所以OH−OA=λAB2sinBcsBAB2+AC2sinCcsCAC2
所以AH=λ2kABABcsB+ACACcsC，
等式两边点乘BC得AH⋅BC=λ2kAB⋅BCABcsB +AC⋅BCACcsC=λ2k−BC+BC=0，
所以点H的轨迹一定过△ABC的垂心，
故选：D．
【变式2-3】（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB等于（ ）
A．1:2:3B．1:2:4
C．2:3:4D．2:3:6
【答案】A
【解题思路】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得tan∠BAC:tan∠ABC:∠ACB=S△BOC:S△AOC:S△AOB，从而得解.
【解答过程】O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，
因此，S△BOCS△AOC=12OC⋅BP12OC⋅AP=BPAP=OPtan∠BOPOPtan∠AOP=tan∠BACtan∠ABC，
同理S△BOCS△AOB=tan∠BACtan∠ACB，
于是得tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=S△BOC:S△AOC:S△AOB，
又OA+2OB+3OC=0
由“奔驰定理”有S△BOC⋅OA+S△AOC⋅OB+S△AOB⋅OC=0
即S△BOC:S△AOC:S△AOB=1:2:3，所以tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3，
故选：A.
【题型3 内心问题】
【例3】（2025·四川南充·三模）已知点P在△ABC所在平面内，若PA⋅(AC|AC|−AB|AB|)=PB⋅(BC|BC|−BA|BA|)=0，则点P是△ABC的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，结合三角形内心定义判断即得.
【解答过程】在△ABC中，由PA⋅(AC|AC|−AB|AB|)=0，得PA⋅AC|AC|=PA⋅AB|AB|，
即AP⋅AC|AC|=AP⋅AB|AB|，由PB⋅(BC|BC|−BA|BA|)=0，同理得BP⋅BC|BC|=BP⋅BA|BA|，
显然AP≠0，即P与A不重合，否则cs∠ABC=1，同理BP≠0，
则|AP|cs∠PAC=|AP|cs∠PAB，即cs∠PAC=cs∠PAB，∠PAC=∠PAB，
于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，
所以点P是△ABC的内心.
故选：D.
【变式3-1】（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知O为△ABC的内心，三个角对应的边分别为a,b,ca，b，c，已知a=3，b=23，c=5，则BO⋅AC=（ ）
A．6−7B．−2C．23−8D．32−9
【答案】C
【解题思路】利用向量的线性运算结合角平分线性质可得BO=124+35BC+3BA，再利用余弦定理和数量积的运算律可得计算结果.
【解答过程】连接BO并延长，交AC于E，
因为O为△ABC的内心，故BE为角平分线，由角平分线的性质可得AECE=BABC=53，
同理BOOE=BAAE，
而AC=23，故AE=58AC=534，且AE=58AC，故BO=43OE，
故BO=44+3BE，
而BE−BA=58BC−BA，故BE=58BC+38BA，
故BO=44+358BC+38BA=124+35BC+3BA，
故BO⋅AC=124+35BC+3BA⋅BC−BA
=124+35BC2−3BA2−2BC⋅BA
=124+35×9−3×25−2×3×5×9+25−122
=124+3×−52=−264+3=−24−3=23−8，
故选：C.
【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中， 若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D， 则有ABAC=BDDC称之为三角形的内角平分线定理， 现已知AC=2，BC=3，AB=4且AI=xAB+yAC， 则实数x+y=（ ）
A．1B．13C．23D．2
【答案】C
【解题思路】由角平分线定理可得出BD=2DC，求得AD=13AB+23AC，再由角平分线定理可得AI=23AD=29AB+49AC，由向量相等的性质可得结果.
【解答过程】因为I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D， AC=2，BC=3，AB=4，
由角平分线定理可得BDCD=ABAC=2，可得BD=23BC，BD=2DC，
即AD−AB=2AC−AD，则AD=13AB+23AC，
又因为BC=3，BD=2，且BI为∠ABD的角平分线，
所以，AIID=ABBD=2，所以，AI=23AD=2313AB+23AC=29AB+49AC，
又AI=xAB+yAC，且向量AB、AC不共线，所以，x=29y=49，所以x+y=23.
故选：C.
【变式3-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）在△ABC中，若OQ=OA+λABAB+ACAC，λ∈0,+∞，则Q点的轨迹必经过△ABC的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】A
【解题思路】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断．
【解答过程】因为ABAB是与AB同向的单位向量，ACAC是与AC同向的单位向量，
如图，设AN=ABAB，AM=ACAC，
则OQ=OA+λAB|AB|+AC|AC|可化为：AQ=λAN+AM，且AM=AN，
以AM，AN为邻边作平行四边形AMEN，
则AE=AM+AN，且平行四边形AMEN为菱形，所以AE平分∠MAN，
所以AQ=λAE，
又A为公共端点，所以A，E，Q三点共线，所以AQ在∠BAC的平分线上，
则Q点的轨迹必经过△ABC的内心，
故选：A．
【题型4 外心问题】
【例4】（2025·新疆·一模）已知平面向量 OA，OB满足OA=OB=2，OA⋅OB=−2，点D满足DA=2OD，E为△AOB的外心，则OB⋅ED的值为（ ）
A．−163B．−83C．83D．163
【答案】B
【解题思路】求出OA，OB的夹角，作出平面直角坐标系，表达出各点的坐标，即可求出OB⋅ED的值.
【解答过程】由题意，OA=OB=2，
∵OA⋅OB=OA⋅OBcsθ=22csθ=−2，解得：csθ=−12，
∴两向量夹角θ=2π3，
∵DA=2OD，
以O为坐标原点, OA,垂直于OA所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系, 如图所示,
则O0,0,A2,0,B−1,3, 设Dx,0, 由DA=2OD, 知2−x,0=2x,0,
解得x=23,
∴D23,0
又E为△AOB的外心，
∴∠AOE=12∠AOB=π3,OE=EA, ∠AOE=∠EAO=∠OEA=π3，
∴△AOE为等边三角形,
∴E1,3，
∴ED=−13,−3,
∴OB⋅ED=−83.
故选：B.
【变式4-1】（2025·广东佛山·一模）在△ABC中，设AC2−AB2=2AM⋅AC−AB，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【答案】D
【解题思路】将等式化简整理得(AC+AB−2AM)⋅BC=0，作出中线AD，进一步将其化成MD⋅BC=0，可得动点M的轨迹为BC的垂直平分线，即得D项.
【解答过程】由AC2−AB2=2AM⋅AC−AB可得，(AC+AB)·(AC−AB)=2AM⋅AC−AB，
即(AC+AB−2AM)⋅BC=0, (*)
如图，取BC的中点为D，连AD，则AD=AB+BD,AD=AC+CD，
因BD+CD=0，故得，2AD=AB+AC,
代入(*)得，2(AD−AM)⋅BC=0,即MD⋅BC=0,
故MD垂直且平分线段BC，即动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心.
故选：D.
【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）设P是△ABC所在平面内的一点，若AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP，且|AP|=|CP|，则点P是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】A
【解题思路】取AB中点D，根据条件化简得AB⊥PD，所以点P在AB中垂线上，所以PA=PB=PC，所以P为三边中垂线交点，即为△ABC的外心.
【解答过程】

如图，取AB中点D，
∴CB+CA=2CD.
∵ AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP，
∴AB⋅2CD=2AB⋅CP，
∴2AB⋅CD−CP=0，
∴2AB⋅PD=0，
∴AB⊥PD，
∴点P在AB中垂线上.
∴AP=BP→，又AP=CP，
所以AP→=CP→=BP→，
∴P为△ABC的外心.
故选：A.
【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）设O为△ABC的外心，且满足2OA+3OB+4OC=0，OA=1，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①OB⋅OC=−78；②AB=62；③cs2∠BAC=−72cs2∠ACB．
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【解题思路】①利用3OB+4OC2=−2OA2即可；②利用2OA+3OB2=−4OC2求出OA⋅OB=14，再利用AB=OB−OA即可；③利用OB⋅OC=OB⋅OCcs2∠BAC和OA⋅OB=OA⋅OBcs2∠ACB即可.
【解答过程】由题意知O为△ABC的外心，OA=1，则OB=OC=1，
因为2OA+3OB+4OC=0，所以3OB+4OC=−2OA，
所以9OB2+16OC2+24OB⋅OC=4OA2，即9+16+24OB⋅OC=4，
所以OB⋅OC=−78，故①正确；
由题易得，2OA+3OB=−4OC，即4OA2+9OB2+12OA⋅OB=16OC2，
即4+9+12OA⋅OB=16，所以OA⋅OB=14，
所以AB=OB−OA=OB−OA2=OB2−2OB⋅OA+OA2 =12−2×14+12=62，故②正确；
因为OB⋅OC=OB⋅OCcs2∠BAC=−78，所以cs2∠BAC=−78，
又OA⋅OB=OA⋅OBcs2∠ACB=14，所以cs2∠ACB=14，
所以cs2∠BAC=−72cs2∠ACB，故③正确．
故选：A.
【题型5 奔驰定理】
【例5】（24-25高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分别记为S1、S2、S3，则S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且2OA+3OB+4OC=0，则tanA=（ ）
A．64B．62C．364D．6
【答案】B
【解题思路】延长CO交AB与点P，结合三角形面积公式得S1:S2:S3=tanA:tanB:tanC，再由已知有tanA:tanB:tanC=2:3:4，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值.
【解答过程】∵O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P，
S1:S2=12⋅OC⋅BP:12⋅OC⋅AP=BP:AP=tanA:tanB，同理S1:S3=tanA:tanC，
∴S1:S2:S3=tanA:tanB:tanC，又S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OC=0，
∴tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0，又2OA+3OB+4OC=0，
∴tanA:tanB:tanC=2:3:4，
不妨设tanA=2k，tanB=3k，tanC=4k，其中k≠0，
tanA=tanπ−B+C=−tanB+C=−tanB+tanC1−tanBtanC，
∴2k=−3k+4k1−12k2，化简整理得k2=38，解得k=64（负值舍），
所以tanA=2k=62.
故选：B.
【变式5-1】（2025·安徽·三模）平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，△OBC，△OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0．因图形和奔驰车的lg很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则O为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解题思路】根据平面向量基本定理可得SbSa=ba，ScSa=ca，延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，根据面积比推出|AE||BE| =|AC||BC|，结合角平分线定理推出CE为∠ACB的平分线，同理推出BF是∠ABC的平分线，根据内心的定义可得答案.
【解答过程】由Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0得OA=−SbSaOB−ScSaOC，
由a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0得OA=−baOB−caOC，
根据平面向量基本定理可得−SbSa=−ba，−ScSa=−ca，
所以SbSa=ba，ScSa=ca，
延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，
则SbSa=|AE||BE|，又SbSa=ba，所以|AE||BE|=ba =|AC||BC|，
所以CE为∠ACB的平分线，
同理可得BF是∠ABC的平分线，
所以O为△ABC的内心.
故选：B.
【变式5-2】（24-25高一下·河南·期末）已知O是△ABC内的一点，若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别记为S1,S2,S3，则S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OC=0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=（ ）
A．1:2:3B．1:2:4C．2:3:4D．2:3:6
【答案】A
【解题思路】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=S1:S2:S3即可求解作答.
【解答过程】O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC，∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC，
因此，S1S2=BPAP=OPtan∠BOPOPtan∠AOP=tan∠BACtan∠ABC，同理S1S3=tan∠BACtan∠ACB，
于是得tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=S1:S2:S3，
又OA+2OB+3OC=0，即OB=−13OA−23OB，由“奔驰定理”有S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OB=0，
则OC=−S1S3⋅OA−S2S3⋅OB，而OA与OB不共线，有S1S3=13，S2S3=23，即S1:S2:S3=1:2:3，
所以tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=1:2:3.
故选：A.
【变式5-3】（24-25高三上·河南南阳·期中）奔驰定理：已知O是ΔABC内的一点，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ΔABC内的一点，A，B，C是ΔABC的三个内角，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则必有（ ）
A．sinA⋅OA+sinB⋅OB+sinC⋅OC=0
B．csA⋅OA+csB⋅OB+csC⋅OC=0
C．tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0
D．sin2A⋅OA+sin2B⋅OB+sin2C⋅OC=0
【答案】C
【解题思路】利用已知条件得到O为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到∠AOB=π−C，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到|OA|:|OB|:|OC|=csA:csB:csC，进而求出SA:SB:SC的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【解答过程】如图，因为OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，
所以OB⋅(OA−OC)=0⇒OB⋅CA=0，同理OA⋅BC=0，OC⋅AB=0，
所以O为ΔABC的垂心。
因为四边形DOEC的对角互补，所以∠AOB=π−C，
∴OA⋅OB=|OA||OB|cs(π−C)=−|OA||OB|csC．
同理，∴OB⋅OC=−|OB‖OC|csA，
∴OC⋅OA=−|OC‖OA|csB，
∴ |OA‖OB|csC=|OB||OC|csA=|OC||OA|csB．
∴ |OA‖OB|csC|OA‖OB||OC|=|OB||OC|csA|OA‖OB||OC|=|OC||OA|csB|OA‖OB||OC|，
∴|OA|:|OB|:|OC|=csA:csB:csC．
又SA=12|OB‖OC|sin(π−A)=12|OB‖OC|sinA
SB=12|OA‖OC|sin(π−B)=12|OA‖OC|sinB
SC=12|OB‖OA|sin(π−C)=12|OB‖OA|sinC
∴SA:SB:SC=sinA|OA|:sinB|OB|:sinC|OC|= sinAcsA:sinBcsB:sinCcsC=tanA:tanB:tanC．
由奔驰定理得tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0.
故选C．
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知点O是非等边△ABC的外心，P是平面ABC内的一点且OA+OB+OC=OP，则P是△ABC的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【答案】A
【解题思路】由点O是非等边△ABC的外心可得OA=OB=OC，又因为平面内P满足OA+OB+OC=OP，所以OA+OB=OP−OC=CP，设D为AB中点，得到OD⊥AB，OA+OB=2OD=CP，从而得到CP⊥AB，CP在AB边的高线上.同理可得BP在AC边高线上，AP在BC边高线上，故P为高线交点，即为垂心.
【解答过程】
因为点O是非等边△ABC的外心，
所以OA=OB=OC.
因为平面内P满足OA+OB+OC=OP，
所以OA+OB=OP−OC=CP,
设D为AB中点，则有OD⊥AB，OA+OB=2OD=CP，
所以CP⊥AB，
所以CP在AB边的高线上.
同理可得，BP在AC边高线上，AP在BC边高线上.
故点P是△ABC高线的交点，即为△ABC的垂心.
故选：A.
2．（2025高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，若tanA×OA+tanB×OB+tanC×OC=0，则点O是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解题思路】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定．
【解答过程】原式变形为AO=tanBtanA+tanB+tanCAB+tanCtanA+tanB+tanCAC，
AO⋅BC=tanBtanA+tanB+tanCAB⋅BC +tanCtanA+tanB+tanCAC⋅BC
=tanB−csBtanA+tanB+tanCac+tanCcsCtanA+tanB+tanCab
=atanA+tanB+tanC−sinB×c+sinC×b=−sinB×ac+sinC×abtanA+tanB+tanC=0，
所以AO⊥BC，同理，BO⊥AC．
所以O是△ABC的垂心，
故选：D．
3．（24-25高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为△ABC的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知a=3，b=23，c=5，则BO⋅AC=（ ）
A．23−8B．−2C．6−7D．32−9
【答案】A
【解题思路】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到SA:SB:SC=a:b:c，进而由“奔驰定理”得到aOA+bOB+cOC=0，在对向量进行线性运算即可.
【解答过程】因为a=3，b=23，c=5，
所以csB=a2+c2−b22ac=1115，
因为O为△ABC的内心，设∠1=∠OBC,∠2=∠OBA，由题意∠1=∠2，
则SA:SC=12|BO||BC|sin∠1:12|BO||BA|sin∠2=a:b，
同理可得SA:SB:SC=a:b:c
所以根据“奔驰定理”有aOA+bOB+cOC=0，
所以aBA−BO+bOB+cBC−BO=0，
即BO=ca+b+cBC+aa+b+cBA，
所以BO⋅AC=ca+b+cBC+aa+b+cBA⋅BC−BA，
=58+23BC2−38+23BA2−28+23BC⋅BA=23−8．
故选：A．
4．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知在△ABC中，AB=BC=3,AC边上的高为5,O是△ABC的内心，若AO=mAB+nAC (m,n∈R)，则nm=（ ）
A．34B．53C．43D．35
【答案】A
【解题思路】由题意建立平面直角坐标系，根据三角形面积计算△ABC内切圆的半径r，写出坐标，根据题意列出方程组计算即可.
【解答过程】设AC的中点为D，因为AB=BC=3，所以AD⊥AC，
由已知AD=5，所以AD=AB2−AD2=2，所以AC=4，
以AC的中点D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
设△ABC内切圆的半径为r，则S△ABC=12×(3+3+4)r=12×4×5，解得r=255.
因为△ABC为等腰三角形，所以△ABC的内心O在线段BD上，
所以O0,255,A(−2,0),C(2,0),B(0,5)，
则AB=(2,5),AC=(4,0),AO=2,255.因为AO=mAB+nAC，
所以2,255=(2m+4n,5m)，即2m+4n=25m=255，
解得m=25n=310，故nm=310×52=34.
故选：A.
5．（24-25高一下·广东东莞·期中）点O,N,P,Q在△ABC所在平面内，满足OA=OB=OC，NA+NB+NC=0，PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，QA⋅ACAC−ABAB=QB⋅BCBC−BABA=0.则点O,N,P,Q依次为△ABC的（ ）
A．重心、外心、内心、垂心B．外心、重心、内心、垂心
C．重心、垂心、外心、内心D．外心、重心、垂心、内心
【答案】D
【解题思路】根据模长相等可判断O为△ABC的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断N为重心；由垂直关系的向量表示可得点P为△ABC垂心；再结合角平分线性质可判断点Q为△ABC内心.
【解答过程】由OA=OB=OC可知，O点到A,B,C三点的距离相等，
可知O为△ABC的外接圆圆心，即O为△ABC的外心，
取AB的中点为D，如下图所示：

易知NA+NB=2ND，又NA+NB+NC=0，可知2ND=−NC；
即N在中线CD上靠近D的三等分点，
同理可得N为三条中线的交点，即N为重心；
由PA⋅PB=PB⋅PC可得PB⋅PA−PC=0，即PB⋅CA=0，
可得PB⊥CA，同理可得PA⊥CB,PC⊥AB，
所以点P为△ABC三条高的交点，因此点P为△ABC垂心；
易知ACAC,ABAB为沿AC,AB方向上的单位向量，即ACAC=1,ABAB=1；
令ACAC=AF,ABAB=AE，所以ACAC−ABAB=EF，且△AEF为等腰三角形，AE=AF，如下图：

由QA⋅ACAC−ABAB=0可得QA⋅EF=0，即QA⊥EF,
此时QA为角A的平分线，
同理由QB⋅BCBC−BABA=0可得QB为角B的平分线，
因此可知Q为△ABC三条角平分线的交点，因此点Q为△ABC内心.
故选：D.
6．（24-25高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0→.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0→，则cs∠AMB=（ ）

A．−63B．−66C．66D．63
【答案】B
【解题思路】根据SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0→和3MA+4MB+5MC=0→得SA:SB:SC=3:4:5，从而可以得出ADMD=4,ACBF=3，设MD=x，MF=y，得AM=3x，BM=2y，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解.
【解答过程】

如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E.
由M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0→，且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0→，
得SA:SB:SC=3:4:5，所以SB=43SA,SC=53SA，
又S△ABC=SA+SB+SC，则S△ABCSA=4，同理可得S△ABCSB=3，所以ADMD=4,BFMF=3，
设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，
所以cs∠BMD=x2y=cs∠AMF=y3x，即3x2=2y2，xy=63，
所以cs∠BMD=x2y=66，
所以cs∠AMB=csπ−∠BMD=−cs∠BMD=−66.
故选：B.
7．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,P为△ABC内的一点，AP=xAB+yAC，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为△ABC的重心，则2x+y=23B．若P为△ABC的外心，则PB⋅BC=32
C．若P为△ABC的垂心，则x+y=−79D．若P为△ABC的内心，则x+y=58
【答案】C
【解题思路】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用PB⋅BC=PO+OB⋅BC展开计算即可.
【解答过程】如图建立平面直角坐标系，A0,3,B−4,0,C4,0，
对于A：若P为△ABC的重心，则P0,1，
所以AP=0,−2,AB=−4,−3,AC=4,−3
若AP=xAB+yAC，则−4x+4y=0−3x−3y=−2，解得x=y=13，所以2x+y=1，A不正确；

对于B：若P为△ABC的外心，其必在直线AO上，
所以PB⋅BC=PO+OB⋅BC=PO⋅BC+OB⋅BC=4×8×−1=−32，B错误；
对于C：若P为△ABC的垂心，其必在AO上，设P0,m，CP=−4,m
则CP⋅AB=−4,m⋅−4,−3=16−3m=0，解得m=163，
此时AP=0,73,AB=−4,−3,AC=4,−3，
若AP=xAB+yAC，则−4x+4y=0−3x−3y=73，解得x=y=−718，所以x+y=−79，C正确；
对于D：若P为△ABC的内心，设内切圆半径为r，
则12×8×3=12×r×5+5+8，得r=43，则P0,43，A0,3
此时AP=0,−53,AB=−4,−3,AC=4,−3，
若AP=xAB+yAC，则−4x+4y=0−3x−3y=−53，解得x=y=518，所以x+y=59，D不正确；
故选：C.
8．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若DA+DB+DC=0，则D为△ABC内心
②若ABAB+ACAC⋅BC=0，则△ABC为等腰三角形
③若DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA，则D为△ABC的外心
④若AD=λABABsinB+ACACsinCλ∈R，则点D的轨迹一定经过△ABC的重心
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解题思路】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设BC的中点为M，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④.
【解答过程】对于①：由DA+DB+DC=0得D为△ABC重心，故①错误；
对于②：由ABAB+ACAC⋅BC=0得AB⋅BCAB+AC⋅BCAC=0⇒BCcsπ−B+BCcsC=0⇒csB=csC，
又B,C∈0,π，所以B=C，所以△ABC为等腰三角形，故②正确；
对于③：由DA⋅DB=DB⋅DC得DB⋅DA−DC=DB⋅CA=0⇒DB⊥AC，同理得DC⊥AB,DA⊥BC，
所以D为△ABC的垂心，故③错误；
对于④：取BC的中点为M，所以AB+AC=2AM，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，令ABsinB=ACsinC=h，
则ABABsinB+ACACsinC=AB+ACh=2hAM，所以AD=2λhAM，点D的轨迹经过△ABC的重心，故④正确.
故选：B.
二、多选题
9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知O，H在△ABC所在平面内OA=OB=OC=3，HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA，OH=1，记BC=a，CA=b，AB=c，则下列说法正确的是（ ）
A．O为△ABC的外心B．H为△ABC的内心
C．OH=OA+OB+OCD．a2+b2+c2=81
【答案】AC
【解题思路】根据三角形四心的向量表示，可知O，H分别为△ABC的外心和垂心，对于C，运用向量的叠加关系可验证，对于D，对OH=OA+OB+OC进行平方计算可确定.
【解答过程】因为OA=OB=OC=3，
所以O为△ABC的外心，故A正确；
由HA⋅HB=HB⋅HC，可得HB⋅HA−HC=0，
即HB⋅CA=0，同理可得HC⋅AB=0，HA⋅BC=0，
所以H为△ABC的垂心，故B错误；
如图，
作直径BD，连接AD，
则AD⊥AB，
又∵H为三角形ABC的垂心，∴CH⊥AB，则CH//AD，
同理AH//CD，∴四边形AHCD为平行四边形，
∴OH=OA+AH=OA+DC=OA+OC−OD=OA+OB+OC，故C正确；
因为OH=OA+OB+OC，
两边平方可得OH2=(OA+OB+OC)2，
故OH|2=OA|2+OB|2+OC|2
+2OA⋅OB+OB⋅OC+OC⋅OA，
即1=9+9+9+2OA⋅OB+OB⋅OC+OC⋅OA，
故2OA⋅OB+OB⋅OC+OC⋅OA=1−27=−26.
由向量的数量积定义：OA⋅OB=OAOBcs∠AOB=9cs∠AOB，
同理OB⋅OC=9cs∠BOC，OC⋅OA=9cs∠AOC，
所以18cs∠AOB+cs∠BOC+cs∠AOC=−26.
在△OAB中，根据余弦定理得c2=OA|2+OB|2−2OAOBcs∠AOB=18−18cs∠AOB，
同理a2=18−18cs∠BOC，b2=18−18cs∠AOC，
所以a2+b2+c2=54−18cs∠AOB+cs∠BOC+cs∠AOC=54+26=80，故D错误.
故选：AC.
10．（24-25高一下·江苏常州·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知M是△ABC内一点，△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为SA,SB,SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0.则下列说法正确的是（ ）
A．若SA:SB:SC=1:1:1，则M为△ABC的重心
B．若SA:SB:SC=1:2:3，则AM=13AB+12AC
C．若AM=14AB+13AC，则SAS△ABC=13
D．若M为△ABC的内心，且3MA+4MB+5MC=0，则csC=56
【答案】ABD
【解题思路】取线段BC的中点D，得到MA=−2MD，所以A,M,D三点共线，再取线段AB,AC的中点E,F，证得B,M,F三点共线，且C,M,E三点共线，可得判定A正确；由“奔驰定理”，化简得到6AM=2AB+3AC，可判定B正确；由AM=14AB+13AC，化简得到
5MA+3MB+4MC=0，求得SA:SB:SC=5:3:4，结合SAS△ABC=SASA+SB+SC，可判定C错误；设△ABC内切圆的半径为r，利用面积比求得BC:AC:AB=3:4:5，结合余弦定理，可判定D正确.
【解答过程】对于A中，若SA:SB:SC=1:1:1，则MA+MB+MC=0，
如图所示，取线段BC的中点D，连接DM，
则MB+MC=(MD+DB)+(MD+DC)=2MD，
所以MA+MB+MC=MA+2MD=0，即MA=−2MD，所以A,M,D三点共线，
分别取线段AB,AC的中点E,F，连接ME,MF，
同理可证：B,M,F三点共线，且C,M,E三点共线，
所以点M为△ABC的重心，所以A正确；
对于B中，若SA:SB:SC=1:2:3，
由“奔驰定理”可得MA+2MB+3MC=0，所以MA+2(MA+AB)+3(MA+AC)=0，
所以6AM=2AB+3AC，即AM=13AB+12AC，所以B正确；
对于C中，若AM=14AB+13AC，
即12AM=3AB+4AC=3(AM+MB)+4(AM+MC)，
可得5MA+3MB+4MC=0，
又由SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0，且MA,MB,MC不共线，
所以SA:SB:SC=5:3:4，
所以由“奔驰定理”，可得SAS△ABC=SASA+SB+SC=55+3+4=512≠13，所以C错误；
对于D中，若M为△ABC的内心，设△ABC的内切圆的半径为r，
则SA:SB:SC=(12BC⋅r):(12AC⋅r):(12AB⋅r)=BC:AC:AB,
因为3MA+4MB+5MC=0，所以BC:AC:AB=3:4:5，
设BC=3t(t>0)，则AC=4t,AB=5t，
由余弦定理，可得csC=AC2+BC2−AB22ACBC=(4t)2+(3t)2−(5t)22×4t×3t=56，所以D正确.
故选：ABD.
11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知△ABC的外心为O，垂心为H，则下列说法正确的是（ ）
A．若OA=OB=OC=1，且4OA+3OB+2OC=0，则OA⋅OC=−1116
B．若∠B=2π3, OB=mOA+nOC，则m+n的取值范围为1, 2
C．AH与ABABcsB+ACACcsC不共线
D．若2HA+3HB+4HC=0，则cs∠AHB=−77
【答案】ABD
【解题思路】对于A，根据条件，利用数量积的运算律，即可求解；对于B，建立坐标系，从而有A−r,0，C12r,32r，Brcsθ,rsinθ，θ∈π3,π，结合条件可得m+n=2sinθ−π6，根据三角函数的性质，即可求解；对于C，计算可得ABABcsB+ACACcsC⋅BC=0，即可判断；对D，根据垂心的性质推导可得HA⋅HC=HA⋅HB=HC⋅HB，再设HA⋅HC=HA⋅HB=HC⋅HB=x，根据已知可得|HB|=−2x，同理可得|HA|=−72x，再根据向量的夹角公式求解即可.
【解答过程】对于A，由4OA+3OB+2OC=0，可得4OA+2OC=−3OB，
所以4OA+2OC2=9OB2，即16OA2+16OA⋅OC+4OC2=9OB2，又OA=OB=OC=1，
则16+16OA⋅OC+4=9，得到OA⋅OC=−1116，故A正确，
对于B，如图，以O为坐标原点，AO所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
连接OC，设圆O的半径为r，且交x轴正半轴于E，
因为∠B=2π3，则优弧AEC所对圆心角∠AOC=4π3，所以∠COE=4π3−π=π3，

则A−r,0，C12r,32r，设Brcsθ,rsinθ，使θ∈π3,π，
则OA=−r,0,OB=rcsθ,rsinθ,OC=12r,32r，
因为 OB=mOA+nOC，所以rcsθ=−mr+12nrrsinθ=n⋅32r，
得到n=23sinθ，m=13sinθ−csθ，
所以m+n=3sinθ−csθ=2sinθ−π6，θ∈π3,π，
又θ−π6∈π6,5π6，所以sinθ−π6∈12,1，则m+n∈1,2，所以选项B正确，
对于选项C，因为ABABcsB+ACACcsC⋅BC=AB⋅BCABcsB+AC⋅BCACcsC
=AB⋅BCcsπ−BABcsB+AC⋅BCcsCACcsC=−BC+BC=0，
所以AB|AB|csB+AC|AC|csC与BC垂直，
又因为AH⊥BC，所以AH与AB|AB|csB+AC|AC|csC共线，故C错误；
对于D，因为H为△ABC的垂心，则AH⊥BC，即AH⋅BC=0，

即AH⋅(HC−HB)=AH⋅HC−AH⋅HB=0，则HA⋅HC=HA⋅HB，
同理，HA⋅HC=HC⋅HB，所以HA⋅HC=HA⋅HB=HC⋅HB，
设HA⋅HC=HA⋅HB=HC⋅HB=x，
因为2HA+3HB+4HC=0，所以3HB=−2HA−4HC，
3HB2=−2HA⋅HB−4HC⋅HB=−6x，则|HB|=−2x，又2HA=−3HB−4HC，
所以2HA2=−3HB⋅HA−4HC⋅HA=−7x，则|HA|=−72x，
cs∠AHB=csHB,HA=HB⋅HAHB⋅HA=x−2x×−72x=x7x2，
又x