2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题5.2平面向量的最值范围问题(四类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题5.2平面向量的最值范围问题(四类重难点题型精练)(学生版+解析)，共24页。

重难点题型1 平面向量数量积的最值与范围
1．（2025·安徽·模拟预测）向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则（ ）
A．B．6C．12D．16
2．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ）
A．8B．5C．D．
3．（2023·河南安阳·二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
4．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量 满足 且 ，则 的最大值为 .
5．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是 ．
6．（2025·江苏·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 .
重难点题型2 平面向量模长的最值与范围
1．（2025·重庆·模拟预测）已知，都是平面向量，，若，，，则取得最大值时，（ ）
A．1B．3C．5D．6
2．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．6
3．（2025·北京·高考真题）已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京丰台·三模）已知、、都是平面向量，且，若，则的最小值为（ ）.
A．1B．C．2D．3
5．（2023·湖北·模拟预测）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·湖南长沙·二模）已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 .
7．（2025·湖北襄阳·二模）已知平面向量，满足，，则的最大值为 .
重难点题型3 平面向量夹角的最值与范围
1．（24-25高三上·湖北黄冈·一调）已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·河北石家庄·二模）在平行四边形中，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·天津滨海新·月考）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 .若，则余弦值的最小值为 .
重难点题型4 平面向量系数的最值与范围
1．（2023·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．4
3．（24-25高三上·江西·月考）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东·模拟预测）已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ．
5．（2023·陕西西安·模拟预测）已知外接圆的圆心为O，，，若有最大值，则参数t的值为 ．
题型
平面向量数量积的最值与范围
平面向量模长的最值与范围
平面向量夹角的最值与范围
平面向量系数的最值与范围
专题5.2 平面向量的最值范围问题
目录●重难点题型分布
重难点题型1 平面向量数量积的最值与范围
1．（2025·安徽·模拟预测）向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则（ ）
A．B．6C．12D．16
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】用定义求向量的数量积
【分析】根据题意设，， 与的夹角为，利用三角形面积公式，结合向量数量积求法，得到，根据的取值范围即可求解.
【详解】设，，所以，
因为，所以，所以可设，，
与的夹角为，
若，，
则知，，
即，，，
则当最大时，最大，即最小，即此时，
当且仅当时成立.
故选：C
2．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ）
A．8B．5C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】平面向量综合、数量积的坐标表示
【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出、，利用余弦定理确定，利用面积得到，由此推断最大时，最大，取最小值，利用坐标运算得到：，由二次函数性质求最值即可.
【详解】
设为轴正半轴上的单位向量，
令，，，
如图所示，设与的夹角为，若，
在中，由余弦定理有：则，
而，
所以，所以，
因为，所以，
有根据正弦定理有：，即，
整理有：，所以，
当与的夹角最大时，最大，取最小值，
因为，
当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，.
故选：D
【点睛】关键点点睛：
本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质求值.
3．（2023·河南安阳·二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】向量与几何最值、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义
【分析】先用待定系数法求出圆M的方程，进而得到，数形结合得到当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大，利用点到直线距离公式得到，结合向量投影求出最值.
【详解】根据题意可得，解得，，故圆M的方程为．
，
画图分析可知当与直线PA垂直的直线l和圆N相切，切点为B，且直线l的纵截距大于0时，最大．
直线的斜率为1，设l的方程为，由圆心到直线l的距离为，
解得或（舍去）．
故l的方程为，其与直线PA：的交点坐标为，
所以，所以，
即的最大值为．
故选：C
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
4．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量 满足 且 ，则 的最大值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、求点到直线的距离、轨迹问题——圆
【分析】先根据已知条件求出向量与的夹角，再通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，然后根据得到点的轨迹方程，最后根据向量数量积的坐标运算求出的最大值.涉及的知识点有向量的数量积公式、向量夹角公式、向量数量积的坐标运算以及圆的方程.
【详解】设向量与的夹角为，.根据向量数量积公式，
已知，，，可得：
解得，所以.
不妨设，，.
，.
因为，所以.
展开可得，配方得.
这表明点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
.设，即.
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离.
因为点在圆上，所以圆心到直线的距离（为圆的半径），即.
则，即.
解不等式可得.
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
5．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】数量积的运算律、已知模求参数
【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于3构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案.
【详解】由题，
因为，，所以，
因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值，
所以，解得，
又因为与的夹角为锐角，所以，故；
因为，
又有，
将模长代入，设，
即原式，
因为，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律转化为（）的三角函数.
6．（2025·江苏·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、数量积的运算律、已知模求参数
【分析】设，，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值.
【详解】由题意可知，，
由平面向量数量积的定义可得，
设，，则，
所以，
即，即，且有，
设，，则，
因为为的中点，则，
因为为的中点，则，
同理可得，
所以，
，
因为
，
其中为锐角，且，故的最大值为.
故答案为：.
重难点题型2 平面向量模长的最值与范围
1．（2025·重庆·模拟预测）已知，都是平面向量，，若，，，则取得最大值时，（ ）
A．1B．3C．5D．6
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知模求数量积、数量积的坐标表示、已知数量积求模、数量积的运算律
【分析】本题可先设出向量坐标，再根据已知条件求出向量、坐标的关系，进而求出的最大值，最后计算.
【详解】，设，.
已知，，
可得： ，
，
所以，，则 .
已知，则： .
即，化简可得，
所以，
即，当且仅当或时等号成立，
，此时取得最大值.
当或时，.
根据向量模长公式可得.
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．6
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积
【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值.
【详解】为单位向量，有，得，
由，得，
有，所以，
，
，，有，
则，
当且仅当与方向相反时“”成立，
如取时，可使“”成立.
所以.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是由已知条件得，这样就能得到.
3．（2025·北京·高考真题）已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
4．（2023·北京丰台·三模）已知、、都是平面向量，且，若，则的最小值为（ ）.
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、坐标计算向量的模
【分析】依题意可设，，，根据得到点在以为圆心，半径的圆上运动，点在（）上，求出圆心到直线的距离，即可得解.
【详解】依题意可设，，，
则，又，
所以，即，则点在以为圆心，半径的圆上运动，
因为，所以点在（）上运动，根据对称性不妨令点在（）上，
则表示圆上的点与（）上的点连线段的长度，
因为圆心到（）的距离，
所以的最小值为，即的最小值为.

故选：A
5．（2023·湖北·模拟预测）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、向量与几何最值、向量夹角的计算
【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.
【详解】由可知,，故，
如图建立坐标系，，，
设，由可得：
，
所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，
所以，几何意义为到距离的2倍，
由儿何意义可知，
故选：D.
6．（2025·湖南长沙·二模）已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】向量加法法则的几何应用、垂直关系的向量表示
【分析】在平面直角坐标系中画出表示的有向线段，再利用向量的线性运算将向量的模转化为线段的长，根据几何关系求出最小值即可.
【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，
不妨设，，，由题意可得
，
将绕点逆时针旋转得到，
则，，
其中点，故，
当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
7．（2025·湖北襄阳·二模）已知平面向量，满足，，则的最大值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】向量加法法则的几何应用、已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的坐标表示
【分析】把向量，放在单位圆内，确定定点，，用，在单位圆上选择动点，用，结合向量加法法则及向量夹角的概念确定的最大值.
【详解】
如图所示：圆为单位圆，点在单位圆上且，，
所以，符合条件，
在单位圆上再取一点，令，
易知弦所对的圆心角，弦所对的圆周角，
因为，符合条件，
所以当线段为圆的直径时最大，最大值为.
故答案为：
重难点题型3 平面向量夹角的最值与范围
1．（24-25高三上·湖北黄冈·一调）已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
已知向量，，即,即，
建立如图所示平面直角坐标系，设，，，，
则，，，又，则，即N的轨迹为以为圆心，为半径的圆，由图可知，当与圆相切时，最大，此时，
则的最大值为，即与夹角的最大值为.故选：
2．（24-25高三上·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，因为，
所以，所以，
则，
当时取等号，所以的最小值为．故选：B．
3．（23-24高三下·河北石家庄·二模）在平行四边形中，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，
与同方向的单位向量，
由题意，所以，
所以，即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即.故选：A
4．（24-25高三上·天津滨海新·月考）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 .若，则余弦值的最小值为 .
【答案】 /
【解析】
由已知可得；
，
因为，所以，
所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以余弦值的最小值为.
重难点题型4 平面向量系数的最值与范围
1．（2023·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求投影向量、用向量解决夹角问题
【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.
【详解】
因为，
则，所以，即B，O，C三点共线．
因为为的外心，即有，
所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角．
如图，过点作，垂足为．
因为在上的投影向量为，所以，
所以在上的投影向量为．
又因为，所以．
因为，所以，
故的取值范围为．
故选：A．
2．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【解析】如图，取中点，则，
，三点共线，，即，
，
当且仅当时，取等号.即的最小值是.故选：B
3．（24-25高三上·江西·月考）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为得，即
所以点在的角平分线上，设的中点为
因为，所以点在线段上，不妨设，
所以
易知所以
因为所以因为所以故选：B
4．（2024·广东·模拟预测）已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律、由圆心（或半径）求圆的方程、外心
【分析】以中垂线为轴，为轴建立直角坐标系，设出圆心坐标及半径，写出外接圆的方程，再分别写出坐标，将题干条件带入，即可得到等式，根据等式得出的关系及范围，再将关系带入中，根据范围即可求得结果。
【详解】解：由题可得，以的中点为原点，方向为轴，的中垂线为轴，
建立如图所示平面直角坐标系：
因为，所以，记圆心，半径为，
所以圆的方程为，，
不妨设，所以,
,,
因为所以，
因为，
所以，
所以可得，
将代入上式可得，①，
因为，②，
将①的平方和②的平方相加可得：，
所以，
所以，
将带入可得，，即，
即，所以，
所以的取值范围为。
故答案为：
【点睛】方法点睛：此题考查平面向量和三角形的综合应用，属于难题，针对向量的题常用的方法有：
（1）取两个不共线向量作为一组基底，将其他向量都用这一组基底进行表示；
（2）如果是比较规则的图形，比如有直角，等腰三角形，菱形等，建立合适的直角坐标系，将结果用坐标表示；
（3）若线段上一点,为线段上一点，且，则对于直线外一点有：。
5．（2023·陕西西安·模拟预测）已知外接圆的圆心为O，，，若有最大值，则参数t的值为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】设D是线段的中点，从而可求得，同理可得，再结合可求得，再根据结合二次函数的性质即可得解.
【详解】如图所示，设D是线段的中点，
由于O是外接圆的圆心，故，
所以，
同理可得，
由于，
故，即，
解得，
则，
由于，依题意有最大值，
令，设，
当，即时，（舍去），
当，即时，
，解得（舍去），
综上可得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：求出，，再结合，求出是解决本题的关键.
题型
平面向量数量积的最值与范围
平面向量模长的最值与范围
平面向量夹角的最值与范围
平面向量系数的最值与范围