专题 方程与不等式（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测 习题+答案

这是一份专题 方程与不等式（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测 习题+答案，共15页。试卷主要包含了基础解方程，含参数方程，元一次方程实际应用，实际应用等内容，欢迎下载使用。

题型1 一元一次方程
类型一 基础解方程
【例1】（2026·湖南·模拟预测）解方程：2x−1=4−x．
【变式1】（2025·安徽淮南·二模）解方程：x+2x−3=0．
【变式2】（2026·浙江湖州·一模）小江解方程4x+13−3x−12=1的过程如下：
解：去分母，得24x+1−33x−1=1…………第一步
去括号，得8x+2−9x+3=1…………第二步
合并同类项，得−x+5=1…………第三步
移项，得 5−1=x…………第四步
合并同类项，得x=4…………第五步
(1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误；
(2)写出正确的解答过程．
类型二 含参数方程（解相同、无解）
【例2】（2025·贵州贵阳·三模）x=2是关于x的一元一次方程ax+5=7的解，则a=___________．
【变式1】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义a∗b=3a−b，若2∗(5−x)=1，则x=_______．
【变式2】（2026·广东佛山·一模）已知x=2是关于x的方程3x−m=4的解，则m的值是______．
类型三 元一次方程实际应用：行程、工程、销售、和差倍分
【例3】（2026·陕西西安·模拟预测）某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？
【变式1】（2026·陕西西安·三模）某校组织七年级学生参加红色研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有30人没有座位．若租用同样数量的60座客车，则多出2辆车，且其余客车恰好坐满，求参加红色研学活动的总人数．
【变式2】（2026·安徽马鞍山·一模）小红家准备购买一台冰箱，在购买时，共有两种优惠方案：选择用“国补”或“以旧换新”，如果用“国补”，则可获得20%的补贴（补贴金额最高不超过2000元）；如果用“以旧换新”，则可在原价基础上优惠580元，两种方案不能同时享受．若选择“国补”方案比“以旧换新”方案多优惠60元，那么这台冰箱原价是多少元？
题型2 二元一次方程组
类型一 代入消元、加减消元解方程
【例4】（2026·浙江金华·一模）解方程组：4x−5y=33x−y=5
【变式1】（2026·广东·一模）解方程组3x+y=5①2x−y=5②．
【变式2】（2026·广西南宁·一模）计算或解方程组：
(1)−6÷2+22；
(2)x+y=52x−y=4．
类型二 含参数：同解、无解、无数组解
【例5】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组x=2mx+ny=1与y=1nx+my=−7有相同的解，则m+n的值为（ ）
A．−5B．−1C．3D．−2
【变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组x+2y=m+12x+y=2m+5，若x+y=4，则m的值为（ ）
A．53B．2C．3D．103
【变式2】（2026·浙江丽水·一模）已知关于x，y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=2029，则m的值为_________．
类型三 实际应用：购物、配套、租车、方案问题
【例6】（2026·河南驻马店·二模）某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等．学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元．
(1)求A种劳动工具和B种劳动工具的单价．
(2)现有两家商店分别推出了优惠套餐．甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售．乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售．已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量．
【变式1】（2026·湖南湘西·一模）问界M9车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400千米，因此具有更强的续航里程．问界M9增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180千米．亏电后通过汽油发电续航，100千米耗油6.3升．2024年清明假期，小张从长沙出发，驾驶满电满油的问界M9到距离380千米的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280千米时，电费与油费共82.4元；当行驶到达湘西时，电费与油费共132.8元．
(1)求每度电的价格与每升油的价格；
(2)与小张同行的小李驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100千米耗油5升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界M9属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问小张这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比小李节省了多少费用？
【变式2】（2026·广东佛山·一模）如图所示，某学校开发一块长方形试验田ABCD作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田ABCD的周长为102米，请计算该试验田的面积．
【变式3】（2026·山东淄博·一模）废旧电池的危害主要集中在它所含的少量的重金属上，如铅、汞、镉等．由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源．为保护环境，学校环保小组成员去往某公园收集废旧电池．
(1)环保小组共30人，由于路途较远，环保小组在老师的组织下决定租车前往．现有甲、乙两种车，它们的载人数和租金如表所示．若要求每车满员且不能超载，请列出所有乘车方案和相应费用；
(2)已知第一天收集了5节1号电池，6节5号电池，总质量为500g；第二天收集了3节1号电池，4节5号电池，总质量为310g．1节1号电池和1节5号电池的质量分别是多少？
题型3 分式方程
类型一 常规分式方程求解
【例7】（2026·广西玉林·一模）解方程：3xx+1−1=21+x．
【变式1】（2026·浙江·一模）解分式方程：31−x=xx−1−5．
【变式2】（2026·江苏连云港·一模）解分式方程：2−xx−3=1−13−x
类型二 增根、无解求参数
【例8】（2026·黑龙江佳木斯·一模）关于 x 的分式方程1x−2+a−22−x=1的解为正数，则a 的取值范围是（ ）
A．a>5且a≠3B．a5且a≠2D．a−14且m≠0D．m>−4且m≠0
【变式1】（2026·河南·一模）一元二次方程x2−6x+9=0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【变式2】（2026·山东青岛·一模）已知关于x的一元二次方程x2−5x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是____．
类型三 韦达定理：两根和、两根积，整体代入求值
【例12】（2026·江苏泰州·一模）已知x1，x2是关于x的方程x2−5x−4=0的两根，则x1+x2−x1x2的值为_______．
【变式1】（2026·湖北·模拟预测）已知x1，x2是方程x2−5x−6=0的两个实数根，则x1+x2＝（ ）
A．−5B．−6C．5D．6
【变式2】（2026·广西桂林·一模）若方程x2+x−4=0的两个根是x1和x2，则x12x2+x1x22的值是（ ）
A．4B．2C．−2D．−4
【变式3】（2026·湖南株洲·一模）已知α，β是关于x的方程x2−4x−1=0的两根，则1α+1β的值为________．
类型四 实际应用：增长率、面积、销售利润、循环问题
【例13】（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．
(1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？
(2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长92m、宽60m的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为885m2的6个小矩形．求道路的宽度．
【变式1】（2026·云南大理·一模）某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有x个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A．xx−12=36B．xx+12=36C．xx−1=36D．xx−2=36
【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践
【项目主题】
探究新款迷你无人机校园营销方案
【项目背景】
某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为STEM教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略．
【项目准备】
数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况．
知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式．
工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格．
【项目实施】
阶段一：销售增长趋势分析
任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率．
阶段二：校园促销方案设计
任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？
【项目成果】
科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案．
(1)解决任务1．
(2)解决任务2．
题型5 一元一次不等式（组）
类型一 解一元一次不等式
【例14】（2025·陕西西安·二模）解不等式：x+22−1+2x3>1．
【变式1】（2026·浙江丽水·一模）解不等式：x−2x−1≤5．
【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式x−4x−92≥4，并求出最大的整数解．
类型二 解不等式组，求解集、整数解
【例15】（2026·湖南岳阳·一模）解不等式组2x+1>x①5x+2≥4(2x−1)②，并将解集表示在数轴上．
【变式1】（2025·天津南开·二模）解不等式组3x−12x−1①2x+23≥3x2−1②的所有整数解．
解：解不等式①，得___________，
解不等式②，得___________，
将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示：
∴不等式组的解集为___________．
∴整数解为x=___________．
类型三 含参数不等式组：有无解、整数解个数限制
【例16】（2026·江西萍乡·一模）若关于x的不等式组x−2>0x−a≤0有解，则a的取值范围为___________．
【变式1】（2026·四川宜宾·一模）已知不等式2x−a3无解,则a的取值范围是__________.
【变式2】（2026·四川广安·二模）若关于x的不等式组x−13−1b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a−1b+1
4．（2026·北京平谷·一模）若关于x的一元二次方程x2+2m+1x+m2−1=0有实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m>−1B．m≥−1C．m