专题05 方程与不等式组（题型专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测+答案

这是一份专题05 方程与不等式组（题型专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测+答案，文件包含专题05方程与不等式组题型专练江苏专用原卷版docx、专题05方程与不等式组题型专练江苏专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次方程(组)
题型02 分式方程的增根问题
题型03 分式方程的有解与无解问题
题型04 分式方程中的双整数问题
题型05 分式方程的应用
题型06 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
题型07 一元二次方程的应用
题型08 一元一次不等式(组)
题型09 方程(组)与不等式(组)中的含参问题
题型10 不等式中的代数推理
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次方程(组)
典例引领
【典例01】（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可.
【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）；
大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天），
∴方程为，
故选：A
【典例02】（2026·江苏无锡·一模）2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先计算出胜场和平场的总场次，再根据积分规则列出方程即可；
【详解】解：∵该队共进行15场比赛，负了5场，
∴胜场和平场的总场次为场，
∵设胜了场，
∴平的场次为场，
又∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为24分，
∴总得分等于胜场得分加平场得分，可列方程：．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·江苏无锡·模拟预测）年月日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长公里，测试列车以的速度跑完全程，比预定时间快了分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长，普通高铁以的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．磁悬浮试验线的全长为公里
B．磁悬浮试验线的预定运行时间为分钟
C．传统高铁线路的运行时间为分钟
D．测试列车实际运行时间为分钟
【答案】A
【分析】设预定运行时间为小时，根据题意列方程求出，进而求出磁悬浮试验线的全长、传统高铁线路的运行时间及测试列车实际运行时间即可判断求解．
【详解】解：设预定运行时间为小时，
∵测试列车跑完全程比预定时间快分钟，
∴，
整理得， ①，
∵传统高铁线路长为公里，跑完比预定时间多分钟，
∴，
整理得，②
联立①②，得，
解得小时，即预定运行时间为分钟，
代入①，得 公里，即磁悬浮试验线全长公里，
测试列车实际运行时间为 分钟，
传统高铁运行时间为 分钟，
∴正确，错误．
【变式02】（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意，杏的总数在两种分组方式下相等，由此列出方程，即可作答．
【详解】解：∵人一组，每组个杏，则多个杏，设牧童人，
∴杏的总数：；
∵人一组，每组个杏，则多个杏．
∴杏的总数：；
∵杏的总数不变，
∴，
故选：C．
题型02 分式方程的增根问题
典例引领
【典例01】（25江苏无锡·模考）如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（ ）
A．B．C．或D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，再根据分式方程有增根可得整式方程的解为或，进而代入整式方程即可判断求解，理解增根的定义是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以得，，
整理得，，
∵分式方程有增根，
∴整式方程的解为或，
当时，；
当时，不是整式方程的解；
∴分式方程的增根可能是，
故选：．
【典例02】（25宿迁模考）当_______， 方程 会产生增根．
【答案】或
【分析】本题考查了解分别方程，以及分式方程的增根，理解分式方程产生增根的条件是解题的关键．通过求解方程，用m表示x，再令x等于使分母为零的值，求出m．
【详解】解：方程两边同时乘以公分母，得，
化简得，
当，即或时，分式方程有增根，
把代入得，，解得，
把代入得，，解得，
或时，方程 会产生增根．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025连云港模考）已知关于的方程．
(1)当此方程的解为时，求的值；
(2)当此方程会产生增根时，求的值．
【答案】(1)
(2)0或4
【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值．
（1）把代入方程计算即可求出k的值；
（2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值．
【详解】（1）解：（1）∵方程的解为，
∴，
解得；
（2）由分式方程有增根，得到或，解得，
分式方程去分母得：，
把代入方程得：，解得：，
把代入方程得：，
故的值为0或4．
题型03 分式方程的有解与无解问题
典例引领
【典例01】（2025·江苏南京·二模）若关于x的方程无解，则a的值是 ．
【答案】2
【详解】解：∵，
方程两边同时乘以，得
，
∴；
当时，无解，即关于的方程无解，
当时，，
∵原分式方程无解，
∴，
此时无解，
∴a的值是
故答案为：
【典例02】（2025·江苏扬州·二模）若关于的分式方程无解，则的值为_______．
【答案】0或2/2或0
【分析】本题考查了分式方程的解，解题关键是掌握分式方程解法，理解分式方程解的定义．将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情况，分别进行计算即可．
【详解】解：关于的分式方程化为整式方程得：
，
即，
由于分式方程无解，
所以或者分式方程有增根，
当时，，
解得，
综上所述，的值为0或2，
故答案为：0或2．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·宁夏银川·一模）分式方程无解，则a的值为________．
【答案】7
【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解说明该解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求得参数a的值．
【详解】解：原分式方程可变形为，
方程两边同乘最简公分母，得，
∵原分式方程无解，
∴，即是原分式方程的增根，
将代入整式方程，得
，
解得：．
题型04 分式方程中的双整数问题
典例引领
【典例01】（2025·镇江·中考模考）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．3或4
【答案】D
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
【详解】解：，
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；
当时，是原分式方程的解；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
【典例02】（25·江苏泰州模考）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正整数解，则符合条件的整数m的和是______.
【答案】
【分析】根据二次根式有意义可得，再解出关于x的分式方程 的解为，由解为正整数数解，进而确定m的取值范围，再排除增根，确定m的所有可能的整数值，最后求和即可．
【详解】解：,解得：，
∵关于x的分式方程有正整数解，
∴，
∴，
又∵是增根，
∴当时，，即，
∴，
∵有意义，
∴，即，
∴且，
∵m为整数，方程有正整数解
∴m可以为，其和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的意义、分式方程的解法、分式方程产生增根的条件等知识点，理解正数解、整数m的意义是正确解答的关键．
方法透视
变式演练
【变式01】（25常州模考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为_______．
【答案】1
【分析】利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的一个取值范围，同时满足两个条件的整数解即为答案．
【详解】解：．
解不等式①的解集为，
不等式②的解集为，
∵不等式组的解集为，
．
解关于的分式方程得：．
由题意：．
．
．
关于的分式方程有非负整数解，
，，1，3．
但时，是原方程的增根，舍去．
或1或3．
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组合一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．
【变式02】（2025·无锡·中考模考）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．3或4
【答案】D
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
【详解】解：，
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；
当时，是原分式方程的解；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
题型05 分式方程的应用
典例引领
【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同．
(1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？
(2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元
(2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元；
（2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台，
根据题意得：，
解得：，
设购买成本为万元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，，
答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台．
【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价．
【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可．
【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴则甲款书签价格为（元）
答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨
【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可．
【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，
根据题意，得
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：浇水方式改进后平均每天用水1吨．
题型06 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
典例引领
【典例01】（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：1．
【典例02】（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断根的情况
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则．
根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别是，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
题型07 一元二次方程的应用
典例引领
【典例01】（2026·江苏无锡·一模）某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列方程，解题思路是依次推出两次升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可．
【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍，
∴第一次升级后的能量密度为 ，
第二次升级后的能量密度为 ，
∵最终能量密度达到 ，
∴可列方程为 ．
【典例02】（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡．
(1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案；
(2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意
(2)面积不能达到，见解析
【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可；
（2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可．
【详解】（1）解：设，则．
由题意得：．
解得，．
，即，
∴，
，
∴，
∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意；
（2）解：设，则，，
由题意得：，
整理得，
，
方程无解，
∴面积不能达到．
方法透视
变式演练
【变式01】（25-26九年级上·江苏南京·期末）某厂工业废气年排放量为万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为，则可列方程为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程在增长率（降低率）问题中的应用，熟练掌握利用平均变化率公式 建立方程是解题的关键．
根据平均每年减少的百分率 ，依次表示出一年后和两年后的废气排放量，再根据两年后排放量为144万立方米这一条件，列出方程．
【详解】解：设平均每年废气排放量减少的百分率为x，
根据题意列方程得，
故答案为：．
【变式02】（2025·江苏泰州·三模）项目式学习：
主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图1）制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图2，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为，则收纳盒的底面的边的长为（_____________）的长为（_____________）；（均用含的代数式表示）
任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高．
【答案】任务一：，；任务二：该收纳盒的高为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，表示出，的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
任务一：根据图①分别列出代数式即可；
任务二：设该收纳盒的高为 ，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为，
，，
故答案为：，；
任务二：设该收纳盒的高为，则，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该收纳盒的高为．
题型08 一元一次不等式(组)
典例引领
【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得，．
原不等式组的解集为：．
【典例02】（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，解集在数轴上表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
在数轴上表示如图：
∴不等式组的解集为．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·江苏扬州·一模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
【答案】，11
【分析】先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，再在解集中找出整数解，最后求和即可．
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
这个不等式组的解集是，它所有的整数解为5，6，
这个不等式组的所有整数解的和．
题型09 方程(组)与不等式(组)中的含参问题
典例引领
【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可．
【详解】解：原方程去分母得：，
是该方程的解，
，
解得：，
当时，原分式方程有意义，
故答案为：．
典例02】（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_____．
【答案】5
【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考核学生的计算能力，注意分式方程一定要检验．解分式方程，检验根得出的范围；根据分式方程的解为正数，列出不等式求得的范围；解不等式组，根据解集为，得出的范围；根据为整数，得出的值，最后求和即可．
【详解】解：分式方程的两边都乘以得：，
解得，
，
，
，
方程的解为正数，
，
且；
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
．
且
整数的和为；
故答案为：5．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏淮安·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)若此方程恰有一个根等于，求k的值；
(2)求证：不论k取何值，方程总有实数根．
【答案】(1)k的值为
(2)见解析
【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键．
（1）把代入方程，从而可得答案；
（2）证明即可得到结论．
【详解】（1）解：将代入方程得，
，
解得：，
所以k的值为．
（2）证明：因为
，
又因为，
所以不论k取何值，方程总有实数根．
【变式02】（2025·江苏扬州·二模）已知是关于的不等式的解，求的取值范围．
【答案】且
【分析】先根据不等式，解此不等式，再对a分类讨论，即可求出a的取值范围．
【详解】，
化简得，
当，即时，，
又是关于x的不等式的解，
则，解得，
即此时；
当，即时，，
又是关于x的不等式的解，
则，解得，
即此时；
当，即时，
由就变成了一个不含x的不等式，
故，
综上得：且．
故a的取值范围是且．
【点睛】本题考查了求解不等式的知识，注意分类讨论是解答本题的关键．
题型10 不等式中的代数推理
典例引领
【典例01】（2026·江苏盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论．
【答案】真命题，证明见解析
【分析】根据不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变 ,可得， ，由此即可判断命题的真假性．
【详解】证明： ∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴
因此原命题是真命题．
【典例02】（2025·江苏盐城·一模）代数式，代数式．
(1)当时，若，则 x 的取值范围是 ；
(2)若，判断代数式A 与 B 的大小，并说明理由；
(3)将“A 与 B 的差”记为 C，即 ．当 时，要使 C 的值满足， 直接写出 m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是求出两个式子的差．
（1）将代入A、B的式子中，求出，利用，得出不等式3，求出x的取值范围；
（2）因为，所以，因为，所以，所以，得出；
（3）求出，分成、、三种情况讨论，确保，，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：因为，
当时，，
因为，
所以，
解得．
（2）解：因为，
所以
，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
即．
（3）解：因为，
所以，
因为，
①当时，C随着x的增大而增大，
则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是，
可得：，
解得：，
②当时，，满足，
所以满足题意．
③当时，C随着x的增大而减小，
则当时，C的最大值是，当时，C的最小值是，
可得，
解得：，
综上所述，．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
【答案】(1)①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）；②平方差公式；③不等式的基本性质1
(2)见解析
【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题；
（2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题．
【详解】（1）解：①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）．
②平方差公式．
③不等式的基本性质1．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式02】（2025·江苏扬州·一模）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为．
(1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；
(2)请证明（1）中的数学关系式；
(3)在中，三条边的长度分别为，证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据浓度公式代入以及变甜了判断所得分式大小即可；
（2）利用作差法，并化简通过判断结果的正负即可；
（3）利用三角形的三边关系得到，，，即，，，在通过本题糖水不等式变形求证即可．
【详解】（1）解：由题意得：加入克糖后糖水浓度为：，
由糖水变甜可知：，
故答案为：
（2）解：利用作差法比较大小：
．
∵，，
∴，，即，
∴，即．
（3）解：在中，，，，且，
∴，，．
由糖水不等式得，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证明是解决本题的关键．
题●型●训●练
1．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可.
【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）；
大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天），
∴方程为，
故选：A
2．（2026·江苏无锡·模拟预测）年月日，我国首条“高温超导电动悬浮”试验线完成耐久测试．已知磁悬浮试验线全长公里，测试列车以的速度跑完全程，比预定时间快了分钟．传统高铁线路比磁悬浮试验线长，普通高铁以的速度跑完传统线路，所需时间比磁悬浮列车的预定时间多了分钟．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．磁悬浮试验线的全长为公里
B．磁悬浮试验线的预定运行时间为分钟
C．传统高铁线路的运行时间为分钟
D．测试列车实际运行时间为分钟
【答案】A
【分析】设预定运行时间为小时，根据题意列方程求出，进而求出磁悬浮试验线的全长、传统高铁线路的运行时间及测试列车实际运行时间即可判断求解．
【详解】解：设预定运行时间为小时，
∵测试列车跑完全程比预定时间快分钟，
∴，
整理得， ①，
∵传统高铁线路长为公里，跑完比预定时间多分钟，
∴，
整理得，②
联立①②，得，
解得小时，即预定运行时间为分钟，
代入①，得 公里，即磁悬浮试验线全长公里，
测试列车实际运行时间为 分钟，
传统高铁运行时间为 分钟，
∴正确，错误．
3．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解．
【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米），
∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，
∴，
∴，
∴现在小华开始的速度为（米/分钟）,
设小华分钟后与小丽相遇，
由题意得，
得，
则相遇时小华到图书馆的距离为（米），
剩余路程为（米），
再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故选：A．
4．（25·江苏无锡·月考）如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（ ）
A．B．C．或D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，再根据分式方程有增根可得整式方程的解为或，进而代入整式方程即可判断求解，理解增根的定义是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以得，，
整理得，，
∵分式方程有增根，
∴整式方程的解为或，
当时，；
当时，不是整式方程的解；
∴分式方程的增根可能是，
故选：．
5．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．2B．3C．0或2D．或3
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键；
将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可．
【详解】解：原方程两边同乘，得：
化简得：，
即；
当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解；
当解为增根时：即当解时，
解得，此时使原方程分母为零，无意义；
综上，的值为或；
故选：D．
6．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可．
【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，
根据题意，可得．
故选：A．
7．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）若分式方程无解，则k的值是 _______．
【答案】1或2
【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键．先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值．
【详解】解：原方程两边同乘（需），得，
化简得，即，
当即时，方程变为，无解；
当时，解为，
若此解为增根，则，
解得，
故或时方程无解，
故答案为：1或2．
8．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为________ ．
【答案】
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
解分式方程，用含的代数式表示，根据方程有整数解求出的所有值，再去掉产生增根的的值，再求出满足条件的所有整数的和即可．
【详解】解：原方程化为，
去分母得，
整理得，
解得
∵方程有整数解，
∴为整数，且，
∴为的约数，即
∴
当时，，为增根，舍去，
∴满足条件的整数为，
和为，
故答案为：．
9．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
10．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
11．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】(1)15米；
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．
（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，
根据题意得
∴
∵，
∴当时，有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
12．（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．
(1)根据图中所提供的信息，填空：2023年比2022年增加了__________公顷，在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年；
(2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率；
(3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图．
【答案】(1)3；2024
(2)
(3)见解析
【分析】（1）用2023年的绿地面积减去2022年的绿地面积可得第一空的答案；求出2024年和2025年这两年的绿地面积的增加量，比较即可得到第二空的答案；
（2）设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，再根据2025年和2027年这两年的绿地面积建立方程求解即可；
（3）根据（2）所求求出2026年的绿地面积，再画图即可．
【详解】（1）解：公顷，
∴2023年比2022年增加了3公顷；
∵公顷，公顷，且，
∴在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是2024年；
（2）解：设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：这两年（）绿地面积的年平均增长率为；
（3）解：公顷，
画图如下：
13．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
(1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____；
(2)设小明接温水的时间为，
①若最终杯子中水的温度是，求的值；
②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解；
②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设需再接开水的时间为．
根据题意，得，
解得．
答：需再接开水的时间为．
（2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为，
设水杯中水的温度为，由题意，
∴，
∴当时．
解得：
②∵饮水适宜温度是，
∴，
解得．
14．（2025·江苏南京·二模）根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则．
【答案】见解析
【分析】先求出，根据，得出，从而得出，即，从而证明结论．
【详解】证明：
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．
15．（2025·江苏扬州·二模）阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足，证明：．
证明：因为且x，y均为正，
所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整．
(2)尝试证明：若，则．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题；
（2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题．
【详解】（1）证明：因为且，均为正，
所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），
所以（不等式的传递性），
故答案为：，；
（2）证明：，
，
．
考向解读
中考中一次方程（组）为必考基础内容，常以选择、填空及解答题出现。侧重考查方程解法、根据解求参数，结合实际情境列方程解决工程、行程、销售等问题，也会与不等式、函数简单结合，注重运算准确性与数学建模能力，整体难度不大，属于必须拿分题型。
方法技能
解方程时牢记去分母不漏乘、移项要变号、去括号注意符号。解方程组优先用加减消元法，系数为 1 时用代入法。应用题先找准等量关系再设元，结果要检验是否符合实际。计算细心、步骤规范，避免符号与运算错误，确保解题快速准确。
考向解读
中考常以选择、填空考查分式方程增根与无解，核心考点为：增根是使分母为 0 的未知数的值，也是去分母后整式方程的解。常结合参数考查，要求根据增根求字母取值，或判断方程无解情况，侧重概念理解与运算严谨性，属于易失分点。
方法技能
解一元一次方程注意移项变号、去分母不漏乘常数项；解方程组优先加减消元，系数简单用代入消元。设元要简洁，找准等量关系列方程，计算后及时验算。应用题注意检验解是否符合实际，步骤规范、符号清晰，保证基础题不丢分。
考向解读
中考常以选择、填空考查分式方程有解、无解及含参问题，核心是区分无解与增根：无解包含整式方程无解和产生增根两种情况。常已知方程无解求参数值，或根据方程有解确定参数范围，侧重概念辨析与严谨运算，是中档易错考点。
方法技能
解方程要规范步骤：移项必变号，去分母不漏乘，去括号注意符号。方程组优先加减消元，系数为 1 时用代入法。应用题找准等量关系再列方程，解完及时检验，计算细心不跳步，确保步骤完整、结果正确，稳拿基础分。
考向解读
中考常以中档填空、解答考查分式方程解为整数、参数也为整数的 “双整数” 问题。需先解含参方程，再结合分母不为零排除增根，根据整数条件确定参数取值，侧重分类讨论、整数分析与严谨性，易因忽略增根限制失分，考查逻辑与运算综合能力。
方法技能
解方程时移项要变号，去分母不漏乘常数项；方程组优先加减消元，系数简单用代入法。应用题找准等量关系合理设元，解后检验是否符合实际。步骤规范、计算细心，避免符号错误，确保基础题型不丢分。
考向解读
中考常以解答题考查分式方程实际应用，涉及工程、行程、销售、浓度等题型。要求根据题意列方程、求解并检验，既要排除使分母为零的增根，还要验证是否符合实际意义，突出数学建模与严谨运算，是中档必考题型，分值稳定，注重步骤规范。
方法技能
解方程移项必变号，去分母不漏乘，去括号注意符号。方程组多用加减消元，系数简单用代入法。应用题找准等量关系再列方程，解后及时检验。计算不跳步、书写规范，避免粗心失误，保证基础题满分。
考向解读
中考常以选择、填空及中档解答题考查，利用判别式判断根的情况、求参数范围；结合韦达定理求两根和、积，或求代数式的值、构造方程。常与不等式、几何综合，注重公式记忆与整体代入思想，步骤严谨，是高频必考考点。
方法技能
解方程时移项要变号，去分母不漏乘，去括号注意符号。方程组优先加减消元，系数简单用代入法。应用题找准等量关系，规范设元，解后检验合理性。计算细心、书写完整，避免符号与运算失误，确保基础不丢分。
考向解读
中考常以解答题考查一元二次方程实际应用，以增长率、面积问题、商品利润、动点问题为主。要求根据题意列方程，用配方法、公式法或因式分解法求解，并根据实际意义舍去不合理解。突出建模与计算能力，难度中等，步骤完整、检验合理是得分关键。
方法技能
解方程要注意移项变号、去分母不漏乘、去括号符号正确。解方程组优先加减消元，系数简单用代入法。应用题找准等量关系再列方程，解后检验合理性。计算不跳步、书写规范，避免粗心失分，保证基础题全对。
考向解读
中考常以选择、填空及简单解答题考查，重点是解不等式（组）并在数轴上表示解集，求整数解、参数范围，以及与一次函数结合的方案问题。核心易错点是两边同乘除负数时不等号方向改变，注重数形结合与分类讨论，属于基础必考内容，分值稳定。
方法技能
解方程移项必须变号，去分母不漏乘常数项，去括号注意符号。方程组优先用加减消元，系数为 1 时用代入法。应用题找准等量关系再列方程，解后检验合理性。计算规范不跳步，避免符号与运算失误，确保基础题不丢分。
考向解读
中考常以选择、填空压轴或中档解答考查含参问题，涵盖方程有解无解、解的范围、不等式组整数解、参数取值范围等。重点考查分类讨论、数形结合，需结合增根、解集边界、整数条件分析，易忽略限制条件失分，综合性强，是区分度较高的必考考点。
方法技能
解方程时移项必变号，去分母不漏乘，去括号注意符号。方程组优先加减消元，系数简单用代入法。应用题找准等量关系规范列式，解后检验合理性。计算细心、步骤完整，避免符号与运算错误，保证基础题型稳定得分。
考向解读
不等式代数推理是中考选择、填空及简单证明的高频考点，侧重逻辑严谨性。常考利用不等式性质判断命题真假、作差比较大小、结合非负数进行推导，也会与整式、分式、二次根式综合。考题重思路规范，常以 “证明不等关系”“确定取值范围”“最值推理” 形式出现，突出从条件到结论的严谨推导。
方法技能
核心方法：作差法、利用不等式基本性质、分类讨论、构造函数或几何意义。关键注意：两边同乘负数要变号；分母含字母时先判断符号；涉及平方、根号勿忘非负性；推理每一步要有依据，不跳步、不凭感觉；多变量问题优先消元或整体代换，避免符号与范围错误。
方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）．
生活经验：饮水适宜温度是（包括与）．