专题 圆综合大题（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测 习题+答案

这是一份专题 圆综合大题（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测 习题+答案，共12页。

题型1 圆+直角三角形
【例1】（2025·贵州·二模）（1）如图①，已知△ABC是一个直角三角形，∠B=90°，用尺规求作△ABC的外接圆，圆心为点O，不写作法，保留作图痕迹；
（2）如图②，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，点D在AB上，BD=BC．连接CD并延长到点E，使得AE=AC，求证：AE与⊙O相切；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=2∠ACD，探究AC，BC的数量关系，并说明理由．
【变式1-1】（2025·河南焦作·三模）【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段AB分割成AM,MN和BN，若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3,MN=5，则BN=___________．
【探究证明】
（2）如图（2），在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，M，N在线段BC上，且∠MAN=45°．求证：点M，N是线段BC的勾股分割点．
【拓展应用】
（3）如图（3），在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，P是⊙O上一动点，连接AB,PA,PB，分别作PA,PB的垂直平分线，分别交直线AB于点C，D，已知AB=14，当△ABP是以AB为底边的等腰三角形时，请直接写出线段CD的长．

【变式1-2】（（2026·广东东莞·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC边上一点O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边交于点D，交BC于点E，AB=AD．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若CE=3，CD=5，求⊙O的半径．
题型2 圆+菱形
【例2】（2025·江西·模拟预测）如图1，CD是菱形OABC的边AB上的高，以点O为圆心，OA长为半径画圆．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若点B在⊙O上，如图2．
①求∠DCB的度数；
②已知菱形OABC的边长为6，求图中阴影部分的面积．
【变式2-1】（2025·江苏泰州·三模）已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，⊙O是△ACD外接圆．
(1)如图1，当AB与⊙O相切时，求∠ABC的度数；
(2)若∠ABC的度数发生变化且点B在⊙O外，⊙O与射线BC交于点F，AF与CD交于点G，如图2，当AE=3，AG2+GF2=36，求菱形ABCD的面积．
【变式2-2】（2025·广西钦州·二模）综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B，C，D．
(1)如图2，当直线l经过中心O时，请直接写出线段AB与CD的数量关系；
(2)如图3，当直线l不经过中心O时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
(3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点O是这两个菱形对角线的公共交点，AB∥EF且F，B，D，H四点均在对角线FH上），类似地形成了“方花”，直线l不经中心O时，与“方花”从左到右依次交于点M，N，P，Q，求MNPQ的值．
题型3 .圆＋折叠
【例3】（2026·河北唐山·一模）如图，⊙O的半径为4，弦AB=27，弦CD=m，AB∥CD，且圆心O在弦AB，CD之间，点M是劣弧AC上任意一点，连接DM，将弦DM左下方的图形沿DM折叠，折叠后的图形记为G（阴影部分），设∠CDM=β，（cs41°≈34）．
(1)若m=42．
①求AB与CD之间的距离；
②当线段AB在G的内部（不含边界）时，确定β的取值范围；
(2)当线段AB与折叠后的MD所在圆相切时，且切点到弦AB中点的距离为1，直接写出折痕DM的长．
【变式3-1】（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形ABCD ，以边AB为直径作⊙O，点E是边BC上一点（不与B，C重合），将正方形沿DE折叠，使得点C恰好落在⊙O上．
(1)判断直线DC'与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若正方形的边长为2，求线段BE的长．
【变式3-2】（2025·陕西·模拟预测）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=48°，D是△ABC外一点，且AD=AC．以点A为圆心，AB长为半径作圆，则∠BDC的度数为 ；
问题探究
（2）如图2，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E是AB边的中点，F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF折叠得到△B'EF，连接B'C，求线段B'C长度的最小值；
问题拓展
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB=10，动点M，N分别在边BC，CD上移动，且满足CM=DN．连接AN和DM，交于点O．当点N从点D开始运动到点C时，点O也随之运动，请求出点O的运动路径长．
题型4 圆+角平分线
【例4】（2026·甘肃兰州·一模）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，AB平分∠CAD，BE交AD的延长线于点E，∠ABC=∠E．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BC=4，BE=5，求DE的长．
【变式4-1】（2026·山东日照·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，DE⊥BC交BC的延长线于点E,CD恰好平分∠ACE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为10,BC=2，求DE的长．
【变式4-2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，点A，B，C，D为⊙O上四个点，BD为直径，AD=6，AC=72，AC平分∠DAB．过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E．
(1)求证：CD=CB；
(2)求证：CE为⊙O的切线；
(3)求BD的长．

1．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在△ABC中，∠C=120°，AC=3，BC=2．
(1)在图中，作出△ABC的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)△ABC的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出△ABC的最小覆盖圆的直径．
2．（2026·河南商丘·一模）在平行四边形ABCD中，连接BD，作△BCD的外接圆⊙O，已知∠CBD=35°．
(1)当BC经过圆心O时，求∠A的度数．
(2)若AD与⊙O相切，⊙O的半径为6，求BD的长．
3．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PD，切点为M．过点A作AC⊥PD于点C，交⊙O于点N，连接AM．
(1)求证：AM平分∠CAB；
(2)若⊙O的直径为10，AN=6，求CM的长．
4．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，⊙O中，直径AB⊥CD于点F，E是弧AD上一点，连接BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN=PE．
(1)求证：PE是⊙O的切线；
(2)连接OD，若BE与OD互相平分，AB=4，求DE的长．
5．（2026·吉林长春·一模）综合与探究
【问题情境】
如图①，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦AB, AC, AD构成的图形称为“爪形A”，弦AB, AC, AD称为“爪形A”的爪．
(1)【猜想证明】如图②，四边形ABCD内接于⊙O, AB=BC，连接BD．
①试判断圆中是否存在“爪形D”，并说明理由；
②若∠ADC=120°，延长DC至点E，使CE=AD，连结BE．试猜想AD, CD, BD之间的数量关系，并说明理由；
(2)【深入探究】如图③，若AD⊥DC，直接写出“爪形D”的爪AD, BD, CD之间的数量关系．
6．（2026·贵州·一模）【定理感知】
克罗狄斯•托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．
【定理理解】
如图，在四边形ABCD中，有AC⋅BD≤AB⋅CD+AD⋅BC，特别地，当∠ABC+∠ADC=180°时，有AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC．
【定理运用】
请直接运用该定理解决下列问题：
(1)如图（1），四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为直径，∠ACB=30°，∠ACD=45°，且AB=1，则BD的长为 ．
(2)如图（2），半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上的一点，以AB为一边作等边三角形ABC，求OC的最大值及此时AB的长．
(3)如图（3），已知四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=2，DC=4，求AB+12BC的最大值．
7．（2026·安徽安庆·模拟预测）△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，E是AC上的一点，延长AE交BC的延长线于点D，连接CE，已知CD=AC．
(1)如图1，连接BE，证明：BE=DE；
(2)如图2，连接OA和OC，若四边形AOCE是菱形，求∠D的度数．
8．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过O点作OE∥AB交AC于点E，连接DE．
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=30°，BC=8，求图中阴影部分的面积．
9．（2026·广东深圳·一模）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，O是圆心．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作以AC为对角线，AB、BC为边的平行四边形ABCD；
(2)求证：AD是⊙O的切线；
(3)若AB=3，BC=2，求⊙O的半径．
10．（2025·江西·二模）课本再现
（1）如图（1），四边形ABCD内接于⊙O，请你写出 ∠B与 ∠D之间的关系，并给出证明；
拓展应用
（2）如图（2），△ABC内接于⊙O． ∠B=2∠C，将 弧AC沿着AC边对折，与BC边交于点 D，连接AD．求证：AB=CD．
11．（2025·山东青岛·三模）如图1，把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE，点A，D分别对应点B，E，且满足A，D，E三点在同一条直线上.连结DE交BC于OE的中点F，△CDE的外接圆⊙O与AB交于G，H两点．
(1)求证：BE是⊙O的切线．
(2)判断四边形BECO的形状，并说明理由．
12．（2025·青海西宁·三模）综合与实践
【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”，AM=AN，DM=DN，求证：∠AMD=∠AND．
【模型应用】
（2）如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D，已知AC=AM+MD，求证：∠AMD=2∠C．
【拓展提升】
（3）如图3，AC为⊙O的直径，AB⌢=BC⌢，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD，直接写出AE与CD的数量关系．
题型
考情分析
考向预测
1.圆+直角三角形
2025年四川：27题考查了手拉手模型
2025年广东：23题考查了折叠模型
2025年淮安：27题考查了角平分线模型
2025年东营：24题考查了半角模型
2026年中考中基础模型全覆盖，压轴以旋转、相似、折叠、隐圆、瓜豆、将军饮马为主，多模型叠加考查；胡不归、费马点仅作为难题拓展出现
2. 圆+菱形
3.圆＋折叠
4.圆+角平分线
一；切线证明
有切点型：已知点在圆上
模板步骤
（1）连接圆心与切点（半径）
（2）证明这条半径与直线垂直（90°）
（3）由 “半径⊥直线” 得出：直线是圆的切线
推导垂直常用方法
1.角互余：两锐角相加 = 90°
2.全等 / 等腰：推出角相等，转化为直角
3.平行线：已知某线垂直，利用平行传递垂直
4.直径所对圆周角 = 90°，倒角得垂直
二：无切点型：点是否在圆上未知
模板步骤
（1）过圆心向直线作垂线段
（2）证明这条垂线段长度 = 半径
（3）得出直线是圆的切线
三：角度推导（圆综合必用 5 大定理）
1.同弧所对圆周角相等:同一段弧对应的角相等，直接倒角。
2.圆周角 = ½ 圆心角:求角度倍数关系最常用。
3.直径所对圆周角 = 90°:见直径必想直角，是构造直角三角形关键。
4.圆内接四边形对角互补:外角 = 内对角，高频用于相似倒角。
5.切线性质：切线⊥过切点的半径:只要有切线，直接写垂直。
四、长度计算（万能解题套路）
圆综合求线段长，90% 就这 3 种组合：
1. 勾股定理
出现直角、切线、直径，优先构造直角三角形设未知数 → 列勾股方程 → 求解
2. 相似三角形（高频：子母相似 / A 字 / 8 字）
先倒角相等 → 证相似 → 列比例式对应边对应边对应边对应边
3. 三角函数（sin、cs、tan）
直角三角形中，已知一边一角，直接用比求边长。
五、阴影面积计算（固定方法）
（1）割补法（最常用）阴影面积 = 整体面积 − 空白面积
（2）扇形面积公式​
（3）弓形面积弓形 = 扇形 − 三角形