专题 解直角三角形的实际应用（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测 习题+答案

这是一份专题 解直角三角形的实际应用（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测 习题+答案，共7页。

题型1 仰角、俯角测量类
【例1】（2026·天津和平·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱顶距离水面的竖直高度EF（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，AC⊥AB，BD⊥AB，且测角仪AC=BD=1.7m，已知水平地面离水面的高度为2m．在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为22°，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为31°，AB=29m．根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度EF（结果取整数）．参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6．
【变式1-1】（2026·甘肃陇南·一模）“实验是获取真知的关键途径”．如图，某校实验楼上悬挂了一块高为6米的标语牌CD，小明和小亮准备在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离DH，小明在点E处测得标语牌底部点D处的仰角∠DEN=31°，小亮在点F处测得标语牌顶部点C处的仰角∠CFN=45°，经测量，AB=10 m，测角仪的支架高AE=BF=1.2 m，已知CH⊥AH,EA⊥AH,FB⊥AH，点A,B,H在同一条直线上，点C,D,N,H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．求点D到地面的距离DH．（参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52，cs31°≈0.86）
【变式1-2】（2026·广东佛山·一模）综合与实践
【背景材料】
南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台．
【问题提出】
如图1，观赛台的高AB=3m，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为30°．
如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线EF后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线EF的距离为2m．
(1)如图1，求河道的宽BD；
(2)如图2，已知一艘龙舟的船头在点P−6,6处以15km/h的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线EF上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且QF=2m，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式；
(3)赛事安全警示：船头到河岸MN的安全距离不得小于1m．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为13km/h时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为y=18x2+45，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由．
【变式1-3】（2026·广东东莞·一模）综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度
【实践背景】
黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力．
【实践器材】
测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平）
【实践过程】
如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为22°；然后他沿着坡度为17°的斜坡向后（远离灯笼方向）行走50m，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为18．6°．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内．
【实践探究】
(1)求斜坡的垂直高度（即BC长度）和水平宽度（即AC长度）；
(2)根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度PQ（结果保留整数）．
（参考数据：sin17°≈0.29,cs17°≈0.96,tan17°≈0.31;sin18.6°≈0.32,cs18.6°≈0.96,tan18.6°≈0.34；sin22°≈0.38,cs22°≈0.93,tan22°≈0.40．）
题型2 坡度、坡角、堤坝类
【例2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践：山坡绿化与节水灌溉设计
请你完成下列任务
(1)请证明“活动一”中∠A=∠DOF；
(2)请你帮助同学们计算铺设两侧水管的总长度．（参考数据： sin22.6°≈513，cs22.6°≈1213，tan22.6°≈512）
【变式2-1】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD=BE=3米，地面跨度DE=10米．
(1)【初步探究】如图2，过点M作MP⊥l，已知斜坡的坡角α=10∘，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米，sin10∘≈0.174，cs10∘≈0.985，tan10∘≈0.176）．
(2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式．
(3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高ℎ米”（即最大安全限高），求ℎ的值（精确到0.1米）．
【变式2-2】（2026·山东济南·一模）如图1所示，摩天轮正缓缓转动．图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，MN是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为53°，随后沿着坡度i=1:2.4的斜坡行走了26米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约60米，抵达摩天轮最低点N的正下方点C处．经测量，NC约为8米．
(1)求观景台到地面的高度；
(2)求摩天轮的直径MN．（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3，结果精确到1米）
【变式2-3】（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，5G时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设5G基站．已知斜坡CB的坡度为i=1:3（即BE:CE=1:3），点B处的通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米．
(1)填空：∠ACE=______°；
(2)点D处到水平地面CQ的距离为______米；
(3)求通讯塔AB的高度（结果保留根号）．（参考数据：sin53°≈45,cs53°≈35,tan53°≈43）
题型3 方位角、航行类
【例3】（2026·广西桂林·一模）涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔+塔高）超过97米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑．某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正南方向航行．欲前往位于涠洲灯塔P南偏西75°方向的作业点C，渔船的航行速度为8海里/小时．当天该艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下：
①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西30°方向上的点A处；
②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西45°方向上的点B处；
③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散．
请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求涠洲灯塔P到航线AC的距离；
(2)若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾？请说明理由（参考数据：3≈1.73）．
【变式3-1】（2026·江苏连云港·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B、C两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东30∘方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东75∘航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
(1)求A、C两港之间的距离（结果保留根号）．
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、C两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明．
【变式3-2】（2026·贵州·一模）【课本再现】
（1）如图1，在锐角△ABC中，为证明asinA=bsinB=csinC成立，小明给出了bsinB=csinC的证明过程如下：
如图，过A点作AD⊥BC于D点，
在Rt△ABD中，∵sinB=ADAB，∴AD=c·sinB，
在Rt△ACD中，∵sinC=ADAC，∴AD=b·sinC，
∴c·sinB=b·sinC，∴bsinB=csinC．
请继续完成asinA=bsinB=csinC的证明过程．
【迁移应用】
（2）如图2，位于贵阳市东山山体公园的东山寺塔，有着“贵阳第一观景台”的美称．如图3，某测量队想测量东山寺塔的高度MN，他们在塔底N的正东方的点A处测得塔顶M的仰角为30°，然后从点A处出发，沿着南偏西25°的方向行进了92m到达点B（A,B,N三点位于同一水平面内），且点B在点N南偏东35°方向上．根据以上信息，求东山寺塔的高度MN．（结果精确到1m；参考数据：sin55°≈0.82，sin65°≈0.91，3≈1.73）
【变式3-3】（2026·浙江舟山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB=600m．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
题型4 内部遮挡、阶梯、测距类
【例4】（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jiega）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿AB=4米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD=120°．
(1)如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置；此时∠A1OD=144°；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：tan3≈1.73,sin36°≈0.59,cs36°≈0.81,tan36°≈0.73）
【变式4-1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，太阳光线AD与水平地面所成的夹角为37°，学校旗杆AB在水平地面上的影长BC为4米，在倾斜角为37°的斜坡上的影长CD为2米，求旗杆AB的高度．(参考数据：sin37°≈0.60,cs37°≈0.80,tan37°≈0.75)
【变式4-2】（2026·安徽合肥·一模）如图，为测量平台BC上一旗杆AB的顶端A距离地面MP的高度，先用测角仪在地面N处使点A，点C和测角仪所在点N在一直线上，此时测得∠AED=58.0°，MN=5.0m，再将测角仪移到地面P处，测得∠AFD=36.9°，MP=19.6m，已知图中所有点都在同一竖直平面内，CM⊥MP，四边形MNED和MPFD均为矩形，FP=1.6m，求A距离地面MP的高度d（结果精确到0.1m）
参考数据：sin36.9°=0.60，cs36.9°=0.80，tan36.9°=0.75；sin58.0°=0.85，cs58.0°=0.53，tan58.0°=1.60．
【变式4-3】（2026·山东济南·一模）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走6米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°，已知A点离地面的高度AB=4米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．
(1)求树DE的高度；
(2)求食堂MN的高度．
题型5 矩形 / 正方形 / 网格类
【例5】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？
(1)【特例尝试】
如图1，Rt△ABC是一张直角三角形卡纸，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P是边AB上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段PM为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答）
(2)【拓展延伸】
一块长为6cm，宽为4cm的矩形卡纸如图2所示，沿线段AE裁切后得到五边形ABCDE，其中，AB=1cm，DE=3cm，再沿着曲线EF（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为ABCFE，小明用这块余料裁出矩形MNPQ，其中边MN在BC上，点Q在线段AE上，点P在曲线EF上．请你直接写出矩形MNPQ面积的最大值．
【变式5-1】（2026·福建泉州·一模）随着科技的发展，新能源汽车越来越普及．某停车场为了满足新能源汽车充电的需要，计划在长36m、宽14m的矩形空地修建一个新能源汽车充电场所，某数学项目组负责设计方案．
【资料收集】该项目组通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”、“平行式”或“倾斜式”三种车位类型进行设计，相关信息如下表：
【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案：

案例解析
方案一：拟设计成如图1所示的垂直式和平行式车位各一排．
∵14−5.3−2.5=6.2>3.5，
∴可设计成垂直式和平行式车位各一排，
∵36÷2.5=14.4，36÷6=6，
∴一排垂直式的停车位有14个，一排平行式的停车位有6个，
∴方案一的停车位共有20个．
问题探究
(1)方案二：拟设计成如图2所示的两排都是倾斜式车位，这种设计方案是否可行？若可行，试求出这种方案的最多停车位数？若不可行，请说明理由；
（相关参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
优化设计
(2)请你结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理由．
【变式5-2】（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73）
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．
【变式5-3】（2026·广东深圳·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究．
【图形定义】
若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”．
(1)【概念理解】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90∘，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，CE．求：
①四边形ABCE_____（填“是”或“不是”）腰分双等四边形；
②若∠AEC=90∘，∠ADC的度数为_____∘．∠ABC的度数为_____∘．
(2)【性质探究】如图2，正方形ABCD边长为6，点F为其内部一点（不含中心），四边形ABFD为腰分双等四边形，AF为腰分线，过点D作直线BF的垂线，垂足为点E，连结CE，若CE=2，求△ABF的面积．
(3)【拓展应用】如图3，在矩形ABCD中，AD=5，点E是其内部一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是腰分双等四边形，DE为腰分线，延长AE交线段BC于点G，连接FG．若∠EFG=90∘，tan∠CFG=34，请直接写出BG的长．
题型6 综合类
【例6】（2026·陕西汉中·二模）如图，在▱ABCD中，以AB为直径作⊙O，CD恰好为⊙O的切线．点M为AB上方⊙O上的点，连接BM、CM．
(1)求证：∠ABC=45°；
(2)若BM=8，sin∠BCM=45，求BC的长．
【变式6-1】（2026·湖北·模拟预测）如图1，已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°．点D，E分别在AB，AC上，AD=AE，连接DE．将△ADE绕点A顺时针旋转∠α0°