2026年中考数学一轮复习专题训练 方程与不等式（含解析）

这是一份2026年中考数学一轮复习专题训练 方程与不等式（含解析），共34页。试卷主要包含了学会运用函数与方程思想，学会运用数形结合思想，要学会抢得分点，学会运用等价转换思想，学会运用分类讨论的思想，转化思想等内容，欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度，寻求代数问题的方法。
3、要学会抢得分点。中考数学压轴题要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将复杂转为简单，将抽象转为具体，将实际转化数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解。
6、转化思想。体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
2026年中考数学一轮复习 方程与不等式
一．选择题（共12小题）
1．已知多项式M＝x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（ ）
①若M＝0，则代数式13xx2−3x−1的值为263；
②当a＝﹣3时，代数式M﹣N的最小值为﹣14；
③当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是−73＜x＜2．
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（ ）
A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003
3．关于x的不等式组x−t4＜0x−52＜3x4−2只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使5−|a|的值是整数，则符合条件的a个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2B．2.5C．3D．4
5．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（ ）
A．线段AE的长B．线段BE的长
C．线段CE的长D．线段AC的长
6．已知x1、x2、x3为方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x1x2x3＜0B．x1+x2﹣x3＞0
C．x1﹣x2﹣x3＞0D．x1+x2+x3＜0
7．如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的周长为l，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为94l，则标号为①的正方形的边长为（ ）
A．112lB．116lC．516lD．118l
8．已知关于x、y的方程组x+3y=4−ax−y=−3a，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的一个解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④x=4y=−1是方程组的解．其中说法错误的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②④D．②③
9．将代数式m2+2记为A，代数式2m﹣1记为B，现进行如下操作：记u1＝A+B，v1＝A﹣B；u2＝u1+v1，v2＝u1﹣v1；u3＝u2+v2，v3＝u2﹣v2…以此类推．下列说法：①u6＝8m2+16；②若m，n为正整数，4u2nv2n为整数，则m＝1或2或5；③关于m的方程3un﹣2vn+2＝0（n为正整数）只有2个实数根；④当m＝0时，代数式v1+v2+v3+…+v50取得最小值，其中正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
10．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．3D．9
11．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
12．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
二．填空题（共11小题）
13．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q同时分别从点B和点D出发，按逆时针方向分别沿矩形ABCD的边BC、DA运动，点P和点Q的速度分别为4cm/s和1cm/s，则最快 秒后，四边形ABPQ成为矩形．
15．已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b＝ ．
16．九江市城区的出租车收费标准如下：2公里内起步价为7元，超过2公里以后按每公里1.4元计价．若某人坐出租车行驶x公里，应付给司机21元，则x＝ ．
17．若关于x的方程a−xx−3+3=83−x有正整数解，且关于x的不等式组2(x+2)≤9+3x8x+17＜a有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
18．甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍.12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为4：6：5，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的32%，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的511，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的2215倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为 单．
19．如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段；线段AB，线段AC，线段CB，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C为线段AB的“奇分点”．若AB＝30cm，如图②，点M从点B开始以每秒3cm的速度向A运动，当点M到达A点时停止运动，运动的时间为t秒．当t＝ 秒，M是线段AB的“奇分点”（写出一种情况即可），如果同时点N从点A的位置开始以每秒2cm的速度向点B运动，如图③所示，并与M点同时停止，则当t＝ 秒，M是线段AN的“奇分点”．
20．已知0是关于x的方程（m+3）x2﹣x+9﹣m2＝0的根，则m＝ ．
21．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是 ．
22．若方程组x+2y=4k2x+y=2k+1的解满足0＜y﹣x＜1，则k的取值范围是 ．
23．已知x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0，则 1xy+1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+⋯+1(x+2023)(y+2023)值等于 ．
三．解答题（共10小题）
24．已知关于x，y的方程组x+y=m+24x+5y=6m+3的解是一对正数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简|2m﹣5|﹣|m﹣7|．
25．某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系：
已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值．
26．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度．
27．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独做需要6小时，乙单独做需要4小时，甲先做半小时，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需要多长时间才能完成工作？
28．某工厂要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B两个工种的工人的月工资分别为1500元和3000元．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？
29．某超市出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价24元，茶杯每只定价4元，该超市制定了两种优惠方案：
①买一只茶壶送一只茶杯；②按总价的90%付款．某顾客需买茶壶3只，茶杯x（x≥6）只．
（1）若该客户按方案①购买，需付款 元；若该客户按方案②购买，需付款 元；（都用含x的代数式表示）
（2）当购买茶杯多少只时两种方案价格相同？
30．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．
（1）求书籍和实验器材各有多少套？
（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
31．根据最新版苏州市市民价格手册，苏州市对居民生活用电实行阶梯电价，居民阶梯电价按“年”为周期执行，即每年1月1日至12月31日为一周期，视为一年，执行标准如下：
已知2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元；老王家交电费1524元．
（1）表中a的值为 ；
（2）求老王家2023年用电量；
（3）若2023年老张家用电的平均电价为0.6元/千瓦时，求老张家2023年的用电量．
32．为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户月用水量进行计费：当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1﹣4月份用水量和交费情况：
请根据表格中提供的信息，回答以下问题：
（1）若小明家5月份用水量为20吨，则应缴水费多少元？
（2）若小明家6月份交纳水费29元，则小明家6月份用水多少吨？
33．某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：
方案一：全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？
2026年中考数学一轮复习 方程与不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知多项式M＝x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（ ）
①若M＝0，则代数式13xx2−3x−1的值为263；
②当a＝﹣3时，代数式M﹣N的最小值为﹣14；
③当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是−73＜x＜2．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】①根据x2﹣3x﹣2＝0，解方程求得x的值后求出代数式13xx2−3x−1的值即可；
②当a＝﹣3时，求出M﹣N关于x的解析式是一次函数，故可判断②；
③当a＝3时求出M﹣2N，再根据绝对值的意义得出∴﹣15≤﹣x2+3x﹣8≤﹣2，再根据二次函数的性质求出x的取值范围．
【解答】解：①∵M＝0，
∴x2﹣3x﹣2＝0，
解得：x=3+172或x=3−172，
∴13x=39±13172，
∵x2﹣3x﹣2＝0，
∴x2﹣3x﹣1＝1，
∴13xx2+3x−1=13x=39±13172，
故①是错误的，不符合题意；
②当a＝﹣3时，
M﹣N＝（x2﹣3x﹣2）﹣（x2+3x+3）
＝﹣6x﹣5，
∴M﹣N没有最小值，
故②是错误的，不符合题意；
③当a＝3时，N＝x2﹣3x+3，
∴M﹣2N+2＝x2﹣3x﹣2﹣2（x2﹣3x+3）+2＝﹣x2+3x﹣6＝﹣（x−32）2−154，
M﹣2N+15＝﹣x2+3x+7＝﹣（x−32）2+374，
∴|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|=154+374=13，
∴﹣15≤﹣x2+3x﹣8≤﹣2，
令y＝﹣x2+3x﹣8＝﹣（x−32）2−234，
∵﹣1＜0，
∴y有最大值−234，
∵﹣15＜−234＜−2，
当﹣x2+3x﹣8＝﹣15时，
解得x1=3−372，x2=3+372，
∴﹣x2+3x﹣8≥﹣15的解集为3−372≤x≤3−372，
即当|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13时，则x的取值范围是3−372≤x≤3−372．
故③错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
2．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（ ）
A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003
【答案】D
【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005；
化简式子ax12005+bx22005的值为：（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003）；
将x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004代入即可得出结果．
【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，
故ax12005+bx22005＝（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003），
＝2003×2004﹣2005×2003，
＝﹣2003．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简，有一定难度，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
3．关于x的不等式组x−t4＜0x−52＜3x4−2只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使5−|a|的值是整数，则符合条件的a个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先解不等式组，得出0＜t≤1，再求出a的取值范围，再由式子5−|a|的值是整数，可求出符合条件的a个数．
【解答】解：解不等式x−t4＜0得x＜t，
解不等式x−52＜3x4−2的x＞﹣2，
∵不等式组有且只有2个整数解，
∴0＜t≤1，
∴0＜21t≤21，
∵21t＝2a+12，
∴0＜2a+12≤21，
∴﹣6＜a≤4.5，
∴整数a为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴要使5−|a|的值是整数的a的值为﹣5，﹣4，﹣1，1，4，共5个，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
4．普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ）倍．
A．2B．2.5C．3D．4
【答案】A
【分析】普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，由速度公式表示出两地的距离；
两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，由速度公式表示出两地距离．联立两式解题即可．
【解答】解：设普通火车速度为v m/min，城际快车速度为nv m/min，
已知普通火车从绵阳至成都历时大约2h＝120min，由v= st可得两地距离：
s＝v×120，
普通火车与城际快车两列对开，途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，
即：s普+s城＝s，
所以：v×80+nv×20＝s，
所以：v×80+nv×20＝v×120，
解得：n＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，速度公式的应用，关键正确表示出两地的距离．
5．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（ ）
A．线段AE的长B．线段BE的长
C．线段CE的长D．线段AC的长
【答案】C
【分析】首先求出一元二次方程的解为x＝2或8，然后由矩形的性质得到BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，利用勾股定理求出AC=AB2+BC2=5，进而得到CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2，即可求解．
【解答】解：x2+6x﹣16＝0，
（x﹣2）（x+8）＝0，
x﹣2＝0或x+8＝0，
解得x＝2或8；
∵四边形ABCD是矩形，AE＝AB＝3，
∴BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=5，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．
∴方程x2+6x﹣16＝0的正数解是线段CE的长．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
6．已知x1、x2、x3为方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x1x2x3＜0B．x1+x2﹣x3＞0
C．x1﹣x2﹣x3＞0D．x1+x2+x3＜0
【答案】D
【分析】由x3+3x2﹣9x﹣4＝0可得x2+3x﹣9=4x则x1、x2、x3可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣9与反比例函数y=4x的三个交点的横坐标，
由此画出函数图象求解即可．
【解答】解：∵x3+3x2﹣9x﹣4＝0，当x＝0时，﹣4≠0，
∴x2+3x﹣9−4x=0，
∴x1、x2、x3可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣9与反比例函数y=4x的三个交点的横坐标，
由函数图象可知x1 x2 x3＞0，x1+x2+x3＜0，根据已知条件无法判定x1+x2﹣x3＞0，x1﹣x2﹣x3＞0，
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到x1、x2、x3可以看作是抛物线y＝x2+3x﹣9与反比例函数y=4x的三个交点的横坐标是解题的关键．
7．如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的周长为l，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为94l，则标号为①的正方形的边长为（ ）
A．112lB．116lC．516lD．118l
【答案】B
【分析】设两个大正方形边长为x，小正方形的边长为y，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可．
【解答】解：长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，
∴两个大正方形相同、2个长方形相同．
设两个大正方形边长为y，小正方形的边长为x，
∴小长方形的边长分别为（y﹣x）、（x+y），大长方形边长为（2y﹣x）、（2y+x），
∵大长方形周长＝1，即：2[（2y﹣x）+（2y+x）]＝1，
∴8y＝1，
∴y=18l
∵3个正方形和2个长方形的周长和为94l，
即：2×4y+4x+2×2×[(x+y)+(y−x)]=94l，
∴16y+4x=94l，
∴x=116l，
则标号为①的正方形的边长为116l，
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质和二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系．
8．已知关于x、y的方程组x+3y=4−ax−y=−3a，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的一个解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④x=4y=−1是方程组的解．其中说法错误的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②④D．②③
【答案】A
【分析】根据题目中的方程组可以判断各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：当a＝1时，x+3y=3x−y=−3，解得，x=−32y=32，∴x+y＝0≠2﹣1，故①错误，
当a＝﹣2时，x+3y=6x−y=6，解得，x=6y=0，则x+y＝6，此时x与y不是互为相反数，故②错误，
∵x+3y=4−ax−y=−3a，解得，x=−5a+22y=2+a2，
∵x≤1，则−5a+22≤1，得a≥0，
∴0≤a≤1，则1≤2+a2≤32，即1≤y≤32，故③错误，
∵x+3y=4−ax−y=−3a，解得，x=−5a+22y=2+a2，当x=−5a+22=4时，得a=−65，y=2+a2=2−652=25，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程（组）的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和不等式的性质解答．
9．将代数式m2+2记为A，代数式2m﹣1记为B，现进行如下操作：记u1＝A+B，v1＝A﹣B；u2＝u1+v1，v2＝u1﹣v1；u3＝u2+v2，v3＝u2﹣v2…以此类推．下列说法：①u6＝8m2+16；②若m，n为正整数，4u2nv2n为整数，则m＝1或2或5；③关于m的方程3un﹣2vn+2＝0（n为正整数）只有2个实数根；④当m＝0时，代数式v1+v2+v3+…+v50取得最小值，其中正确的有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】依据题意，根据所给条件和运算操作，找出数字的变化规律然后逐个进行分析判断即可得解．
【解答】解：由题意得，A＝m2+2，B＝2m﹣1，
∴u1＝A+B＝m2+2m+1，v1＝A﹣B＝m2﹣2m+3．
u2＝u1+v1＝2A，v2＝u1﹣v1＝2B，
u3＝u2+v2＝2A+2B＝2（A+B），v3＝u2﹣v2＝2A﹣2B＝2（A﹣B），
u4＝u3+v3＝4A＝22A，v4＝u3﹣v3＝4B＝22B，
u5＝u4+v4＝4（A+B）＝22（A+B），v5＝u4﹣v4＝4（A﹣B）＝22（A﹣B ），
u6＝u5+v5＝8A＝23A，v6＝u5﹣v5＝8B＝23B，
u7＝u6+v6＝8（A+B ）＝23（A+B ），v7＝u6﹣v6＝8（A﹣B）＝23（A﹣B ），
依次类推，u2n﹣1＝2n﹣1（A+B ）＝2n﹣1（m2+2m+1），u2n＝2nA＝2n（m2+2），
v2n﹣1＝2n﹣1（A﹣B ）＝2n﹣1（m2﹣2m+3），v2n＝2nB＝2n（2m﹣1），
∴u6＝23A＝23（m2+2）＝8m2+16，故①正确；
4u2n＝4×2n（m2+2）＝2n（4m2+8）＝2n（4m2﹣1+9），
∴4u2nv2n=2n(4m2+8)2n(2m−1)=2m+1+92m−1，
∵m，n 为正整数，4u2nv2n为整数，2m+1为整数，
∴2m﹣1＝1或2m﹣1＝3或2m﹣1＝9，
解得 m＝1或 m＝2或 m＝5，故②正确；
关于 m 的方程3un﹣2vn+2＝0，
当 n＝2k﹣1时，3u2k﹣1﹣2v2（k+1）﹣1＝0，
3×2k﹣1（m2+2m+1）﹣2×2k（m2﹣2m+3）＝0，
3（m2+2m+1）﹣4（m2﹣2m+3）＝0，
整理，得﹣m2+14m﹣9＝0，
即m2﹣14m+9＝0，
∵Δ＝（﹣14）2﹣4×1×9＞0，
∴此时原方程有两个不相等的实数根；
当 n＝2k时，3un﹣2vn+2＝0，
3u2k﹣2v2（k+1）＝0，
3×2k（m2+2）﹣2×2k+1（2m﹣1）＝0，
即3（m2+2）﹣4（2m﹣1）＝0，
整理，得3m2﹣8m+10＝0，
Δ＝（﹣8）2﹣4×3×10＜0，
此时原方程无实数根，
∴关于m的方程3un﹣2vn+2＝0（n为正整数）只有2个实数根，故③正确；
v1+v2+v3+…+v50
＝（v1+v3+…++v49）+（v2+v4+…+v50）
＝（1+2+22+...+224）（m2﹣2m+3）+（21+22+23+…+225）（2m﹣1）
＝（1+2+22+...+224）m2+2（1+2+22+...+224）m+（1+2+22+...+224）
＝（1+2+22+...+224）（m2+2m+1）
＝（1+2+22+...+224）（m+1）2，
∴当 m＝﹣1时，v1+v2+v3+…+v50取得最小值，故④错误．
故正确的结论有①②③共3个．
故选：B．
【点评】本题考查算式变画规律探究，整式的运算，一元二次方程根的判别式，因式分解，理解题意，灵活运用相关知识是解题的关键．
10．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．3D．9
【答案】C
【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得x1＝m+2，x2＝m﹣2．
11．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根，据此逐一判断即可．
【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0，
此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②∵b+c＞0，b﹣c＜0，
∴c＞0，
∵a＜0，
∴﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0，
此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝4a，
∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．
12．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
【答案】A
【分析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：ac=14b2，即可求解．
【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME=12DE=12b，
∴∠BDM＝∠MEC＝90°+12∠BAC，
∴∠BMC＝90°+12∠BAC，
∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△EMC，
∴BDME=MDCE，
∴BD•EC＝MD•ME，
即：ac=14b2，
即Δ＝b2﹣4ac＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC是解题关键．
二．填空题（共11小题）
13．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 ﹣2≤t≤﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】运用不等式的基本性质解决此题．
【解答】解：∵6a＝3b+12＝2c，
∴3a＝c，2a＝b+4．
∴b＝2a﹣4．
∴t＝2a+b﹣c＝2a+2a﹣4﹣3a＝a﹣4．
∵b≥0，c≤9，
∴3b+12≥12，2c≤18．
∴6a≥12，6a≤18．
∴2≤a≤3．
∴﹣2≤a﹣4≤﹣1．
∴﹣2≤t≤﹣1．
故答案为：﹣2≤t≤﹣1．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q同时分别从点B和点D出发，按逆时针方向分别沿矩形ABCD的边BC、DA运动，点P和点Q的速度分别为4cm/s和1cm/s，则最快 4 秒后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，列出一元一次方程，可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ＝BP
∴4x＝20﹣x
∴x＝4
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．
15．已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b＝ 9 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面考虑，求得a、b的值，代入（a+b）b中即可求出．
【解答】解：
因为3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，
则2a+b−3=13a−2b+2=1，
利用代入法求出a＝1，b＝2．
把a＝1，b＝2代入，得（a+b）b＝9．
【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
16．九江市城区的出租车收费标准如下：2公里内起步价为7元，超过2公里以后按每公里1.4元计价．若某人坐出租车行驶x公里，应付给司机21元，则x＝ 12 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】车费＝起步价+超过2千米需出的钱，据此列出方程．
【解答】解：因为21＞7，
所以x＞2．
由题意知，7+1.4（x﹣2）＝21
解得x＝12．
故答案为：12．
【点评】此题考查一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
17．若关于x的方程a−xx−3+3=83−x有正整数解，且关于x的不等式组2(x+2)≤9+3x8x+17＜a有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【分析】分别解方程和不等式，根据题意确定a的取值范围，列出所有符合条件的a的值，求它们的和即可．
【解答】解：方程a−xx−3+3=83−x的解为x=1−a2，
根据题意，得1−a2＞01−a2≠3，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．
∵不等式2(x+2)≤9+3x8x+17＜a的解集为﹣5≤x＜a−178，且只有3个整数解，
∴﹣3＜a−178≤−2，解得﹣7＜a≤1．
综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，
∴a＝﹣3，﹣1．
∵﹣3﹣1＝﹣4，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣4
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的解，正确求出它们的解是本题的关键．
18．甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍.12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为4：6：5，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的32%，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的511，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的2215倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为 1233 单．
【答案】1233．
【分析】设甲每一单的配送费为x元，则乙每一单的配送费为2x元，丙每一单的配送费为y元，则丁每一单的配送费为2y元，设甲的配送量为4a单，乙的配送量为6a单，丙的配送量为5a单，根据题意可得4ax+12ax+5ay+200y＝3700①，设第二周乙的配送量为b单，丙的配送量为c单，则甲第二周的配送量为4a+32%（b+d）单，由题意可得c﹣5a=511（32%b+32%c+b﹣6a+c﹣5a），整理得，c＝1.5b，再由32%b+32%c+4a+b=2215c，整理得，b＝10a，根据第二周的配送费可得12ax+20ax+150y+（100+60）×2y＝7660②，联立①②可得（a﹣16）y＝52，由题意可得4＜2y≤8，配送费且均为整数，求出y＝3或y＝4，当y＝3时，3（a﹣16）＝52，解得a=1003（舍）；当y＝4时，4（a﹣16）＝52，解得a＝29，则第二周四位外卖员配送量之和为160+12a+10a+15a＝37a+160＝1233（单）．
【解答】解：设甲每一单的配送费为x元，则乙每一单的配送费为2x元，丙每一单的配送费为y元，则丁每一单的配送费为2y元，
∵第一周，甲、乙、丙的配送量之比为4：6：5，
设甲的配送量为4a单，乙的配送量为6a单，丙的配送量为5a单，
∴4ax+12ax+5ay+200y＝3700，
∴16ax+5ay+200y＝3700①，
设第二周乙的配送量为b单，丙的配送量为c单，
∵甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的32%，
∴甲增大的配送量为32%（b+d）单，则甲第二周的配送量为4a+32%（b+d）单，
∵丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的511，
∴c﹣5a=511（32%b+32%c+b﹣6a+c﹣5a），
整理得，c＝1.5b，
∵甲、乙的配送量之和为丙的配送量的2215倍，
∴32%b+32%c+4a+b=2215c，
整理得，b＝10a，
∴第二周丙的配送量为15a单，甲的配送量为12a单，
∵他们共获得配送费7660元，
∴12ax+20ax+150y+（100+60）×2y＝7660，
整理得，32ax+15ay+320y＝7660②，
联立①②可得（a﹣16）y＝52，
∵丁每单配送费高于4元且不超过8元，
∴4＜2y≤8，
∴2＜y≤4，
∵配送费且均为整数，
∴y＝3或y＝4，
当y＝3时，3（a﹣16）＝52，解得a=1003（舍）；
当y＝4时，4（a﹣16）＝52，解得a＝29，
∴第二周四位外卖员配送量之和为：160+12a+10a+15a＝37a+160＝1233（单），
故答案为：1233．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，弄清题意，根据所给的条件梳理出各量之间的关系，并能列出方程是解题的关键．
19．如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段；线段AB，线段AC，线段CB，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C为线段AB的“奇分点”．若AB＝30cm，如图②，点M从点B开始以每秒3cm的速度向A运动，当点M到达A点时停止运动，运动的时间为t秒．当t＝ 5或103或203 秒，M是线段AB的“奇分点”（写出一种情况即可），如果同时点N从点A的位置开始以每秒2cm的速度向点B运动，如图③所示，并与M点同时停止，则当t＝ 9011或9013或152 秒，M是线段AN的“奇分点”．
【答案】5或103或203；9011或9013或152．
【分析】根据图形和“奇分点”的定义分情况列出方程求解即可；根据“奇分点”的定义分情况列出方程求解即可．
【解答】解：分情况讨论：当AB＝2BM时，有2×3t＝30，
解得：t＝5；
当AM＝2BM时，有30﹣3t＝2×3t，
解得：t=103；
当BM＝2AM时，有3t＝2（30﹣3t），
解得：t=203；
综上，当t为5秒或103秒或203秒时，点M是线段AB的“二倍点”，
故答案为：5或103或203；
∵M是线段AN的“奇分点”，
∴M点在线段AN上，即BN+AM＞AB，
∴t＞6，
∴MN＝AN﹣AM＝5t﹣30，
①AN＝2MN，此时M为AN中点，2t＝2（5t﹣30），
解得：t=152；
②AM＝2MN，此时30﹣3t＝2（5t﹣30），
解得：t=9013；
③MN＝2AM，此时5t﹣30＝2（30﹣3t），
解得：t=9011；
∴当M是线段AN的“奇分点“时，t的值为9011或9013或152．
故答案为：9011或9013或152．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，线段和差关系、列代数式，解决本题的关键是分情况讨论思想的利用．
20．已知0是关于x的方程（m+3）x2﹣x+9﹣m2＝0的根，则m＝ ﹣3或3 ．
【答案】﹣3或3．
【分析】根据方程的根的定义求解．把x＝0代入方程求出m的值．
【解答】解：∵x＝0是方程的根，
∴9﹣m2＝0，
∴m＝3或﹣3，
当m＝﹣3时，方程是一元一次方程，
当m＝3时，方程是一元二次方程，
故答案为：﹣3或3．
【点评】此题主要考查了方程的解，逆向利用方程的根的定义，代入求值是解题关键．
21．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出方程的解，再求出三角形的面积即可．
【解答】解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x＝6或﹣2，
∵一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，
∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是12×6×|﹣2|＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解一元二次方程，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，求出一元二次方程的解是解此题的关键．
22．若方程组x+2y=4k2x+y=2k+1的解满足0＜y﹣x＜1，则k的取值范围是 12＜k＜1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题有两种方法：（1）解方程组求出x、y的值，代入0＜y﹣x＜1进行计算；
（2）①﹣②可得y﹣x＝2k﹣1，将y﹣x看作一个整体来计算．
【解答】解：①﹣②可得y﹣x＝2k﹣1，于是：0＜2k﹣1＜1，解得12＜k＜1．
【点评】采用整体思想，虽然在认识上有一定难度，但计算量较小，建议同学们提高认识，以提高解题的效率．
23．已知x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0，则 1xy+1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+⋯+1(x+2023)(y+2023)值等于 20242025 ．
【答案】20242025．
【分析】先利用完全平方公式把x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0左边因式分解，求出x和y的值，然后代入代数式求值即可．
【解答】解：x2+y2﹣2x﹣4y+5＝0，
（x﹣1）2+（y﹣2）2＝0，
可知x−1=0y−2=0，
解得x=1y=2；
1xy+1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+...+1(x+2023)(y+2023)
=11×2+12×3+13×4+14×5+...+12024×2025
=1−12+12−13+13−14+14−15+...+12024−12025
$＝1﹣\frac{1}{2025}
＝\frac{2024}{2025}$．
故答案是：20242025．
【点评】本题主要考查的是完全平方公式，同时考查了裂项法，裂项计算是关键．
三．解答题（共10小题）
24．已知关于x，y的方程组x+y=m+24x+5y=6m+3的解是一对正数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简|2m﹣5|﹣|m﹣7|．
【答案】见试题解答内容
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x、y关于m的式子，然后解出m的范围，即可知道m的取值，根据m的取值范围即可化简|2m﹣5|﹣|m﹣7|．
【解答】解：（1）原方程组简化为4x+4y=4m+84x+5y=6m+3
①﹣②得y＝2m﹣5
代入①得x＝7﹣m
由关于x、y的方程组x+y=m+24x+5y=6m+3的解是一对正数，
得y＝2m﹣5＞0
得m＞52
x＝7﹣m＞0
得m＜7
所以m的取值范围：52＜m＜7．
（2）m的取值范围：52＜m＜7
则：2m﹣5＞0
|2m﹣5|＝2m﹣5
m﹣7＜0
|m﹣7|＝7﹣m
则：|2m﹣5|﹣|m﹣7|＝2m﹣5﹣7+m＝3m﹣12．
【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x、y都为正数，则解出x、y关于m的式子，最终求出m的范围．
根据绝对值的定义化简原式：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数．
25．某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系：
已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案；
（3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系是：y＝kx+b，
根据题意可得：68k+b=4067k+b=45，
解得：k=−5b=380，
故y与x之间的函数关系是：y＝﹣5x+380；
（2）由题意可得：（x﹣40）（﹣5x+380）＝1600，
解得：x1＝56，x2＝60，
顾客要得到实惠，售价低，所以x＝60舍去，所以x＝56，
答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元；
（3）在（2）的条件下，x＝56时，y＝100，
17号开始，到31号共计15天，由题意得到方程：
∴1600×16＝[56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）]×100×（1+2m%）×15+7120，
解得：m1＝20，m2=−2407（舍去），
答：m的值为20．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知7月份各量之间的变化得出等量关系进而求出是解题关键．
26．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度．
【答案】见试题解答内容
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532．
整理，得x2﹣35x+34＝0．
解得，x1＝1，x2＝34．
∵34＞20（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．
27．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独做需要6小时，乙单独做需要4小时，甲先做半小时，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需要多长时间才能完成工作？
【答案】见试题解答内容
【分析】30分=12小时，可设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作，等量关系为：甲12小时的工作量+甲乙合作x小时的工作量＝1，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设甲乙一起做还需要x小时完成工作，
根据题意，得
12×16+（16+14）x＝1，
整理，得
512x=1112，
解得x＝2.2．
答：甲、乙一起做还需要2.2小时才能完成工作．
【点评】此题考查用一元一次方程解决工程问题，得到工作量1的等量关系是解决本题的关键．
28．某工厂要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B两个工种的工人的月工资分别为1500元和3000元．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？
【答案】见试题解答内容
【分析】设A有x人，则B有（150﹣x）人，设y为所花费用，依据B工种的人数不少于A工种人数的2 倍，可得不等式，依据总费用可得y＝450000﹣1500x，据此可得结论．
【解答】解：设A有x人，则B有（150﹣x）人，设y为所花费用，依题意得
150﹣x≥2x，且y＝1500x+3000（150﹣x），
解得x≤50，y＝450000﹣1500x，
因为y随x增大而减小，
所以当x＝50时，y最小，
答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的工资总额最少．
【点评】本题主要考查对于一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，找好题中的不等关系是解题关键．
29．某超市出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价24元，茶杯每只定价4元，该超市制定了两种优惠方案：
①买一只茶壶送一只茶杯；②按总价的90%付款．某顾客需买茶壶3只，茶杯x（x≥6）只．
（1）若该客户按方案①购买，需付款 4x+60 元；若该客户按方案②购买，需付款 3.6x+64.8 元；（都用含x的代数式表示）
（2）当购买茶杯多少只时两种方案价格相同？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两种优惠方案分别求得答案即可；
（2）根据两种优惠方案列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）若该客户按方案①购买，需付款24×3+4（x﹣3）＝4x+60元；
若该客户按方案②购买，需付款（24×3+4x）×90%＝3.6x+64.8元；
（2）根据题意可得：4x+60＝3.6x+64.8，
解得：x＝12．
答：当等于12时，两种方案价格相同．
故答案为：4x+60；3.6x+64.8．
【点评】此题考查一元一次方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
30．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．
（1）求书籍和实验器材各有多少套？
（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设书籍和实验器材分别为x、y套，根据题意书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套，列方程解答即可；
（2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆，根据题意列不等式求a的取值范围，根据a取整数，可得a的取值为0，1，2，3，4，故有5种方案；
（3）根据（2）中的5种方案和甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元，分别求得运费，求出最少运费即可；
【解答】解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套．
根据题意得：x+y=360x−y=120
解得：x=240y=120
故书籍和实验器材分别为240套，120套．
（2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆．
根据题意得：40a+30(8−a)≥24010a+20(8−a)≥120
解得：0≤a≤4
又∵a取非负整数，
∴a＝0，1，2，3，4
8﹣a＝8，7，6，5，4，
∴共有4种方案，如下：
方案一：甲0辆，乙8辆
方案二：甲1辆，乙7辆
方案三：甲2辆，乙6辆
方案四：甲3辆，乙5辆
方案五：甲4辆，乙4辆
（3）方案一所需运费：8×900＝7200（元）
方案二所需运费：1000+7×900＝7300（元）
方案三所需运费：2×1000+6×900＝7400（元）
方案四所需运费：3×1000+5×900＝7500（元）
方案五所需运费：4×1000+4×900＝7600（元）
故运输部门应选择方案一，他的运费最少，最少运费是7200元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题，找到题目的等式关系是解题的关键．
31．根据最新版苏州市市民价格手册，苏州市对居民生活用电实行阶梯电价，居民阶梯电价按“年”为周期执行，即每年1月1日至12月31日为一周期，视为一年，执行标准如下：
已知2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元；老王家交电费1524元．
（1）表中a的值为 0.5 ；
（2）求老王家2023年用电量；
（3）若2023年老张家用电的平均电价为0.6元/千瓦时，求老张家2023年的用电量．
【答案】（1）0.5；
（2）老王家2023年用电量为3000千瓦时；
（3）老张家2023年用电量为6180千瓦时．
【分析】（1）由题可知，2023年老李家用电2400千瓦时，2400＜2760，则为第一档，即可列出方程2400a＝1200，再求解即可；
（2）设老王家2023年用电量为x千瓦时，先判断出2760＜x＜4800，再根据老王家交电费1524元列出方程，再求解即可；
（3）当用电量为4800千瓦时，电费为2604元，则26044800＜0.6，可判断出2023年老张家用电量超过了4800千瓦时，设老张家2023年用电量为y千瓦时，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）2023年老李家用电2400千瓦时，2400＜2760，则为第一档，
可得方程：2400a＝1200，
解得：a＝0.5，
故答案为：0.5．
（2）解：设老王家2023年用电量为x千瓦时，
∵2760×0.5＝1380（元），1380+（4800﹣2760）×0.6＝2604（元），1380＜1524＜2604，
∴2760＜x＜4800，
根据题意，得：1380+（x﹣2760）×0.6＝1524，
解得：x＝3000，
答：老王家2023年用电量为3000千瓦时．
（3）解：若用电量为4800千瓦时，电费为2604元，则26044800＜0.6，
∴2023年老张家用电量超过了4800千瓦时，
设老张家2023年用电量为y千瓦时，
根据题意，得：2604+（y﹣4800）×0.8＝0.6y，
解得：y＝6180，
答：老张家2023年用电量为6180千瓦时．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出合适的等量关系并列出方程，再求解即可．
32．为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户月用水量进行计费：当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1﹣4月份用水量和交费情况：
请根据表格中提供的信息，回答以下问题：
（1）若小明家5月份用水量为20吨，则应缴水费多少元？
（2）若小明家6月份交纳水费29元，则小明家6月份用水多少吨？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据1月份的条件，当用水量不超过10吨时，每吨的收费2元．根据3月份的条件，用水12吨，其中10吨应交20元，则超过的2吨收费6元，则超出10吨的部分每吨收费3元．则用水20吨应缴水费就可以算出；
（2）中存在的相等关系是：10吨的费用20元+超过部分的费用＝29元．
【解答】解：（1）从表中可以看出规定吨数位不超过10吨，10吨以内，每吨2元，超过10吨的部分每吨3元，
小明家5月份的水费是：10×2+（20﹣10）×3＝50元；
（2）设小明家6月份用水x吨，29＞10×2，所以x＞10．
所以，10×2+（x﹣10）×3＝29，
解得：x＝13．
小明家6月份用水13吨．
【点评】正确理解收费标准，是解决本题的关键．
33．某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：
方案一：全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？
【答案】见试题解答内容
【分析】方案一由于全部进行粗加工，而16×15＞140，所以粗加工可以全部加工完，然后每吨可获利润5000元即可求出利润；
方案二由于尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售，那么15天可精加工6×15＝90吨，剩下的直接销售，再根据已知条件也可求出利润；
方案三由于将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成，那么设将x吨海产品进行精加工，则将（140﹣x）吨进行粗加工，根据恰好15天完成可以列出方程求出精加工和粗加工各自的吨数，然后利用已知条件求出利润．
【解答】解：方案一：可获利润为：5000×140＝700000（元）；
方案二：15天可精加工6×15＝90（吨），
说明还有50吨需要直接销售，
故可获利润：7500×90+1200×50＝735000（元）；
方案三：设将x吨海产品进行精加工，则将（140﹣x）吨进行粗加工，
由题意得：x6+140−x16=15，
解得：x＝60，
故可获利润7500×60+5000×80＝850000（元），
∵850000＞735000＞700000，
所以选择方案三可获利润最多，最多可获利润850000元．
【点评】此题和实际生活结合比较紧密，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．每箱售价x（元）
68
67
66
65
…
40
每天销量y（箱）
40
45
50
55
…
180
档次
阶梯分档电量
电价（元/千瓦时）
第1档
不超过2760千瓦时的部分
a
第2档
超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时的部分
0.6
第3档
超过4800千瓦时的部分
a+0.3
月份
1
2
3
4
用水量（吨）
8
10
12
15
费用（元）
16
20
26
35
每箱售价x（元）
68
67
66
65
…
40
每天销量y（箱）
40
45
50
55
…
180
档次
阶梯分档电量
电价（元/千瓦时）
第1档
不超过2760千瓦时的部分
a
第2档
超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时的部分
0.6
第3档
超过4800千瓦时的部分
a+0.3
月份
1
2
3
4
用水量（吨）
8
10
12
15
费用（元）
16
20
26
35