2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 026-第六节 双曲线（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 026-第六节 双曲线（教用），共15页。试卷主要包含了P是C上一点，且F1P⊥F2P等内容，欢迎下载使用。
第六节 双曲线
课标要求
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质.
3.通过对双曲线及其方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
回归教材 强基础
1．双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_ _ _ _ _ _ 等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹.
（2）焦点：两个定点F1，F2.
（3）焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
【答案】绝对值
点拨（1）若|MF1|−|MF2|=2a 或|MF2|−|MF1|=2a，则动点M 的轨迹为双曲线的一支.
（2）当2a=|F1F2| 时，动点的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点）.
（3）当2a>|F1F2| 时，动点的轨迹不存在.
（4）当2a=0 时，动点的轨迹为线段F1F2 的垂直平分线.
2．双曲线的标准方程和几何性质
【答案】x轴，y轴； y=±bax； y=±abx； ca； a2+b2； 2a； 2b
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ ，离心率为e=_ _ _ _ .
【答案】y=±x； 2
常考结论
1.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min=a+c，|PF2|min=c−a.
（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
（4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2.
（5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2=b2tanθ2，其中θ 为∠F1PF2.
（6）P是双曲线上一点，F1，F2是左、右焦点，则|PF1|+|PF2|≥2c.
2.巧设双曲线方程
（1）不确定焦点在哪个坐标轴上的双曲线方程可设为mx2+ny2=1(mn0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0).
（3）与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为x2a2+λ+y2b2+λ=1(−a20)有公共焦点的双曲线方程可设为x2a2+λ−y2b2−λ=1(−a20,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2−y2n2=0，即xm±yn=0.（ ）
（4） 等轴双曲线的离心率等于2.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） √
2．（人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编）若方程x22+m+y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)
C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)
【答案】A
【解析】因为方程x22+m+y2m+1=1表示双曲线，所以(2+m)(m+1)0,b>0)，则a2+b2=3，4a2−1b2=1，解得a2=2,b2=1，则C1的方程为x22−y2=1.
例5 （2025·广东肇庆质检）如图，在直角三角形ABC中，AC=6,BC=8.以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过C点的双曲线的方程为（ ）
A. x2−y224=1B. x224−y2=1C. x249−y224=1D. x24−y221=1
【答案】A
【解析】设坐标原点为O.依题意，双曲线的焦点在x轴上，焦距2c=|AB|=62+82=10，即c=5，
实轴长2a=||AC|−|BC||=2，即a=1，所以虚半轴长b=c2−a2=26，
所以所求双曲线的方程为x2−y224=1.故选A.
例6 （2024·天津卷·8，5分）双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P在双曲线右支上，直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A. x22−y28=1B. x24−y28=1C. x28−y22=1D. x28−y24=1
【答案】A
【解析】设双曲线的半焦距为c(c>0),因为点P在双曲线的右支上，所以∠PF1F20,b>0)的焦距为43，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y=±xB. y=±22xC. y=±2xD. y=±3x
【答案】A
【解析】由题意得，双曲线x2a2−y2b2=1的焦距2c=43，故c=23，因为双曲线x2a2−y2b2=1的焦点坐标为(±c,0)，双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为bx±ay=0，所以双曲线x2a2−y2b2=1的焦点到渐近线的距离d=bcb2+a2=b，因为焦点到渐近线的距离为6，所以b=6，所以a=c2−b2=6，所以双曲线C的渐近线方程为6x±6y=0，即y=±x，故选A.
归纳总结
求双曲线的渐近线方程的方法
（1）“公式法”：当焦点在x 轴上时，渐近线方程为y=±bax；当焦点在y 轴上时，渐近线方程为y=±abx.
（2）“方程法”：求渐近线方程时，可以直接把双曲线方程中的“1”改写成“0”，从而得到渐近线方程，如x2a2−y2b2=1 的渐近线方程为xa±yb=0,y2a2−x2b2=1的渐近线方程为ya±xb=0.
角度2 离心率
例8 （2025· 全国Ⅰ卷·3,5分）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为（ ）
A. 2B. 2C. 7D. 22
【答案】D
【解析】设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c.
由题意得，2b=27a，则ba=7，则离心率e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+7=22.故选D.
例9 （2024· 新课标Ⅰ卷·12，5分）设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为_ _ _ _ _ _ .
【答案】32
【解析】设双曲线的焦距为2c(c>0),如图，由AB//y轴，|AB|=10，
可得|AF2|=5，又|AF1|=13,
所以在Rt△AF2F1中，有|F1F2|=|AF1|2−|AF2|2=132−52=12，即2c=12，所以c=6.
由双曲线的定义知2a=|AF1|−|AF2|=13−5=8，所以a=4,所以C的离心率e=ca=32.
归纳总结
求双曲线的离心率的方法
（1）若可求得a,c，则直接利用e=ca 求解.
（2）若已知a,b，则可直接利用e=1+(ba)2 求解.
（3）若得到的是关于a,c的齐次方程，可将方程两边同时除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程，即可求得e 的值.
角度3 与双曲线有关的最值（或范围）问题
例10 若双曲线C：x2−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的动点，则|PF1|⋅|PF2|的最小值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】由题意可知a=1，b=3，c=a2+b2=2，且|PF1|−|PF2|=2，设|PF2|=m，则|PF1|=m+2，可得|PF1|⋅|PF2|=m(m+2),易知m≥c−a=1,y=m(m+2)在[1,+∞)上单调递增，所以当m=1时，|PF1|⋅|PF2|取得最小值，为3.
例11 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的点到焦点的最小距离为1，且C与直线y=3x无交点，则a的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】[1,+∞)
【解析】因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的点到焦点的最小距离为1，所以c−a=1，又双曲线与直线y=3x无交点，所以ba≤3，即b2−3a2≤0，即c2−4a2=(a+1)2−4a2=−3a2+2a+1≤0，又a>0，所以a≥1，则a的取值范围是[1,+∞).标准方程
x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)
图形
性质
焦点
F1(−c,0),F2(c,0)
F1(0,−c),F2(0,c)
范围
x∈(−∞,−a]∪[a,+∞),y∈R
y∈(−∞,−a]∪[a,+∞),x∈R
对称性
对称轴：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；对称中心：原点
顶点
A1(−a,0),A2(a,0)
A1(0,−a),A2(0,a)
渐近线方程
_ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _
离心率
e= _ _ _ _ _ _ ,e∈(1,+∞)
a ,b ,c 的关系
c2= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，|A1A2|=_ _ _ _ _ _ ；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，|B1B2|=_ _ _ _ _ _ (a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长)