2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练55　最值与范围问题（含答案解析）

这是一份2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练55　最值与范围问题（含答案解析），共8页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1.(13分)(2025·四川绵阳期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为22,离心率为22.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=x+m与椭圆C有交点,求m的取值范围.
2.(15分)给定点A(-2,2),已知点B是椭圆x225+y216=1上的动点,F是左焦点.
(1)当|AB|+53|BF|取最小值时,求B点的坐标;
(2)求|AB|+|BF|的最大值和最小值.
3.(17分)如图,已知抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),其中O为坐标原点,抛物线的焦点坐标为F(1,0),A为抛物线上任意一点(原点除外),直线AB过焦点F交抛物线于B点,直线AC过点M(3,0)交抛物线于C点,连接CF并延长交抛物线于D点.
(1)若弦|AB|的长度为16,求△OAB的面积;
(2)求|AB|·|CD|的最小值.
4.(17分)(2023·全国甲,文21)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=415.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且FM·FN=0,求△MFN面积的最小值.
参考答案
1.解 (1)由题意2c=22,则c=2,又e=ca=22,则a=2,则b2=a2-c2=2,所以C的标准方程为x24+y22=1.
(2)联立l:y=x+m与x24+y22=1,有x24+(x+m)22=1,整理得3x2+4mx+2m2-4=0,由题意,Δ=16m2-12(2m2-4)≥0,则8m2≤48,则-6≤m≤6.
2.解 (1)由题意可知a=5,b=4,∴c=3,∴e=ca=35,且左准线为x=-253.
过点B作准线x=-253的垂线,垂足为N,过点A作准线的垂线,垂足为M,由椭圆第二定义有|BN|=|BF|e=53|BF|.从而|AB|+53|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|(定值).
当且仅当点B是AM与椭圆的交点时等号成立,此时点B(-532,2).
∴当|AB|+53|BF|取最小值时,点B的坐标为(-532,2).
(2)设F1是椭圆的右焦点,则F1(3,0).
由椭圆第一定义有|BF|+|BF1|=2a=10,∴|AB|+|BF|=2a-|BF1|+|AB|.
∵-|AF1|≤|AB|-|BF1|≤|AF1|,且|AF1|=(3+2)2+22=29,
∴-29≤|AB|-|BF1|≤29,
∴|AB|+|BF|的最大值和最小值分别为10+29和10-29.
3.解 (1)因为焦点F(1,0),所以2p=4,所以抛物线的方程为y2=4x.设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ty+1,y2=4x,得y2-4ty-4=0,则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以|AB|=1+t2|y1-y2|=1+t2×(y1+y2)2-4y1y2=4(1+t2)=16,解得t2=3,则△OAB的面积为S=12×1×|y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=21+t2=4.
(2)因为A在抛物线上,可以设A(a2,2a),根据(1)A,B两点的纵坐标之积为定值-4,所以B(1a2,-2a),由(1)知|AB|=4(1+t2),其中当a≠1时,t=1kAB=a-1a2,可得|AB|=4[1+(a-1a2)2]=(a+1a)2,当a=1时,|AB|=2p=4,满足|AB|=(a+1a)2,所以|AB|=(a+1a)2.
设直线AC的方程为x=my+3,C(x3,y3),D(x4,y4),由x=my+3,y2=4x,得y2-4my-12=0,所以y1+y3=4m,y1y3=-12,又A(a2,2a),所以y3=-6a,代入y2=4x,得到x3=9a2,所以C(9a2,-6a),又CD过点F,设直线CD的方程为x=ny+1,由x=ny+1,y2=4x,得y2-4ny-4=0,则y3+y4=4n,y3y4=-4,所以y4=2a3,代入y2=4x,得x4=a29,则D(a29,2a3),
所以|CD|=1+n2|y3-y4|=1+n2(y3+y4)2-4y3y4=4(1+n2),易知直线CD斜率存在,且n=1kCD=a3-3a2,所以|CD|=(a3+3a)2.
所以|AB||CD|=(a+1a)2·(a3+3a)2=[(a+1a)·(a3+3a)]2=(3+13+3a2+a23)2,
所以有|AB||CD|=(3+13+3a2+a23)2≥(3+13+23a2×a23)2=2569,
当且仅当3a2=a23,即a2=3时等号成立,所以|AB|·|CD|的最小值为2569.
4.解 (1)联立x=2y-1,y2=2px,整理得y2-4py+2p=0,
则Δ=16p2-8p>0,又p>0,∴p>12.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p.
|AB|=1+4|y1-y2|=5·16p2-8p=415,
解得p=-32(舍)或p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
由x=my+n,y2=4x,得y2-4my-4n=0,
则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n.
FM·FN=(x3-1)(x4-1)+y3y4
=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4
=(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2
=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0,
∴4m2=n2-6n+1≥0,
又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,
∴n≠1,∴n≥3+22,或n≤3-22.
∴S△MNF=12|MF|·|NF|=12(x3+1)(x4+1)=12(my3+n+1)(my4+n+1)=12[m2(-4n)+(mn+m)·4m+(n+1)2]=n2-2n+1=(n-1)2,
∴当n=3-22时,S△MFN=12-82为最小值.
∴△MFN面积的最小值为12-82.
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