2026年中考数学重难点冲刺训练专题05圆综合(3大考向+8大题型+重难冲刺训练)(学生版+解析)

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考向01 圆的基本性质
题型1 圆心角、圆周角与弧、弦的关系
1．（2026·山东青岛·一模）如图，AB是⊙O的直径，AC,ED是⊙O的弦，连接CD,BE，若∠ACD=60°，则∠BED的度数是（ ）
A．30°B．20°C．25°D．35°
2．（2026·宁夏银川·一模）如图所示，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC与BD交于点G，∠BOC=54°，则∠AGB的度数为（ ）
A．108°B．110°C．106°D．117°
3．（2026·浙江丽水·一模）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是BC边上的一点，AB=2BE，以E为圆心，AE为半径的圆弧交AD于点F，交CD于点G．若F是弧AG的中点，则CGCE=_____ ．
4．（2026·安徽·一模）如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且CE是⊙O的切线，CE⊥DB交DB的延长线于点E．
(1)求证：∠ACD=2∠A；
(2)若AB=5，BE=1，求BD的长．
5．（2026·广东深圳·二模）操作与推理
(1)利用圆规和无刻度直尺，求作△ABC的外接圆中BC（BC下方）中点D；（保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由．）
(2)在（1）的条件下，连接AD交BC于点E，若AE=5，DE=4，连接BD，求BD的长．
6．（2026·安徽六安·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABC=2∠ACD，过点D作⊙O的切线，交BC的延长线于点E．
(1)求证：AD=CD；
(2)若BC:DE=5:6，求tan∠DCE的值．
题型2 圆的对称性应用
1．（2026·四川南充·一模）如图，在⊙O中，∠AOB=60°，点C为AB⏜的中点，点D是半径OA上一动点．若OA=1，则BD+CD的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
2．（2026·重庆铜梁·一模）如图，以AB为直径的⊙O垂直弦CD于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交⊙O于点G，交AB于点H，连接AG，CG，EF，CD=4，AH=3，则AG=______，线段CG=______．
3．（2026·四川广元·一模）如图是由边长为1的小正方形组成的7×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，已知⊙O的圆心在格点上，圆上两点A、B在经过圆心的格线上，仅用无刻度的直尺在给定的网格区域中完成作图．
(1)在图1中，点C在圆上，请在直径AB的下方的圆上画出点E，使∠ACE=45°，并在网格中找点F，使△ACF是等腰直角三角形，且∠CAF=90°；
(2)在图2中，点D在格点上，在直径AB的下方的圆上画出点G，使得OG∥AD，并在线段AD上画出点H，使得AH=AB．
4．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PD，切点为M．过点A作AC⊥PD于点C，交⊙O于点N，连接AM．
(1)求证：AM平分∠CAB；
(2)若⊙O的直径为10，AN=6，求CM的长．
5．（2026·浙江杭州·一模）如图，AB为⊙O的直径，点P在线段OA上，A，Q两点关于点P对称，过点P作CD⊥AB交⊙O于点C，D，连接CQ并延长交⊙O于点E，连接DE，AC，AD．
(1)求证：CQ=DE；
(2)若AB=6，且OP=OQ，求CD的长．
考向02 直线与圆的位置关系
题型3 直线与圆的位置关系判定
1．（2026·山东青岛·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=45，AC=5cm，若以点C为圆心，2.8cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相切或相交
2．（2026·四川绵阳·二模）如图，M(2,2)，⊙M与x轴，y轴均相切，将一次函数y=3x+b的图象平移，当图象与⊙M有公共点时，则实数b的取值范围是（ ）
A．−56515≤b≤4515B．−4−210≤b≤−4+210
C．b≤210−2D．−1410−205≤b≤610−205
3．（2026·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径CD与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，BE是圆的切线，点F为切点．
（1）点A和点B的距离为________；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出CF的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________．
4．（2026·湖南岳阳·一模）如图，已知AB为⊙O的直径，BC是弦，点D为半径OC的延长线上一点，连接AD，∠B=∠D=30°．
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若AD=23，求BC的长度（结果保留π）．
5．（2026·河南信阳·一模）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠B=30°．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出AB的垂直平分线，与BC交于点D，以D为圆心，BD长为半径画圆（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)判断（1）所作圆与AC的位置关系，并说明理由．
6．（2026·江苏无锡·一模）如图，AB是⊙O的弦，AC经过圆心O交⊙O于点D，E是⊙O上一点，∠ACB=∠BED=30°．
(1)判断BC与⊙O的位置关系并证明；
(2)若⊙O的半径为4，求△ABC的面积．
题型4 切线的判定与性质
1．（2026·重庆·一模）如图，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，若∠A=62°，则∠P的度数为（ ）
A．72°B．48°C．65°D．56°
2．（2026·河南南阳·一模）如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则BD⌢的长为（ ）
A．π3B．π4C．π6D．π12
3．（2026·山东青岛·一模）如图，某模具是大半圆内部挖去小半圆而成．为了求该模具的面积，在图中作一条平行于大半圆直径且与小半圆相切的切线，分别交大半圆于A，B两点，已知AB=7cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
4．（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上．
（1）线段EF的长为______；
（2）直线EF与△PAB的外接圆相切于点P，点M在AP上，满足∠A+∠PBM=90°．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________．
5．（2026·江西南昌·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径画半圆，分别与AB，BC相交于点D，E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
(1)求证：EF是半圆O的切线；
(2)已知AC=9，tanA=43，如图2，当AC与半圆O相切于点G时．
①求半圆O的半径；
②求图中阴影部分的周长．
6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，P为⊙O外一点，A为⊙O上一点，BC是⊙O的直径，OP∥AB，且PC与⊙O相切于点C，连接PA和OA．
(1)求证：∠AOP=∠COP；
(2)求证：PA与⊙O相切；
(3)若∠ABC=60°,OB=2，求阴影部分的面积．
7．（2026·天津和平·一模）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，OC为⊙O半径，连接BC．
(1)如图①，延长AO与⊙O相交于点E，若BC⊥OA，垂足为点F，∠FOC=66°，求∠APB的度数；
(2)如图②，延长BC与PA相交于点M，若BC∥OA，PB=10，PM=6，求⊙O的半径．
考向03 圆与其他知识综合
题型5 圆与全等、相似综合
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为⊙O外一点，PA和PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径，连接AC，PO．如果∠C=58°，那么∠APO的度数是（ ）
A．20°B．22°C．32°D．36°
2．（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形ABCD的边AB上一动点，连接DP，交对角线AC于点E，作△ADP的外接圆⊙O，交AC于点F．连接PF，则∠DPF的度数为_______；若AE=2CF，则AP=______．
3．（2026·山东潍坊·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，过点B向圆外方向作∠CBE=∠BDC，点E在AC的延长线上．
(1)求证：EB2=EC⋅EA；
(2)求证：EB为⊙O的切线．
4．（2026·江苏无锡·一模）如图，⊙O中，弦CD⊥直径AB于点E，F为CD上一点，连接BF并延长交⊙O于点G，连接CG．
(1)求证：∠BCE=∠G；
(2)若BC=4，F是BG的中点，求BG的长．
5．（2026·河南信阳·一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，BE=OF，连接OC、BC．
(1)求证：△CFO≌△CEB；
(2)若OA=2，求阴影部分的面积．
6．（2026·四川巴中·一模）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．
(1)求证：PD是⊙O的切线．
(2)判断线段PD、PB、PA之间的数量关系，并加以证明．
(3)若PB=6，tan∠CDB=12，求⊙O的半径的长．
题型6 圆与四边形综合
1．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O与AB,BC都相切，且经过矩形ABCD的顶点D，与CD相交于点E．点A的坐标是−5,3，则点E的坐标是________．
2．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ADCO是平行四边形，则∠ABC的度数为_____．
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形．以边BC为直径作⊙O，AD恰好为⊙O的切线，其中点A为切点．点E是BC下方⊙O上的点，连接AE、BE．
(1)求∠E的度数；
(2)若BE=8，sin∠BAE=45，求AB的长．
4．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径．N是BC延长线上一点，连接BD、DN．
(1)如图①，若DN交⊙O于点M，AD=CM，∠BAD=120°，∠ABD=20°，求∠N的度数；
(2)如图②，若DN与⊙O相切于点D，延长BA交DN于点P，AD⏜=CD⏜，BC=26，PD=12，求CN的长度．
5．（2026·广西南宁·一模）综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题：
在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，点E是边AD上一动点，连接BE，作△ABE关于直线BE对称的△FBE，点A的对称点为点F．
(1)如图1，当点F落在边BC上时，求证：四边形EFCD是矩形；
(2)如图2，当AE=8时，EF交BC于点G，以BE为直径作⊙O经过点A．
①求BG的长；
②求证：CD是⊙O的切线；
(3)当点F落在∠ABC的三等分线上时，请直接写出AE的长．
6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠B=60°，点M、N分别在边AB、CD上，且AM=3cm，DN=4cm，点P从点M出发，沿折线MB→BC以1cm/s的速度向点C匀速运动(不与点C重合)，△APC的外接圆⊙O交边CD于点E，连接AE、PE．设点P运动时间为ts．
(1)当点P在边AB．上运动时，证明：PE∥AD；
(2)当点P在边BC上运动时，试判断△APE的形状，并说明理由；
(3)在运动过程中，若点N在⊙O内部，求t的取值范围．
题型7 圆与函数、动点综合
1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线y=−12x2+x+32的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．
①点E在⊙M的内部；
②CD的长为3−32；
③若P与C重合，则∠DPE=15°；
④在P的运动过程中，若AP=23，则PE=2+6；
⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π．
则正确的选项为（ ）
A．①②④B．②③④C．②③⑤D．③④⑤
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，半圆O的半径为2．半圆O1,O2经过点O，且分别与圆O切于点A,B，点C,D，E都是圆弧上的点．动点P从点O出发沿着圆弧，依次经过点C,B,D,A,E，最后回到点O．在运动过程中，点P运动的路程为x，∠POB的度数为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2026·浙江衢州·一模）如图，⊙O的周长为4厘米，AB为⊙O的直径．动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P出发1秒后，动点Q也从A点出发，以v厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点P运动t秒时，点P，Q与点A间的劣弧（或半圆）长分别记为y1，y2，则y1，y2关于t的函数图象如图2所示．
(1)试确定动点Q的速度v．
(2)当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式，并求出当t=52时，y1的值．
(3)若图2中的点C为两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求此时点P，点Q间的劣弧长．
题型8 圆的实际应用
1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）合肥逍遥津公园的“庐州之眼”摩天轮是城市地标之一，如图所示，该摩天轮的高度为95m（即最高点离地面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为50m，摩天轮匀速旋转一圈用时16min．某轿厢从点A出发，6min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB）长度为（ ）
A．13516πmB．1358πmC．1354πmD．1352πm
2．（2026·河南南阳·一模）如图，⊙O是地球示意图，其中CD表示赤道，EF、AB分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=23.5°．点P表示邓州市某地的位置，纬度大约是北纬32.5°（∠POD=32.5°）．冬至日正午时，太阳光线BM所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角∠NPQ（即平行于BM的光线PN与⊙O的切线PQ所成的锐角）的大小为（ ）
A．34°B．34.5°C．35°D．36°
3．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为x轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为C1 ，C2．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为32cm ，锅深为16cm，锅盖高为8cm．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 C2的解析式；
(2)求出圆弧 C1所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 24cm，高度为10cm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
4．（2026·山东青岛·一模）问题提出：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径．
测量工具：一块三角板Rt△ABC、一把刻度尺和一张宽度为2cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计）．
测量方法：
甲组的测量方法：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C，D，利用刻度尺测得BD的长．
乙组的测量方法：如图3，将三角板按照如图所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点C靠在杯口上，直角的两边CA、CB与杯口的交点分别为E，F，利用刻度尺测得EF的长为10cm．
问题解决：
(1)甲组同学认为，他所测量的BD的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是： ；
(2)根据乙组的测量方法可知，该水杯的杯口直径为 cm．
交流讨论：
(3)丙组的测量方法：如图4，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于F，G两点，利用刻度尺测得FG的长为8cm．请根据丙组的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径．
方法反思：
(4)丁组提出是否可以用下面的方法测量，老师说测量方法能行，你能说出其中的理由吗？
如图5，将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为M，将三角板直角边CA落在刻度尺有刻度的一边上，另一条直角边CB与杯口相切，切点为N，利用刻度尺测得CM的长即可算出杯口直径．若丁组的操作和测得数据都是正确的，已知图5中CM的长为5cm，请求出杯口的直径．
5．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题：
(1)问题提出
如图1，在直角△ABC中，∠A=30°，⊙O是△ABC的内切圆，若⊙O的半径是1，则△ABC的斜边长为 ．
(2)问题解决
小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石BDFE进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在∠B附近区域，所以玉镯要尽可能贴着BE边和BD边，观察到EF和DF的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过DF边和EF边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的△ABC（点A在BD上，点C在BE上），应使得AC尽可能短，同时△ABC的周长和面积尽可能的小．经过测量，∠B=60∘，BE=156mm，BD=175mm．根据顾客的需求，手镯的内圈直径为56mm，外圈直径为70mm，即小圆⊙O的直径为56mm，大圆⊙O的直径为70mm．
请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在BD和BE上的点A和点C使得覆盖大圆⊙O的△ABC周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出△ABC的周长及面积；若不存在，请说明理由．
（建议用时：100分钟）
1．（2026·山东青岛·一模）如图，线段AB与⊙O相切于点B，连接AO并延长分别交⊙O于点C,D，点E是半圆CD上一点，连接CE、BE，若∠ABD=126°，则∠BEC的度数为（ ）
A．36°B．38°C．48°D．54°
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知⊙O的半径为2,P是⊙O外一点，OP=4,Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连结OP，OM，则线段OM的最小值是（ ）
A．0B．0.5C．1D．1.5
3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，C是以AB为直径的半圆O的中点，P是直径AB上的动点，连接BC，PC，将射线PC绕点P顺时针旋转45°，交BC于点D，设AP=x，CD=y，则y与x之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2026·山东日照·模拟预测）如图，AB为⊙O的弦，AC为⊙O的切线，OC分别与AB，⊙O相交于点D，E，且CA=CD，CE=1，AC=5，求阴影部分的面积为______．
5．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为AB上一动点，连接CE，以CE的长为直径的⊙O与边CD交于点F．
(1)如图1，若∠OFC=60°，求BC的长．
(2)如图2，若⊙O与AD相切于点H，求AE的长．
6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，点F是BE的中点，AD⊥CF于D，与⊙O交于点E，连接AF，BF．
(1)写出一个与∠EAF相等的角：__________；
(2)求证：CD是⊙O的切线；
(3)若BC=8，CF=12，求AE的长．
7．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，⊙O是△ADC的外接圆，AB为⊙O的直径，DE∥AC，连接OD，OC，OC的延长线交DE于点E，OD交AC于点F，若∠ACD=12∠COD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若tan∠ACD=34，AD=6．
①求⊙O的半径；
②求CE的长．
8．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在⊙O中，AB为非直径弦，弦CD⊥AB于点E．

(1)如图1，CD不经过圆心O，连接OA，OB，OC，OD．求∠AOC+∠DOB的度数；
(2)如图2，CD经过圆心O，且使得DE=EO，点M是弧AC上一点，连接BM交OE于点F，连接CM并延长交BA的延长线于点N，当∠N=45°，求CFFD的值．
9．（2026·陕西西安·二模）探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题
(1)【问题提出】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=70°，则∠D的度数为______°；
(2)【问题探究】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，连接AC，AC⊥BC，过点C作CE⊥CD交AB于点E，BC=9，AC=AE=12，求AD的长；
(3)【问题解决】如图3，△ABC是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在AC边上修一个入水口M，再修一个经过点B、C、M的圆形水池⊙O，MN为⊙O的直径，沿BM、BN和MN架设木桥，在△BMN区域内种植荷花，已知∠ABC=90°，AB=20m，BC=60m，设AM的长为xm，△BMN区域的面积为Sm2．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计）
①求S与x之间的函数关系式；
②由于预算有限，要求△BMN区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即△BMN面积S的最小值）．
10．（2026·浙江台州·一模）综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）．工具：自制的矩形直尺ABCD（边AB长2cm，边AD从点A至点D标有刻度）．小明的做法：如图1，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边AD,BC分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出AE=6cm．小明认为线段BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出BE长度．如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边缘交于点M，边BC与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出AM=8cm．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度．
(1)请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出BE的长度．
(2)按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度．
11．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−14x2+38mx+m的图像交x轴于点Ax1,0，Bx2,0x1