2026年中考数学重难点冲刺训练专题06几何变换综合(3大考向+11大题型+重难冲刺训练)(学生版+解析)

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考向01 几何变换基础
题型1 平移的性质与应用
1．（2026·山东青岛·一模）无人机编队表演，在空中先组成如图所示的菱形图案ABCD，然后整体向右平移5个单位长度，再绕点A的对应点A′逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，此时点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．4, 1B．2, 3C．−1, 5D．0, −1
2．（2026·河南商丘·一模）如图，△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC，将△ABC沿射线BC方向平移得对应△DEF，过点B作BO⊥AC，垂足为O，BO交DE于点P，若AC=43，CE=3BE，则PD的长是（ ）
A．4B．43C．3D．25
3．（2026·河北邯郸·一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=c,AC=b,BC=a，将△ABC沿某一个方向平移2个单位长度，记△ABC扫过的面积为S．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ）
结论①：点A到BC的距离为bc2a；
结论②：S的最大值为bc2+2a
A．只有①对B．只有②对C．①，②都对D．①，②都不对
4．（2026·河南周口·一模）如图，在扇形AOB中，已知∠AOB=90°，OA=OB=2，正方形OECD的顶点D、C、E分别在OA、AB、OB上，把正方形OECD的沿直线OB向右平移，得到正方形GNMF，其中点D的对应点F恰好与C重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为___________．
5．（2026·吉林长春·一模）如图，将等腰直角三角尺ABC沿着直线l平移到△A1B1C1的位置，连结BB1．已知BC=1，平移距离AA1=2．求证：四边形ABB1A1是菱形．
6．（2026·江苏南通·一模）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．
(1)求∠DCE的大小；
(2)求证：△CEG是等边三角形．
题型2 旋转的性质与应用
1．（2026·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，∠OAB=90°，OA=6，AB=8．将△OAB绕点A顺时针旋转30°得到△O′AB′，则点B′的坐标为（ ）
A．43,10B．4,43C．10,43D．43,4
2．（2026·湖北随州·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一点，连接AC,DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°至△DCF，点E与点F对应，连接EF与AC交于点G，若AG=22CF，则AE的长为（ ）
A．2B．2C．22D．32
3．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点G．将△OBG绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（ ）
A．3,−1B．−1,−3C．−3,−1D．1,3
4．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形ABCD中，AB=25，点O是边BC的中点，若点E是直线AO上一动点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接OF，则线段OF长的最小值为_______．
5．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH．延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH．若AM=DM，则ABMH的值为______．
6．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在平行四边形纸条ABCD中，AD=8，∠B=75°，将纸条绕着点C旋转后得到平行四边形纸条CEFG，点D恰好在边EF上，则点G到BC的距离为________．
7．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，线段AB的两个端点均为格点（网格线的交点）．已知点A和点B的坐标分别为1,−6和2,−3．
(1)将线段AB先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段A1B1，画出线段A1B1；
(2)将线段AB绕O逆时针旋转90°，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
(3)在平面直角坐标系xOy的第四象限内描出一个格点P（要在网格内），使得PA=PA2，并写出格点P的坐标．
8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）【探索发现】如图1，晓慧用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”．
【方法应用】
(1)如图3，在△ABC中，BC=AC，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点D恰好落在BC边上，求证：四边形ABDE是双等四边形．
(2)如图4，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，以AC为边向外作等腰△ACD，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，请直接写出∠ACD的度数．
题型3 轴对称的性质与应用
1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠A=21°，MN∥BC，将纸片沿MN折叠，使点A落在点D处，则∠DNB的度数为（ ）
A．42°B．52°C．69°D．70°
2．（2026·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B，C在第一象限，点D为AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠得到△ECD，点B的对应点E落在BA的延长线上．若点C的坐标为3,3，则点E的坐标为（ ）
A．3,3−32 B．32,−3 C．3,32−3 D．3,−32
3．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=4，E为线段AC上的一个动点，四边形DAEF是平行四边形，则BE+BF的最小值为______．
4．（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，D是边AC的中点，E是线段AD上的动点（不与点A、点D重合），边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
(1)当△ABF为等腰直角三角形时，求∠ABE的大小．
(2)如图2，延长FA，交射线BE于点G．
①试探究∠G的大小是否变化？如果不变，请求出∠G的大小；如果变化，请说明理由．②若AB=2，则△BFG的面积最大为__________，此时AE=__________．
5．（2026·安徽芜湖·一模）项目式学习
(1)步骤一：设计
如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为−15,0，请你以y轴为对称轴画出风筝骨架的另一半，并直接写出点A的对称点D的坐标为___________．
(2)步骤二：制作
将设计与制作的风筝进行试飞，根据当天风速等实际状况试飞，发现当AD与BC比值为黄金分割比时，风筝飞的最稳，则BC的长应设置为___________．
(3)步骤三：结论
在步骤二的条件下，风筝所需材料（四边形ABDC）的面积为___________．
题型4 中心对称的性质与应用
1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026·安徽安庆·一模）如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，AB=4，△CEF与△CDA关于点C中心对称，连接BF，则BF的长为（ ）．
A．43B．23C．8D．25
3．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O，O1，A，A1，B，B1，C……都是平行四边形的顶点，点A，B，C……在x轴正半轴上，∠AOO1=45∘，OA=1，AB=2，BC=3，OO1=2，AA1=22，BB1=32……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是( )
A．6,52B．10,3C．15,52D．21,3
4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，O为菱形ABCD的对称中心，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F,M为CD上的一点，连接OM．若CM+CF=5，则四边形OEDM的面积为_____．
5．（2025·山东烟台·一模）小好同学用计算机软件绘制函数y=x3−3x2+3x−2的图象如图所示，发现它关于点1,−1成中心对称．若点A10.1,y1，A20.2,y2，A30.3,y3，……，A191.9,y19，A202,y20都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则y0+y1+y2+⋯+y19+y20的值是___________．
6．（2025·安徽合肥·一模）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A2,4，B1,1，C4,3．
(1)将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出A1的坐标；
(2)请画出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2；
(3)连接B1C2，B2C1，四边形B1C2B2C1的周长是______．
考向02 几何变换与全等、相似综合
题型5 平移与全等/相似综合
1．（2026·河南商丘·一模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，将该菱形沿AC方向平移23得到四边形EFGH，EH交CD于点M，则点M到AC的距离为（ ）
A．1B．3C．2D．23
2．（2025·上海·模拟预测）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=15， AB=45， CD=25．在边DC上取一点E，满足tan∠AED=43．将△ADE沿AB方向平移得到△FGH（三个顶点依次对应），若点H在边BC上，则点H到直线AE的距离是___________．
3．（2026·江西·模拟预测）如图，将△ABC沿射线BC平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD．F，G分别是AC，DE的中点，连接DF，CG．
(1)求证：△ADF≌△ECG．
(2)若CG=AF，求证：四边形ABCD是矩形．
4．（2026·浙江湖州·一模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点E，A′C′交CD于点F．
【数学理解】
(1)在平移过程中，线段A′E的长始终与CF相等，请说明理由；
(2)已知AD=3,AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A′ECF为菱形时，求移动的距离AA′．
5．（2026·安徽阜阳·一模）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是 ．
(2)探究证明：
① 小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
② 请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．
题型6 旋转与全等/相似综合
1．（2026·湖北黄冈·一模）如图，将线段AC绕点C逆时针旋转90°后得到线段A′C，已知点A−2,2，C1,0，则点A′的坐标是（）
A．1,−3B．3,1C．−1,3D．−1,−3
2．（2026·江苏盐城·一模）问题情境：将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′，点A、B、D的对应点分别为点A′、B′、D′，设直线AD与直线A′D′交于点E．
(1)猜想证明：猜想DE与D′E的数量关系，并证明；
(2)如图②，在旋转的过程中，当点B′恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A′恰好落在AD的延长线上（即点A′与点E重合），连接A′C，求证：四边形A′DBC是平行四边形；
(3)问题解决：在矩形ABCD绕点C顺时针旋转的过程中，设直线CE与直线A′B′相交于点F，若AB=4，BC=3，当A′、B′、D三点在同一条直线上时，请直接写出A′D的值．
3．（2026·山东聊城·一模）如图1，正方形ABCD的边AB与正方形BEFG的边BE重合，直线AG交直线EF于点H，连接EC．
(1)图1中线段AG与CE的数量关系是______，∠AGF与∠BEC的关系是______；
(2)如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转角度α（0°≤α≤90°），当点H与点A重合时，（1）中的结论依然成立的，请予以证明；不成立的，请写出它们新的关系，并说明理由；
(3)如图3，若AB=10，BE=5，连接AC，正方形BEFG绕点B顺时针旋转角度α（0°≤α≤90°），当点F落在对角线AC上时，请直接写出此时△AGF的面积．
4．（2026·福建泉州·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE位置，且∠DAE=∠BAC，连接CE．求证：BD=CE．
5．（2026·福建泉州·一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点O为AC的中点．在Rt△DBE中，∠DBE=90°，DB=3，BE=4，连接EO并延长到点F，使OF=EO，连接AF．
(1)如图1，当点D，E分别在AB,BC上时，求证∠DAF=90°；
(2)如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（0°90°的三角形成为“对等三角形”，在“对等三角形”的边AC上，有一动点D，使“对等三角形”分为△ADE和四边形DEBC．将△ADE沿着直线DE翻折，记A的对应点为A′．
已知△ABC为“对等三角形”．
(1)如图2，当点A′与点B重合时，求证：BC2=AD⋅AC
(2)当点A′在线段AB的延长线上时，连接A′C，BC交A′D于点F，直线BC经过△A′CD的重心，求CFAA′的值；
题型8 中心对称与全等/相似综合
1．（2025·浙江杭州·二模）如图，在正方形ABCG与正方形CDEF中，点G是CF的三等分点，点H与点A关于点C成中心对称．连结EG，BE，BH，DH．若S阴影=4，则BH的长为_______________．
2．（2026·广西南宁·一模）【对等角六边形】定义：在凸六边形ABCDEF中，满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”．
(1)如图1，对等角六边形ABCDEF的对边AB，DE的位置关系是_____；
(2)如图2，六边形ABCDEF是对等角六边形，若CD=AF，求证：BC=EF．
(3)如图3，在对等角六边形ABCDEF中，对角线AD、BE、CF交于点O，已知S六边形ABCDEF=15，求四边形ADEF的面积．
3．（2025·江苏南京·一模）（1）如图1，在平面直角坐标系中，A−4,1，B−1,3，A′2,−1，线段A′B′与线段AB关于点M成中心对称．①画出点M并写出点M的坐标_________；②点C−5,−1关于点M对称点C′的坐标为_______．
（2）如图2，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，请在图2中画出一个以AB为边的▱ABDE，顶点D，E在格点上且满足S▱ABDE=2S△ABC．
（3）如图3，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，若CF⊥BD于点F，请用无刻度的直尺在图3中作出符合题意的点F．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
考向03 几何变换综合应用
题型9 几何变换与函数综合
1．（2026·四川达州·一模）如图，将函数y=23(x−3)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A2,m，B7,n平移后的对应点分别为点A′，B′．若曲线段AB扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．y=23(x+2)2+1B．y=23(x−3)2−3
C．y=23(x−3)2+5D．y=23(x−3)2+7
2．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线y=−2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点A关于y轴的对称点A′的坐标为−4,0，则△OAB的面积为（ ）
A．10B．12C．14D．16
3．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，若矩形ABCD的对角线AC与x轴平行，且对角线BD在直线y=kx(k0的图象经过AC的中点P．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)已知点Em,1，将点E绕点P逆时针旋转90°，若旋转后的点E′恰好落在y=kxx>0的图象上，求m的值．
7．（2026·河南信阳·一模）如图，▱AOBC的顶点为网格线的交点，反比例函数y=kx的图象过点A，点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接AB，在图中用直尺和2B铅笔画出△ABC沿CO所在直线平移，且点C与点O重合，得到的△A′B′O（不写画法）．
①点A′ 反比例函数图象上，点B′ 反比例函数图象上；（填“在”或“不在”）
②四边形A'B'BA是 （特殊四边形），它的面积等于 ．
8．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx−3的对称轴为直线x=2，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
(1)求抛物线和直线BC的解析式；
(2)点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PB,PC，求△PCB面积的最大值；
(3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中x≤4的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点M2,m和N2,1−m，其中m≠12，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N的对应点为H，以HM、MN为边构造正方形HMNQ．
①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）；
②当矩形HMNQ的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围．
题型10 几何变换与动点综合
1．（2026·四川南充·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC上一动点（不与端点重合）．△ACQ由△ABP旋转得到．下列说法：①∠PAQ的大小是变化的；②AC平分∠BCQ；③AQ有最小值；④CQ与PC成一次函数关系；⑤四边形APCQ的面积为定值．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2026·甘肃平凉·一模）观察发现
(1)如图1，将正方形ABCD折叠，使点A的对应点A′落在BC边上，折痕分别与AB，CD交于点E,F，则折痕EF和AA′的数量和位置关系分别是_____．
类比探究
(2)在（1）的条件下，设EF与AA′交于点O，连接BD交EF于点G，如图2．求证：OG=OE +GF．
拓展应用
(3)如图3，正方形ABCD的边长为9，M是AB边上的一个动点，点N在CD边上，且CN =4，连接MN，将正方形ABCD沿MN折叠，使点A,D分别落在点P,Q处，当点Q落在直线BC上时，求线段AM的长．
3．（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，D是边AC的中点，E是线段AD上的动点（不与点A、点D重合），边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
(1)当△ABF为等腰直角三角形时，求∠ABE的大小．
(2)如图2，延长FA，交射线BE于点G．
①试探究∠G的大小是否变化？如果不变，请求出∠G的大小；如果变化，请说明理由．②若AB=2，则△BFG的面积最大为__________，此时AE=__________．
题型11 几何变换与实际情境综合
1．（2026·安徽滁州·一模）在综合实践活动课上，兴趣小组先画一个△ABC，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与AC边交于点O；再折出射线BO，点E在BO延长线上；最后折叠纸张使得OB落在OE上，点B的对应点为点D，连接AD，DC．对下列结论①四边形ABCD为平行四边形；②若△ABC是直角三角形，则四边形ABCD为矩形；③若△ABC是等腰三角形，则四边形ABCD为菱形．判断正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
2．（2026·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点B(4,3)处射出，射到平面镜上的点A(0,1)处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（ ）
A．(1,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)
3．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A,C的坐标分别为1,0,0,4，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2026次旋转后，点D的坐标为（ ）
A．−3,1B．−1,−3C．−3,−1D．1,3
4．（2026·安徽·模拟预测）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，AB为杯底，点O是AB的中点，且OP⊥AB，OP=CD=6，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15．以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求杯体CPD所在抛物线的解析式；
(2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处DQ∥l．如图2．
（ⅰ）请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出DQ与y轴的交点坐标；
（ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度．
5．（2026·陕西榆林·一模）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示．
(1)求抛物线L1的函数表达式；
(2)通过计算说明NP与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度DE．
（建议用时：90分钟）
1．（2026·河北邯郸·一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=c,AC=b,BC=a，将△ABC沿某一个方向平移2个单位长度，记△ABC扫过的面积为S．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ）
结论①：点A到BC的距离为bc2a；
结论②：S的最大值为bc2+2a
A．只有①对B．只有②对C．①，②都对D．①，②都不对
2．（2026·河南·一模）在平面直角坐标系中，正方形OABC位置如图所示，边长为1，每一次将正方形OABC绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到正方形OA1B1C1，第二次旋转得到正方形OA2B2C2，…，以此类推，则点B2026的坐标是（ ）
A．−22026,22026B．22026,22026
C．22026,−22026D．−22026,−22026
3．（2026·浙江·二模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点P，△EFD与△APD关于点D成中心对称．若AC=14，BD=16，则BE=___________．
4．（2026·河南平顶山·一模）如图一次函数y=x+2与反比例函数y=ax的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为1,m，点B的坐标为n,−1．
(1)求m，n的值和反比例函数的解析式；
(2)点A关于原点O的对称点为A′，在x轴上找一点P，使PA′+PB的值最小，并求出点P的坐标．
5．（2026·山西大同·一模）综合与实践
数学课上，同学们以含60°角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，∠BDC=90°，BC=4．
【智慧小组——平移探究】
(1)如图2，将△ABD沿着射线BD方向平移，得到△A′B′D′，点A，B，D的对应点为A′，B′，D′．当四边形A′BCD′为矩形时，求平移的距离．
【善思小组——折叠探究】
(2)如图3，将△BCD沿着BD折叠得到△BC′D，点C的对应点为C′，连接BC′，C′D，AC′．猜想四边形ABDC′的形状，并证明你的猜想．
【探索小组——旋转探究】
(3)将△BCD绕点D顺时针旋转得到△FED，点B，C的对应点分别为点F，E．当△FBC为以BC为底的等腰三角形时，请你直接写出CF2的值．
6．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在△ABC中，BC=5,AC=35,tan∠BCA=2．
(1)如图1，求△ABC的面积．
(2)如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合．
①连接AA1,CA1．求△AA1C的面积．
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连接CE．当CD=2AD时，求CE2−BD2的最小值．
7．（2025·山西朔州·二模）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，其中点E,F分别是点B,C的对应点．
(1)如图1，连接CF,BE，猜想CF,BE的数量关系并说明理由．
(2)如图2，隐去对角线，当点E恰好落在边CD上时，连接BF交AE于点O．
①求证：OF=OB．
②若将矩形AEFG沿AB向右平移，使得G恰好落在AD上，则平移的距离为______．
(3)若点F落在直线AD上，请直接写出CG的长．
8．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】
某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．△ABC中，AB=AC=2．同学们在边BC上取点D，连接AD，将△ACD以点A为中心旋转，由于同学们所取点D的位置不同，∠BAC的角度大小不同，产生了以下两种方案．
【探究感悟】
小明方案：取∠BAC=90°，旋转△ACD使点D的对应点D′落到线段BC上；
(1)如图1，小明发现，此时点C的对应点C′与点A的连线恰好平分∠BAC，则线段CD的长是_____；
【深入探究】
小刚方案：如图2，旋转△ACD使点C的对应点C′落到点B上，折叠△ABC使点B与点D重合，折痕为EH；
(2)在图2中找出与∠ADE相等的角，并证明；
(3)如图3，F为线段AD上的点，EF∥BC．若EF=13BE，求CD的长．
9．（2026·安徽芜湖·一模）项目式学习
(1)步骤一：设计
如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为−15,0，请你以y轴为对称轴画出风筝骨架的另一半，并直接写出点A的对称点D的坐标为___________．
(2)步骤二：制作
将设计与制作的风筝进行试飞，根据当天风速等实际状况试飞，发现当AD与BC比值为黄金分割比时，风筝飞的最稳，则BC的长应设置为___________．
(3)步骤三：结论
在步骤二的条件下，风筝所需材料（四边形ABDC）的面积为___________．
10．（2025·四川凉山·中考真题）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM=3米，∠BOM=18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31,cs18.17°≈0.95,tan18.17°≈0.33,sin36°≈0.59,cs36°≈0.81,tan36°≈0.73，结果精确到1米）
(1)求直吊臂OB的长；
(2)如图2，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM=36°时，货物M上升了多少米？
11．（2026·上海闵行·一模）探究活动：巧拼地砖外边．
装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料MOBP中MO∥PB，小条形边角料NOAQ中ON∥AQ，∠MOB=∠NOA=135°），如图1拼接到直角地砖∠MON=90°的外边上，发现点A与点B不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接．
(1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母；
(2)如果大条形边角料为MOBP的宽度为12cm，小条形边角料为NOAQ的宽度为9cm，大条形边角料MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP=___________；
(3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由．
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近三年：中考数学中几何变换考点主要考向分为三类：
一、几何变换基础（平移、旋转、轴对称，每年1~2道，6~10分）；
二、几何变换与全等/相似综合（每年1道，8~12分）；
三、几何变换与函数、动点综合（每年1道，10~14分）．
考查内容稳定，命题形式灵活，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档偏上综合题，常作为几何压轴题的核心组成部分，侧重考查转化思想、数形结合思想与图形构造能力．
预测2026年：几何变换仍是中考数学几何核心考点，结合全国统一命题中考趋势，侧重考查旋转、轴对称变换的应用，强化几何变换与全等、相似、函数、动点的融合。命题更注重情境化与综合性，强调图形识别、辅助线构造与转化能力，考生需熟练掌握各类几何变换的性质，牢记常见变换模型，提升综合推理与计算能力，做到举一反三、灵活应变。
1、核心性质（中考必考）：平移前后，图形的形状、大小不变，对应边相等、对应角相等；对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等；
2、解题技巧：①平移的核心是“平行移动，方向不变、距离相等”，可通过对应点的坐标变化（平面直角坐标系中）或对应线段的位置关系判断平移方向与距离；②利用平移性质，将分散的线段、角集中，构造全等、相似三角形，简化推理与计算；③实际应用中，可通过平移转化图形，解决图形拼接、线段转化等问题；
3、易错点：忽略平移的“方向不变”特点，误将旋转当作平移；平移后对应点、对应边找错；平面直角坐标系中，平移规律混淆（左右平移改变横坐标，上下平移改变纵坐标）。
1、核心性质（中考必考）：旋转前后，图形的形状、大小不变，对应边相等、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点；
2、解题技巧：①旋转的核心是“绕定点旋转，旋转角不变”，优先找旋转中心、旋转角和对应点，利用旋转性质转化线段、角关系；②常见旋转模型（手拉手、半角模型），可快速构造全等三角形，解决线段和差、角度计算问题；③遇等腰三角形、等边三角形、正方形，可尝试旋转（旋转角度通常为60°、90°），构造全等或相似；
3、易错点：旋转角找错（误将非对应点与旋转中心的夹角当作旋转角）；对应点、对应边找错；忽略旋转的可逆性，无法反向利用旋转性质解题。
1、核心性质（中考必考）：轴对称前后，图形的形状、大小不变，对应边相等、对应角相等；对称轴是对应点连线的垂直平分线，对应点到对称轴的距离相等；
2、解题技巧：①轴对称的核心是“沿对称轴折叠重合”，可利用对称轴的垂直平分线性质，求线段长度、确定点的坐标；②遇角平分线、垂直平分线，可结合轴对称性质，构造全等三角形，简化推理；③利用轴对称性质，转化分散的线段、角，辅助解决几何证明与计算问题；
3、易错点：对称轴找错（误将非对应点连线的垂直平分线当作对称轴）；忽略轴对称的双向性，无法利用对应点关系求解；构造轴对称图形时，对应点找错，导致推理偏差。
项目主题
风筝的设计与制作
项目背景
风筝制作在中国具有悠久的历史，以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程．
1、找对称中心：①两图中心对称：连接两组对应点，交点即为对称中心；
②单个中心对称图形：对称中心多为对角线交点、中点、圆心；
2、坐标中的中心对称：
①点 (x,y) 关于原点中心对称 ⇒(−x,−y)；
②点 (x,y) 关于点 (a,b) 中心对称 ⇒ 对称点 (2a−x, 2b−y)。
1、核心思路：利用平移的性质，构造全等或相似三角形，将分散的线段、角集中，通过全等证明线段相等、角相等，通过相似转化线段比例，进而解决推理与计算问题；
2、解题技巧：①平移图形，使对应边重合或平行，构造全等三角形（如平移三角形，使一组对应边重合，证明另一组对应边相等）；②利用平移后对应线段平行的性质，构造相似三角形（如A字型、8字型），转化线段比例；③结合平移的坐标规律，在平面直角坐标系中，利用全等、相似求点的坐标或线段长度；
3、易错点：平移方向、距离判断错误，导致构造的全等/相似三角形不成立；对应边、对应角找错；忽略平移与全等/相似的衔接，无法转化线段、角关系。
1、核心思路：旋转是构造全等、相似三角形的重要工具，尤其是等腰三角形、等边三角形、正方形中的旋转，可快速得到全等三角形；利用旋转角相等、对应边相等的性质，结合全等、相似的判定与性质，解决线段和差、角度计算、比例证明等问题；
2、解题技巧：①遇等腰三角形，可绕顶点旋转，使两腰重合，构造全等三角形；②遇等边三角形，旋转60°，构造全等或相似三角形；③遇正方形，旋转90°，利用对应边相等、对应角相等，结合全等、相似求解；
3、易错点：旋转中心、旋转角找错，导致全等/相似三角形构造失败；对应边、对应角对应错误；忽略旋转后图形的位置关系，无法衔接后续推理。
1、核心思路：利用轴对称的性质，得到对应边相等、对应角相等，构造全等三角形；利用对称轴的垂直平分线性质，结合相似三角形的判定（如两角相等），转化线段比例，解决综合问题；
2、解题技巧：①作图形的轴对称图形，构造全等三角形，转化线段和差、角的度数；②利用对称轴垂直平分对应点连线的性质，证明线段相等，为相似判定提供条件；③结合角平分线、垂直平分线，利用轴对称与全等、相似，解决线段求值、证明等问题；
3、易错点：轴对称图形构造错误，对应点找错；忽略对称轴的垂直平分线性质，无法补充全等/相似的判定条件；推理过程中，混淆轴对称与全等、相似的性质。
1、中心对称 ⇨ 全等：两个图形关于某点中心对称 ⇒ 一定全等，对应边、对应角全部相等；
2、全等 ⇨ 角相等 / 边成比例 ⇨ 相似：利用全等得到相等角（同位角、内错角、对顶角、公共角），再结合平行线、比例线段，推出相似；
3、中心对称本质：旋转 180°对应线段平行或共线，天然提供平行线→角相等→相似的条件。
1、核心综合形式：几何变换（平移、旋转、轴对称）+一次函数/二次函数，考查线段长度、点的坐标、角度计算等，是中考几何压轴题的高频形式；
2、解题关键：数形结合，利用几何变换的性质转化线段、角关系，将几何问题转化为代数问题，通过函数解析式求解未知量；
3、解题思路：①建立平面直角坐标系，利用几何变换的性质，用含参数的式子表示动点坐标或线段长度；②结合函数解析式，建立等式关系，求解未知量；③结合几何变换的限制条件，验证结果合理性；
4、易错点：几何变换转化错误，无法用参数表示线段长度或点的坐标；函数关系式列错，忽略几何变换的限制条件；未结合自变量的取值范围，导致结果不合理。
1、核心综合形式：几何变换+动点，考查动点运动过程中，经过几何变换后的线段长度、角度、图形形状变化等，侧重考查分类讨论思想与图形构造能力；
2、解题关键：抓住动点的运动规律，结合几何变换的性质，分情况讨论动点的位置，转化线段、角关系，解决几何推理与计算问题；
3、解题思路：①分析动点的运动轨迹（如直线、线段、圆弧），确定运动范围；②结合几何变换（如轴对称、旋转），将动线段、动角转化为固定线段或可求线段、角度；③分情况讨论，结合全等、相似知识，求解未知量，验证不同情况下的结果合理性；
4、易错点：动点运动轨迹判断错误，遗漏分类讨论；几何变换与动点结合时，转化错误；忽略动点的运动限制，导致结果不符合实际情况。
1、常见应用场景：图形拼接与折叠、测量问题、路线设计等，核心是将实际问题转化为几何变换问题，利用平移、旋转、轴对称的性质求解；
2、解题技巧：①提取实际问题中的几何模型，确定已知条件（如线段长度、角度、图形形状）；②利用几何变换，将实际问题转化为几何推理与计算问题；③结合几何性质，求解未知量，结合实际意义对结果进行取舍；
3、易错点：无法将实际问题转化为几何模型；几何变换应用错误，导致求解偏差；忽略实际场景中的限制条件（如长度、角度的取值范围），未验证结果的合理性。
调研主题
装饰舞台—安装电子屏幕
模型抽象
顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线L1与抛物线L2关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C．
安装方式
矩形电子屏幕MNPQ如图②所示悬挂，右端固定在抛物线L2的顶点F处，左端从抛物线L1上的点D处拉一条绳索DE固定，DE∥y轴，交x轴于点G，点E、F在边MQ上，边MQ与NP平行于x轴．
任务目标
1．为保证表演者的安全，NP与舞台平面l之间的距离要不小于2米；
2．DE与y轴之间的距离为1m，需要的绳索长度DE是多少？（打结处忽略不计）
数据采集
顶点F的坐标为32,−12，MN=32m，OC=92m
项目主题
风筝的设计与制作
项目背景
风筝制作在中国具有悠久的历史，以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程．
图1
图2
图3
图4
图5
【操作说明】
将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边．
【操作说明】
画出QA的延长线，交BP于点C．
【操作说明】
连接OC．
【操作说明】
沿着射线OB方向，平移小条形边角料NOAQ，使点A与点B重合，得到四边形O′N′Q′B．
【操作说明】
画出MO的延长线，交小条形边角料的边于D．
图6
图7
图8
图9
【操作说明】
连接BD．
【操作说明】
沿着OC、BD切割．
【操作说明】
拼接切割后的两根条形边角料．