专题10 圆的基本性质【九大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

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模块二
知识点一遍过
（一）圆的相关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆
（二）垂径定理及推论
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图:,弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
（2）推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①弧AC=弧AD；②弧BD=弧CB；③CE=DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
（三）弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
（四）圆周角定理及推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=∠O.

图a 图b 图c
（2）推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
模块三
考点一遍过
考点1：圆的基本概念
典例1：下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆B．在一个圆中，直径是最长的弦
C．弦是直径D．长度相等的弧是等弧
【变式1】下列命题正确的是（ ）
A．优弧大于劣弧B．圆的任意一条直径都是它的对称轴
C．等弧所对的圆心角相等D．平分弦的直径垂直于这条弦
【变式2】①弦是直径；②半圆是弧；③两个半圆是等弧；④三个点确定一个圆；⑤圆的内接平行四边形是矩形；⑥相等的弦所对的弧相等．说法正确的有 （填序号）．
【变式3】下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①直径是圆中最长的弦；
②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆；
④等弧所对的圆心角相等；
⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等；
⑥顶点在圆上的角是圆周角；
⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合；
⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；
⑨半圆是弧；
⑩过圆心的线段是直径．
考点2：垂径定理
典例2：如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，BC=6．
(1)若∠A=35°，求DE的长度；
(2)若AC=8，求BD的长．
【变式1】在⊙O中，弦AB∥弦CD，过O作OH⊥CD于H，延长HO交AB于E，连接AO相OD，AB=2OH．
(1)如图1，求证：∠AOD=90°；
(2)如图2，连接DE，延长DE交⊙O于F，过E作EW⊥DF交⊙O于W，连接FW和WD，若∠A=∠FDW，求证：∠FWE=∠DEH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BF、BW，若∠BEW=∠BWF，EW=2，求WD的长．
【变式2】如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm．
(1)求作此残片所在的圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求出（1）中所作圆的半径．
【变式3】如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：AC=BD；
(2)若AC=3，BC=5，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值．
考点3：垂径定理的推论
典例3：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为AD的中点，若∠BAD=20°，则∠ACO的度数为（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【变式1】如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿AB重合于M，N两点，若BC=a，MN的长为b，则下列结论正确的是（ ）
A．abD．无法比较a与b
【变式2】如图，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别交于点A8，0，B0，6，C是AO的中点，则⊙M的半径为 ，△AOC的周长为 ．
【变式3】如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点A、B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点D，交AB于点C，如果知道AB、CD的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知AB=43cm，CD=2cm，则圆的半径为 cm，阴影部分的面积为 cm2．
考点4：垂径定理的实际应用
典例4：如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，CD∥AB,AB=20m,OE⊥CD于点E．

(1)当测得水面宽CD=103m时，求此时水位的高度OE；
(2)当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形MNPQ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？
【变式1】如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，求拱门所在圆的半径．
【变式2】某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12m，AB离地面的高度AE=5m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度均为8.5m．
(1)求AO的长；
(2)求MN的长．
【变式3】如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设AB所在圆的圆心为O，拱顶为点C，OC⊥AB交AB于点D，连接OB．当桥下水面宽AB=8m时，CD=2m．

(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；
(2)有一条宽为7m，高出水面1m的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由．
考点5：弧、弦、圆心角关系
典例5：如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD=BC，则AB与CD的大小关系为（ ）
A．AB>CD B．AB=CD C．AB”“