2026年中考数学二轮复习 专题05 圆综合(重难专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题05 圆综合(重难专练)，共7页。试卷主要包含了圆的基本性质；，圆与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。
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近三年：中考数学中圆综合考点主要考向分为四类：
一、圆的基本性质（圆心角、圆周角、弧、弦关系，每年 1˜2 道，6˜8 分）；二、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离，每年 1 道，6˜10 分）；
三、圆与圆的位置关系（每 1˜2 年 1 道，4˜6 分）；四、圆与几何、函数的综合（每年 1 道，10˜14 分）
考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档偏上综合题，常作为几何压轴题的核心组成部分，侧重考查数形结合与转化思想．
预测 2026 年：圆综合仍是中考数学几何核心考点，结合全国统一命题中考趋势，侧重考查直线与圆的相
切判定与性质、圆周角定理的综合应用，强化与全等、相似、函数、动点的融合。命题更注重情境化与综合性，强调图形识别、辅助线构造能力，考生需熟练掌握圆的核心定理与性质，牢记常见模型，提升推理计算与综合应用能力，做到举一反三、灵活应变。
考向 01圆的基本性质
题型 1 圆心角、圆周角与弧、弦的关系
1、核心定理（中考必考）：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧、劣弧分别相等；④圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对的圆心角的一半；⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
2、解题技巧：①遇圆周角与圆心角，优先找它们所对的同弧或等弧，利用定理转化角度；②遇直径，优先构造直角三角形（90°圆周角），结合勾股定理、全等知识解题；③多圆心角、圆周角共存时，标注相等的弧，以此为桥梁转化角度关系；
3、易错点：忽略“同圆或等圆”这一前提，误用弧、弦、圆心角的关系；混淆圆周角与圆心角的倍数关系（误将圆周角等于圆心角）；忽略 90°圆周角与直径的双向判定关系。
1．（2026·山东青岛·一模）如图，??是 ⊙ ?的直径，??,??是 ⊙ ?的弦，连接??,??，若∠??? = 60°，则
∠???的度数是（ ）
0°B．20°C．25°D．35°
【答案】A
【分析】连接??,??，根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】解：连接??,??，则∠??? = ∠??? = 60°，∠??? = ∠???，
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 90°−∠??? = 30°.
2．（2026·宁夏银川·一模）如图所示，??是 ⊙ ?的直径，点?，?在⊙ ?上，?? = ??，??与??交于点
?，∠??? = 54°，则∠???的度数为（ ）
8°B．110°C．106°D．117°
【答案】A
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可知∠??? = 90°，根据?? = ??可得∠??? = ∠??? = 45°，根据
邻补角互补、“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”以及已知条件可得∠??? = 2∠??? = 63°，最后根据
三角形外角的定义和性质求解即可．
1
【详解】解：∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵∠??? = 54°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 126°，
∴∠??? = 2∠??? = 63°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 63° + 45° = 108°．
1
3．（2026·浙江丽水·一模）如图，在矩形????中，?? = 8，?是??边上的一点，?? = 2??，以?为圆心，
??
??为半径的圆弧交??于点?，交??于点?．若?是弧??的中点，则?? = ．
2
【答案】11
【分析】本题考查了矩形的性质、圆的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，连接??，过点?作
?? ⊥ ??于点?，先利用矩形、弧中点和平行线的性质，推导出角相等，证明 △ ??? ∽△ ???，从而求出
?? = 4，设?? = ?，用?表示出相关线段，再根据勾股定理，结合?? = ??建立方程，解出?的值，最后代入计算出??和??的长度，得到它们的比值．
【详解】解：连接??，过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵四边形????为矩形，?? = 8，
∴ ∠??? = ∠? = ∠? = ∠? = 90°，?? = ?? = 8，?? = ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ??平行于??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?是弧??的中点，
∴弧?? = 弧??，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???，
1
∴ ∠??? = ∠??? = 2∠???，
∵ ?? = ?? = ??，?? ⊥ ??，
1
∴ ∠??? = 2∠???，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠???，又∵ ∠? = ∠? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∵ ?? = 2??，?? = 8，
2????
∴ 8 = ??，
∴ ?? = 4，设?? = ?，
∴ ?? = 2?，?? = ??−?? = 2?−4，?? = ??−?? = 8−?，在Rt △ ???中，
由勾股定理得：??2 = ??2 +??2 = 5?2，
在Rt △ ???中，
由勾股定理得：??2 = ??2 +??2 = (8−?)2 + (2?−4)2，
∵ ?? = ??，
∴ 5?2 = (8−?)2 + (2?−4)2，解得：? = 2.5，
∴ ?? = 2?−4 = 1，?? = 8−? = 5.5，
∴ ?? = 5.5 = 11．
??1
2
4．（2026·安徽·一模）如图，??为 ⊙ ?直径，C，D 为⊙ ?上的两点，且??是⊙ ?的切线，?? ⊥ ??交??
的延长线于点 E．
(1)求证：∠??? = 2∠?；
(2)若?? = 5，?? = 1，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 3．
【分析】（1）连接??，利用切线的性质结合已知判定出??∥??，得出∠? = ∠???，由等弧对等角得
∠? = ∠?，再利用角的等量代换即可解答；
3
（2）作?? ⊥ ??于点?，证明四边形????是矩形，求出?? = ??−?? = 2，再利用垂径定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接??，如图，
∵??是⊙ ?的切线，
∴?? ⊥ ??，
∵?? ⊥ ??，
∴??∥??，
∴∠? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠? = ∠?，
∴∠? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 2∠?；
（2）解：作?? ⊥ ??于点?，如图，
∴∠??? = ∠? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∵?? = 5，
5
∴?? = ?? = ?? = 2?? = 2，
3
∴?? = ??−?? = 2，
∵?? ⊥ ??，
∴?? = 2?? = 3．
1
5．（2026·广东深圳·二模）操作与推理
(1)利用圆规和无刻度直尺，求作 △ ???的外接圆中??（??下方）中点?；（保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由．）
(2)在（1）的条件下，连接??交??于点?，若?? = 5，?? = 4，连接??，求??的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)根据题意画出图形，6
【分析】（1）作∠???的角平分线交 △ ???的外接圆于点?即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等推出∠??? = ∠???，证明 △ ??? ∽△ ???得??2 = ?? ⋅ ??，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：如图，作∠???的角平分线交 △ ???的外接圆于点?，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴点?为△ ???的外接圆中??（??下方）的中点，故点?即为所作；
（2）解：如图，
由（1）知：∠??? = ∠???，
又∵??所对的圆周角为∠???、∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，即∠??? = ∠???，又∵∠??? = ∠???，?? = 5，?? = 4，
∴ △ ??? ∽△ ???，?? = ?? + ?? = 5 + 4 = 9，
??
∴?? = ??，
∴??2 = ?? ⋅ ??，
∴?? = ?? ⋅ ?? = 9 × 4 = 6，即??的长为6．
??
6．（2026·安徽六安·一模）如图，四边形????内接于 ⊙ ?，??为 ⊙ ?的直径，∠??? = 2∠???，过点?作
⊙ ?的切线，交??的延长线于点?．
(1)求证：?? = ??；
(2)若??:?? = 5∶6，求tan∠???的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理等知识
3
点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质可得∠??? + ∠??? = 180°，再结合三角形内角和定理得出
∠??? = ∠??? + ∠???，结合题意可得∠??? = ∠???，即可得证；
（2）连接??交??于点?，证明四边形????是矩形，得出?? = ??，由垂径定理可得?? = ??，设
1
?? = 10?，则?? = 12?，?? = ?? = ?? = 12?，?? = 24?，证明??为△ ???的中位线，得出?? = 2
1
?? = 5?，由勾股定理可得?? = 26?，从而可得?? = 2?? = 13?，即可得出结果．
【详解】（1）证明： ∵ 四边形????是圆内接四边形，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
∵ ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠???，
∵ ∠??? = 2∠???，
∴ 2∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??；
（2）解：如图：连接??交??于点?，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∵ ??是⊙ ?的切线，
∴ ?? ⊥ ??，
∵ ??为 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∴?? = ??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? = ??，
由??:?? = 5∶6，可设?? = 10?，则?? = 12?，
∴?? = ?? = ?? = 12?，
∴?? = 24?，
∵?? = ??，
∴??为△ ???的中位线，
∴?? = 2?? = 5?，
∵?? =??2 + ??2 = 26?，
1
∴?? = 2?? = 13?，
∴?? = ?? = ??−?? = 8?，
3
1
∴ tan∠??? = ?? = 8? = 2．
??12?
题型 2 圆的对称性应用
1、核心性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，旋转 180°后与自身重合；
2、应用技巧：①利用轴对称性：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（垂径定理），可用于求弦长、半径、弦心距（构造直角三角形，勾股定理求解）；②利用中心对称性：圆上点绕圆心旋转 180°得到的点与原点点关于圆心对称，可用于转化线段、角关系；③垂径定理延伸：弦的垂直平分线经过圆心，可用于确定圆心位置；
3、易错点：垂径定理应用时，忽略“直径垂直于弦”（非直径的弦垂直于弦，不一定平分弦）；求弦长时，未构造弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形；忽略圆的对称性隐含的相等关系（如对称点到圆心的距离相等）。
⏜
1．（2026·四川南充·一模）如图，在 ⊙ ?中，∠??? = 60°，点 C 为??的中点，点 D 是半径??上一动
2
3
5
点．若?? = 1，则?? + ??的最小值为（ ）
B．C．D．
【答案】B
【分析】作点?关于??的对称点?′，连接?′?,??′,??，连接??′交??于点?′，根据轴对称的性质得出
?? + ??的最小值为?′?的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解．
【详解】解：如图所示，作点?关于??的对称点?′，连接?′?,??′,??，连接??′交??于点?′，
∴??′ = ?′?′，∠???′ = ∠??? = 60°，此时，?? + ??的最小值为?′?的长度，
⏜
∵点 C 为??的中点，
∴∠??? = 30°，
∴∠?′?? = ∠??? + ∠???′ = 90°，
∴由勾股定理得?′? =??2 + ??′2 = 2，即?? + ??的最小值为 2．
2．（2026·重庆铜梁·一模）如图，以??为直径的 ⊙ ?垂直弦??于点?，过点?作?? ⊥ ??于点?，交⊙ ?于点?，交??于点?，连接??，??，??，?? = 4，?? = 3，则?? = ，线段?? = ．
【答案】
3
5
【分析】通过同角的余角相等可得∠??? = ∠???， 再通过圆周角定理可得∠??? = ∠???，等量代换结
⏜⏜
合等角对等边可证得?? = ?? = 3，从而可得??垂直平分 ??，连接 ??， 进而证明?? = ??， 得到∠
??? = ∠???， 从而根据tan∠??? = tan∠???列式计算即可得到??的长， 在Rt △ ???中，利用勾股定理可得??的长，从而得解．
【详解】解： ∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
°
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90 ，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = 3，
∴ ??垂直平分 ??，如图，连接 ??，
设?? = ?，则?? = ?? + ?? = 3 + ?，
∴ 22 = ?(3 + ?)，
整理得?2 +3?−4 = 0，
解得?1 = 1，?2 = −4（舍去），
∴ ?? = 1，
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =12 + 22 = 5，
∴ ?? = 5．
??
??
??
??
∴=，即??2 = ?? ⋅ ??，
??
在Rt △ ???中，tan∠??? = ??，
??
在Rt △ ???中，tan∠??? = ??，
1
∴ ?? = 2?? = 2，
⏜
∴ ?? = ??，?? = ??，
∵ 直径?? ⊥ 弦??，
⏜⏜
∴ ??垂直平分??，?? = ??，
⏜⏜
∴ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∵ ?? = 4，
⏜
3．（2026·四川广元·一模）如图是由边长为 1 的小正方形组成的7 × 8的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，已知⊙ ?的圆心在格点上，圆上两点?、?在经过圆心的格线上，仅用无刻度的直尺在给定的网格区域中完成作图．
在图 1 中，点?在圆上，请在直径??的下方的圆上画出点?，使∠??? = 45°，并在网格中找点?，使
△ ???是等腰直角三角形，且∠??? = 90°；
在图 2 中，点?在格点上，在直径??的下方的圆上画出点?，使得??∥??，并在线段??上画出点?，使得?? = ??．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取 ⊙ ?与格线的交点 E，连接??并延长交 ⊙ ?于点 T，延长??，??交于点 F，则点 E 和点
F 即为所求；根据直径所对的圆周角是直角可得∠??? = ∠??? = 90°，由?? ⊥ ??可得?? = ??，则
∠??? = ∠??? = 2∠??? = 45°，则△ ???是等腰直角三角形，且∠??? = 90°；
（2）连接??交格线于点 G，连接??交⊙ ?于点 R，连接??并延长交??于点 H，则点 G 和点 H 即为所
1
求；可证明点 G 为??的中点，则??为 △ ???的中位线，则??∥??，由平行线分线段成比例定理可得??
??
= ??，则 R 为??的中点，由直径所对的圆周角是直角可得∠??? = 90°，则??垂直平分??，则
?? = ??．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
??
（2）解：如图所示，即为所求．
4．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，??为 ⊙ ?的直径，P 为??延长线上一点，过点 P 作⊙ ?的切线
??，切点为 M．过点 A 作?? ⊥ ??于点 C，交⊙ ?于点 N，连接??．
求证：??平分∠???；
若 ⊙ ?的直径为10，?? = 6，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)?? = 4
【分析】（1）根据切线的性质定理得出?? ⊥ ??，得出?? ∥ ??，根据平行线的性质得出∠??? = ∠???，再根据等边对等角以及等量代换即可得出结论；
（2）过点 O 作?? ⊥ ??于点 E，连接??，??，则∠??? = 90°，得出四边形????为矩形，最后利用垂径定理以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图 1，连接??，
∵??是 ⊙ ?的切线，
∴?? ⊥ ??，又∵?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴??平分∠???；
（2）解：如图 2，过点 O 作?? ⊥ ??于点 E，连接??，??，则∠??? = 90°，
∵过点 P 作⊙ ?的切线??，切点为 M，
∴?? ⊥ ??，即∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????为矩形，
∴?? = ??，
∵?? = ??，?? = 6，
∴?? = 2?? = 3，
∵ ⊙ ?的直径为 10，
∴?? = 5，
1
在直角三角形???中，由勾股定理得：?? =??2−??2 =52−32 = 4，
∴?? = 4．
5．（2026·浙江杭州·一模）如图，??为 ⊙ ?的直径，点 P 在线段??上，A，Q 两点关于点 P 对称，过点 P
作?? ⊥ ??交 ⊙ ?于点 C，D，连接??并延长交 ⊙ ?于点 E，连接??，??，??．
(1)求证：?? = ??；
(2)若?? = 6，且?? = ??，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)4 2
【分析】（1）连接??，根据垂径定理得出?? = ??，根据轴对称的性质得出?? = ??，则可证明四边形
????是平行四边形，进而证明平行四边形????是菱形，得出?? = ??，∠??? = ∠???，根据圆周角定理得出?? = ??，根据弧、弦的关系得出?? = ??，即可得证；
（2）连接??，根据?? = ??并结合?? = ??可求出?? = 2??，结合?? = 6可求出?? = 1，在Rt △ ???
中，根据勾股定理求出?? = 2 2，结合（1）中?? = ??即可求解．
【详解】（1）证明：连接??，
∵直径?? ⊥ ??于 P，
∴?? = ??，
∵A，Q 两点关于点 P 对称，
∴?? = ??，
∴四边形????是平行四边形，又?? ⊥ ??，
∴平行四边形????是菱形，
∴?? = ??，∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
∴?? = ??，
（2）解：连接??，
∵?? = 6，
∴?? = ?? = 2?? = 3，
∵?? = ??，?? = ?? = ?? + ??，
∴?? = 2??，
又?? + ?? = 3，
∴?? = 1，
1
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 2 2 = ??，
∴?? = ?? + ?? = 4 2．
考向 02直线与圆的位置关系
题型 3 直线与圆的位置关系判定
1、核心判定方法（中考高频）：设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，①d＜r：直线与圆相交（有两个公共点）；②d＝r：直线与圆相切（有一个公共点）；③d＞r：直线与圆相离（无公共点）；
2、解题技巧：①判定时，优先计算圆心到直线的距离 d（利用点到直线的距离公式），再与半径 r 比 较；②已知直线与圆的位置关系，可反向求 r 或 d 的取值范围；③结合几何图形，利用全等、相似求 d或 r，再进行判定；
3、易错点：混淆“圆心到直线的距离”与“点到直线的距离”，计算 d 时出错；忽略直线与圆相交时，弦长与 d、r 的关系；判定时，误将“公共点个数”作为唯一依据，忽略 d 与 r 的数量关系。
4
1．（2026·山东青岛·一模）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°，sin? = 5，?? = 5cm，若以点?为圆心，
2.8cm长为半径作圆，则 ⊙ ?与??的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相切或相交
【答案】A
【分析】过?作?? ⊥ ??于?，解直角三角形求出?点到??上的高即可判断．
【详解】解：如图，过?作?? ⊥ ??于?，
由题意得：?? = ??·sin? = ?? × 5 = 5cm，
解得：?? = 4 cm，
4
25
由勾股定理得：?? =??2−??2 = 15(cm)，
4
Rt △ ???中，?? = ?? ⋅ sin∠? = 3cm，
∵2.8 < 3，
∴圆与??相离．
2．（2026·四川绵阳·二模）如图，?(2,2)， ⊙ ?与?轴，?轴均相切，将一次函数? = 3? + ?的图象平移，当图象与⊙ ?有公共点时，则实数?的取值范围是（ ）
−56 5
15
A．
≤ ? ≤
4 5B．−4−2
≤ ? ≤ −4 + 2
10
10
15
C．? ≤ 2 10−2D．−14 10−20 ≤ ? ≤ 6 10−20
55
【答案】B
【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为(?,?)，由半径? = 2得，
(?−2)2 + (?−2)2 = 2，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 (?−2)2 + (?−2)2 = 4，再联立
? = 3? + ?与(?−2)2 + (?−2)2 = 4得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 Δ ≥ 0 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可．
【详解】解： ∵ 圆心 ?(2,2)，
∴圆心到?轴，?轴的距离为2
∵ ⊙ ?与?轴，?轴均相切，
∴ ⊙ ?的半径? = 2，
设圆上任意一点坐标为(?,?)，
由半径? = 2得， (?−2)2 + (?−2)2 = 2
∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程(?−2)2 + (?−2)2 = 4，当图象与⊙ ?有公共点时，
联立? = 3? + ?与(?−2)2 + (?−2)2 = 4，
得： (?−2)2 + (3? + ?−2)2 = 4，
整理得：10?2 + (6?−16)? + (?−2)2 = 0，
∴ 关于 ? 的一元二次方程有实数根，
∴ Δ = (6?−16)2−4 × 10 × (?−2)2 ≥ 0，
整理得，?2 +8?−24 ≤ 0.
令?2 +8?−24 = 0，
解得? = −8± 64+96 = −4 ± 2 10，
2
令? = ?2 +8?−24，
∴不等式?2 +8?−24 ≤ 0的解集，即为抛物线? = ?2 +8?−24在?轴下方时，对应于?轴交点横坐标的取值范围，
∵1 > 0，抛物线开口方向向上，
∴ 不等式的解集为−4−2 10 ≤ ? ≤ −4 + 2 10．
3．（2026·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A 和点 B 是格点，点 C 在格线上，圆的直径??与点 C 所在的格线互相垂直，垂足为 C，??是圆的切线，点 F 为切点．
点 A 和点 B 的距离为；
请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出??的中点 P，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于 5）．
【答案】
2 10
取圆与格线交点 M，N，连接??交??于点 O，延长??交格线于点 T，连接??交
圆 O 于点 P，点 P 即为所求
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）取圆与格线交点 M，N，连接??（1 条）交??于点 O，此时∠??? = 90°，即??为直径，即点 O 为圆心；延长??（2 条）交格线于点 T，根据题意??是圆的切线，点 C 为切点；连接??（3 条）交圆 O 于点
⌢⌢
P，根据切线长定理可知?? = ??，易证△ ???≌ △ ???(SAS)，可知∠??? = ∠???，则?? = ??，故点 P
即为所求．
【详解】解：（1）由网格可知，?? =62 + 22 = 2 10；
（2）取圆与格线交点 M，N，连接??（1 条）交??于点 O，延长??（2 条）交格线于点 T，连接??（3
条）交圆 O 于点 P，点 P 即为所求．
4．（2026·湖南岳阳·一模）如图，已知??为 ⊙ ?的直径，??是弦，点 D 为半径??的延长线上一点，连接
??，∠? = ∠? = 30°．
(1)求证：??是 ⊙ ?的切线．
(2)若?? = 2 3，求??的长度（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)3?
【分析】（1）证明∠??? = 60°，即可求得∠??? = 90°；
4
（2）根据?? = 2 3，求得??的长，利用弧长公式即可解答．
【详解】（1）证明： ∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠? = 30°，
∴ ∠??? = 60°，
∵ ∠? = 30°，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ??为 ⊙ ?的直径，
∴ ??是 ⊙ ?的切线；
（2）解： ∵ ∠? = 30°，
∴ ?? = ?? ⋅ tan30° = 2，
∵ ∠??? = 180°−2∠? = 120°，
∴ ? ⌢ =
??
120?×2
180
= 3?．
4
5．（2026·河南信阳·一模）如图， △ ???是等腰三角形，?? = ??，∠? = 30°．
请用无刻度的直尺和圆规作出??的垂直平分线，与??交于点?，以?为圆心，??长为半径画圆（保留作图痕迹，不写作法）．
判断（1）所作圆与??的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)所作圆与??相切，理由见解析．
【分析】（1）根据题意进行画图即可；
（2）连接??，由作图可知?垂直平分??，则?? = ??，所以∠??? = ∠? = 30°，通过等边对等角和三角形内角和定理得出∠??? = 120°，则∠??? = 90°，所以?? ⊥ ??，再由切线的判定方法即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线?， ⊙ ?即为所求；
（2）解：所作圆与??相切，理由如下：
连接??，
由作图可知：?垂直平分??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠? = 30°，
∵?? = ??，∠? = 30°，
∴∠? = ∠? = 30°，
∴∠??? = 180°−(∠? + ∠?) = 120°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 120°−30° = 90°，
∴?? ⊥ ??，
∵??是 ⊙ ?的半径，
∴??是 ⊙ ?的切线，即所作⊙ ?与??相切．
6．（2026·江苏无锡·一模）如图，??是 ⊙ ?的弦，??经过圆心?交⊙ ?于点?，?是⊙ ?上一点，
∠??? = ∠??? = 30°．
判断??与 ⊙ ?的位置关系并证明；
若 ⊙ ?的半径为 4，求△ ???的面积．
【答案】(1)??与 ⊙ ?相切，见解析
(2)12 3
【分析】（1）连接??，根据题意可得∠? = ∠??? = 30°，再结合三角形外角的性质可得
∠??? = ∠? + ∠??? = 60°，即可解答；
（2）过点 B 作?? ⊥ ??于点 H，根据直角三角形的性质以及勾股定理可?? = 2 3，?? = 6，再结合等腰三角形的性质可得?? = 2?? = 12，即可求解．
【详解】（1）解：??与 ⊙ ?相切，证明如下：连接??，
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ∠? = ∠??? = 30°．
∵ ?? = ??，
∴∠? = ∠??? = 30°
∴ ∠??? = ∠? + ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
∴ ??与⊙ ?相切．
（2）解：过点 B 作?? ⊥ ??于点 H，
∵∠??? = 60°，
∴∠??? = 30°，
∵ ?? = ?? = 4，
1
∴ ?? = 2?? = 2，
∴?? = 2 3，
∵ ∠? = ∠? = 30°，
∴ ?? = ??，?? = 2?? = 4 3，
∴?? = 6，
又∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? = 2?? = 12，
1
∴ ?△??? = 2?? ⋅ ?? = 12 3．
题型 4 切线的判定与性质
1、核心判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（两个条件缺一不可：①过半径外端；②垂直于半径）；
2、核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角；
3、解题技巧：①切线判定：若直线过圆上一点，连接圆心与该点（半径），证明直线与半径垂直；若直线不过圆上一点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径；②切线性质应用：遇切线，必连切点与圆心，构造直角三角形，结合勾股定理、全等、相似解题；③切线长定理应用：利用切线长相等，转化线段长度，结合角平分线性质求解角度；
4、易错点：切线判定时，遗漏“过半径外端”或“垂直于半径”任一条件；切线性质应用时，未连接切点与圆心，无法构造直角三角形；切线长定理应用时，忽略“该点与圆心的连线平分夹角”这一衍生性质。
1．（2026·重庆·一模）如图，??，??是 ⊙ ?的两条切线，切点分别为?，?，若∠? = 62°，则∠?的度数为
（ ）
A．72°B．48°C．65°D．56°
【答案】D
【分析】根据圆周角定理求出∠???的度数，再根据切线的性质得到∠??? = ∠??? = 90°，最后利用四边形内角和定理求出∠?的度数．
⏜
【详解】解： ∵ ∠?与∠???分别是 ⊙ ?中??所对的圆周角和圆心角，
∴ ∠??? = 2∠? = 2 × 62° = 124°，
∵ ??,??是 ⊙ ?的两条切线，
∴ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90∘，在四边形????中，
∠? = 360°−∠???−∠???−∠??? = 360°−90°−90°−124° = 56°．
2．（2026·河南南阳·一模）如图，在 △ ???中，∠? = 30°，?? = 1，以??为直径的半圆?交??于点?，若
-
??与半圆?相切于点?，则??的长为（ ）
ππππ
A．3B．4C．6D．12
【答案】A
【分析】根据切线的性质得出∠??? = 90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠?，再利用圆周角定理求出∠
???，最后利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接??，
∵??与半圆?相切于点?，??为直径，
∴∠??? = 90°，
∵∠? = 30°，
∴∠? = 90°−∠? = 60°，
∴∠??? = 2∠? = 120°，
∴?? = 1，
1
∴半径?? = 2?? = 2，
1
-
∴??的长为
1
120?×
2
?
1803
= ．
3．（2026·山东青岛·一模）如图，某模具是大半圆内部挖去小半圆而成．为了求该模具的面积，在图中作一条平行于大半圆直径且与小半圆相切的切线，分别交大半圆于 A，B 两点，已知?? = 7cm，则图中阴影部分的面积为cm2．
49
【答案】 8 π
【分析】用大半圆的面积减去小半圆的面积进行求解即可．
【详解】解：作?? ⊥ ??，连接??，则?? = 2?? = 2cm，
设小半圆的圆心为?，作?? ⊥ ??，
∵?? ∥ ??，??与小半圆相切，
∴?? = ??，??为小半圆的半径，
设大半圆的半径为?，小半圆的半径为?，则?? = ?,?? = ?，
1
7
∴??2−??2 = ?2−?2 = ??2 = 49cm2，
4
∴阴影部分的面积为× (?2−?2) = 180π × 49 = 49πcm2．
180π
360
36048
4．（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，C，D，E，F 均在格点上．
线段??的长为；
直线??与△ ???的外接圆相切于点 P，点 M 在??上，满足∠? + ∠??? = 90°．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 M，并简要说明点 M 的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】
10
先作出??的垂直平分线??，并交??于点?，点?即为圆心，连接??并延长交圆
于一点，此点即为点?
【分析】（1）可利用勾股定理计算线段??的长度；
（2）先借助网格特点确定??的垂直平分线；观察图可知?? ⊥ ??，根据切线的性质，得到圆心在??上，则??的垂直平分线与??的交点即为圆心；再结合∠? + ∠??? = 90°的条件，利用圆的相关性质，即可找到符合条件的点 M．
【详解】（1）由网格可知，?、?的水平间距为3，竖直间距为1，
根据勾股定理得： ?? =32 + 12 = 10；
（2）先作出??的垂直平分线??，并交??于点?，点?即为圆心，连接??并延长交圆于一点，此点即为点
?．
5．（2026·江西南昌·一模）如图，在 △ ???中，?? = ??，点 O 在??上，以点 O 为圆心，??为半径画半圆，分别与??，??相交于点 D，E，过点 E 作?? ⊥ ??，垂足为 F．
求证：??是半圆 O 的切线；
4
(2)已知?? = 9，tan? = 3，如图 2，当??与半圆 O 相切于点 G 时．
①求半圆 O 的半径；
②求图中阴影部分的周长．
【答案】(1)见解析
(2)①4；②8 + 2π
【分析】（1）连接??,根据等腰三角形的性质易得到∠??? = ∠?，进而得到?? ∥ ??，根据平行线的性质得到∠??? = ∠???，根据?? ⊥ ??得到∠??? = 90°，从而得出结论；
??
（2）①连接??，根据切线的性质得到△ ???是直角三角形，进而得到tan? = ??，设?? = ?? = 4?，则
?? = 3?，?? = 5?，进而求出?? = 9?，结合?? = ??，列方程求出?的值，从而求出??长；
②连接??，易证明四边形????为正方形，进而得到∠??? = 90°，?? = ??，利用阴影部分的周长等于
?? + ?? + ? ⏜ 求解即可．
??
【详解】（1）证明：如图，连接??，
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠?，
∴ ∠??? = ∠?，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ??是半圆 O 的切线；
（2）解：①如图，连接??，
∵ ??与半圆 O 相切于点 G，
∴ ?? ⊥ ??，
∴△ ???是直角三角形，
??4
∴ tan? = ?? = 3，
设?? = ?? = 4?，则?? = 3?，?? =??2 + ??2 =(3?)2 + (4?)2 = 5?，
∴ ?? = ?? + ?? = 5? + 4? = 9?，
∵ ?? = ?? = 9，
∴ 9? = 9，
∴ ? = 1，
∴ ?? = 4，
即半圆 O 的半径为 4；
②连接??，
∵ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????为矩形，
∵ ?? = ??，
∴ 矩形????为正方形，
∴ ∠??? = 90°，?? = ?? = 4，由①知：半圆 O 的半径为 4，
∴ 阴影部分的周长为：?? + ?? + ? ⏜
??
= 4 + 4 +
90π×4
180 = 8 + 2π．
【点睛】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、正方形的判定与性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，?为 ⊙ ?外一点，?为⊙ ?上一点，??是⊙ ?的直径，?? ∥ ??，且??与⊙ ?相切于点?，连接??和??．
(1)求证：∠??? = ∠???；
求证：??与 ⊙ ?相切；
(3)若∠??? = 60°,?? = 2，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 3 − 3
【分析】（1）连接??，圆周角定理得到∠??? = 90°，根据?? ∥ ??，得到?? ⊥ ??，三线合一，即可得出结论；
2π
（2）证明△ ???≌ △ ???，得到∠??? = 90°，即可；
（2）用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接??，
∵??是⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
∵?? ∥ ??，
∴?? ⊥ ??，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???；
（2）证明：∵??与⊙ ?相切于点?，
∴∠??? = 90°，
由（1）知：∠??? = ∠???，又∵?? = ??,?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
3
360
2π
60π
∴阴影部分的面积 = ?扇形???−?△??? =× 22− 3 =− 3．
11
1
∴?△??? = 2?△??? = 2 × 2 × 2 3 × 2 = 3，
2
∵?? = ??，
1
∴?? = ?? = 2,?? =??2−??2 = 2 3，
∴∠??? = ∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
又∵??为半径，
∴??与 ⊙ ?相切；
（3）解：∵∠??? = 60°,?? = 2，
∴?? = 4,∠??? = 90°−∠??? = 30°，
7．（2026·天津和平·一模）已知??，??分别与 ⊙ ?相切于点?，?，??为⊙ ?半径，连接??．
(1)如图①，延长??与 ⊙ ?相交于点?，若?? ⊥ ??，垂足为点?，∠??? = 66°，求∠???的度数；
(2)如图②，延长??与??相交于点?，若??∥??，?? = 10，?? = 6，求⊙ ?的半径．
【答案】(1)66°
(2)5
【分析】（1）连接??，由垂径定理可得?? = ??，即得∠??? = ∠??? = 66°，得到
∠??? = 180°−∠??? = 114°，又由切线的性质得∠??? = ∠??? = 90°，再根据四边形内角和解答即可求解；
（2）过点?作?? ⊥ ??于?，连接??，由切线长定理可得?? = ?? = 10，即可得?? = ??−?? = 4，进而由矩形的性质得?? = ?? = 4，再利用△ ??? ∽△ ???解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 66°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 114°，
∵??，??分别与 ⊙ ?相切于点?，?，
∴?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 360°
∴∠??? = 360°−114°−90°−90° = 66°；
（2）解：如图，过点?作?? ⊥ ??于?，连接??，
∵??，??分别与 ⊙ ?相切于点?，?，
∴?? = ?? = 10，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵??∥??，?? = 6，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??−?? = 10−6 = 4，
∴?? =??2−??2 = 8，
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 4，
∵∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
??4
∴?? = ??，即10 = 8，
解得?? = 5，
∴ ⊙ ?的半径为5．
【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
考向 03圆与其他知识综合
题型 5 圆与全等、相似综合
1、核心综合形式：圆+三角形（全等、相似），考查线段长度、角的度数、面积计算、证明等，是中考圆综合的基础题型；
2、解题关键：以圆的性质（圆周角定理、切线性质等）为基础，构造全等或相似三角形，转化线段、角关系，进而完成计算或证明；
3、解题思路：①利用圆的性质（如圆周角相等、切线垂直于半径）构造相等的角，为全等、相似判定创造条件；②通过全等证明线段相等、角相等，补充圆综合所需的条件；③通过相似的比例关系，求线段长度、面积比，结合圆的半径、弦长等完成计算；
4、易错点：无法结合圆的性质构造全等、相似三角形；全等、相似的对应关系找错；忽略圆的性质与三角形性质的衔接，导致推理中断。
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P 为⊙ ?外一点，??和??为 ⊙ ?的两条切线，A 和 B 为切点，??为直径，连接??，??．如果∠? = 58°，那么∠???的度数是（ ）
A．20°B．22°C．32°D．36°
【答案】C
【分析】连接??，证明 △ ???≌ △ ???(SSS)得∠??? = ∠???，根据圆周角定理求出
∠??? = 2∠? = 116°，可得∠??? = ∠??? = 2∠??? = 58°，进而可求出∠???的度数．
【详解】解：如图，连接??，
1
∵??和??为 ⊙ ?的两条切线，
∴?? = ??,∠??? = ∠??? = 90°．
∵?? = ??,?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)，
∴∠??? = ∠???．
∵?? = ??，∠? = 58°，
∴∠??? = 2∠? = 116°，
∴∠??? = ∠??? = 2∠??? = 58°，
∴∠??? = 90°−58° = 32°．
1
2．（2026·江苏无锡·一模）如图，点 P 是边长为 1 的正方形????的边??上一动点，连接??，交对角线??于点 E，作△ ???的外接圆 ⊙ ?，交??于点 F．连接??，则∠???的度数为；若?? = 2??，则
?? = ．
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 45°；连接??，
【详解】解：∵四边形????为正方形，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 45°，?? = ?? = ?? = ?? = 1，?? ∥ ??，?? =??2 + ??2 = 2，连接??，
4
，再结合?? = 2??，求出? =，即可得出结果．
2− 2?
3− 5
1−2?
△ ??? ∽△ ???，求出?? =
【分析】由正方形的性质可得∠??? = ∠??? = 45°，再结合圆周角定理即可得出∠???的度数；连接??，
由圆周角定理可得∠??? = 90°，则△ ???为等腰直角三角形，进而可得?? = ??，作?? ⊥ ??于点?，延长??交??于点?，证明四边形????为矩形，得出?? = ??，证明 △ ???≌ △ ???(AAS)，得出
?? = ??，?? = ??，证明 △ ???为等腰直角三角形，得出?? = ?? = ?? = ??，设
?? = ?? = ?? = ?? = ?，则?? = 2?，?? = ?? = 1−?，?? = 1−2?，?? = 2− 2?，再证明
5−1
2
45°
【答案】
∵??为 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴?? = ??，
作?? ⊥ ??于点?，延长??交??于点?，
∵?? ∥ ??，
∴?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????为矩形，
∴?? = ??，
∵∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，?? = ??，
∵∠??? = 45°，?? ⊥ ??，
∴ △ ???为等腰直角三角形，
∴?? = ?? = ?? = ??，
设?? = ?? = ?? = ?? = ?，则?? =??2 + ??2 = 2?，?? = ?? = 1−?，?? = 1−2?，
∴?? = ??−?? = 2− 2?，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠??? = 45°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
??
∴?? = ??，
1
??
∴
2− 2?
= 1−2?，
1−2?
∴?? =
，
2− 2?
∵?? = 2??，
1−2?
∴
2− 2?
= 2 × 2?，
解得：? =
3+ 5
4 （不符合题意，舍去）或? =
3− 5
4 ，
∴?? = 1−2? = 1−2 ×
3− 5
4=
5−1
2 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助
线是解此题的关键．
3．（2026·山东潍坊·一模）如图，四边形????内接于 ⊙ ?，连接??、??，过点 B 向圆外方向作
∠??? = ∠???，点 E 在??的延长线上．
求证：??2 = ?? ⋅ ??；
求证：??为 ⊙ ?的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先由圆周角定理得∠??? = ∠???，结合已知等量代换得∠??? = ∠???，即可证明
????
△ ??? ∽△ ???，则?? = ??，即可得出结论；
（2）连接??，延长??交 ⊙ ?于点 F，连接??，由圆周角定理得∠??? = ∠???，结合已知∠??? = ∠???
得∠??? = ∠???，由??是⊙ ?的直径，得∠??? = 90°，进而推出∠??? + ∠??? = 90°，即∠??? = 90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，∠??? = ∠???，∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
∴?? = ??，
∴??2 = ?? ⋅ ??；
（2）证明：连接??，延长??交 ⊙ ?于点 F，连接??，
??
∵∠???和∠???都是弧??所对的圆周角，
∴∠??? = ∠???， 又∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴??是⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，即∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??，
∴??为 ⊙ ?的切线．
4．（2026·江苏无锡·一模）如图， ⊙ ?中，弦?? ⊥ 直径??于点 E，F 为??上一点，连接??并延长交 ⊙ ?
于点 G，连接??．
(1)求证：∠??? = ∠?；
(2)若?? = 4，F 是??的中点，求??的长．
∵?? = 4，
∴??2 = 32，
∴?? = 4 2（负值舍去）．
2
2
1
∴ ??2 = ?? ，
1
∴?? = 2??，
??
∴?? = ??，
∴?? ⋅ ?? = ??2，
∵F 是??的中点，
【详解】（1）证明：∵在 ⊙ ?中，弦?? ⊥ 直径??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠?；
（2）解：∵在△ ???和△ ???中，∠??? = ∠?，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
??
2
?
2
1
（2）证明△ ??? ∽△ ???，推出?? ⋅ ?? = ??2，再根据已知可得 ?? = ?，即可求解．
2
【答案】(1)见解析
(2)?? = 4 2
【分析】（1）根据垂径定理得到?? = ??，即可证明结论；
5．（2026·河南信阳·一模）如图，??为⊙O 的直径，弦?? ⊥ ??于点 E，?? ⊥ ??于点 F，?? = ??，连接
??、??．
(1)求证： △ ???≌ △ ???；
(2)若?? = 2，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)3π− 3
【分析】（1）根据直径所对圆周角等于90°，已知垂直的条件证明∠??? = ∠???，即可判定
△ ???≌ △ ???；
（2）根据△ ???≌ △ ???可得?? = ??，进而可得△ ???为等边三角形，由此得出阴影部分所在扇形
???的圆心角等于60°，再根据阴影部分的面积等于扇形???减去 △ ???计算即可．
【详解】（1）证明：∵??是⊙O 的直径，
∴∠??? = 90°．
∴∠? + ∠? = 90°．
∵?? = ??，
∴∠? = ∠???．
∴∠??? + ∠? = 90°．
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°．
∴∠??? + ∠? = 90°．
∴∠??? = ∠???
在△ ???与 △ ???中
∠??? = ∠???
∠??? = ∠???
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)．
（2）解：由（1）知△ ???≌ △ ???，
∴?? = ??．
∵?? = ??，
∴?? = ?? = ??， △ ???为等边三角形．
∴∠??? = 60°，?? = ?? = ?? = 2 = ??．
2
∴?? = ?? = 1，?? = 3
3
2
360
2
1
60
=π ⋅ 22− × 2 × 3 = π− 3．
△???
−?
扇形???
阴影
∴?= ?
6．（2026·四川巴中·一模）已知：如图， ⊙ ?的直径??垂直于弦??，过点?的切线与直径??的延长线相交于点?，连接??．
求证：??是 ⊙ ?的切线．
判断线段??、??、??之间的数量关系，并加以证明．
1
(3)若?? = 6，tan∠??? = 2，求⊙ ?的半径的长．
【答案】(1)见解析
??2 = ?? ⋅ ??，证明见解析
9
【分析】（1）连接??,??，由垂径定理可得直线??垂直平分??，进而得到?? = ??，由等边对等角得到
∠??? = ∠???,∠??? = ∠???，再由切线的性质得到∠??? = 90°，即可证明结论；
（2）由圆周角定理得到∠??? = 90°，再利用同角的余角相等得到∠??? = ∠???，加上∠? = ∠???则
????
∠? = ∠???，进而证明 △ ??? ∽△ ???可得?? = ??，再整理即可解答；
（3）设??,??交点为?，由垂径定理可得∠??? = ∠??? = 90°，进而得到∠? = ∠???；由tan∠??? = 2
可得?? = 2；再根据△ ??? ∽△ ???可得?? = ?? = ?? = 2则?? = 6、?? = 12，进而得到?? = 9即可解答．
1
??1
??
????
1
【详解】（1）证明：连接??,??，
∵ ⊙ ?的直径??垂直于弦??，
∴直线??垂直平分??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，即∠??? = ∠???，
∵??是⊙ ?的切线，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∵??是 ⊙ ?的半径，
∴??是 ⊙ ?的切线；
（2）解：??2 = ??·??，证明如下：
∵ ??是 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠???，
∴ ∠? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
∴ ??2 = ?? ⋅ ??．
解：如图，设??,??交点为?，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠? = ∠???，
1
∵ tan∠??? = 2，
??1
∴ tan? = ?? = 2，
∵△ ??? ∽△ ???，
??????1
∴ ?? = ?? = ?? = 2，
∵ ?? = 6，
∴ ?? = 12，
∴?? = 24，
∴ ?? = 24−6 = 18．
∴⊙ ?的半径的长为9．
题型 6 圆与四边形综合
1、核心综合形式：圆+一次函数/二次函数+动点，考查动点运动过程中圆的位置变化、切线判定、线段最值、点的坐标等，是中考几何压轴题的高频形式；
2、解题关键：数形结合，将圆的性质、函数解析式、动点运动规律结合，用代数方法解决几何问题；抓住动点的运动轨迹，分情况讨论（如动点在直线、抛物线上运动的情况）；
3、解题思路：①建立平面直角坐标系，确定圆心、圆上关键点的坐标，写出圆的解析式；②结合动点运动规律，用含参数的式子表示动点坐标；③利用圆的性质（如切线判定、圆心到直线的距离）、函数解析式，建立与参数相关的等式，求解未知量；④分情况讨论，确定符合条件的参数取值范围，求最值或特殊点坐标；
4、易错点：动点运动情况考虑不全面，遗漏分类讨论；无法用参数表示动点坐标或圆的解析式；忽略函数自变量与圆的半径、圆心距的取值限制，导致结果不合理。
1．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为 5 的⊙ ?与??,??都相切，且经过矩形
????的顶点 D，与??相交于点 E．点 A 的坐标是(−5,3)，则点 E 的坐标是．
【答案】(4,−3)
【分析】连接??、??，利用切线的性质和勾股定理求出??，??，即可求出答案．
【详解】解：连接??、??，
∵半径为 5 的⊙ ?与??,??都相切，
∴?? ⊥ ?轴．
设??交 x 轴于点 M，??交 x 轴于点 N，
∵点 A 的坐标是(−5,3)，
∴?? = 3 = ??，?? = ?? = 5，
在Rt △ ???中，?? =??2−??2 = 4．在Rt △ ???中，?? = 5，?? = 4，
∴?? =??2−??2 = 3．
∴?(4,−3)．
2．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，四边形????内接于 ⊙ ?，四边形????是平行四边形，则∠???的度数为．
【答案】60°/60 度
【分析】根据平行线的性质得出?? = ??，证明 △ ???、 △ ???为等边三角形，得出∠??? = 60°，
∠??? = 60°，求出∠??? = 120°，根据圆周角定理求出∠??? = 2∠??? = 60°．
【详解】解：∵四边形????是平行四边形，
∴?? = ??，
∵?? = ?? = ??，
∴?? = ?? = ??，
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60°，
同理可得： △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60°，
∴∠??? = 60° + 60° = 120°，
1
∴∠??? = 2∠??? = 60°．
1
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，四边形????是平行四边形．以边??为直径作 ⊙ ?，??恰好为 ⊙ ?的切线，其中点?为切点．点?是??下方⊙ ?上的点，连接??、??．
(1)求∠?的度数；
4
(2)若?? = 8，sin∠??? = 5，求??的长．
【答案】(1)45°
(2)?? = 5 2
【分析】（1）连接??，由切线的性质可得∠??? = 90°，由平行四边形的性质可得?? ∥ ??，由平行线的性质可得∠??? = ∠??? = 90°，最后再由圆周角定理计算即可得出结果；
（2）作?? ⊥ ??于点?，解直角三角形可得?? = 4 2，最后再由正弦的定义计算即可得出结果．
【详解】（1）解：如图，连接??，
，
∵??为 ⊙ ?的切线，
∴∠??? = 90°，
∵四边形????为平行四边形，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴∠? = 2∠??? = 45°；
（2）解：如图，作?? ⊥ ??于点?，
1
，
由（1）可得∠? = 45°，
∴?? = ?? ⋅ sin45° = 4 2，
4
∵sin∠??? = 5，
4
∴?? = 5，
∴?? = 5 2．
??
4．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知四边形????内接于 ⊙ ?，??为⊙ ?的直径．N 是??延长线上一点，连接??、??．
如图①，若??交 ⊙ ?于点 M，?? = ??，∠??? = 120°，∠??? = 20°，求∠?的度数；
⏜⏜
如图②，若??与 ⊙ ?相切于点 D，延长??交??于点 P，?? = ??，?? = 26，?? = 12，求??的长
度．
【答案】(1)40°
(2) 5
104
【分析】（1）先由∠??? + ∠??? = 180°求出∠??? = ∠??? = 60°，再由圆周角定理得到
∠??? = ∠??? = 20°，最后根据三角形的外角性质求解即可；
（2）连接??,??,??，??与??交于点?，根据圆周角定理，圆的切线的性质以及垂径定理的推论先证明四
边形????是矩形，则?? = ?? = ?? = 12，?? ∥ ??，由勾股定理可得?? =??2−??2 = 5，再由sin
? = sin∠1求解即可．
【详解】（1）解：连接??，
∵四边形????是 ⊙ ?的内接四边形，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∵∠??? = 120°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠??? = 60°，
∵?? = ??，
⏜⏜
∴?? = ??
∴∠??? = ∠??? = 20°，
∴∠? = ∠???−∠??? = 60°−20° = 40°；
（2）解：连接??,??,??，??与??交于点?，
∵??与 ⊙ ?相切于点 D，
∴?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°
∵??为⊙ ?的直径
∴∠??? = ∠??? = 90°，
⏜⏜
∵?? = ??，??是半径，
∴?? ⊥ ??,?? = ??
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = ?? = 12，?? ∥ ??
∵?? = 26，
∴?? = ?? = 13
∴?? =??2−??2 = 5
∵?? ∥ ??
∴∠1 = ∠?
∴sin? = sin∠1
????
∴?? = ??
135
∴?? = 13
169
∴?? = 5 ，
169
104
∴?? = ??−?? =
5 −13 = 5 ．
5．（2026·广西南宁·一模）综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题：
在矩形????中，?? = 6，?? = 9，点?是边??上一动点，连接??，作 △ ???关于直线??对称的
△ ???，点?的对称点为点?．
如图 1，当点?落在边??上时，求证：四边形????是矩形；
如图 2，当?? = 8时，??交??于点?，以??为直径作⊙ ?经过点?．
①求??的长；
②求证：??是 ⊙ ?的切线；
当点?落在∠???的三等分线上时，请直接写出??的长．
【答案】(1)见解析
25
(2)①?? = 4 ，②见解析
(3)2 3或12−6 3
【分析】（1）根据 △ ???, △ ???关于直线??对称得出△ ???≌ △ ???则∠? = ∠??? = 90°，则
∠??? = 90°，即可证明四边形????是矩形；
（2）①先证明?? = ??，设?? = ?，则?? = ?，?? = 8−? ，在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2，勾股定理求得?? = 4
②过圆心?作直线?? ⊥ ??于点?，交??于点?，先证明四边形????是矩形，??是 △ ???的中位线，得出?? = 5，即可证明??为半径，进而证明??是 ⊙ ?的切线；
（3）分两种情况讨论，∠??? = 30°，∠??? = 30°，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形????是矩形
∴ ∠? = ∠? = ∠? = 90°
∵△ ???, △ ???关于直线??对称
∴△ ???≌ △ ???
∴ ∠? = ∠??? = 90°
∴ ∠??? = 90°
∴ ∠??? = ∠? = ∠? = 90°
∴ 四边形????是矩形；
（2）解：①由（1）知， △ ???≌ △ ???
∴∠? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠???，?? = ?? = 8，?? = ?? = 6
∵四边形????是矩形
∴?? ∥ ??
25
∴∠??? = ∠???
∴∠??? = ∠???
∴?? = ??
设?? = ?，则?? = ?，?? = 8−?
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2
∴?2 = 62 + (8−?)2
解得：? =
2525
4 ，即?? = 4 ；
②如图，过圆心?作直线?? ⊥ ??于点?，交??于点?
∴∠??? = ∠? = ∠? = 90°
∴四边形????是矩形
∴?? = ?? = 9，?? ⊥ ??
∴?? = ??
又∵?是??的中点
∴??是 △ ???的中位线
1
∴?? = 2?? = 4
∴?? = ??−?? = 9−4 = 5
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =82 + 62 = 10
1
∴?? = 2??，即??为 ⊙ ?的半径
又∵?? ⊥ ??
∴??是 ⊙ ?的切线；
（3）解：如图所示，当∠??? = 30°时，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 90°−30° = 60°
∵△ ???, △ ???关于直线??对称
∴∠??? = ∠??? = 30°
∵?? = 6
∴?? = ?? ⋅ tan∠??? = 6 × 3 = 2 3；
如图所示，当∠??? = 30°时，延长??交??于点?，
3
∵△ ???, △ ???关于直线??对称
∴ ∠? = ∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 15°，?? = ??
∴∠??? = ∠??? = 75°
∴∠??? = 30°
设?? = ?，则?? = ?，
∴?? = ?? ⋅ tan∠??? = 3 ?
3
∴?? = ?? + ?? = 6 + 3 ?
又∵∠??? = ∠??? = 30°
3
∴?? = cs∠??? = 3 = 4 3
2
??6
∴6 + 3 ? = 4 3
解得：? = 12−6 3，即?? = 12−6 3
3
综上所述，当点?落在∠???的三等分线上时，?? = 2 3或?? = 12−6 3．
6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形????的边长为12cm，∠? = 60°，点?、?分别在边??、??上，且
?? = 3cm，?? = 4cm，点?从点?出发，沿折线??→??以1cm/s的速度向点?匀速运动(不与点?重合)，
△ ???的外接圆⊙ ?交边??于点?，连接??、??．设点?运动时间为?s．
当点?在边??．上运动时，证明：?? ∥ ??；
当点?在边??上运动时，试判断 △ ???的形状，并说明理由；
在运动过程中，若点?在 ⊙ ?内部，求?的取值范围．
【答案】(1)见解析
△ ???是等边三角形，理由见解析
0 ≤ ? < 1或17 < ? < 21
【分析】（1）易知 △ ???和 △ ???都是等边三角形，利用同弧所对的圆周角相等，得到
∠??? = ∠??? = 60° = ∠?，从而得到?? ∥ ??，继而得到?? ∥ ??；
（2）利用AAS证明 △ ???≌ △ ???得到∠??? = ∠???,?? = ??，继而得到∠??? = ∠??? = 60°，故
△ ???是等边三角形；
（3）画出当点 E 和点 N 重合时的图形，设△ ???的外接圆与??、??分别交于点?1、?2，则当点 P 在线段??1上(含端点 M，不含端点?1)或线段??2上(不含端点)时，点 N 在⊙ ?内部，分别利用（1）（2）的结论求出点?1、?2的位置，即??1和??2的长度，结合图形即可得解．
【详解】（1）解：证明：在菱形????中，?? = ?? = ?? = ??，∠? = ∠? = 60°，?? ∥ ??，
∴ △ ???和 △ ???都是等边三角形，
∴?? = ?? = ?? = ?? = ?? = 12cm，∠? = ∠??? = ∠??? = 60°，
∵ △ ???的外接圆⊙ ?交边??于点?，
∴∠??? = ∠??? = 60° = ∠?，
∴?? ∥ ??，
∴?? ∥ ??；
△ ???是等边三角形，理由如下：
∵四边形????是⊙ ?的内接四边形，
∴∠??? + ∠??? = 180°， 又∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???，
又由（1）得：?? = ??，∠? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴∠??? = ∠???,?? = ??，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴∠??? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形；
当点 E 和点 N 重合时，设△ ???的外接圆与??、??分别交于点?1、?2，
则当点 P 在线段??1上(含端点 M，不含端点?1)或线段??2上(不含端点)时，点 N 在⊙ ?内部，
①由（1）的?1? ∥ ??，
又∵?? ∥ ??，
∴四边形?1???是平行四边形，
∴??1 = ?? = ?? = 4cm，又∵?? = 3cm，
∴??1 = ??1−?? = 1cm，
∵点?从点?出发，沿折线??→??以1cm/s的速度向点?匀速运动(不与点?重合)，
∴当? = 1时，点 P 与点?1重合，
∴当0 ≤ ? < 1时，点?在⊙ ?内部，此时点 P 在线段??1上(含端点 M，不含端点?1)；
②由（2）得△ ???2≌ △ ???，
∴??2 = ?? = ??−?? = ??−?? = 8cm，
∴当? =
??−??+??2
1
=
12−3+8
1
= 17时，点 P 与点?2重合，
又∵当? =
??−??+??
1
=
12−3+12
1
= 21时，点 P 与点?重合，
∴当17 < ? < 21时，点?在⊙ ?内部，此时点 P 在线段??2上(不含端点)；
综上所述：当0 ≤ ? < 1或17 < ? < 21时，点?在⊙ ?内部．
题型 7 圆与函数、动点综合
1、核心综合形式：圆+一次函数/二次函数+动点，考查动点运动过程中圆的位置变化、切线判定、线段最值、点的坐标等，是中考几何压轴题的高频形式；
2、解题关键：数形结合，将圆的性质、函数解析式、动点运动规律结合，用代数方法解决几何问题；抓住动点的运动轨迹，分情况讨论（如动点在直线、抛物线上运动的情况）；
3、解题思路：①建立平面直角坐标系，确定圆心、圆上关键点的坐标，写出圆的解析式；②结合动点运动规律，用含参数的式子表示动点坐标；③利用圆的性质（如切线判定、圆心到直线的距离）、函数解析式，建立与参数相关的等式，求解未知量；④分情况讨论，确定符合条件的参数取值范围，求最值或特殊点坐标；
4、易错点：动点运动情况考虑不全面，遗漏分类讨论；无法用参数表示动点坐标或圆的解析式；忽略函数自变量与圆的半径、圆心距的取值限制，导致结果不合理。
1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线? = −1?2 +? + 3的图象与坐标轴交于点 A，B，D，顶点为
22
E，以??为直径画半圆交 y 轴负半轴交于点 C，圆心为 M，P 是半圆上的一动点，连接??．
①点 E 在⊙ ?的内部；
3
②??的长为 3−2；
③若 P 与 C 重合，则∠??? = 15°；
④在 P 的运动过程中，若?? = 2 3，则?? =
2
+ 6；
⑤N 是??的中点，当 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 N 运动的路径长是?．
则正确的选项为（ ）
A．①②④B．②③④C．②③⑤D．③④⑤
解得：? = −1或? = 3．
∴?(−1,0),?(3,0)．
∴?? = 1,?? = 3，?(1,0)．
∴?? = 4．
∴ ⊙ ?的半径为 2．
①?(1,0)，?(1,2)，
∴?? = 2, ⊙ ?的半径为 2，
∴E 点在⊙ ?上．故①不正确；
②连接??，则?? = 2，如图：
2
2
3
1
令? = 0，则− ?2 +? + = 0．
3
∴顶点?(1,2)．
∴?? = 1,?? = 2．
3
令? = 0，则? = 2．
∴?(0,2)．
3
∴?? = 2．
1
2
= − (?−1)2 +2，
3
2
1
2
【详解】解：∵? = − ?2 +? +
1
∠??? = 2∠??? = 15°，结论可得；④连接??,??，过点 A 作?? ⊥ ??于 K，利用圆周角定理和锐角三角
函数求得??,??,??，则?? = ?? + ??，结论可得；⑤连接??，则?? ⊥ ??，可得点 N 的运动轨迹，根据圆的周长公式，可得点 N 运动的路径长．
【答案】D
3
【分析】①?? = 2 = ??，可知点 E 在⊙ ?上，答案可求；②由题意，?? = 2，利用勾股定理??可求，
故?? = ?? + ??，结论可得；③由锐角三角函数可求∠??? = 30°，利用平行线和等腰三角形的性质可求
1
在?? △ ???中，sin∠??? = 2，
∴∠??? = 30°．
∴?? = ?? × cs30° = 3，
3
∴ ?? = ?? + ?? = 3 + 2．故②不正确；
③连接??,??,??，如图：
由②知：∠??? = 30°．
∵??∥??，
∴∠??? = ∠???，
∵ ?? = ?? = 2，
∴ ∠??? = ∠???，
1
∴ ∠??? = ∠??? = 2∠??? = 15°．
∵P 与 C 重合，
∴∠??? = ∠??? = 15°．故③正确；
④如图，连接??,??,??，过点 A 作?? ⊥ ??于 K，
∵?? = 2，
∴E 点在⊙ ?上．
∴∠??? = ∠???．
∵??是圆的直径，
∴∠??? = 90°．
??2 33
∴sin∠??? = ?? = 4 = 2 ．
∴∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 60°．
∵?? =??2 + ??2 = 2 2，
1
∴?? = ??·cs∠??? = 2 2 × 2 = 2．
3
?? = ??·sin∠??? = 2 2 × 2 = 6．
∵∠??? = 90°，
1
∴ ∠??? = 2∠??? = 45°．
∴ △ ???为等腰直角三角形．
∴?? = ?? = 6．
∴?? = ?? + ?? = 2 + 6．故④正确；
⑤如图，连接??,??，设??,??的中点分别为 G，F，连接??交??于点 R．
∵G，F 为??,??的中点，
∴??为△ ???的中位线．
∴?? = 2?? = 2．
连接??，
∵N 为??的中点，M 为圆心，
∴?? ⊥ ??．
∴点 N 的运动轨迹为以??为直径的半圆．
即点 N 的运动轨迹是以点 G，F 为端点的半圆．
1
∴点 N 运动的路径长是2 × 2? × 1 = ?．故⑤正确；
综上，正确的选项为③④⑤．
1
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，半圆?的半径为 2．半圆?1,?2经过点?，且分别与圆?切于点?,?，点
?,?，?都是圆弧上的点．动点?从点?出发沿着圆弧，依次经过点?,?,?,?,?，最后回到点?．在运动过程中，点?运动的路程为?，∠???的度数为?，则?关于?的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由题意可得?? = ?? = 2，?1? = ?2? = 2 × 2 = 1，??? = ? × 2 = 2?，??? = ???
= ? × 1 = ?，然后分三种情况：点?分别在⊙ ?2， ⊙ ?， ⊙ ?1上，即可求解．
【详解】解：∵半圆?的半径为 2，半圆?1,?2经过点?，且分别与圆?切于点?,?，
1
∴?? = ?? = 2，?1? = ?2? = 2 × 2 = 1，
∴??? = ? × 2 = 2?，??? = ??? = ? × 1 = ?，
如图，当点?在⊙ ?2上时，连接?2?，
1
∵∠??? = ?，??2 = ?2?，
∴∠???2 = ∠???2，
∴∠??2? = ∠???2 +∠???2 = 2∠???2 = 2?，由题意得，?? = ?，则??? = ?−?，
2?⋅?⋅1
∴ 180° = ?−?，
90°
∴? = − ? ? + 90°，
∴当? = 0时，点?与点?重合，
∴0 < ? ≤ ?，
当? = ?时，? = 0°，
90°
∵− ? < 0，
∴?随?的增大而减小；
如图，当点?在⊙ ?上时，连接??，则∠??? = ?，
∵?? = ?−??? = ?−?，
?⋅?⋅2
∴ 180° = ?−?，
?
∴? = 90°?−90°(? < ? ≤ 3?)，
∴当? = ?时，? = 0°，当? = 3?时，? = 180°，
90°
∵ ? > 0，
∴?随?的增大而增大；
如图，当点?在⊙ ?1上时，连接??，??，?1?，
∵∠??? = ?，
∴∠??? = 180°−?，
∴∠??1? = 2∠??? = 2(180°−?) = 360°−2?，
∵?? = ?−???−??? = ?−3?，
∴
(360°−2?)⋅?⋅1
180°
= ?−3?，
∴? = − ? ? + 450°，
∴当? = 3?时，? = 180°；
当? = 4?时，点?与点?重合，
∴3? < ? < 4?，
90°
∵− ? < 0，
∴?随?的增大而减小；
90°
综上所述，当0 < ? ≤ ?时，? = − ? ? + 90°，当? < ? ≤ 3?时，? = ? ?−90°，当3? < ? < 4?时，? = −
? ? + 450°．
90°
90°
90°
3．（2026·浙江衢州·一模）如图， ⊙ ?的周长为 4 厘米，??为 ⊙ ?的直径．动点?从点?出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为 1 厘米/秒，点?出发 1 秒后，动点?也从?点出发，以?厘．米．/．秒．的速度在圆
周上按顺时针方向作匀速运动，设动点?运动?秒时，点?，?与点?间的劣弧（或半圆）长分别记为?1，
?2，则?1，?2关于?的函数图象如图 2 所示．
试确定动点?的速度?．
5
当2 ≤ ? ≤ 4时，求?1关于?的一次函数表达式，并求出当? = 2时，?1的值．
若图 2 中的点?为两个函数图象的交点，求点?的坐标，并求此时点?，点?间的劣弧长．
4
【答案】(1)? = 3厘米/秒
(2)?1 = −? + 4(2 ≤ ? ≤ 4)，当? = 2秒时，?1 = 2
5
3
4
(3)点?，点?间的劣弧长为7厘米
【分析】本题主要考查一次函数的运用，
根据图 2 可知，当? = 2.5秒时，?2 = 2厘米，由此即可求解；
5
根据图 2 信息，运用待定系数法得到函数解析式，令? = 2代入函数解析式即可求解；
运用待定系数法得到?2的解析式，联立方程组求解得到点 C 的坐标，结合点 C 得到点?，点?间的劣弧长．
【详解】（1）解：点?与点?间的劣弧（或半圆）长分别记为?2，根据图 2 可知，当? = 2.5秒时，?2 = 2厘米，
4
∴? = 2 ÷ (2.5−1) = 3厘米/秒；
（2）解：当? = 2秒时，?1 = 2厘米，当? = 4秒时，?1 = 0厘米，
∴设?1 = ?? + ?(? ≠ 0,2 ≤ ? ≤ 4)，
2? + ? = 2
∴ 4? + ? = 0 ，
? = −1
解得， ? = 4 ，
∴?1 = −? + 4(2 ≤ ? ≤ 4)，
553
当? = 秒时，?；
21 = −2 +4 = 2
（3）解：设?2 = ?? + ?(? ≠ 0,1 ≤ ? ≤ 2.5)，
由图 2 可知，当? = 1秒时，?2 = 0厘米，当? = 2.5秒时，?2 = 2厘米，
? + ? = 0
∴ 2.5? + ? = 2 ，
? = 4
3
解得，
? = − 4 ，
3
∴?
44(1 ≤ ? ≤ 2.5)
2 = 3?−3
，
? = −? + 4
∴当2 ≤ ? ≤ 2.5时，联立方程组得
? = 4 ?− 4 ，
解得，
33
7
? = 16
? = 12 ， 7
16 12
∴? 7 , 7 ，
16
1616
当? = 7 秒时，点?从点 A 顺时针旋转到点 B 下方，路程为 7 × 1 = 7 （厘米），此时点 P 距点 A 的距离为
1612
4− 7 = 7 （厘米），
12
点?从点 A 顺时针旋转到直径??上方，路程为 7 厘米，
16 124
∴此时点?，点?间的劣弧长为 7 − 7 = 7（厘米）．
题型 8 圆的实际应用
1、常见应用场景：车轮滚动、拱桥模型、管道截面、视角问题、测量问题（如测量圆的半径、物体高度）等，核心是将实际问题转化为圆的几何问题；
2、解题技巧：①提取实际问题中的圆的模型（如拱桥为圆弧，车轮为圆），确定已知条件（如弦长、拱高、半径等）；②转化为圆的几何问题，利用垂径定理、圆周角定理、切线性质等求解；③结合实际意义，对结果进行取舍（如半径、长度不能为负）；
3、易错点：无法将实际问题转化为圆的几何模型；忽略实际场景中的隐含条件（如拱高是弦心距与半径的差）；计算后未结合实际意义验证结果合理性。
1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）合肥逍遥津公园的“庐州之眼”摩天轮是城市地标之一，如图所示，该摩天轮的高度为95m（即最高点离地面平台??的距离），圆心?到??的距离为50m，摩天轮匀速旋转一圈用时16 min．某轿厢从点?出发，6min后到达点?，此过程中，该轿厢所经过的路径（即??）长度为（ ）
135
135
135
135
A． 16 ?mB． 8 ?mC． 4 ?mD． 2 ?m
【答案】C
【分析】先求出摩天轮半径，再求出∠??? = 135°，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：∵该摩天轮高95m（即最高点离地面平台??的距离），圆心?到??的距离为50m，
∴摩天轮的半径为95−50 = 45(m)，
∵摩天轮匀速旋转一圈用时16min，轿厢从点 A 出发，6min后到达点 B，
∴∠??? = 16 × 360° = 135°，
∴该轿厢所经过的路径长度为：
6
135?×45
180
=
135
4 π(m)．
2．（2026·河南南阳·一模）如图， ⊙ ?是地球示意图，其中??表示赤道，??、??分别表示北回归线和南回归线，∠??? = 23.5°．点?表示邓州市某地的位置，纬度大约是北纬32.5°（∠??? = 32.5°）．冬至日正午时，太阳光线??所在直线经过地心?，此时点?处的太阳高度角∠???（即平行于??的光线??与 ⊙ ?的切线??所成的锐角）的大小为（ ）
A．34°B．34.5°C．35°D．36°
【答案】A
【分析】根据??是 ⊙ ?的切线，得出∠??? = 90°，则∠??? + ∠??? = 90°，然后通过角度和差求得
∠??? = 56°，所以∠??? = 34°，再由平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵??是 ⊙ ?的切线，
∴?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∵∠??? = 23.5°，∠??? = 32.5°，
∴∠??? = 56°，
∴∠??? = 34°，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 34°．
3．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为?轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为?1 ，?2．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为32cm ，锅深为16cm，锅盖高为8cm．
【建立模型】
请求出抛物线 ?2的解析式；
求出圆弧 ?1所在圆的半径；
【应用模型】
将一个底面直径为 24cm，高度为10cm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】(1)? =(?−16)2−16 (0 ≤ ? ≤ 32)
1
16
圆弧 ?1所在圆的半径为20cm
锅盖能正常盖上
【分析】（1）根据题意可知，抛物线?2的顶点坐标为(16,−16)，且过点?(32,0)，使用待定系数法求抛物线
的解析式即可；
（2）设圆弧??的中点为点?，所在圆的圆心为点?，连接??交??于点?，连接??，由题意可知，
1
?? = 32，?? = 8，则?? = ??−8，由垂径定理可得，?? ⊥ ??，?? = 2?? = 16，在Rt △ ???中，使
用勾股定理构造方程，解出圆?的半径；
（3）作组合图形的内接矩形????，且?? = ?? = 24，?? ∥ ?轴，设??交??于点?，连接??，根据垂径定理和勾股定理容易计算出?? = 16，则点?(16,4)，点?(4,4)．将? = 4代入抛物线解析式求出点? (4,−7)，因此?? = 11，由?? > 10可判断锅盖能盖上．
【详解】（1）解：根据题意，点?的坐标为(32,0)，抛物线?2的顶点坐标为(16,−16)，设抛物线?2的解析式为? = ?(?−16)2−16，
将?(32,0)代入，得，
0 = 256?−16，
1
解得? = 16，
?2(0 ≤ ? ≤ 32)
1
∴抛物线 的解析式为? =(?−16) −16；
216
（2）解：如图，设圆弧??的中点为点?，所在圆的圆心为点?，连接??交??于点?，连接??，设圆?的半径为?cm，
由题意可知，?? = 32，?? = 8，
∴?? = ??−?? = ?−8，
∵点?为圆弧??的中点，
∴?? ⊥ ??，
1
∴?? = ?? = 2?? = 16，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴162 + (?−8)2 = ?2，解得? = 20，
∴圆弧 ?1所在圆的半径为20cm；
（3）解：如图，矩形????是组合图形的内接矩形，且?? = ?? = 24，?? ∥ ?轴，设??交??于点?，连接??，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线? = 16对称，
∴结合图形可知，当矩形????关于直线? = 16对称时，??最大，
∵点?为圆弧??的中点，
∴?? ⊥ ??，
∴?? = 2?? = 12，
由（2）可知，?? = 20，?? = 8，
1
在Rt △ ???中，?? =??2 + ??2 =202−122 = 16，
∴?? = ??−?? = 4，
∴?? = ??−?? = 4，
∴点?的坐标为(16,4)，
∵?? ∥ ?轴，?? = 12，
∴点?的坐标为(4,4)，
1
将? = 4代入? =(?−16)2−16，得? = −7，
16
∴点?的坐标为(4,−7)，
∴?? = 4−(−7) = 11，
∵11 > 10，
∴锅盖能正常盖上．
4．（2026·山东青岛·一模）问题提出：测量如图 1 所示的圆口水杯的杯口直径．
测量工具：一
块三角板(Rt △ ???)、一把刻度尺和一张宽度为 2cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计）．
测量方法：
甲组的测量方法：如图 2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点 A，B 分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为 C，D，利用刻度尺测得??的长．
乙组的测量方法：如图 3，将三角板按照如图所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点 C 靠在杯口上，直角的两边??、??与杯口的交点分别为 E，F，利用刻度尺测得??的长为 10cm．
问题解决：
甲组同学认为，他所测量的??的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：；
根据乙组的测量方法可知，该水杯的杯口直径为cm．
交流讨论：
丙组的测量方法：如图 4，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为 E，另一边与杯口相交于 F，G 两点，利用刻度尺测得??的长为 8cm．请根据丙组的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径．
方法反思：
丁组提出是否可以用下面的方法测量，老师说测量方法能行，你能说出其中的理由吗？
如图 5，将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为 M，将三角板直角边 CA 落在刻度尺有刻度的一边 上，另一条直角边??与杯口相切，切点为 N，利用刻度尺测得??的长即可算出杯口直径．若丁组的操作和测得数据都是正确的，已知图 5 中??的长为 5cm，请求出杯口的直径．
【答案】(1)90°的圆周角所对的弦是圆的直径（或直径所对的圆周角是直角）；
(2)10；
10cm；
理由见解析，杯口直径为10cm．
【分析】本题主要考查了圆的相关性质（直径所对的圆周角是直角、90°的圆周角所对的弦是直径、垂径定理、切线的性质）、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．
利用直径所对圆周角为直角的性质判断；
由90°圆周角所对弦为直径直接求解；
作辅助线，利用垂径定理和勾股定理列方程求解；
作辅助线，利用切线性质、矩形判定求解．
【详解】（1）解：甲组将硬纸板顶点?、?靠在杯口（圆上），且∠??? = 90°（矩形硬纸板的直角），根据 90°的圆周角所对的弦是圆的直径，
因此??为杯口（圆）的直径；
故答案为：90°的圆周角所对的弦是圆的直径（或直径所对的圆周角是直角）；
（2）乙组中，三角板直角顶点?在圆上，∠? = 90°，根据90°的圆周角所对的弦是圆的直径，
因此??为圆的直径，
已知?? = 10cm，故杯口直径为10cm．故答案为：10；
（3）设杯口所在圆的圆心为?，半径为?，连接??，??，交??于点?，
由切线性质以及??为矩形硬纸板的边，可得?? ⊥ ??，
∵ ??的长为 8cm，
∴ ?? = 2?? = 4cm，
∵ ?? = 2cm（硬纸板宽度），
∴ ?? = (?−2)cm，
在Rt △ ???中，由勾股定理：
??2 = ??2 +??2即?2 = (?−2)2 + 42，解得：? = 5，
因此杯口直径为2? = 10cm；
（4）理由如下：
设圆的圆心为?，连接??、??，
1
由切线性质可得：?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
又∠? = 90°，
∴ 四边形????为矩形，
∴ ?? = ?? = ?，已知?? = 5cm，
因此? = 5cm，杯口直径为2? = 10cm．
1．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题：
问题提出
如图 1，在直角△ ???中，∠? = 30°， ⊙ ?是△ ???的内切圆，若 ⊙ ?的半径是 1，则△ ???的斜边长为 ．
问题解决
小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图 2 所示的四边形原石????进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在∠?附近区域，所以玉镯要尽可能贴着??边和??边，观察到??和??的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过??边和??边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的△ ???（点 A 在??上，点 C 在??上），应使得??尽可能短，同时
△ ???的周长和面积尽可能的小．经过测量，∠? = 60∘，?? = 156mm，?? = 175mm．根据顾客的需
求，手镯的内圈直径为56mm，外圈直径为70mm，即小圆 ⊙ ?的直径为56mm，大圆 ⊙ ?的直径为70mm
．
请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在??和??上的点 A 和点 C 使得覆盖大圆⊙ ?的△ ???周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出△ ???的周长及面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2 3 +2
(2)存在，210 3mm，3675 3mm2
【分析】（1）利用直角三角形内切圆半径公式即可得解；
（2）参照（1）中思路可得?△??? = ?? + ?? + ?? = 70 3 +2??，所以要使△ ???的周长最小，则求??
最小值即可，由?? = 35，∠??? = 120°识别定角定高模型，进而作 △ ???的外接圆求解即可．
【详解】（1）解：如图，内切圆圆心为 O，过 O 分别作??、??、??的垂线段，垂足分别为 D、E、F，连接??、??、??，则?? = ?? = ?? = ?，
∵ ∠? = 30∘，
∴ 设?? = ?，则?? = 2?，?? = 3?，由内切圆可得，?? = ?? = ?，
∴ ?? = ?? = ??−?，?? = ?? = ??−?，
∴ ?? = ?? + ?? = ?? + ??−2?，
∴ ? =
??+??−??
2
=
3?−?
2
= 1，
解得? = 3 +1，
∴ ?? = 2? = 2 3 +2，即斜边长为2 3 +2，故答案为：2 3 +2；
解：由题意可知大⊙ ?与△ ???相切，如图，过 O 作??、??、??的垂线段，垂足分别为 M、N、
P，连接??、??、??，
∵ 大⊙ ?的直径为70mm，
∴ ?? = ?? = ?? = 35mm，
∵ ∠? = 60°，
∴ ∠??? = ∠??? = 30∘，∠??? = 90∘
∴ ?? = ?? = 35 3mm，
∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?△??? = ?? + ?? + ??
= ?? + ?? + ?? + ?? + ??
= ?? + ?? + ?? + ?? + ??
= 70 3 +2??，
1
+ 2∠? =
120∘，
∴ 要使△ ???的周长最小，则求??最小值即可，
如图，作△ ???的外接圆 ⊙ ?，连接??，过 Q 作?? ⊥ ??于点 H，
∵ ∠??? = 120∘，
∴ ∠??? = 120∘，
1
设?? = ?? = ?? = ?，则?? = 3?，?? = 2?，
∵ ?? + ?? ≤ ??，
1
∴ 35 + 2? ≤ ?，
∴ ? ≥ 70，
∴ ?? = 3? ≥ 70 3，即当?? = 70 3时，有最小值，
此时?△??? = 70 3 +2?? = 210 3mm，
?△??? =
1
2
(?? + ?? + ??) ⋅ ? =× ?△??? ⋅ ? =× 210 3 × 35 = 3675 3(mm)2．
1
1
22
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆、三角形的外接圆、定角定高模型等内容，最后一问对定角定高模
型的掌握是解题的关键．
（建议用时：100 分钟）
1．（2026·山东青岛·一模）如图，线段??与 ⊙ ?相切于点?，连接??并延长分别交 ⊙ ?于点?,?，点?是半圆??上一点，连接??、??，若∠??? = 126°，则∠???的度数为（ ）
A．36°B．38°C．48°D．54°
【答案】A
【分析】连接??，根据题意，得∠??? = 90°，∠??? = ∠???−∠??? = 36°，根据圆的性质，得
∠??? = ∠??? = ∠??? = 36°．
【详解】解：连接??，
由线段??与 ⊙ ?相切于点?，得?? ⊥ ??，
故∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 126°，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 36°，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 36°，
∴ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 36°．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知 ⊙ ?的半径为2,?是 ⊙ ?外一点，?? = 4,?是 ⊙ ?上的动点，线段
??的中点为?，连结??，??，则线段??的最小值是（ ）
A．0B．0.5C．1D．1.5
【答案】C
【分析】取??的中点?，连接??，利用三角形中位线定理求出??的长度，从而确定点?的轨迹是以?为圆心，??长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出??的最小值．
【详解】解：取??的中点?，连接??，??，
∵ ?为??的中点，?为??的中点 ，
∴ ??为 △ ???的中位线 ，
∴ ?? = 2?? ，
∵⊙ ?的半径为2，即?? = 2 ，
∴ ?? = 1 ，
∴ 点?在以?为圆心，1为半径的圆上 ，
∵ ?? = 4，?为??的中点，
1
∴ ?? = 2?? = 2 ，
当点?在线段??上时，??取得最小值，
∴ ??的最小值为??−?? = 2−1 = 1．
1
3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，C 是以??为直径的半圆 O 的中点，P 是直径??上的动点，连接??，
??，将射线??绕点 P 顺时针旋转45°，交??于点 D，设?? = ?，?? = ?，则 y 与 x 之间的函数关系图象大致是（）
A．B．
C．D．
则 y 是关于 x 的二次函数，图象为抛物线，
2?
2
=?2− 2? + 2?，
?(2?−?)
2?
∴ ? = 2?−
????(2?−?)
∴= 2?−?，则?? =，
2?2?
∵ ?? = ??−??
??
∴ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 45°，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ △ ??? ∽△ ???，
??
∴ ?? = ??，
设半径?? = ?? = ?，则?? = 2?，?? = ?? = 2?，?? = 2?−?，
∵ ??是直径，
∴ ∠??? = 90°，
∵ C 是半圆 O 的中点，
∴ ?? = ??，
以及开口方向，最后再判断与 x 轴的交点情况，即可求解．
【详解】解：如图，连接??，
2?，可确定函数图象
2?
2
，则? =?2− 2? +
2?
?(2?−?)
径为 r，则可表示?? = ?? = 2?，?? = 2?−?，?? =
【答案】B
????
【分析】先根据题意，得∠??? = ∠??? = 45°，∠??? = ∠???，从而 △ ??? ∽△ ???，则?? = ??，设半
∵ 2 > 0，
2?
∴ 函数图象开口向上，
当? = 0时， ?2− 2? + 2? = 0，Δ = 2−4 ×× 2? = −2 < 0，方程无实数根，
2
2
2?
2?
∴ 抛物线与 x 轴没有交点，
因此 y 与 x 之间的函数关系图象大致如选项 B 所示．
4．（2026·山东日照·模拟预测）如图，??为 ⊙ ?的弦，??为⊙ ?的切线，??分别与??， ⊙ ?相交于点
?，?，且?? = ??，?? = 1，?? = 5，求阴影部分的面积为．
【答案】36π−48
【分析】连接 ?? ，根据切线的性质可得 ∠??? + ∠??? = 90° ，再根据等腰三角形的性质可证
∠??? + ∠? = 90° ，设 ?? = ?? = ? ，则 ?? = ? + 1 ，根据勾股定理列方程 ?2 + 52 = (? + 1)2 ，即可求得半径，再根据阴影部分的面积 = ?扇形???−?△??? 即可求解．
【详解】解：连接 ?? ，
为 ⊙ ? 的切线，
∴ ?? ⊥ ?? ，
∴ ∠??? = 90° ，
∴ ∠??? + ∠??? = 90° ，
∵ ?? = ??,?? = ?? ，
∴ ∠??? = ∠???,∠??? = ∠? ，
∵ ∠??? = ∠??? ，
∴ ∠??? = ∠??? ，
∴ ∠??? + ∠? = 90° ，
∴ ∠??? = 90° ，
设 ?? = ?? = ? ，则 ?? = ? + 1 ，
∵ ??2 +??2 = ??2 ，
∴ ?2 + 52 = (? + 1)2 ，解得 ? = 12 ，
∴ ?? = 13,?? = ?? = 12 ，
∵ ?? = ?? = 5 ，
∴ ?? = ??−?? = 13−5 = 8 ，
∴ ?△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 12 × 8 = 48 ，
90π×122
1
1
∵ ?扇形??? =
360
= 36π ，
∴ 阴影部分的面积 = ?扇形???−?△??? = 36π−48 ．
5．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在正方形????中，?? = 4，E 为??上一动点，连接??，以??的长为直径的⊙ ?与边??交于点 F．
如图 1，若∠??? = 60°，求??的长．
如图 2，若⊙ ?与??相切于点 H，求??的长．
【答案】(1)8 3π
9
(2)1
【分析】（1）先得到 △ ???为等边三角形，进而得到∠??? = 30°，再解三角形得到??，结合扇形弧长公式求解；
（2）连接??并延长??交??于?，设 ⊙ ?的半径为?，利用勾股定理求出?，再解三角形得到??，进而得到??．
【详解】（1）解：连接??，
2
∴ ?? = 2?? = 5，
∴ ?? =??2−??2 = 3，
∴ ?? = ??−?? = 1．
4 38 3π
39
（2）解：连接??并延长??交??于?，
由对称性可知?,?分别为??,??中点，且?? ⊥ ??，
在正方形????中，?? = 4，
∴ ?? = ?? = ?? = 4，
∴ ?? = 2，?? ⊥ ??，
设⊙ ?的半径为?，则?? = ?,?? = 4−?，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
即(4−?)
2
+ 2 =，解得? = ，
2
?
2
5
2
180π? = 3π ×=；
120
-
∴ ?? =
∴ ∠??? = ∠??? = 30°,∠??? = 180°−∠???−∠??? = 120°，
4 3
1
3 ， ⊙ ?半径? = ?? = 2?? = 3 ，
48 3
??
∴ ?? = cs∠??? = cs30° =
∵ ?? = ??，
∵ ∠??? = 60°，?? = ??，
∴△ ???为等边三角形，
∴ ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = 30°，
6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，??是 ⊙ ?的直径，C 是??延长线上的一点，点 F 是??的中点，
?? ⊥ ??于?，与⊙ ?交于点?，连接??，??．
(1)写出一个与∠???相等的角：；
(2)求证：??是 ⊙ ?的切线；
(3)若?? = 8，?? = 12，求??的长．
【答案】(1)∠???
(2)见解析
50
(3)?? = 13
【分析】（1）根据点 F 是??的中点，得出?? = ??，进而由等弧所对的圆周角相等，即可求解．
（2）连接??，先根据直径所对的圆周角是直角得到∠??? = 90°．再根据等边对等角得到
∠??? = ∠???，进而可得∠??? = 90°，根据切线的判定可得结论；
作?? ⊥ ??于 G，则?? = 2??．设?? = ?，则?? = ?，?? = 8 + ?，在Rt △ ???中，利用勾股定理求得 x 值，则?? = 5，?? = 13，?? = 18．证明△ ??? ∽△ ???，利用相似三角形的对应边成比例得到
90
?? = 13，证明四边形????是矩形求得?? = ?? = 5，进而求得??即可求解．
【详解】（1）解：∵点 F 是??的中点，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???；
（2）证明：连接??，
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°．
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???．
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? = 90°，即∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??，又??是 ⊙ ?的半径，
∴??为 ⊙ ?的切线；
（3）解：作?? ⊥ ??于 G，则?? = 2??．
设?? = ?，则?? = ?，?? = 8 + ?．
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2，
∴(8 + ?)2 = ?2 + 122．解得? = 5，
∴?? = 5，?? = 13，?? = 18．
∵?? ⊥ ??，
∴∠? = 90°，
∴∠??? = ∠?，
∴?? ∥ ??，
∴ △ ??? ∽△ ???．
∴?? = ??．
∴?? = 18．
90
∴?? = 13．
∵∠??? = ∠??? = ∠? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 5．
25
∴?? = ??−?? = 13，
50
∴?? = 2?? = 13．
??
??
513
7．（2026·内蒙古通辽·一模）如图， ⊙ ?是△ ???的外接圆，??为 ⊙ ?的直径，??∥??，连接??，??，
1
??的延长线交??于点 E，??交??于点 F，若∠??? = 2∠???．
求证：??是 ⊙ ?的切线；
3
(2)若tan∠??? = 4，?? = 6．
①求⊙ ?的半径；
②求??的长．
【答案】(1)见解析
90
① ⊙ ?的半径为 5；②?? = 7 ．
【分析】（1）证明?? ⊥ ??，得到?? ⊥ ??，即可证明??是⊙ ?的切线；
??3
（2）①根据正切函数的定义求得?? = 4，得到?? = 8，再利用勾股定理即可求解；
6
②设?? = 3?，?? = 4?，由勾股定理求得? = 5，再利用平行线分线段成比例即可求解．
【详解】（1）证明：∵?? = ??，
1
∴∠??? = 2∠???，
1
∵∠??? = 2∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，
∴?? ⊥ ??，
∵??∥??，
∴?? ⊥ ??，
∵??是 ⊙ ?的半径，
∴??是⊙ ?的切线；
（2）解：①∵??为 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴∠? = ∠???，
3??3
∴tan? = tan∠??? = 4，即?? = 4，
∵?? = 6，
∴?? = 8，
∴?? =62 + 82 = 10，
∴ ⊙ ?的半径为 5；
②∵∠??? = ∠???，
∴?? = ?? = 6，
3
∵?? ⊥ ??，tan∠??? = 4，
??3
∴?? = 4，
设?? = 3?，?? = 4?，
∴?? =??2 + ??2 = 5? = 6，
6
解得? = 5，
∴?? = 5 ，?? = 5 ，
1824
∴?? = ??−?? = 5− 5 = 5，
∵??∥??，即??∥??，
18
7
7
∴=，即 =，
??
??
5
5
????
18
5
??
90
∴?? = 7 ．
8．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在 ⊙ ?中，??为非直径弦，弦?? ⊥ ??于点 E．
如图 1，??不经过圆心?，连接??，??，??，??．求∠??? + ∠???的度数；
如图 2，??经过圆心?，且使得?? = ??，点?是弧??上一点，连接??交??于点?，连接??并延长交
??
??的延长线于点?，当∠? = 45°，求??的值．
【答案】(1)∠??? + ∠??? = 180°
(2)?? = 3
【分析】（1）连接??，由圆周角定理得∠??? = 2∠???，∠??? = 2∠???，由?? ⊥ ??得
∠??? + ∠??? = 90°，即可得证；
??
（2）连接??，??，??，??，??，证明 △ ???∽ △ ???，进而得出?? = ?? = 3，进而得出?? =
??+2?? 2??−??，即可求解．
【详解】（1）解：如图 1，连接??，由圆周角定理得∠??? = 2∠???，∠??? = 2∠???．由?? ⊥ ??得∠??? + ∠??? = 90°，
从而∠??? + ∠??? = 180°．
??
??2
??
（2）如图 2，连接??，??，??，??，??，
由垂径定理得??垂直平分??．
又∵ ?? = ??，
∴ ??垂直平分??．
∴四边形????是菱形．
∴ △ ???， △ ???是等边三角形，∠??? = ∠??? = ∠??? = 60°，∠??? = 120°．∠??? = 2∠??? = 30°
∵∠? = 45°
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∴??∥??，
∴ △ ???∽ △ ???，
??
1
∴?? = ??．
??
在△ ???中，sin∠??? = ?? = tan60° = 2
即?? = ?? = 3，
∴?? = 3，
??
3
????2
??2
设?? = 2?,?? = 3?，则?? = ?? + ?? = (2 + 3)?
∴?? = ?? + ?? = ?? + 2?? = 2? + 2 × (2 + 3)?，?? = ??−?? = 2??−?? = 2(2 + 3)?−2?
?? = 2??−?? = 2×(2+ 3)?−2? =
????+2??2?+2×(2+ 3)?
3．
9．（2026·陕西西安·二模）探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题
【问题提出】如图 1，四边形????内接于 ⊙ ?，∠? = 70°，则∠?的度数为˚；
【问题探究】如图 2，在四边形????中，∠??? = 90°，连接??，?? ⊥ ??，过点 C 作?? ⊥ ??交??于点 E，?? = 9，?? = ?? = 12，求??的长；
【问题解决】如图 3， △ ???是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在??边上修一个入水口?，再修一个经过点?、?、?的圆形水池⊙ ?，??为 ⊙ ?的直径，沿??、??和??架设木桥，在△ ???区域内种植荷花，已知∠??? = 90°，?? = 20m，?? = 60m，设??的长为?(m)，
△ ???区域的面积为?(m2)．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计）
①求?与?之间的函数关系式；
②由于预算有限，要求△ ???区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即 △ ???面积?的最小值）．
【答案】(1)110°
(2)4
(3)①? = ?2−6 10? + 600
3
2
②540m2
【分析】（1）利用圆的内接四边形对角互补即可求出结果；
（3）根据四边形内角和定理可得∠??? = ∠???，根据同角的余角相等，可证∠??? = ∠???，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证△ ???∽ △ ???，根据相似三角形对应边成比例即可求出??的长度；
（3）①利用勾股定理可以求出?? = 20 10m，根据??的长为?(m)，可得?? = (20 10−?)m，根据圆内
接四边形的性质可证△ ???∽ △ ???，根据相似三角形对应边成比例可得?? = 3?m，利用勾股定理可得
??2 = 10?2−40 10? + 4000，根据圆周角定理可证△ ???∽ △ ???，根据相似三角形的面积比等于相
3
似比的平方可得? = ?2−6 10? + 600；
2
②利用二次函数的性质求出?的最小值即可．
【详解】（1）解： ∵ 四边形????内接于 ⊙ ?，
∴ ∠? + ∠? = 180°，
∵ ∠? = 70°，
∴ ∠? = 180°−70° = 110°；
（2）解： ∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，
在四边形????中，∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 360°，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°，又∵ ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???，
????
∴ ?? = ??，
∵ ?? = 9，?? = ?? = 12，
∴ ?? =??2 + ??2 =122 + 92 = 15，
∴ ?? = ??−?? = 15−12 = 3，
93
∴ 12 = ??，
∴ ?? = 4；
（3）①解：如下图所示，连接??，
∵ ∠??? = 90°，?? = 20m，?? = 60m，
∴ ?? =??2 + ??2 =202 + 602 = 20 10m，
∵ ?? = ?m，
∴ ?? = ??−?? = (20 10−?)m，
∵ 四边形????是 ⊙ ?的内接四边形，
∴ ∠??? + ∠??? = 180°， 又∵ ∠??? + ∠??? = 180°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??是 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???，
????
∴ ?? = ??，
∵ ?? = 20m，?? = 60m，?? = ?m，
20?
∴ 60 = ??，
∴ ?? = 3?m，
∴ ??2 = ??2 +??2 = (20 10−?)2 + (3?)2 = 10?2−40 10? + 4000，
??2
∴ ??2 =
⏜
4000
，
10?2−40 10?+4000
⏜
∵ ?? = ??，
4000
3
△???10? −40 10?+4000
2
，
∴ ?△??? =
3
20
(10?2−40 10? + 4000) = ?2−6 10? + 600，
3
2
∴ ? = ?2−6 10? + 600；
3
2
②解：整理? = ?2−6 10? + 600，
3
2
2
可得：? = 2(?−2 10) +540，
∵ ? = 2 > 0，
∴ ?有最小值，
当? = 2 10m时，?的最小值为540m2．
3
，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ???∽ △ ???，
∴ ?==
?△???
??2
4000
△?????2
10? −40 10?+4000
2
600
∵ ?
1
1
△???
= ??·?? = × 20 × 60 = 600m2，
2
2
∴ ?=
10．（2026·浙江台州·一模）综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直
径）．工具：自制的矩形直尺????（边??长2cm，边??从点 A 至点 D 标有刻度）．小明的做法：如图 1，将矩形直尺????放置在圆形薄板甲上，使点 A，B 都恰好落在薄板的边缘，边??,??分别交薄板的边缘于点 E，F，从直尺刻度中读出?? = 6cm．小明认为线段??就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出
??长度．如图 2，将矩形直尺????放置在圆形薄板乙上，点 A 恰好落在薄板的边缘，边??与薄板的边缘交于点 M，边??与薄板的边缘相切于点 G，从直尺刻度中读出?? = 8cm．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度．
请你帮助小明说出图 1 中??是圆形薄板甲的直径的理由，并求出??的长度．
按照小明的做法，请你在图 2 中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度．
【答案】(1)理由见解析，?? = 2 10
(2)圆形薄板乙的直径为 10cm
【分析】（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径解答；再根据勾股定理求出解即可；
（2）设圆心为 O，连结??,??，圆形薄板半径为?cm，先根据切线的性质得?? ⊥ ??，进而得出
?? ⊥ ??，再根据垂径定理得?? = ?? = 4，然后根据勾股定理求出半径，即可得出答案．
【详解】（1）解：理由：90°的圆周角所对的弦是直径．因为矩形直尺????，
所以∠? = 90°，
所以??2 = ??2 +??2.
又因为?? = 2，?? = 6，所以?? = 2 10．
（2）解：设圆心为 O，连结??,??，圆形薄板半径为?cm.
因为??与⊙ ?相切于点 G，所以?? ⊥ ??．
又因为矩形直尺????对边平行，所以?? ⊥ ??，
所以?? = ?? = 4， 所以(?−2)2 + 42 = ?2.解得? = 5，
即圆形薄板乙的直径为 10cm．
11．（2026·广东佛山·模拟预测）如图 1 所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数
1?23的
图像交 x 轴于点?(?1,0)，?(?2,0)(?1 < 0 < ?2)交 y 轴于点 C．
(1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由； (2)若以线段??为直径的圆恰好经过点 C．
①求二次函数的表达式；
? = −4+ 8?? + ?
②如图 2，点 L 是??的中点，点 K、N 分别在线段??、??上，满足?? = ??，作线段??∥??交 x 轴于点
M，求证： △ ???≌ △ ???；
在（2）的条件下，对于平面直角坐标系???中的图形 M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，
Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“闭距
11
离”，记作?(?,?)， ⊙ ?的圆心为?(?,1)，半径为2，若?( ⊙ ?, △ ???) = 2，直接写出 t 的取值范围．
816
【答案】(1)此二次函数图像经过定点，定点坐标是 − 3 ,− 9
4
(2)①? = −1?2
3
+ 2? + 4
；②见解析
−3− 5−3+ 5
(3)t 的取值范围为? =2或 2≤ ? ≤ 6− 5或? = 6 + 5
【分析】（1）将二次函数整理为? = −1?2 + 3 ? + 1 ?，令含?
38
? + 1 = 0，解得? = − ，代入得
48的系数83
16816
? = − 9 ，故函数恒过定点 − 3 ,− 9 ，即可判断；
（2）①由??为直径得∠??? = 90°，由相似三角形的性质可得??2 = ?? ⋅ ??，即?2 = 4?，? > 0得
? = 4，即可求出解析式；②由角度推导得ASA全等条件，即可证明；
11
（3）由⊙ ?半径为2，?( ⊙ ?, △ ???) = 2，可得圆心?(?,1)到△ ???三边的最小距离为1，分别计算到
??、??的距离，结合到??距离已满足，得?的取值范围．
816
【详解】（1）解：此二次函数图像经过定点，定点坐标是 − 3 ,− 9 ．
理由如下：由题意得，? = −1?2 + 3?? + ? = −1?2 + 3 ? + 1 ?，
4848
38
当8? + 1 = 0，即? = −3时，?的值与?无关，
16816
此时? = − 9 ，即图像经过定点 − 3 ,− 9 ；
（2）解：①令? = 0，即
1?23，
∴ ?1?2 = −4?，
∵ ??是圆的直径，
∴ ∠??? = 90°，
−4+ 8?? + ? = 0
又∵ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ???∽ △ ???，
−?1?
∴ ? = ?2，
∴ ?2 = −?1?2 = 4?，依题意，? > 0，
∴ ? = 4，
∴ 二次函数的表达式为
1?23；
? = −4+ 2? + 4
② ∵ 点?是??的中点，∠??? = 90°，
1
∴ ?? = ?? = 2??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠???，∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∵??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴△ ???≌ △ ???(ASA)；
4
（3）解：令? = −1?2 + 3? + 4 = 0，
2
解得?1 = −2，?2 = 8，
∴ ?(−2,0)，?(8,0)，
4
令? = 0得? = −1?2 + 3? + 4 = 4，
2
∴ ?(0,4)；
1
∵⊙ ?的圆心为?(?,1)，半径为2，
111
∴ 点?在直线? = 1上移动，且⊙ ?上的点到?轴最小距离为1−2 = 2，即?( ⊙ ?,??) = 2；
设圆心?到△ ???三边的最短距离为?，
11
∵ ?( ⊙ ?, △ ???) = 2，即圆上到△ ???的最小距离为2，
11
又∵ ⊙ ?的半径为2，即? = 2，
11
∴圆心?(?,1)到??、??、??三边的最小距离为? = ?( ⊙ ?, △ ???)，
+? = 2 + 2 = 1
当?(?,1)到??的最小距离为1时，过?作?? ⊥ ??于?，设直线? = 1交??于?，则?? = 1，
∴ ??∥??，
∴ ∠??? = ∠???，
，
5
解得? = 6 ± 5，
≤ ? ≤ 6− 5或? = 6 + 5．
同理求得当?(?,1)到??的最小距离为1时，? =
−3± 5
2
，
1
∴ 当?( ⊙ ?, △ ???) = 2，?的取值范围为? =
−3− 5−3+ 5
2
或
2
1
∴ |6−?| = 4
??
??
∵ sin∠??? = ?? = sin∠??? = ??，
4
∴ ?(6,1)，
∴ ?? = |6−?|，
1
1
把?(8,0)代入得0 = 8? + 4，
1
解得? = −2，
∴ 直线??解析式为? = −2? + 4，
当? = 1时，? = −2? + 4 = 1，解得? = 6，
∵ ?(8,0)，?(0,4)，
∴ 设直线??解析式为? = ?? + 4，
12．（2025·湖北随州·三模）已知：如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°,∠??? = 30°,?? = 3．以点?为原点，斜边??所在直线为?轴，建立平面直角坐标系，以点?(4,0)为圆心，??长为半径画圆， ⊙ ?与?轴的另一交点为?，点?在⊙ ?上，且满足∠??? = 60°. ⊙ ?以每秒 1 个单位长度的速度沿?轴向左运动，设运动时间为?s，解答下列问题：
【发现】
⏜
??的长度为多少；
(2)当? = 2s时，求扇形???（阴影部分）与Rt △ ???重叠部分的面积．
【探究】
当 ⊙ ?和△ ???的边所在的直线相切时，求点?的坐标．
【拓展】
⏜
当??与Rt △ ???的边有两个交点时，请你直接写出?的取值范围．
π
【答案】(1)??的长度为3
3
重叠部分的面积为 8
33
点?的坐标为(1,0)； 2 3 ,0 或 − 2 3 ,0
?的取值范围是2 < ? ≤ 3或4 ≤ ? < 5
【分析】（1）先求出?? = 1，再根据弧长公式解答；
22重叠部分
（2）先求出∠??? = 90°，再求出?? = 1，?? = 3，然后根据?
1
= ?△??? = 2?? × ??
得出答案；
分三种情况：当⊙ ?与直线??相切于点?时，连接 PC，再求出 ?? = 2，然后求出 ?? = 1，可得点
??
P 的坐标；当⊙ ?与直线??相切于点?时，连接??，则有?? ⊥ ??, ?? = ? = 1，再根据 cs∠??? = ??
3 ,3 ，
求出?? = 2 3 可得答案；当⊙ ?与直线??相切于点?时，连接??，则有?? ⊥ ??，同②可得：?? = 2 3
即可解答；
⏜⏜
当点?运动到与点?重合时，??与Rt △ ???的边有一个公共点，此时? = 2；当? = 3,??与Rt △ ???
⏜
的边有两个公共点，可得答案；当⊙ ?运动到??与??重合时，??与Rt △ ???的边有两个公共点，此时
⏜
? = 4；直到⊙ ?运动到点?与点?重合时，??与Rt △ ???的边有一个公共点，此时? = 5，可得答案．
【详解】（1）解：（1） ∵ ?(4,0),
∴ ?? = 4．
∵ ?? = 3，
∴ ?? = 1
⏜60π×1π
∴ ??的长度为 180 = 3；
（2）解：设⊙ ?半径为?，则有? = 1，当? = 2时，如图，点?与点?重合，
∴ ?? = ? = 1，设??与??相交于点?．
∵∠??? = 30°,∠??? = 60°．
∴∠??? = 90°，
11
∴ ?? = 2?? = 2，
∴ ?? = ?? × cs30° =3 ,
2
13
∴ ?重叠部分 = ?△??? = 2?? × ?? = 8 ．
3
即重叠部分的面积为 8 ．
（3）解：①如图 2，当⊙ ?与直线??相切于点?时，连接??，则有?? ⊥ ??,?? = ? = 1．
∵ ∠??? = 30°
∴ ?? = 2
∴ ?? = ??−?? = 3−2 = 1
∴点?的坐标为(1,0)；
②如图 3，当⊙ ?与直线??相切于点?时，连接??，则有?? ⊥ ??, ?? = ? = 1， ∴ ??//??,
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
??
∴ cs∠??? = ??，
12 3
∴ ?? = cs30° = 3 ,
3
∴?的坐标为 2 3 ,0 ；
③如图，当⊙ ?与直线??相切于点?时，连接??，则有?? ⊥ ??，同②可得：?? = 233；
∴点?的坐标为 − 233 ,0 ,
所以点 P 的坐标为(1,0)或 233 ,0 或 − 233 ,0 ；
⏜
（4）解：如图，当点?运动到与点?重合时，??与Rt △ ???的边有一个公共点，此时? = 2；
当? > 2，直到⊙ ?运动到与??相切时，由（3）①可知?? = 1，
4−1⏜
∴ ? =
1 = 3,??与Rt △ ???的边有两个公共点，
∴ 2 < ? ≤ 3．
⏜
如图 6，当⊙ ?运动到??与??重合时，??与Rt △ ???的边有两个公共点，此时? = 4；
⏜
直到⊙ ?运动到点?与点?重合时，??与Rt △ ???的边有一个公共点，此时? = 5；
∴ 4 ≤ ? < 5，
即：?的取值范围是2 < ? ≤ 3,4 ≤ ? < 5．