2026年中考数学重难点冲刺训练80大热点题型全预测(含解题大招+15大辅助线技巧)(学生版+解析)

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1．（2026·陕西榆林·一模）在0，，，，中，无理数有________个．
【答案】2
【分析】先化简题目中的已知数，再根据无理数的定义判断得到无理数的个数．
【详解】解： 0是整数，属于有理数，
是分数，属于有理数，
是整数，属于有理数，
是无限不循环小数，属于无理数，
是无限不循环小数，属于无理数，
因此无理数共有2个．
2．（2026·山东淄博·一模）下列运算结果为正有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题根据正有理数的定义，即大于0的有理数，对各选项逐一判断，需要掌握负整数指数幂，绝对值的计算，能区分有理数和无理数即可求解．
【详解】解：选项A中，是负有理数，不符合要求；
选项B中是开方开不尽的数，属于无理数，不符合要求；
选项C中，，且是分数，属于正有理数，符合要求；
选项D中，是负有理数，不符合要求．
3．（2026·江苏徐州·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由数轴可得，，再判断各选项即可．
【详解】解：由数轴可得，，
∴，，，．
4．（2026·江苏徐州·一模）下列说法正确的个数是（ ）
①的相反数是2026；②的绝对值是2026；③的倒数是2026．
A．3B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，乘积为1的两个数互为倒数．
【详解】解：①的相反数是2026，说法正确；
②的绝对值是，说法正确；
③的倒数是2026，说法正确，
故说法正确的有3个．
解密题型02 实数的非负性
1．（2026·贵州遵义·一模）若为有理数，且，则_____．
【答案】1
【分析】根据非负数的性质求出，代入计算即可．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
∴，
∴．
2．（2026·四川内江·一模）在中，、，的对边分别为、、，且，则的面积为______．
【答案】6
【分析】根据非负数的性质求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，最后计算三角形面积．
【详解】解：
∴
∴
∴，
解得，
∵，即，
∴是直角三角形，a，b为直角边．
∴的面积为．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在锐角中，若，则的度数为________．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的非负性、特殊三角函数的值、三角形的内角和定理，能够根据三角函数值反推特殊角是解题的关键．
根据绝对值的非负性求出，，再根据特殊三角函数的值推出，，最后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
即，，
∵是锐角三角形，
∴ ，，
∴ ．
故答案为：．
解密题型03 比较有理数大小
1．（2026·四川南充·一模）在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是__________．
【答案】液态氧
【分析】根据有理数比较大小的法则比较四个凝固点的大小，即可得到结果．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴凝固点最低的物质是液态氧．
2．（2025·四川资阳·模拟预测）若， 比较四个数的大小，并用“”连接__________________．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键；
根据可得，，，即可得解．
【详解】解：因为，
所以，，，
所以；
故答案为：．
3．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______．
【答案】
【详解】解：∵，
∴．
4．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
（1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解；
（2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解；
（3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想．
故答案为：D；
（2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段．

∵两点之间，线段最短，
∴．
∵，，
，，
∴．
∴；
（3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，

∴，
，
．
又∵是A关于的对称点，
∴．
又根据两点之间线段最短，，
∴．
∴．
∴当P在F时，取最小值为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴当时，取最小值为．
故答案为：．
解密题型04 科学记数法
1．（2026·浙江杭州·一模）2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】科学记数法的定义，其表示形式为，满足，为整数，正确确定和的值即可求解．
【详解】解：．
2．（2026·河南周口·一模）据悉，某国产高端单台服务器搭载的自研芯片，每秒可以完成亿次浮点运算，能支撑超大规模工业仿真计算．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：亿=．
3．（2026·山东济宁·一模）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为______秒．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题时先根据题意得到1皮秒对应的秒数，再计算400皮秒对应的秒数，最后将结果用科学记数法表示即可．
【详解】解：由题意得，1皮秒秒，
则400皮秒秒．
解密题型05 实数的混合运算
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
2．（2026·广东深圳·一模）计算：．
【答案】0
【详解】解：
．
解密题型06 整式的混合运算
1．（2026·河南周口·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方与完全平方公式逐项分析判断．
【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意；
、，该选项运算正确，符合题意；
、，该选项运算错误，不符合题意；
、，该选项运算错误，不符合题意．
2．（2026·天津河西·一模）计算的结果为________．
【答案】21
【分析】观察原式结构，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式简化计算，再根据二次根式的性质化简计算得到结果．
【详解】解：
．
3．（2026·广东广州·一模）计算：______．
【答案】
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：．
4．（2026·甘肃兰州·一模）计算：．
【答案】
【分析】先根据完全平方公式、单项式乘以多项式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得解．
【详解】解：原式
．
解密题型07 整式的化简求值
1．（2026·广东阳江·一模）已知，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】将所求代数式变形后，整体代入已知条件计算即可．
【详解】解：，
．
2．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则_____．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式展开分母，再将已知代入分式化简，即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴
．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，求代数式的值．
【答案】4
【详解】解：
；
，
，
原式．
解密题型08 因式分解
1．（2026·重庆·一模）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据提公因式法、平方差公式，判断分解结果是否符合要求，即结果为整式乘积形式且分解彻底．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，原分解未分解彻底，故B错误；
C、，分解符合要求，故C正确；
D、因式分解的结果需为几个整式乘积的形式，不是乘积形式，不符合因式分解定义，故D错误．
2．（2026·陕西西安·三模）因式分解：___________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式
【详解】解：
3．（2025·河南信阳·三模）一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”．
【观察】，
，
．
【猜想】
（1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除．
【验证】
（2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想．
（3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的．
【答案】（1）9；（2）见解析；（答案不唯一）（3）见解析
【分析】本题考查尾数的特征，用代数式表示“对称数”减去各位数字之和的结果是正确解答的关键．
（1）任意取一个“对称数”，按照题意求出这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果化为含有因数9的代数式即可；
（2）根据题意写出一个“对称数”进行验证即可；
（3）用含有x、y的代数式表示这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果写成含有因数9的代数式即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；
（2）例如：“对称数”为313，
∵，
∴“对称数”313减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；
（3）一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，则这个对称数”为，
这个对称数减去其各位数字之和，所得的结果为：
，
∴一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，这个“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除．
解密题型09 分式有、无意义的条件
1．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（ ）
A．化为最简分式等于B．分式无意义的条件是
C．当时，分式的值为零D．当时，分式无意义
【答案】D
【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可．
【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误；
B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误；
C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误；
D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确．
故选：D．
2．（2026·河南南阳·一模）已知式子，在实数范围内均有意义，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断的属性，根据不等式的性质求解即可；
【详解】解：式子，在实数范围内均有意义，
故即，
，
．
3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）函数 的自变量 x的取值范围是_________________
【答案】
【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，根据两种代数式有意义的要求列出不等式，取解集的公共部分即可得到自变量的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，
解不等式得，
解不等式得，
取两个解集的公共部分，得．
解密题型10 规律探究
1．（2026·重庆·一模）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，则图⑦的棋子颗数为（ ）
A．40B．53C．68D．85
【答案】B
【分析】根据题意得出第n个图形中棋子数为，据此求解．
【详解】解：图①数量是，
图②数量是，
图③数量是，
图④数量是，
⋯，
图n中棋子的数量是，
当时，．
2．（2026·云南大理·一模）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，解题的关键是找出规律．
观察单项式的规律：符号交替变化，系数分子为从3开始的奇数序列，分母为项数，x的幂次与项数相同．
【详解】解：第n个单项式为 ，
当时，
符号：（负数），
系数分子：，
分母：2026，
x的幂：，
∴第2026个单项式为 ．
3．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为81时，则的值为__________．
【答案】5或
【分析】根据给出的规律得到，则，解方程即可．
【详解】解：由题意得，
即，
解得或．
4．（2026·甘肃天水·一模）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，掌握相关知识是解题的关键．
观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律，即可求解．
【详解】解：第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为，
第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为，
第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为，
第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为，
则第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个，
第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为．
故答案为：．
解密题型11 解方程（组）/不等式（组）
1．（2026·江苏扬州·一模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
【答案】，11
【分析】先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，再在解集中找出整数解，最后求和即可．
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
这个不等式组的解集是，它所有的整数解为5，6，
这个不等式组的所有整数解的和．
2．（2026·江苏南京·模拟预测）解方程（组）
(1)解方程：；
(2)解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：
得，
得，解得，
把代入②得，解得，
∴原方程组的解为．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：
【答案】，
【分析】用公式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：
解密题型12 解方程（组）/不等式（组）的含参问题
1．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______________．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次方程的判别式进行列式计算，即可得到答案．此题主要考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程有实数根，
∴当时，即，
则
解得，满足题意；
∴
当即时，是一元二次方程，
∴，
当即时，有实数根，
综上，的取值范围是，
故答案为：
2．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．
【答案】3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键．
两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：，
可得：
∵，
∴，解得：．
故答案为：3．
3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】方程有两个实数根，则判别式且被开方数，列不等式组并求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，二次根式的定义，熟练掌握一元二次方程有两个实数根时判别式是解题的关键．
【详解】解：由条件得，
解得．
故答案为：．
4．（2025·四川眉山·一模）已知是方程的两个根，则的值为_____．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的应用等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形得出，将代入变形后的式子计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：1
5．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______．
【答案】
或1
【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解．
【详解】解：，
变形得 ，
方程两边同乘最简公分母，
得，
整理得整式方程 ，
分式方程无解，分两种情况讨论：
整式方程无解，
令，得，此时方程变为，不成立，
整式方程无解，原分式方程无解．
整式方程的解为原分式方程的增根，
令，得增根，
将代入，
得，解得．
综上，实数的值为或．
6．（2026·四川巴中·一模）关于的方程有增根，则的值为______．
【答案】1
【分析】先将分式方程化为整式方程，分式方程有增根，则增根使原分式分母为零，由此可得增根的值，将增根代入整式方程即可求出的值．
【详解】解：
∵原方程有增根，且原方程的增根满足，即，
把代入得，
解得．
7．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____．
【答案】
且
【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可.
【详解】解：，
整理得，
方程两边同乘得，
，
展开整理得，
解得，
分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为，
且，即且，
解得且.
8．（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】求解不等式组，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答此题即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：
∵不等式无解,
∴
∴．
9．（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______．
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可.
【详解】解：解不等式组，得，
∵关于的不等式组有4个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为，
∴，
∴.
解密题型13 解方程（组）/不等式（组）与实际问题
1．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
(1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____；
(2)设小明接温水的时间为，
①若最终杯子中水的温度是，求的值；
②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解；
②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设需再接开水的时间为．
根据题意，得，
解得．
答：需再接开水的时间为．
（2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为，
设水杯中水的温度为，由题意，
∴，
∴当时．
解得：
②∵饮水适宜温度是，
∴，
解得．
2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）某商店销售、两种水果．水果标价14元/千克，水果标价18元/千克．
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了、两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买、两种水果，要求水果比水果多买1千克．小明到这家商店后，发现、两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折：一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买水果多少千克？
【答案】(1)A种水果买了2千克，B种水果买了1千克
(2)小明买水果1.25千克
【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可；
（2）设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可．
【详解】（1）解：设A种水果买了千克，B种水果买了千克，
由题意得：，
解得：，
答：A种水果买了2千克，B种水果买了1千克；
（2）设小明买A水果千克，则小明买B水果千克，
由题意得：，
解得：，
答：小明买A水果1.25千克．
3．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．
(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；
(2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？
【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；
(2)不能实现目标．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可；
（2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答．
【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，，
解得或（舍去），
答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；
（2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元，
答：不能实现目标．
4．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）．
(1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示）
(2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由．
(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数．
【答案】(1)
(2)小颖的说法正确，理由见解析
(3)7
【分析】（1）根据月历表的特点列式即可；
（2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案；
（3）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为；
（2）解：小颖的说法正确，理由如下：
设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，
∵框出的4个数之和为45，
∴，
解得：，
根据题意得：m为整数，
∴不符合题意，
∴小丽一定算错了，小颖的说法正确．
（3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或（舍去），
∴这4个数中最小的数为7．
5．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售．
(1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？
(2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值．
【答案】(1)甲型号摩托车进价为5万元，乙型号摩托车进价为3万元
(2)
【分析】（1）设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可；
（2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲型摩托车每台的进价为万元，乙型摩托车每台的进价为万元．
（2）解：根据题意得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解且符合题意．
答：的值为．
6．（2026·广东深圳·二模）综合与实践
年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务：
(1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？
(2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？
【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元
(2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次
【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可；
（）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，
根据题意得：，
解得：，
答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元；
（2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，
根据题意得：，
解得：，
，即，
，
设每日总服务人次为，
，
，
随增大而减小，
当取最小值5时，有最大值，此时，
答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次．
7．（2026·山西吕梁·一模）2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，持续改善阅读环境，某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，已知阅读桌的单价为600元/张，阅读椅的单价为120元/把，且要求购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍，则最多可购置多少张阅读桌？
【答案】最多可购置55张阅读桌．
【分析】设购置阅读桌的数量为张，购置阅读椅的数量为张，根据“某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍”列不等式组求解即可．
【详解】解：设购置阅读桌的数量为张，购置阅读椅的数量为张，
由题意得，
整理得，
解得，
答：最多可购置55张阅读桌．
解密题型14 函数图像问题
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）小明在数学课上看到老师用画板生成了丰富的函数图象，课后自己也尝试利用网络画板研究函数的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构判断小明得到的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据时，；时，得出函数的图象分别在第一、第三象限，再根据时，即可判断出对应的函数图象．
【详解】解：函数中，
当时，；
当时，；
∴函数的图象分别在第一、第三象限，
又∵当时，，
∴只有选项C的图象符合题意．
2．（2026·浙江金华·一模）如图，点为的重心，当动点从点出发沿的边逆时针运动一周，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．的面积为
【答案】C
【分析】根据图可知，当时，，当时，点运动到点；当时，此时，利用勾股定理求出、，取的中点，连接，过点作于点，证明，进而得到，，利用勾股定理求出，最后再利用进行判断即可．
【详解】解：由图可知：当时，，即，
或（舍去），
当时，达到最大值，且为第一段图象的终点，说明点运动到点，
，此时，
当时，即，取得最小值，此时，
在中，由勾股定理得：，
，故选项错误；
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，故选项错误；
取的中点，连接，
∵点为的重心，
∴点在中线上，且 ，
，，
，
过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，故选项正确；
∵，，
∴，故选项错误．
3．（2026·山西朔州·一模）某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多
【答案】B
【分析】根据图像结合题目中给出的信息逐项进行判断即可．
【详解】解：由图像可知：
当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故A选项错误，不符合题意，
设时，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为，
∵时，，
∴，
解得：，
∴产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为，
∴当时，，即，
∴当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故B选项正确，符合题意，
当时，产生的气体的质量不变，都为，故C、D选项错误，不符合题意．
解密题型15 坐标系上点的坐标特征
1．（2026·河北邯郸·一模）在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质对边平行且相等，结合点的坐标即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴．
2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为______．
【答案】2
【分析】本题考查了已知点的象限求点的坐标，求点到坐标轴的距离．根据第四象限点的坐标特征和点到x轴的距离定义，列出方程，进行求解，即可作答．
【详解】解：∵点在第四象限内，且到轴距离为2，
∴，
解得，
当时，，符合题意，故的值为2
故答案为：2
3．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限．
【答案】四
【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，在第四象限；
故答案为：四．
解密题型16 坐标系与图形变换综合
1．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点O旋转得到，此时，则C点坐标为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形在平面直角坐标系中的应用，勾股定理，平行线的判定和性质．正确作好辅助线并判定相似三角形，利用相似三角形的性质求长度是解题的关键．延长交于点F，过点C作轴， 垂足为点E，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，，根据点C在第三象限，得出点C坐标为．
【详解】解：延长交于点F，过点C作轴， 垂足为点E，如图所示：
则，
由题意知，，，
∴，
根据旋转可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
解得：，，
∵点C在第三象限
∴点C坐标为．
故答案为：．
2．（2022九年级·重庆北碚·专题练习）如图，线段的两端点的坐标分别为、，以点为位似中心，在点的同一侧将线段缩小为原来的后，得到线段，则端点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，点是线段的中点，使用中点公式即可得到点的坐标．
【详解】解：∵线段由线段以点为位似中心，缩小为原来的后得到，且与在点的同一侧，
∴点是线段的中点，
∴点的坐标为，即．
3．（2025·湖北·二模）如图，正方形的边长为5，点的坐标为，平行于轴，现将正方形向左平移2个单位，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，坐标与图形的性质，关键是由正方形的性质求出、的长．
由点的坐标得到，由正方形的性质推出，，，判定四边形是矩形，得到，求出，，即可得到点的坐标为．
【详解】解：如图，设、与y轴分别交于M、N，
的坐标是，
，
平行于轴，
轴，
四边形是正方形，且正方形的边长为5，
，，，
轴，
四边形是矩形，
，
，
，
点的坐标为．
故选：A．
解密题型17 点坐标规律探索
1．（2026·河南南阳·一模）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，⋯，，都在函数图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】B
【分析】根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解．
【详解】解：∵这10个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴．
2．（2026·河南洛阳·一模）如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程，再由运动速度得出运动一周所用的时间，再根据规律得出第2026秒的小球所在位置．
【详解】解：如图，
根据题意得：
小球运动一周所走的路程，
∵小球以每秒个单位长度的速度运动，
∴小球运动一周所用的时间为：（秒），
∴，
∴第2026秒的小球所在位置为点，
∴第2026秒时点P的坐标为．
故选：C．
3．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，平行四边形、矩形的判定和性质，图形规律等知识，根据题意得到，结合图形找出旋转规律即可求解．
【详解】解：∵风车图案的中心为正方形，
∴，
如图所示，作于点，
∴，
∵风车图案的四片叶片为全等的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，则，
∴，
∵每次旋转，
∴旋转第一次时，点对应点为，点对应点为，则，
旋转第二次时，点对应点为，点对应点为，则，
旋转第三次时，点对应点为，点对应点为，则，
旋转第四次时，点对应点为，点对应点为，则，
∵，
∴经过第2026次旋转后，点的坐标为 ．
4．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________．
【答案】
【分析】找到a的下标与层数n的变化规律即可．
【详解】解：设为第1层，为第2层，为第3层，……，
由图知，每一层末尾的点都在直线或直线上，
则第1层：的坐标为，，
第2层：的坐标为，，
第3层：的坐标为，，
第4层：的坐标为，，
第5层：的坐标为，，
……，
第n层：n为奇数时，的坐标为，n为偶数时，的坐标为，
∴即的坐标为，即，
∵，
∴由点的分布规律可知，和都在直线上，
∴的坐标为．
解密题型18 待定系数法求函数解析式
1．（2026·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______．
【答案】11
【分析】利用待定系数法求出直线的一次函数解析式，再将点的坐标代入解析式，即可求出的值.
【详解】解：设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
点，，在同一条直线上，即点在直线上，
把代入得：，
的值为.
2．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________．
【答案】
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点
∴
∵点在反比例函数的图象上
∴，即
解得
3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
则下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的开口向下B．二次函数图象的对称轴为
C．若点在该函数图象上，则D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案．
【详解】解：将点、代入中，
得：，
解得，
∴二次函数解析式为，
A、∵，
∴函数图象开口向上，
故A不符合题意；
B、∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
故B不符合题意；
C、当时，，
故C符合题意；
D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故D项不符合题意．
解密题型19 一次函数的性质
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题利用一次函数的增减性求解，先根据一次项系数判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可推出y值的大小关系.
【详解】解：∵直线的一次项系数.
∴随的增大而减小.
∵，可得.
∴，
即.
2．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再确定最大值对应x的取值，代入计算即可得到b的值．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，
∵，函数的最大值为，
∴当时，取得最大值，
将代入函数得
，
整理得，
解得．
3．（2026·贵州遵义·一模）已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（ ）
A．第一、三、四象限B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第一、二、三象限
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数图象性质，先根据一次函数的增减性得出，函数图象经过第二、四象限，再根据一次函数与y轴的交点位置，确定该函数经过第一、二、四象限．
【详解】解：∵一次函数，函数值y随着自变量x的增大而减小，
∴，
∴此时一次函数图象经过第二、四象限，
又∵一次函数与y轴的交点为，
即该一次函数与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限．
4．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题，熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键．先将两个一次函数整理成一般式，根据无论取何值都有，得出关于的不等式恒成立的条件，进而求解的取值范围．
【详解】解：，．
，
，
整理得．
因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即，
此时不等式变为，
，
，
．
故答案为：．
解密题型20 反比例函数的性质
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：∵、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，
∴时，随着的增大而增大，
∴，
当时，点在第二象限，；点、在第四象限，，此时满足，
∴的取值范围是．
2．（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（ ）
A．一定在原点左侧B．一定在原点右侧
C．一定在1的左侧D．一定在1的右侧
【答案】C
【分析】利用反比例函数的性质得到比例系数的符号，求解得到的取值范围，再结合数轴上数的大小关系判断点的位置即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴，
∵数轴上点表示的数为，
∴点一定在的左侧．
3．（2026·河南驻马店·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限
B．图象与轴有一个交点
C．当时，随的增大而减小
D．如果点和点均在该函数的图象上，那么
【答案】D
【分析】先由解析式得到，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：∵ 反比例函数为，，
∴ 反比例函数图象在第二、四象限，A选项错误．
∵ 反比例函数中，恒不为，
∴ 图象与轴没有交点，B选项错误．
∵ 时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大，
∴ 当时，随的增大而增大，C选项错误．
∵ 点，都在第二象限的函数图象上，且，
∴ ，D选项正确．
解密题型21 二次函数的性质
1．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是8．则的值为（ ）
A．B．C．1或D．或
【答案】A
【分析】先确定该抛物线的对称轴为直线，再根据当时，有，得，再根据当时，最小值是8列出关于a的一元二次方程并求解即可．
【详解】解：，
该抛物线的对称轴为：直线，
∵当时，有，
∴，
∴抛物线开口向下，
∵在范围内，且，
∴当时有最大值，时有最小值，
∴，
整理得，，
解得（舍）
故选： A．
2．（2026·陕西汉中·一模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
下列关于该二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．对称轴为直线
C．有最大值D．图象与x轴有两个交点
【答案】C
【分析】先利用表格中的点坐标求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：由表格可知，当时，代入得，
将，和，代入解析式得：
，
解得，
二次函数解析式为，
该二次函数图象开口向下，函数有最大值，即最大值为，
故选项A错误、C正确；
对称轴为直线，
故选项B错误；
令，得方程，即，
判别式，方程无实根，
因此，图象与轴没有交点，
故选项D错误．
3．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】将两个函数图象至少有一个交点的问题，转化为联立两个函数解析式得到的一元二次方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式的性质求解即可.
【详解】解：联立两个函数的解析式得
，
整理，得，
∵两个图象至少有一个交点，
∴该一元二次方程有实数根，
∴，
解得.
解密题型22 函数图像综合
1．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
；
一次函数经过第一、二、四象限，
反比例函数图象在第一、三象限；
只有C选项同时符合两个函数的位置特点．
2．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象．
【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限
∴
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，
∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限
∴，
∴
∴
∴一次函数的图象y随x的增大而减小，
∴一次函数的图象大致是：
3．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断点与点关于原点中心对称，再结合点到的增减性，逐项分析选项图像的增减性与中心对称特征，筛选出符合条件的函数图像．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴、关于原点中心对称，
∵，，
∴时，y随x增大而增大，
A选项：时随增大而减小，不符合增减性，排除．
B选项：时随增大而增大，且时，、关于原点中心对称，符合条件．
C选项：不存在m的值，使得、关于原点中心对称，排除．
D选项：时随增大而减小，排除．
故只有B项符合题意．
解密题型23 反比例系数k的几何意义
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，则的值为________．
【答案】/
【分析】过点A作轴于C，过点B作轴于D，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点．
（1）与的面积之和为______；
（2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______．
【答案】 或
【分析】（1）根据的几何意义，即可求解；
（2）设，则，，，进而分类讨论，当为直角三角形的顶点，当为直角三角形的顶点，分别画出图形，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴与的面积之和为
（2）解：设，则，，
∴，，
当为直角三角形的顶点时，
如图，
∵
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
当为直角三角形的顶点时，
如图，
同理可得
∴
∴
解得：
∴
综上所述，直角三角形的顶点的横坐标为或
3．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______．
【答案】
【分析】过点作轴于，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解．
【详解】解：过点作轴于，如图：
∵矩形的面积为24，
∴，
，
，，
，
设，
则，，
与x轴负半轴的夹角为，
，
，
，即：，
解得：，
，
由图得：，
故答案为：．
4．（2026·陕西西安·二模）如图，平面直角坐标系的原点O是菱形的中心，经过B、D两点的反比例函数解析式．若，，则经过两点的反比例函数解析式是_________．
【答案】
【分析】过分别作轴，轴，先证，再利用面积比等于相似比的平方，得到的面积，结合反比例函数的几何意义即可求解．
【详解】解：过分别作轴，轴，
在菱形中，为中心，，，
，，
又轴，轴，
，
即，
，
，
又点在，
，，
设经过两点的反比例函数解析式为，
，即反比例函数解析式是
解密题型24 二次函数图像与各项系数的关系
1．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号）
【答案】①②③
【分析】①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用到对称轴的距离进行判定求解；⑤当时，取得最大值求解．
【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，
∵对称轴为直线，
，
∴，
∴，故结论①正确；
∵对称轴为直线，
，即，
∴，故结论②正确；
∵图象过点，对称轴为直线，
∴当时，，
∴，即，故结论③正确；
∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线，
∴到对称轴的距离分别为，
∴，故结论④错误．
∵当时，取得最大值，
∴当时，，
∴，故⑤错误，
综上所述，正确的结论是①②③．
2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，
∴，故①错误；，故②正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，即，故③正确；
由图象可知当时，则有；当时，则，由可得，故⑤错误；
∴根据二次函数的对称性可知：当和时，其对应的函数值相等，
∴当时，，故④正确；
综上所述：正确的结论有②③④共3个．
3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，有下列五个结论：
①；②；③若点，是抛物线上的三点，则；④，是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，若，则；⑤．其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据所给函数图象可得出a、b、c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故②正确；
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
而，
且，
∴，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，故④正确；
由④得当时，，
即，故⑤错误；
综上可得，只有②④正确．
解密题型25 函数与方程、不等式
1．（25-26九年级上·山东威海·期中）抛物线与坐标轴的交点个数为_______个．
【答案】3/三
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求抛物线与坐标轴的交点个数，分别计算抛物线与y轴和x轴的交点个数即可得出答案．
【详解】解：当时，，故与y轴交于点，
当时，解方程，
判别式，
方程有两个不相等的实数根，
故与x轴有两个交点，
因此，抛物线与坐标轴共有3个交点．
故答案为：3．
2．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____．
【答案】或
【分析】所求不等式的解集即为反比例函数值小于正比例函数值时x的范围，根据正比例函数与反比例函数的交点坐标，即可确定出x的范围．
【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，
∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方，
∴若，则的取值范围是或．
3．（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式为
(2)或
【分析】（1）把、代入，求出抛物线表达式，再求出，用待定系数法求出直线表达式即可；
（2）根据直线与抛物线交于、两点，得出结论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
当时，，
解得：，
，
∵直线经过点 B， C，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于、两点，
∴不等式的解集是或．
解密题型26 反比例函数与一次函数综合
1．（2026·安徽宣城·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A．
(1)求k的值及点B的坐标．
(2)连接，求．
【答案】(1)，点B的坐标为
(2)
【分析】（1）先求得点A坐标，进而可求得k值，得到，联立方程组可求得点B坐标；
（2）设直线与轴交于点D，先求得点D坐标，再利用求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，解得，
∴点A的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴，
联立方程组，解得或，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，设直线与轴交于点D，
令，则，
∴点D的坐标为，则，
∴．
2．（2026·甘肃临夏·一模）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点
(1)点的坐标为 ．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)将直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离．
【答案】(1)；
(2)
(3)5
【分析】（1）将代入直线中，即可求解；
（2）先求出点，再代入反比例函数中，即可求解；
（3）设直线向下平移了个单位长度，得到平移后的直线表达式为，再求出点，代入中，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，
∴当时，，解得，
∴点的坐标为；
（2）解：将代入直线中，得，
∴点，
∴将代入反比例函数中，得，
∴反比例函数的解析式为；
（3）解：设直线向下平移了个单位长度，
平移后的直线表达式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，
代入，得，
，
直线向下平移的距离为5个单位长度．
3．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点P的坐标为
【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值；
（2）利用函数图像即可求出不等式的解集；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：∵的面积为4，
∴，
解得，或（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为，
把点和点代入得，
，．
（2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，
不等式的解集为：
或；
（3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示：
根据轴对称可得：，
∴，
∴此时最大，
点关于轴的对称点，
设直线的关系式为，代入和得，
，
解得，
∴直线的关系式为，
令，，
∴直线与轴的交点坐标为，
即点P的坐标为．
4．（2025·贵州黔南·二模）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．
画出函数图象
（1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线．
观察函数图象
（2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
得出结论
（3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________．
【答案】（1）见解析；（2）0个交点时，；1个交点时，；2个交点时，；（3）
【分析】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
（1）直接画出图象即可；
（2）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解；
（3）运用（2）的相关结论即可．
【详解】解：（1）图象如下所示：
（2）在直线平移的过程中，交点个数有0个、1个、2个三种情况，
联立和并整理得．
，
0个交点时，即；即1个交点时，；2个交点时，，．
（3）由（2）得：．
解密题型27 一次函数与实际问题
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元．
(1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？
【答案】(1)A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元
(2)有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱
【分析】（1）设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，根据“购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元”列方程组求解即可；
（2）设购进A型设备m台，则购进B型设备台，根据“总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半”列不等式组求出m的值，得出方案；再列出总费用的函数关系，根据一次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，
根据题意得：．
解得：．
答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元．
（2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台，
根据题意得：，
解得：．
∵m为整数，
∴，8，9，10，
∴共4种购进方案；
总费用，
∵，故W随m增大而减小，
∴当时，W最小，此时，
最小费用（万元），
答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱．
2．（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关．
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，．
【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示．
【解决问题】
(1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N；
(2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式；
②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式；
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可）
【答案】(1)4；2.8；2.5
(2)①当时，,当时,；②
(3)；
【分析】（1）①根据解答；②和③，观察图象可得答案；
（2）观察图象根据待定系数法求出关系式即可；
（3）先将代入第一个函数关系式求出，再根据题意将代入第二个函数关系式可得答案
【详解】（1）解：①当小铝块下降时，小铝块位于液面上方，此时，所以弹簧测力计A的示数为；
②当小铝块下降时，
观察图象可知弹簧测力计A的示数是；
观察图象可知弹簧测力计B的示数是；
（2）解：①当时，弹簧测力计A的示数.
当时，设弹簧测力计A的示数，根据题意，得
，
解得，
∴；
②当时，设弹簧测力计B的示数，根据题意，得
，
解得，
∴；
（3）解：当时，，
当小铝块浸入液面后，且甲，乙两个弹簧测力计上的小铝块重力相同，甲乙液体的浮力相同，所以两个小铝块所受的相等，
∴，
解得，
即．
3．（2026·黑龙江绥化·二模）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元．
(1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元；
(2)超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？
(3)该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题：
①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时；
②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米．
【答案】(1)甲种粽子每箱进价元，乙种粽子每箱进价元
(2)共6种方案，购进甲种粽子75箱，乙种粽子125箱时，所需资金最少为元
(3)①75，60；②出发，3，小时
【分析】（1）设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元，根据题意可得二次方程，解方程即可；
（2）设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱，根据题意可得关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得m的取值范围，m取整数即可得购进方案；设所需资金为W，根据题意得：，根据一次函数的性质求最小值即可；
（3）①根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解；
②先根据图象求出大货车休息后的速度，再分三种情况：大货车休息前；大货车休息后再次出发前；大货车再次出发后；分别列方程求解．
【详解】（1）解：设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元．
，
解得，
答：甲种粽子每箱的进价是48元，乙种粽子每箱的进价是32元；
（2）解：设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱，
，
解得，
又∵m为正整数，
∴m可以取75，76，77，78，79，80，
∴该商店有6种进货方案；
设所需资金为W元，根据题意得：
，
∵，
∴时，所需资金W最小，
此时，，
答：购进甲种粽子75箱，乙种粽子125箱时，所需资金最少为元；
（3）解：①根据题意，得：
大货车休息前的速度为千米/时；
小货车的速度为千米/时；
②当时，大货车开始休息；
当时，大货车休息后再次出发；
小货车到达超市时间，大货车到达超市时间，
∴大货车休息后的速度为千米/时；
大货车休息前：
∵两车相距30千米，
∴，
解得：；
大货车休息后再次出发前：
，
解得：；
大货车再次出发后，大货车行驶与起点的距离
∴，
解得：或；
即出发2小时或3小时或小时两车相距30千米．
4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示．
(1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________；
(2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间；
(3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)2，14
(2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟
(3)
【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为；
（2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可；
（3）根据函数图象，得出答案即可．
【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同，
折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；
注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化，
此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为．
（2）解：如图，
设的解析式为，
将点代入得：
，解得，
的解析式为，
设的解析式为，将点代入得：
，
解得，
的解析式为，
，
解得，
答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同．
（3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为．
解密题型28 二次函数与实际问题
1．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践
如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长．
(3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)这两盏路灯的坐标分别为
【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果；
（2）令，求解对应自变量的值即可；
（3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果．
【详解】（1）解：据题意，可得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵点，点到的距离均为，
∴令，
解得，
∴．
（3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，
可得垂直于轴，垂足为，且，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
可得，
解（舍去）．
当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
即这两盏路灯的坐标分别为或．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）某林区消防大队利用无人机进行消防演练，无人机升空后在点C所在高度水平匀速飞行，到达指定位置A时，空投一枚模拟灭火干粉罐．干粉罐灭火弹离开无人机后，在空中做平抛运动，轨迹为一段抛物线，如图所示，空投点A即为抛物线的最高点．若无人机程序设计空投点坐标，投放目标点坐标．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)如果在距离空投点A水平距离20米处有一棵高10米的树木．请通过计算判断干粉罐是否会撞到树木；如果干粉罐会碰到树木，保持无人机原有速度不变（即平抛运动轨迹抛物线形状不变）且水平位置不变，仅调整无人机空投点高度，求调整后空投点的高度至少为多少米时，干粉罐才能避开树木（结果保留整数）
【答案】(1)
(2)干粉罐会撞到树木．调整后空投点的高度至少为50米，干粉罐才能避开树木
【分析】（1）根据抛物线的顶点为，设抛物线的函数关系式为，再把点代入，求出a的值，即可解答；
（2）距离空投点A水平距离20米的位置，则该点的横坐标为，把代入函数关系式，求出函数值，与树高10米比较即可判断干粉罐是否会撞到树木．设调整后空投点的高度为h米，设调整后空投轨迹抛物线的函数关系式为，将点代入，求出h的值即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的函数关系式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的函数关系式为．
（2）解：距离空投点A水平距离20米的位置，则该点的横坐标为，
当时，
，
∴干粉罐会撞到树木．
设调整后空投点的高度为h米，
∵平抛运动轨迹抛物线形状不变，
∴设调整后空投轨迹抛物线的函数关系式为，
由题意可得，当该抛物线过点时，
，
解得，
∴调整后空投点的高度至少为50米，干粉罐才能避开树木．
3．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)圆弧 所在圆的半径为
(3)锅盖能正常盖上
【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径；
（3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上．
【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴圆弧 所在圆的半径为；
（3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称，
∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴锅盖能正常盖上．
4．（2026·安徽阜阳·模拟预测）综合与实践
【项目背景】点茶是中国古代的一种沏茶方法，始于唐，盛于宋，是宋代斗茶与文人雅士日常品饮的核心沏茶技艺，其中“分茶”更是将沏茶升华为兼具实用性与观赏性的艺术．茶艺师复刻“分茶”技艺时，倒茶的水流轨迹、茶壶壶嘴造型、茶碗的移动与承接，看似是行云流水的技艺展现，实则暗藏着丰富的数学规律．
【项目准备】
模型抽象：在一次茶会上，我们将茶艺师表演“分茶”技艺时倒茶的情景抽象为如图所示的数学模型．已知茶壶壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水轨迹在同一条抛物线上；点B、C所在直线与x轴（桌面）平行，茶碗边沿点E与壶口C的连线垂直于x轴．

核心条件：
①，；
②壶柄与竖直方向夹角为，，线段AB与壶柄平行；
③茶碗的底面直径为，碗口直径为，高度为，茶碗的侧内壁剖面图可以抽象为二次函数的部分图象，茶碗底部中心初始坐标为，茶碗碗口中心F与底部中心的连线垂直于桌面；
④当点A相对桌面的高度时，点A的横坐标为0，抛物线水流恰好经过F点，且抛物线的顶点在线段的垂直平分线上．
【项目任务】
(1)任务一：求曲线BC所在抛物线的解析式；
(2)任务二：点茶时，前期调膏要低注慢淋，避免冲散茶末，因此要求茶艺师在前期注水时水流距离茶碗壁的竖直高度不得超过．判断此次倒茶过程中，水流距离茶碗壁的竖直高度是否符合要求；
(3)任务三：若为了节目效果，茶碗盛水后会匀速上浮，上浮速度为，同时沿x轴正方向以的速度平移．茶艺师手持茶壶竖直向上平移（横坐标不变），平移高度为，平移后茶水轨迹为原抛物线竖直平移后的图形．设茶碗移动时间为，当茶水轨迹经过茶碗上沿点E处时，分茶效果最佳，因此要求茶水落点始终在茶碗边沿E，求h与t的函数关系式，并求出当时，点A距离桌面的高度．
【答案】(1)
(2)符合要求，见解析
(3)，当时，，此时A距离桌面的高度为．
【分析】（1）根据题意得到和，求出对称轴为，求出，将和代入，即可得到答案；
（2）由题意可知，，，求出EG解析式为，得到，求出对称轴为，即可得到答案；
（3）平移后的解析式为，，将代入平移后抛物线解析式，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，线段AB与壶柄平行，
的水平增量为，竖直增量为，
，
，
，
中点横坐标为，对称轴为，
，
底面直径为，碗口直径为，高度为，
，
设抛物线解析式为，
将和代入，
，
解得，
；
（2）解：由题意可知，，，
故茶碗内壁侧面抛物线EG解析式为．
，
对称轴为，且．
当时，，故符合要求；
（3）解：平移后的解析式为，，
将代入平移后抛物线解析式为，
得，
当时，，此时A距离桌面的高度为．
5．（2026·广西桂林·一模）【综合与实践】
【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计
某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下：
【问题探究】
(1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程；
(2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值；
(3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因．
【答案】(1)，，；
(2)安全初始距离的最小值是；
(3)见解析．
【分析】（1）设，将，；，代入求出、的值即可得出速度关于时间的一次函数解析式；设，将，；，；，代入求出、、的值即可得出路程关于时间的二次函数解析式，再求出时的、的值即可得出车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程；
（2）目标障碍物测试车行驶的路程为，要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，则可推得，结合二次函数的最大值即可得的最小值；
（3）由于雨天，使得地面摩擦力减小（答案不唯一）
【详解】（1）解：设，
将，；，代入，
得，
解得，
速度关于时间的一次函数为；
设，
将，；，；，代入，
得，
解得，
路程关于时间的二次函数为，
当时，，即，
此时，
车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为．
（2）解：目标障碍物测试车行驶的路程为，
要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，
，
，
，
当时，有最大值，
最小为时才安全，
安全初始距离的最小值是．
（3）解：当时发生了追尾，可能是由于雨天，使得地面摩擦力减小，测试车从开始到最终停下的刹车距离大幅增加，导致测试车与目标障碍物测试车在安全距离即使大于了的情况下依然发生了追尾．
解密题型29 函数与图形变换问题
1．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知锐角的边的长为，面积为，，点在上，点在上，四边形为正方形（与在的异侧），其边长为，正方形与的公共面积为．
(1)当正方形的边恰好落在上时，求边长．
(2)当不落在上时，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中）
(3)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作于点，交于点，可证，根据锐角的边的长为，面积为，可得边上的高为，根据相似三角形的性质即可求出的值；
（2）根据正方形与的位置关系，分两种情况求出关于的函数关系式；
（3）根据关于的函数关系式，分情况求出最大值，通过比较得到的最大值．
【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点，交于点，
锐角的边的长为，面积为，
设边上的高为，
根据题意可得：，
解得：，
即，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
解得：；
（2）解：当时，如下图所示，
则有；
当时，如下图所示，
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，；
（3）解：同（2）可得，
当时，
最大值为；
当时，
整理可得：，
当时，有最大值，最大值为；
综上所述，的最大值为．
2．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将三角板绕点顺时针旋转至，
①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标；
②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②在反比例函数图象上，理由见解析
【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；
（2）①过点作于点，由旋转得，将代入反比例函数表达式，进而即可求解；
②过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证明， 结合旋转的性质可得， 再把代入反比例函数表达式进行检验即可
【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：①如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
由旋转得，
将代入反比例函数表达式，得：，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
∴，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知，，
由旋转得：，，
∴在中，，，
∴，，
∴，
将代入反比例函数表达式，得：，
∴在反比例函数图象上．
3．（2026·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，，求的最大值；
(3)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】（1）将、两点的坐标代入抛物线中，求出待定系数即可；
（2）先证明，得到，将求的最大值转化为求的最大值．设点的坐标，根据轴得到点的坐标，进而用含的代数式表示出的长度，构造二次函数并求其最大值，从而得到的最大值；
（3）先求出原抛物线沿轴翻折后的型函数解析式，再写出直线向上平移个单位后的直线解析式．通过分析直线过点、点的临界情况，以及直线与翻折后抛物线相切的临界情况，来确定的取值范围．
【详解】（1）解：∵，在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，其中，
∵轴，点在直线上，
∴，
∴，
∵二次函数的开口向下，对称轴为，
∴当时，的最大值为，
∴的最大值为；
（3）解：中，
取，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴沿轴翻折后的解析式为，
设直线向上平移个单位得到直线为，
如图，当直线过点时，
，
∴；
当直线过点时，如图，
，
∴；
当直线与翻折后的抛物线相切时，如图，
，
∴，
∴，
解得：，
∴的取值范围为或．
【点睛】忽视点在第四象限，需注意在自变量的取值范围内求最值．
4．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点．
①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果与相似，求平移的距离．
【答案】(1)，顶点
(2)①；②或5
【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可；
（2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解；
②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可．
【详解】（1）解：将点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴顶点；
（2）解：①对于抛物线，令，得，
，
∵，
则轴，且，
过作，交延长线于点，
，
，
，
由题可知点向上平移到点，
则轴，即，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位，
∴平移之后的抛物线的表达式为；
②解：设抛物线向上平移了个单位，
∴，
令，得或 6 ，
∴，
设直线的表达式为，
代入可得，解得：，
故直线的表达式为，
设直线的表达式为，
代入可得，解得：，
故直线的表达式为，
联立，
解得，
即，
，
∵，轴，轴，
∴，
∴分两种情况讨论：
当时，
则，即，
解得；
当时，
则，即，
解得；
综上，平移的距离为5或个单位．
【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
解密题型30 函数与图形面积问题
1．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，D的坐标为，面积最大值为8
(3)存在，点Q的坐标为：，
【分析】（1）利用抛物线与x轴交点坐标代入抛物线即可求出；
（2）通过设点D坐标，再根据二次函数性质求最值；
（3）根据面积相等，分情况讨论点Q的位置，通过直线与抛物线求解点Q坐标．
【详解】（1）解：已知抛物线过，
，解得，
所以抛物线表达式：；
（2）解：令，得，
则可设直线的解析式：，
代入，得，解得，即，
设点，，
过D作轴交于，
则，，
，
这是开口向下的二次函数，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为8，
此时D的坐标为；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
由（2）知直线的解析式为，则直线与对称轴交点坐标为，
∴，
过作轴交于，
设，则，
，
又与面积相等，
，即，
，解得（与点P重合，舍去）或，此时，
或，解得或，
对应Q的坐标为：，
综上，点Q的坐标为，．
2．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
【答案】(1)；
(2)点为线段中点
(3)直线过线段中点，证明见解析
【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可；
（2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系；
（3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴
∵直线与抛物线交于两点，
∴，
解得：，，
当时，；当时，，
∴，．
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大为，
∵把代入点中，
∴点；
（2）由（1）得，当时，有最大值，
∴将代入点得：点，
∵，，
点的中点坐标为点，即点，
∴点和点重合，
∴当面积最大时，点为线段的中点；
（3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大．
证明：设抛物线解析式为：，直线：，
直线与抛物线交于两点，设，
∴则方程的解为：，，
∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴，即为关于的二次函数，
∵当时，，，
由二次函数对称性知，当时，有最大值，
∵
∴当时，有最大值，
∴，即点为线段中点．
∴当直线过线段中点时（或），最大．
3．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集
(3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)的面积最大值为4，此时
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式；
（2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答．
（3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴
∵点在一次函数的图象上
∴，
解得
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得，
∴，
设，则，
，
∵，
∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4．
解密题型31 函数与特殊三角形存在性问题

1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由：
(4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)或
(4)
【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解；
（2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案；
（3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解．
（4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：在中，令，则：，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
过点D 作轴交直线于点E ，
，
，
．
（3）解：，
，
则是等腰直角三角形，
∴当是以为底的等腰三角形，则，
∴在的角平分线上，即上，
联立得，
解得： 或，
或．
（4）解：∵直线的解析式为，
将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，
则平移后解析式为，
联立和得：，
整理得：，
∴，
解得：，
则平移后解析式为，，
∴，
∴．
2．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为．
(1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴；
(2)若，求的取值范围；
(3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；直线
(2)
(3)
【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线．
（2）根据题意知，得，则抛物线解析式为．进一步结合题意可知， 时，，以及时，，求解即可；
（3）由对称轴对称得，连接和，对称轴与x轴交于点E，结合等边三角形，则，则有，解得，结合有，化简得，则有，即可．
【详解】（1）解：，抛物线对称轴为直线；
（2）解：由题意可知，，
∴，
故抛物线解析式为．
由题意可知，当时，，即，解得；
当时，，即，解得，
；
（3）解：当时，为等边三角形，证明如下：
关于对称轴对称，
．
如图，连接和，对称轴与x轴交于点E，
若为等边三角形，则，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
，
抛物线与轴交于两点，故顶点不可能在轴上，
故，
∴，
∵，
∴，
当时，无论为何值，都存在为等边三角形．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或．
【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，．
抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
解得
抛物线的解析式为：．
（2）解：存在，理由如下
抛物线与x轴交于A，B两点，
．
解得，．
．
设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：．
直线的解析式为：，
，
当和相似有两种情形，
当时，如图
．
．
设直线的解析式为，将，代入得
，解得：．
∴直线的解析式为．
∴直线的解析式为．
联立解得：．
．
②当时，如图
．
，，，，
，．
，解得．
设，
解得∶或 (舍去)．
则
．
综上所述，或．
4．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值；
(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解；
（3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可．
【详解】（1）解：将点，，代入 ，
得，解得，
故抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
当时，，
故点的坐标为．
（2）解：假设平移后的函数表达式为，
假设直线所在的函数表达式为，
将点，代入，
得，解得，
故直线所在的函数表达式为，
由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点，
即方程仅有一个实数解，
整理得，
故，
解得．
（3）解：假设点的坐标为，
∵，，，
∴，，，
当为直角的斜边时，
，
即，
解得；
当为直角的斜边时，
，
即，
解得；
故点的坐标为或．
解密题型32 函数与特殊四边形存在性问题
1．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可；
（2）求解抛物线的对称轴为直线，设，，再分类讨论即可
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
令，则，
∴,
设，
如图，
当时，则且
解得：，
∴
当时，则且
解得：，
∴
综上：点M坐标为或
2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，反比例函数解析式为
(2)点坐标为或或或
【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标；
（2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得：，
∴正比例函数表达式为，
，
∴反比例函数解析式为，
∵点关于原点对称，
，
综上，，反比例函数解析式为；
（2）解：过作轴，交于点，
设，则，
，
，
解得：或（舍去），
，
则，
当为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点在点左侧，
此时轴，且，
；
②如图，此点在点右侧，
此时轴，且，
；
③如图，为对角线，
此时点与点关于轴对称，则；
当为菱形的对角线时，如下有一种情况：
过作轴于点，
设，则，
在中，，
解得，
，
，
综上，点坐标为或或或．
3（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数相交于点．
(1)求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点且在点C下方，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，若M为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点N，使得以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为
(2)
(3)点的横坐标为或
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，矩形的性质，两点的距离公式等知识，利用数形结合的思想和方程的思想是解答本题的关键．
（1）由题意求得相应点坐标，再运用待定系数法求出函数表达式即可；
（2）添加辅助线，证明，结合以及点的坐标，求出点、的坐标，最后依据面积公式计算可得出的面积；
（3）根据题意进行分类讨论，当为矩形边或对角线时，根据两点距离公式以及中点坐标公式列方程即可解得点的横坐标．
【详解】（1）解：∵点在一次函数上，
代入得，解得，
故一次函数表达式为，
∵点在一次函数上，
代入得，解得，
故点的坐标为，
又∵点在反比例函数上，
代入得，解得，
∴反比例函数的表达式为，
综上，一次函数表达式为，反比例函数表达式为．
（2）解：过点作交于点，过点作交于点，如下图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，结合，
可得，
∵点的坐标为，即，
解得，故点的纵坐标为，
∵点在反比例函数上，
即，解得，故点的坐标为，
∴，结合，解出，故点的坐标为，
∴．
（3）解：由（1）中可知，，
可知点，，
令点，，
分类讨论：
①当为边时，对角线为，且、互相平分，即的中点与的中点重合，结合线段中点表达式，得出下列方程：
得，
解得，
∴点的横坐标为；
②当为对角线时，对角线为，且、互相平分：
得，
解得或
∴点的横坐标为或（不符合题意，舍去）；
③当为边时，对角线为，且、互相平分：
得，
解得，
∴点的横坐标为（不符合题意，舍去）；
综上所述，点的横坐标为或．
解密题型33 函数与特殊角存在性问题
1．（2026·黑龙江·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可；
（2）作，与x轴交于点E，则，证明，可得，点，过点B作，交抛物线于点D， 此时满足，则此时点D即为所求，求出直线的解析式为，可得直线的解析式为，然后联立得：，可求出点D的坐标；作，交y轴于点F，则此时满足，证明，，求出直线的解析式为，联立得：，求出点D的坐标．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线上存在点，使，
根据题意得：，，
对于，
当时，，
∴点，即，
如图，作，与x轴交于点E，则，
∵，
∴，
∴，
∴点，
过点B作，交抛物线于点D，
∴，
∴，
此时满足，则此时点D即为所求；
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点的坐标为；
如图，作，交y轴于点F，则此时满足，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴同理直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点的坐标为；
综上所述：抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或．
2．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)8或
(3)或或或
【分析】（1）将点代入计算即可；
（2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可；
（3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，
∵，
∴轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为，
将代入得：，
解得或（点的横坐标），
∴此时点的横坐标为8；
②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，
设与轴交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴此时点的横坐标为；
综上，点的横坐标为8或．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
由题意，设点的坐标为，
∵，
∴，，，
①当时，为直角三角形，
则，即，解得，
∴此时点的坐标为；
②当时，为直角三角形，
则，即，解得，
∴此时点的坐标为；
③当时，为直角三角形，
则，即，解得，
∴此时点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
解密题型34 函数与最值问题
1．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求、的值；
(2)点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标；
(3)在线段上是否存在点，使存在最小值？若存在，请直接写出点的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
(3)存在，，的最小值为
【分析】（1）将对称轴，点分别代入对称轴公式和解析式，可得关于、的方程组，解方程组即可；
（2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可；
（3）在轴上取点，连接，，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与轴交于，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得，
∴抛物线解析式为，
令，则，
解得，，
∴，
∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点，
∴设，，
∵旋转，
∴，，
当点在轴上方时，
∵，关于对称轴对称，
∴，
∴当时，满足题意，此时点与点重合，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当点在轴下方时，如图，作⊥对称轴于点，则：，

∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
把点代入，得
，
解得或（舍去），
∴；
综上，点的坐标为或；
（3）解：存在，
在轴上取点，连接，，过点作于点，交轴于，过点作于点，则，

∵抛物线中，当时，，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上，，的最小值为．
【点睛】这道二次函数综合题，核心考查抛物线对称轴性质、旋转构造全等三角形、胡不归最值的线段转化，解题关键是几何性质代数化，以分类讨论和垂线段最短破局．
2．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)有最大值，，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为，
∴．
（2）（2）是有最大值，理由如下：
∵当时，，
∴．
设直线的函数表达式为，
∴，
解得．
∴直线的函数表达式为，
设，
则．
∴
．
当时，有最大值，
此时，
∴有最大值，为．此时．
3．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出中的取值范围；
(3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点P的坐标为
【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值；
（2）利用函数图像即可求出不等式的解集；
（3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：∵的面积为4，
∴，
解得，或（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为，
把点和点代入得，
，．
答：，；
（2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，
不等式的解集为：
或；
（3）解：∵点关于轴的对称点，
又，则直线与轴的交点即为所求的点，
设直线的关系式为，代入和得，
，
解得，，
∴直线的关系式为，
令，，
∴直线与轴的交点坐标为，
即点P的坐标为．
解密题型35 整点问题
1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据临界点求出直线解析式即可解答．
【详解】解：如图所示，此时，，
设直线的解析式为，由条件可得：
，
解得，
，
当时，，
，
；
如图3所示，此时，，
设直线的解析式为，由条件可得：
，
解得，
，
当时，，
，
；
综上，．
2．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称．
(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______；
(2)当时，求抛物线的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为．
①当时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)，1；
(2)；
(3)①，，共3个；②或．
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
（1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案；
（3）①根据图象即可求得；
②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或
【详解】（1）解：二次函数，
对称轴为直线，
令，则，
图象与y轴的交点坐标为；
故答案为：，1；
（2）解：抛物线G：，
抛物线：，
即，
当时，；
（3）解：①当时，则抛物线G：，
顶点为，
令，解得：，，
图象与y轴的交点坐标为，
区域W内的整点有，，共3个；
②当时，如图2，
抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，
，
解得：，
结合①可得：；
当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点．
经过点时，，
解得：，
经过点时，，
解得：，
，
故如果区域W内恰有5个整点，则或
解密题型36 几何图形初步
1．（2026·辽宁营口·一模）紫砂壶是我国非物质文化遗产之一，成型工艺特别，造型样式丰富，陶器色泽古朴典雅如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，从上面看到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：从上面看，得到的图形是
2．（2026·河南周口·一模）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据特殊几何体的展开图逐一进行分析判断即可得到答案．
【详解】解：A、侧面展开图不是扇形，故A错误；
B、侧面展开图是扇形，故B正确；
C、侧面展开图不是扇形，故C错误；
D、侧面展开图不是扇形，故D错误，
3．（2026·陕西西安·三模）陕西耀州窑是宋代六大窑系之一，它以独特的剔刻花装饰、莹澈的青釉而著称，是北方青瓷烧造技术的集大成者．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列瓷器的形状最为接近的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知，与给定的图形绕虚线旋转一周所得的几何体最为接近的是选项C的瓷器．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为____．
【答案】
【分析】设，则，
根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，
设，则，
则在直角三角形中，由勾股定理可得：，
即，
解得：或（舍去），
∴正方体的棱长为．
解密题型37 正方形展开图
1．（2026·河南周口·二模）新情境 河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（ ）
A．国B．玉C．雕D．乡
【答案】A
【详解】解：由题意，可得“中”与“玉”“雕”“之”“乡”相邻，
所以“中”的对面汉字是“国”．
2．（2026·河南·一模）如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字互为相反数；则的值为（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】A
【分析】根据正方体展开图中，相对的面之间一定隔着一个正方形，确定相对的面，进而求出x、y的值，最后代入求值即可．
【详解】解：由正方体展开图的特点可知，数字5所在的面与数字x所在的面相对，数字所在的面与数字y所在的面相对，
∵若正方体相对面上的两个数字互为相反数，
∴，
∴．
3．（2026·河北保定·模拟预测）将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定棱在正方体中为含三角形面的顶面水平棱，将展开图折叠，验证各线段位置，确定与棱重合的线段．
【详解】解：将展开图折叠还原，棱为含三角形面的顶面水平棱，折叠后与棱重合，其余线段均不重合．
故选：A．
解密题型38 运用数学知识解决实际问题
1．（2026·吉林辽源·一模）某班同学在操场上站成笔直的一排，只要确定两个同学的位置，这一排的位置就确定了，依据是（ ）
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．过不共线的三点可以确定三条直线
【答案】C
【分析】根据两点确定一条直线的性质即可选出正确答案．
【详解】解：∵两个同学的位置对应两个点，笔直的一排对应一条直线，题目说明确定两个点就可以确定这一排（直线）的位置，
∴符合直线的基本性质两点确定一条直线．
2．（2025·吉林·三模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩B．木板上弹墨线
C．两钉子固定木条D．弯曲河道改直
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段最短；两点确定一条直线，两点之间；线段最短，先判断每个选项的现象是分别依据哪些原理，再结合题意，即可作答．
【详解】解：A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故本选项符合题意；
B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意；
C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意；
D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项不符合题意，
故选：A．
3．（2025·吉林·模拟预测）如图所示，小明到小颖家有三条路，小明想尽快到小颖家，请你帮他选线路______，用数学知识解释为______．
【答案】 ② 两点之间线段最短
【分析】本题考查线段的性质，根据“两点之间线段最短”可得答案．
【详解】解：选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短．
故答案为：②，两点之间线段最短．
解密题型39 利用平行线的性质与判定求解
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）把两块分别含角和含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意证明，延长交于点，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】依题意，
∴
如图，延长交于点，
∴
又∵
∴
2．（2026·安徽安庆·一模）如图，已知四边形是矩形，点D在直线上，若平分，则下列结论不正确的是（ ）
A．平分B．
C． D．是等边三角形
【答案】D
【分析】由矩形的性质可得，再利用角的和差以及等量代换可得，再结合题意可得、，易得，即可判断A选项；先说明，再利用平行线的判定定理可判断B选项；由结合三角形外角的性质即可判定C选项；由于不能说明，即可判断D选项．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点D在直线上，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即平分，故A正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，即选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵只能说明，不能说明，故不能说明是等边三角形，即选项D错误，符合题意．
3．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____．
【答案】5
【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可．
【详解】解：①当，在中，，
在中，，
∴此时；
②当，在中，，不符合三边关系，
∴此种情况舍去；
综上，的长为5．
解密题型40 三角形的三边关系

解密题型41 与三角形高、中线、角平分线有关的计算

1．（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案．
【详解】解：延长至点，使，连接
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∵，
在中，由三角形三边关系得，
代入，得：
，
即，
∴．
只有选项A的在该范围内．
52．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值．
【答案】，
【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可．
【详解】解：
，
a、2、4恰好是等腰的三边长，
或，
当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意；
当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意；
，
．
2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（ ）
A．3B．6C．12D．24
【答案】B
【分析】过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】解：过点作交于点，
平分交于D，
，，，
，
．
3．（2026·河南·一模）如图，已知点分别为的中点，的面积为2，则阴影部分的面积为__________．
【答案】6
【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
点E为的中点，的面积为2，
，
，
点F为的中点，
，
点D为的中点，
，
阴影部分面积为：．
解密题型42 三角形内角和与外角和综合

1．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，从而得，根据三角形内角和定理得出，即可得．
【详解】解：根据题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2026·辽宁营口·一模）如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先通过四边形内角和定理和对顶角相等得出，所以，然后通过角平分线定义与三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵于点，于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵与分别是和的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
4．（2026·广东东莞·一模）如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，，若， 则的度数是 ．
【答案】
【分析】连接，由切线的性质可得，则，结合，可计算出，最后用作差求出．
【详解】解：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴．
解密题型43 垂直平分线

1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，交于点O，若点N恰为的中点，则的长为______，的长为________．
【答案】 2
【分析】由题意可得垂直平分，可得点O为的中点，，再由点N为的中点，则可得是的中位线，，可得，在中可求得，则可得的长．
【详解】解：由题意可得，垂直平分，
∴点O为的中点，，
∴，
∵点N为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，已知矩形的顶点，按以下步骤作图：
①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N；
②作直线，分别交边，边于点E，D．
若D点坐标为，连接，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，勾股定理求出，再根据垂直平分线的性质可得，设交点为，证明，可得，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
设交点为，
由作图知垂直平分，
∴，，
∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解密题型44 三角形中位线

1．（2026·四川达州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由菱形的面积以及中位线的性质，可求出、的长度，再结合勾股定理得出的长度，即可得出结果．
【详解】解：∵点，分别是边，的中点，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴， ，
∴，
∴，，
∴，
∴．
2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，则的长为__________．
【答案】/
【分析】先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，．
【详解】解：连接，如图，如图，
∵菱形中，与互相垂直平分，
又∵点是的中点，
∴A、O、C三点在同一直线上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．如图，在中，分别是边上的中线，三条中线交于重心G．
【性质探究】
(1)小颖发现点E、D分别是的中点，由此联想到三角形中位线，请你根据小颖的思路，证明：；
【迁移应用】
(2)经过探究，小颖进一步发现：以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形．请你帮助小颖完成这一结论的证明．
【创新研究】
(3)探究由三条中线为边构成的三角形与的面积之间的数量关系．若设的面积为S，由三条中线构成的三角形的面积为，请写出S与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）得到为的中位线，则，再由即可证明；
（2）连接并延长至点，使得，连接，先证明四边形为平行四边形，则，再证明四边形为平行四边形，则，而构成了，即可证明以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形；
（3）根据三角形的中线等分面积以及相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的中线，
∴点为的中点，
∴，
∴
∴，
即；
（2）证明：连接并延长至点，使得，连接，
同理可得，
∴
∵点为的中点，
∴
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵构成了，
∴以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形；
（3）解：S与之间的数量关系为，如图：
设，
∵，
∴，
由（2）知，，
∴
∴，
∴，即
∵点为中点，
∴
∴
同理
由（2）知，
∴
同理可得，
∴，
∴，即，
∴．
解密题型45 添加一个条件使两个三角形/全等相似

1．（2026·湖南湘潭·一模）如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：．据此逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
A．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
B．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
C．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
D．添加条件，不能判定，故符合题意，
故选：D．
2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）．
【答案】（答案不唯一 、 ）
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：∵点在同一直线上，，
∴，
∴；
又∵，
根据平行线的性质，得
此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可：
添加，可由判定全等；
添加，可由判定全等；
添加，可由判定全等，以上均正确
综上， 答案不唯一，，、 都正确．
3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在和中，，若添加一个条件，仍不能使得和相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，，
∴和相似，故选项A不符合题意；
B、∵，，
∴和相似，故选项B不符合题意；
C、∵，，
∴不能得出和相似，故选项C符合题意；
D、∵，，
，即
∴和相似，故选项D不符合题意．
故选：C．
解密题型46 利用全等/相似三角形的性质求解

1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，，在边上，，，交于，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到，求出和的度数，得出计算即可；
【详解】解：，，，
，，，
，
，
，
．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，已知，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为_____．
【答案】4
【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，首先根据旋转的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，进而可求出，然后根据勾股定理求出的长度，即可求出的长度．解题的关键是根据旋转的性质得到是等腰直角三角形进而求出的长度．
【详解】解：连接，
∵将绕点A逆时针旋转得到，则，
∴，，
∴，，
∵，，三点恰好在同一条直线上，，
，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
∴，
∴．
故答案为：4．
3．（2026·广西贵港·一模）如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为（ ）
A．B．C．D．9
【答案】B
【分析】本题考查矩形的相似，掌握相似图形的性质是解题的关键．
，根据中点，得根据矩形与矩形相似，得，代入求解即可．
【详解】解：设，
矩形和矩形，为矩形的边的中点，，
，，
矩形与矩形相似，
，即，解得，
，
．
故选：B．
解密题型47 半角模型

1．（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动．
如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足．
(1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____．
(2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长．
(3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）【常规探究】延长至G，使，连接，可证得，从而，，进而证得，从而，进一步得出结果；
（2）【变式思考】延长，交的延长线于W，作于V，可得出，从而得出的值及，可证得，从而得出，根据勾股定理等知识求得，可证得，根据得出的值，进而得出的值，进一步得出结果；
（3）【拓展应用】可判断当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值，作，交于G，作于W，则，，可证得，从而，从而得出，作的外接圆O，作于，交于，当G点在处时，最大，进一步得出结果
【详解】（1）解：【常规探究】如图1，，理由如下：
延长至G，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：【变式思考】如图2，
延长，交的延长线于W，作于V，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，G是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：【拓展应用】如图3，
当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值，
，
作，交于G，作于W，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作的外接圆O，作于，交于，
当点在处时，最大，
由得，
∴，，，
∴，
∴，
∴最大值．
2．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）【建立模型】如图1，正方形的边长为6，点E，F分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
【模型应用】
（2）当时，①____________；
②求的长．
【模型拓展】
（3）如图，等腰直角三角形中，，，点M，N在边上，且，若，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）①8；②；（3）
【分析】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；
（1）由题意易得，由旋转的性质可知：，则点C、D、G三点共线，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求证；
（2）①由（1）可知：，点C、D、G三点共线，然后问题可求解；
②由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可进行求解；
（3）把绕点A逆时针旋转得到，连接，同理（1）可得，由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，且边长为6，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，即点C、D、G三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①由（1）可知：，点C、D、G三点共线，
由旋转的性质可知：，
∴；
②∵，
∴，
设，则有，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
即；
（3）解：把绕点A逆时针旋转得到，连接，如图所示：
同理（1）可得，
∴，
∵在等腰直角三角形中，，，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴．
3．（2025·甘肃天水·一模）【模型建立】
（1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3），见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键：
（1）首先利用证明，得，从而得出答案；
（2）在上取.连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论；
（3）将绕点A逆时针旋转得，由旋转的性质得点E、D、C共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题.
【详解】（1）.证明如下：
由旋转，可知：，，，.
∴点E、B、C共线，
∵，
∴.
在和中，
，
∴.
∴，
∵，
∴；
（2）.证明如下：
在上取.连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴.
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）将绕点A逆时针旋转得，
∴，，，
∴，
∴，
∴点E、D、C共线，
由（1）同理可得，
∴，
∴.
解密题型48 一线三等角模型

1．（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的性质与判定，作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方,进而代入数据，即可求解．
【详解】解：作轴，垂足为G，轴，垂足为H，
∵点A在函数图象上，点B在反比例函数图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
∴
故选：D．
2．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为，直线所对应的一次函数的表达式为
(2)存在，周长的最小值为，理由见解析
【分析】（1）过点A，B作轴于点D，轴于点E，求出，证明，得，，求出，，得反比例函数的表达式为，求出直线解析式；
（2）作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P，可得，求出 ，，即得周长的最小值．
【详解】（1）解：∵中，，
∴，
∴，
过点A，B作轴于点D，轴于点E，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∵点A，B都在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线解析式为．

（2）解：周长存在最小值．理由：
作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P，
则，
∴，
此时，的值最小，的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴周长的最小值为．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称性质，是解题的关键．
解密题型49 手拉手模型

1．（2026·河南周口·一模）综合探究
(1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________；
(2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值；
(3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)的长为
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论；
（2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解；
（3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解．
【详解】（1）解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴令，
由勾股定理得，
∴；
（3）解：①如图所示，，，三点共线，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
②如图所示，，，三点共线，
此时，，
∵和都是等腰直角三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
综上，的长为．
2．（2026·广东深圳·一模）如图1为正方形和正方形，连接．
(1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由；
(3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形证明，得到；
（2）由矩形得到，结合，得到，即可得到，；
（3）交于点，先求出，再由，得到，即可求出，，，最后根据勾股定理求即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形与四边形都为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
3．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题：
(1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明．
(2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接．
①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________；
②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长．
(3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；；②
(3)
【分析】（1）利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质；
（2）①利用相似三角形的性质证明与之间的关系，本题即可求解；
②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可；
（3）过点作，过点作，连接，证明，求出与本题即可求解．
【详解】（1）解：如图，，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：①如图，在中，
，
，
，
又，
．
如图，延长与相交于点，与相交于点，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
即，．
故答案为：；；
②如图，连接，
，
，
又，
，
，
又∵M是的中点，N是的中点，
；
；
（3）解：如图，过点作，过点作，连接，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
即．
解密题型50 利用平行四边形的性质与判定求解

1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______．
【答案】
【分析】利用和相似可得，再利用等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，
，，
，，四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
，
∵，
∴．
2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（ ）
A．20B．22C．24D．48
【答案】C
【分析】由，，可得出四边形为平行四边形，故，
由中点的性质，可得出，故求出即可得出最后结果．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵为对角线，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，，，
∴，
∴．
3．（2026·安徽芜湖·一模）如图，菱形的对角线相交于点，，点，分别是边，的中点，连接，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据菱形的性质得到，，，，，根据等边对等角得到，证明四边形是平行四边形，得到，根据三角函数得到，即可求出的值．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，，，
∴
∵点，分别是边，的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴．
解密题型51 利用特殊四边形的性质与判定求解

1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在菱形中，，则四边形的面积与菱形的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接交于点，先证明，，然后证明四边形为平行四边形；同理可证明：，再证明四边形为矩形，然后根据矩形和菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∵，
∴
∵
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴
同理可证明：
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴四边形为矩形，
∴．
2．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】B
【分析】连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长．
【详解】解：如图所示：连接，交于点O，
由题中作图可知：，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
，
∴，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
3．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．作于，于，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出，由菱形的面积可得出答案．
【详解】解：作于，于，连接、交于点．
由题意知：，，
四边形是平行四边形，
两个矩形等宽，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，，，
点，之间的距离为，点，之间的距离为，
，，
，
，
，
．
这两张纸条的宽为，
故选：D．
4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点A作，证得四边形是正方形，再利用正方形的性质求得，，最后利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：过点A作，交的延长线于点E，
∵，是直角，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
如图可得，，，
在中，根据勾股定理可得，．
解密题型52 折叠问题

1．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵折叠
∴
∴
∵，即
∴，故A不正确
∵
∴，故B不正确
∵折叠，
∴
∵，故C不正确，D选项正确
故选：D．
2．（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设正方形边长为，由折叠得，推出，进而得．证等腰，得，在中，由内角和算出，等角对等边得．用对角线长度求：由正方形对角线，得，计算比值并有理化得最终结果．
【详解】解：设正方形边长为，
∴，对角线，，．
由折叠性质：，
∴，，
∴
在中，，，
∴
∴，
∴
在中：
，，
∴
∴，
∴
∵，且，
∴
∴．
3．（2026·江苏南通·一模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______．
【答案】/
【分析】作于点H，设交于点E，根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得，解得，然后根据，求出即可．
【详解】解：作于点H，设交于点E，
∵四边形是矩形，
，，
∵将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，
，，，
，
，
∵，
，，
设，则，
在中，，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D的横坐标是．
解密题型53 中点四边形

1．（2026·广西南宁·一模）如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合菱形判定定理分析各选项．
【详解】解：∵E，F分别为，的中点，
∴，，
同理可得，，，，，，，
∴且，且，
∴四边形是平行四边形，
当时，如图，则，
∴是菱形，
当时，如图，
∵，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴是矩形，
当或时，均不能判定为菱形，
∴可使四边形是菱形的条件是．
2．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____．
依据2是指：_____．
(2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．
(3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____．
【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(2)见解析
(3)20
【分析】（1）根据三角形中位线的性质以及平行四边形的判定即可得到答案；
（2）先证明，，，得到，，有，，再证明，，从而知道，同理可证，，最后推出；
（3）先证明，得到，由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和可知，，接着证明，然后在中利用勾股定理求得，求得答案．
【详解】（1）解：三角形的中位线平行且等于底边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，理由如下：
如图2，连接，
，分别为，的中点，
，（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半），
同理可得，，
，，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
同时可得，连接，同理可得，
．
故答案为：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明：
如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到，
则，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
同理可证，，
．
（3）解：连接，，如图，
和是等边三角形，
，，，
，
，
，
；
由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和，
；
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为20；
故答案为：20．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
解密题型54 多边形及内角和

1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图是一个由正方形和菱形构成的对称环状图案，其外轮廓为一个正八边形，下列判断正确的是（）
A．该正八边形的每个内角为
B．该正八边形的对角线共有条
C．该环状图案的对称轴有条
D．该正八边形的每个外角为
【答案】B
【分析】根据正多边形的内角和公式、外角和性质、对角线计算公式以及轴对称图形的性质逐一判断即可．
【详解】解：、正八边形的内角和为，每个内角为，故该选项错误，不符合题意；
、边形的对角线总数为，当时，对角线共有条，故该选项正确，符合题意；
、观察图案，虽然外轮廓是正八边形，但内部正方形和菱形的排列使得该图案只有条对称轴（分别为水平、竖直以及两条对角线方向），故该选项错误，不符合题意；
、正八边形的外角和为，每个外角为，故该选项错误，不符合题意．
2．（2026·山西太原·一模）跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点P作轴于点M，过点E作轴于点N，先求出，得出，再在等边三角形中求出和，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作轴于点M，过点E作轴于点N，
由题意可得、是等边三角形，是正六边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵点的横坐标为1，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
3．（2026·湖南岳阳·一模）苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则__________．
【答案】/
【分析】先计算正六边形的内角，即可求得和的度数，解直角三角形即可解答．
【详解】解：正六边形，
，，
，，
，
在直角三角形中，．
解密题型55 四边形与最值问题

1．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____．
【答案】/
【分析】本题考查旋转的性质，正方形性质及等边三角形判定与性质．将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，证明是，的垂直平分线，再求出，即可得到答案．
【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图：
由旋转可知，，，，，，，，，，，
∴，，，都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的最小值即为的长，
∵，，
∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∵，，
∴是，的垂直平分线，
∴，，
∴，，四边形是长方形，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
2．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______．
【答案】
【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵为线段上的动点，
如图，过点作的平行线，
过点作关于线段的对称点，
由对称性得，
∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值，
此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，
∵菱形中，，，
∴，
∴，
由题可得，
∴由对称性可得，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
即的最小值为．
3．（2026·四川达州·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________ ．
【答案】
【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，，进而可得，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，证明四边形为矩形，由矩形的性质易得，，进一步可知，在中，由勾股定理解得的长度，即可获得答案．
【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，
∵四边形为矩形，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，，
∴，
当点三点共线时，取最小值，即取最小值，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴此时，即的最小值为．
4．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______________．
【答案】5
【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，在延长线上截取，连接，则有，然后可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
如图所示，在延长线上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5．
解密题型56 十字架模型

1．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题．
【尝试解决】
如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且．
(1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ．
(2)在（1）的基础上，求证：．
(3)【类比应用】
如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长．
(4)【拓展提升】
如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据正方形得到，证明四边形是平行四边形，即可得到答案；
（2）根据正方形的定义得到，证明，得到，即可得到结论；
（3）过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点，先证明，根据点P是的中点，，正方形，得到，， 设，则，求出，故，证明，即可得到；
（4）过点作交于点，交延长线于点，过点作，分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
在正方形中，，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）证明：，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点，
正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点P是的中点，，正方形，
，
，
设，则，
，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（4）解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作，
矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，，
，
；
当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作，
矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
综上：的值为．
2．（2026·四川南充·一模）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点C作分别交于点H，点M，可证明四边形是平行四边形，得到，则；证明，得到，可推出，即，则可证明；
（2）过点D作交于点Q，则；证明四边形是平行四边形，得到；则可求出，；延长到点P，使得，连接，则，证明，得到，证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程可推出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M，
∵四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点D作交于点Q，
∴；
同理可证明四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图所示，延长到点P，使得，连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
3．（2026·安徽阜阳·一模）菱形中，，为边，上的点，，相交于点．
(1)如图，若，，求证：；
(2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论；
(3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)，证明见解析；
(3)．
【分析】（）由菱形中可得菱形是正方形，根据正方形性质得，，由，得到，所以，即证得，即可证得；
（）过作交的延长线于，过作于，根据菱形的面积证得，推出，得到，由，推出；
（）连接，过作交于，交于，连接，由（）的条件可得，，又为的中点，即垂直平分，即有且，利用四边形是矩形，证得，推出，根据三角形内角和求出，用分别表示这两个角求出，得到，由此得到，再根据正方形的性质求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）四边形是菱形，，
菱形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：；
证明如下：
过作交的延长线于，过作于，如图，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，过作交于，交于，连接，如图，
由（1）知，
又为的中点，
是的垂直平分线，
，，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，垂直平分线的定义和性质，掌握知识点的应用及正确引出辅助线是解题的关键．
解密题型56 勾股定理

1．（2026·辽宁营口·一模）如图，四边形ABCD中，，，，，．是的中点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长交于点，由“”可证，可得，，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：延长交于点，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（2026·湖北襄阳·一模）在中，所对的边分别为、、．下列所给数据中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、因为，，故不是直角三角形；
B、因为，所以是直角三角形；
C、因为，且，
所以，解得，故是直角三角形；
D、因为，
所以设，，，且，
故是直角三角形．
3．（2026·山东济宁·一模）如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接格点、，根据网格特征结合勾股定理得出，，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，连接格点、，
∵正方形网格的边长为，
∴，，，，
∴，是直角三角形，，
∴，
∴．
解密题型57 垂径定理

1．（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（ ）
A．米B．米C．米D．5米
【答案】D
【分析】根据垂径定理得出米，设桥洞的半径为r，则：米，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴（米），
设桥洞的半径为r，则：米，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即桥洞的半径为5米．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】过点作圆，圆心为，交于点，连接，根据直径定理以及含角的直角三角形的性质得出圆的半径长度，过点作于点，连接，连接交于点，得出此时的值最小，然后利用勾股定理和垂径定理求解．
【详解】解：如图所示，过点作圆，圆心为，交于点
连接，
∵，
∴为直径，
∴点共线，
此时，，
∴，
∴的半径为2，
过点作于点，连接，连接交于点，
此时，的值最小，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
即线段的最小值为．
3．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．4cmB．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答．
【详解】解：连接，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦的长为．
故选：C．
解密题型58 圆周角定理

1．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得的度数，再根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
∴．
2．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（ ）．
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】连接，，由同弧所对的圆周角相等可得，利用网格求出即可．
【详解】解：如图，连接，，
∵，
∴，
结合网格可知，，，，
在中，，
∴．
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的直径，，为的切线，C为上一个动点，连接交于点D，过点D作，垂足为点E．当时，则的长为__________若，，则y关于x的函数关系式为__________．
【答案】
【分析】第1问，连接，利用30度角的直角三角形的性质和解直角三角形计算即可求解；
第2问，连接，利用相似三角形的判定和性质，结合勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
∵为的直径，为的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，即，
∵，
∴，
整理得，
∴．
解密题型59 圆内接四边形

1．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（ ）
A．55°B．65°C．70°D．78°
【答案】C
【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
∵，
．
，是⊙O的切线，
，
，
．
故选：C．
2．（2026·重庆巴南·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”即可求得答案．
【详解】解：因为四边形是的内接四边形，，
所以．
所以．
解密题型60 点、直线与圆的位置关系

1．（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________
【答案】
7
【分析】根据点与圆的位置关系得到的取值范围，再统计范围内整数的个数即可．
【详解】已知的半径，
根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数，
因此可得的取值范围为,
该范围内的整数为，共个．
2．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，，若以点为圆心，长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相切或相交
【答案】A
【分析】过作于，解直角三角形求出点到上的高即可判断．
【详解】解：如图，过作于，

由题意得：，
解得：，
由勾股定理得：，
中，，
∵，
∴圆与相离．
3．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
【答案】A
【分析】本题主要考查分式方程的增根以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．根据题意得到，求出，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案．
【详解】解：的半径是关于的方程的增根
∴
∴
∴的半径是2，
∵圆心到直线的距离，
直线与的位置关系是相切．
故选：A．
解密题型61 切线的判定

1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知是的直径，点F在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先利用等边对等角和角平分线的定义得到，则，进而可得，利用切线的判定可得结论；
（2）先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：．
2．（2026·湖北随州·一模）如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求优弧的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查圆的切线判定与性质，弧长公式，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）过O作于点E，连接，，证明平分，再根据切线的性质定理得到，即可得到结论；
（2）设的半径为r，则，，根据勾股定理求出解得，即，得到，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：过O作于点E，连接，，
O是的中点，，
平分，
是的切线，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）设的半径为r，则，，
在中，，
，
解得，即，
在中，，
，
优弧的长．
解密题型62 切线长定理

1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，证明得，根据圆周角定理求出，可得，进而可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵和为的两条切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
2．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______．
【答案】
【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案．
【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴．
3．（2026·河南周口·模拟预测）嵩岳寺塔位于登封市嵩山南麓，初建于北魏正光四年（523年），是中国现存最古老的底座近似圆形的砖塔．为了保护嵩岳寺塔，计划围上圆形的围栏．因受测量工具限制，小峰想了这样的方法来测量：把圆形区域与直尺相切于点，再相切于点，两条切线交于点．测得，若米，则圆形围栏的周长为______米．（结果保留根号和）
【答案】
【分析】设圆心为，连接，根据切线的性质可得，根据切线长定理可得平分，利用邻补角定义求出的度数，进而求出的度数，在中利用锐角三角函数求出半径的长，最后利用圆的周长公式计算即可．
【详解】解：设圆心为，连接
直线与圆相切于点
，即
根据切线长定理可知平分
在中，
圆形围栏的周长为（米）．
解密题型63 正多边形与圆

1．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】连接，可得，即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，
，
∴这个正多边形的边数为．
2．（2026·山西长治·一模）如图，在正六边形中，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径作，与正六边形交于点D．若正六边形的边长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正六边形的性质得出，
，根据等腰三角形的性质求，，证明为直角三角形，解直角三角形得出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：∵六边形为正六边形，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴．
3．（2026·河北廊坊·一模）如图，O为正六边形内部（不含边界）的任意一点，边的延长线交于点G，若，，用含a，b的代数式表示的面积为_________．
【答案】
【分析】证明是等边三角形，取正六边形的中心，则正六边形可分成6个全等的等边三角形，则等边与6个等边三角形也全等，证明，可得结论．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
取正六边形的中心，则正六边形可分成6个全等的等边三角形，
所以，等边与6个等边三角形也全等，
过点作于点，于点，则三点在一条直线上，
过点作直线于点，则于点,
∴，
∴，
∴
4．（2026·广东东莞·一模）《墨子•天文志》记载： “执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美、如图，正方形的边长为1，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为__________．
【答案】
【分析】连接，根据位似图形的性质，可得正方形的边长，用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，
∵正方形与正方形是位似图形，正方形ABCD的边长为1，，
∴正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形的外接圆的半径为．
解密题型64 弧长与扇形面积

1．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为____________．
【答案】
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，进而可得是等边三角形，，再根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接，
∵与半圆相切于点，
∴
，
，
∵
∴是等边三角形，
∴
又∵，
∴，
∴的长为
2．（2026·湖南湘潭·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）．
【答案】
【分析】连接，根据切线的性质得出 ，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出 ，即可得，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，
∵与相切于，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴平分圆心角，即，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
3．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______．
【答案】140
【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为，
弧的长为，弧的长为，
，，
，即．
，
，
解得，
，
该砖雕的面积为
．
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形的面积为，半径是，则此扇形的圆心角度数为______．
【答案】/60度
【详解】解：设此扇形的圆心角度数为，根据扇形面积公式，
将，代入公式得：
解得．
解密题型65 计算不规则图形面积

1．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，于点．分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点．再以点为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】先由勾股定理求解，即可求出扇形、、的半径，再由扇形面积公式分别求解这三个扇形的面积，最后进行相加即可．
【详解】解：
为等腰直角三角形，

，
由题意可知，扇形的半径为，圆心角为， 扇形的半径为，圆心角为

以点为圆心，长为半径画弧交于点


扇形的半径为，圆心角为

图中阴影部分的面积为．
2．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据阴影部分的面积等于，进行计算即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵以边的中点O为圆心的半圆与相切，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，
∴
．
3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作交于点，得出，，通过面积的计算得出，结合扇形公式进行求解即可．
【详解】解：过点作交于点，对各区域面积进行标注，如下图所示：
∵，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
4．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______．
【答案】
【分析】连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解．
【详解】解：连接，作于，于，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，即，
∵在中，，，D是的中点，
∴，，，
∴平分，
∴，
∴，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴．
解密题型66 圆与三角形综合

1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知内接于，圆心O在的内部，于点D，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点G为的中点，连接，过点C作于点F，交于点E，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点H，连接，若平分，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）方法一：连接，过点O作于点L，由题意易得，，则有，然后问题可求证；方法二：连接，由题意易得．设，则．则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）方法一：延长交圆O于点Q，延长交圆O于点R，连接、、、、．设，，由题意易得，然后可得，进而问题可求证；方法二：过点O作于点S，连接、．然后通过证明，，进而根据全等三角形的性质可进行求证；方法三：过点O作于点N，延长交圆O于点M连接．设，则，，然后可得，进而可得四边形为矩形，则问题可求证；
（3）延长交圆O于点R，连接、、、、、．设，则，，，，然后可得，则有，，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：方法一：连接，过点O作于点L，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
方法二：连接，
∵，
∴．
设，则．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）证明：方法一：延长交圆O于点Q，延长交圆O于点R，连接、、、、．
设，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
方法二：过点O作于点S，连接、．
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，在半径上，
∴．
又∵，，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
方法三：过点O作于点N，延长交圆O于点M连接．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，在半径上，
∴．
又∵，，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
（3）解：延长交圆O于点R，连接、、、、、．
设，则，，，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
设，则，
在和中，，
∴，解得：，
∴，，，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
过点O作交的延长线于点P，交的延长线于点T，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，，
∴．
2．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，与相切于点（点和在直线同侧），交于点，延长交于点，连接和交于点，连接．
(1)证明：；
(2)①证明：平分；
②连接，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）连接并延长交于点G，连接，由切线的性质、同弧所对的圆周角相等及等腰三角形的性质即可证明；
（2）①由（1）的结论知，四点共圆，由圆周角定理即可证明；
②过点D作于点G，作交射线于点H，由面积关系得，
易证，得，从而得，由此求得，；再证明，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点G，连接，如图，
则，
即，
∵与相切于点，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：由（1）的结论知，，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
②解：如图，过点D作于点G，作交射线于点H，
由①知平分，
∴，，
∵，，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
3（2026·陕西西安·一模）问题提出
(1)如图①，在中，，，求面积的最大值______．
问题探究
(2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值；
问题解决
(3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案；
（2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解．
（3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，
如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
即面积的最大值.
（2）解：如图所示，以为边作等边，连接，

∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值，
∴在中，，，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
（3）解：∵，，
∴，，
如图，连接，作，使得，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即（定长），
∵点是定点，是定长，
∴点在半径为的上，
过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值，
∵，
∴，
∴．
解密题型67 圆与四边形综合

1．（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)当点P是的中点时，．若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连接．当与的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的的长．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)或12
【分析】（1）如图1，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得．得到，于是得到结论；
（2）如图2，延长交于点H．根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论；
（3）由（2）知．求得．根据是BC的中点，于是得到，推出不存在，当时，如图3，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到．当时，如图4，连接．由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，点在的外接圆上，
，
在正方形中，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：结论：，
理由：如图2，延长交于点H，
，，
，即，
，
，
，
，
又，
，
，，
∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴四边形是矩形，
，，
，
，
∴是等腰直角三角形，
；
（3）解：由（2）知．
，
，
∴，
是的中点，
．
由①可知，，
∴，
，
是圆的直径，
当点Q在上方的弧上时，（时相切，不存在）；当点Q在左侧的弧上时，（时相切，不存在），当点Q在下方的弧上时，，
不存在，
当时，如图3，，
，
连接，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∴，
当时，如图4，连接；
是圆的直径，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
综上所述，的长是或12．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2025·湖南郴州·二模）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，
①若，，求的长度；
②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，
求证：．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)①；②证明过程见详解
【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角得到，根据垂直的定义得到，根据同角的余角相等即可求解；
（2）①如图所示，连接，可证是等边三角形，得到，由此即可求解；
②根据题意先证明，得，如图所示，在上取，连接，可证，得，，再证明，得，，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵是直径，
∴，
∵过点作，即，
∴，
∴；
（2）解：①∵是直径，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角，
∴，
∵,
∴是等边三角形，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可知，，且，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
在中，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查圆与三角形，四边形的综合，掌握直径所对圆周角为直角，同弧所对弦相等，等腰直角三角形的，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结．
．
，，．
是等边三角形．
，．
．
，．
点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小．
【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长．
（2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点．
【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据费马点的定义证明∽，得到对应边成比例解题即可；
（2）连接，过点A作，于点，，根据等边三角形得到≌，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可；
（3）先根据费马点的定义得到当、、、四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可．
本题属于圆的综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键．
【详解】（1）解：点是的费马点，，
，
，
，
∽，
，
已知，，
，
解得（负值舍去）；
证明：连接，过点A作，于点，，
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，，，
，
又，，
，
又，
，
，
，
，
点是的费马点；
（3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，，如图，
根据题目可知当、、、四点共线时，此时，的值最小，且，
延长交于点，则，连接，如图，
又，
，
，
，
点为外接圆的圆心，
，即，
的值最小为，
，
即圆的半径为．
解密题型68 阿氏圆模型

1．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值．
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值；
(2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
(3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)13
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
（1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可；
（2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可；
（3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
，要使最小，即最小．
当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．
在中，，，．
的最小值为．
（2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，．
，
．
．
．
．
当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，
在中，．
的最小值为．
（3）如图，延长到点E，使，连接，．
．
，，
．
，
．
．
．
．
当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．
在中，．
的最值为13．
2．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的长；
②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①；②的最小值为．
【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键．
（1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证；
（2）①由题意证明，求出，从而得出结论；
②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值．
【详解】（1）证明：连接、，如图：
∵是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：①若，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为．
②点P为上一点，连接，有最小值，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
过点P作于点G，则，
延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，
由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，
此时，在中，，
，
即的最小值为．
解密题型69 圆的综合问题

1．（2026·陕西西安·三模）解答下面各题
(1)如图①，已知，，则的度数为______．
(2)如图②，已知，且，求证；
(3)如图③五边形为冬奥会花样滑冰场馆设计初稿．下方四边形为比赛场地，上方为候场区及观众席区，其中，，；射线为场馆外围围栏，．线段为场馆入口，且、、、四点共线．冬奥会吉祥物蒂娜（点）在场馆内沿线段进行表演，吉祥物米洛（点）在场馆外沿射线进行表演，并且满足．其中为观众席区域，点为幸运观众与吉祥物互动位置，为使观看和互动效果最佳，要在线段上且，为容纳更多观众，请问是否存在点使得面积最大；若存在，请求出观众席的最大面积．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)存在，最大面积为
【分析】（1）利用对角互补的四边形内接于圆判定四点共圆，再结合同弧所对的圆周角相等求出的度数；
（2）根据已知相似三角形的性质得到对应角相等、对应边成比例，通过边角边（）相似判定定理证明；
（3）先解求出边长，再通过相似三角形的判定与性质推导角度关系、线段比例，结合直角三角形斜边中线性质证得四点共圆，确定的固定度数；最后利用三角形外接圆的性质，结合垂线段最短的原理，求面积的最大值．
【详解】（1）解：，
、、、四点共圆，
与均为所对应的圆周角，
；
（2）证明：，
，，
，，
；
（3）解：存在，此时，
，，，
，，
，
在中，，
，
又，
，
，，
，
在中，，
取中点为，由直角三角形斜边中线性质，得，
、、、、五点共圆，
，
，
作的外接圆，连接、、，
，
又，
是等边三角形，
，
过点作于点，
，
过点作于点，
，
即，
，
当且仅当、、共线时，等号成立．
【点睛】本题综合考查圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形以及三角形面积的最值问题，核心在于熟练运用四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定定理，并结合直角三角形的性质、外接圆的性质求解最值．
2．（2025·海南海口·二模）如图1，在中，，点M，N分别为边，的中点，连接．
【初步尝试】（1）与的数量关系是________，与的位置关系是________．
【特例研讨】（2）如图2，若，，先将绕点B顺时针旋转（为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接，．
①猜想的形状并证明；
②求出的长．
【深入探究】（3）若，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，直接写出你的结论．
【答案】（1）；；（2）①是等边三角形；证明见解析；②；（3）或
【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质可得，再由旋转的性质可得，，进而得到，继而得到，即可解答；②连接，设，则，，根据，可得，在中，根据勾股定理可求出x的值，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，即可求解．
【详解】解：（1）∵点M，N分别为边，的中点，
∴是的中位线，
∴且，
即与的数量关系是，与的位置关系是；
故答案为：；；
（2）①是等边三角形，证明如下：
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质得：，，
∵点C，E，F在同一直线上，
∴，
∵点M为边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
②如图，连接，
∵，，，
∴，
∵点M为边的中点，
∴，
∵点N是的中点，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴；
（3）如图，当点E在线段上时，
∵，
∴，
设，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∵点C，E，F在同一条直线上，
∴，
∴，
∴点A，B，E，C四点共圆，
∴，
∴
∵，
∴；
如图，当点E在线段的延长线上时，
∵，
∴点A，B，E，C四点共圆，
设，则，
由旋转的性质，可设，则，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
解密题型70 利用平移、轴对称、旋转的性质求解

1．（2025·广东深圳·三模）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的面积、平移的性质，掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平移的性质、相似三角形的判定与性质计算即可．
【详解】解：沿边平移到的位置，
，
，
，
，
，
故选：D．
2．（2025·广东佛山·三模）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平移，解题的关键是根据题意找到平移前后的对应点．
根据点和点的坐标，结合平移的性质，计算即可．
【详解】解：根据题意可知，点平移至点，点平移至点，
∵点，，，，
∴，
故选：．
3．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，A．由对称的性质得，由 等腰三角形的性质得，，即可判断；B．不一定等于，即可判断；C．由对称的性质得，由全等三 角形的性质即可判断；D．过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断．
【详解】解：、∵，
∴，
由对称得，
∵，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，结论正确，故不符合题意；
、∵由已知不能证明出一定等于，
∴不一定等于，结论错误，故符合题意；
、由对称得：，
∴，，
∵，分别是底边，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，结论正确，故不符合题意；
、如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
由对称得，
∴，
同理可证，，
∴，结论正确，故不符合题意，
故选：．
4．（2026·安徽合肥·一模）如图，将沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处，的周长等于，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处，
∴，，
∵的周长等于，，
，
∴，
∴．
5．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由旋转可得，，，，，则是等边三角形，由即可判断B；由求出的度数，即可判断A；然后求解，即可判断C；再由求解的度数即可判断D．
【详解】解：由旋转可得，，，
∴是等边三角形，
∴
∴，故B错误；
∵，
∴，
∴，故A错误；
∵
∴，
∴，
∴，故C正确；
由旋转可得，，
∵
∴，故D错误．
解密题型71 轴对称图形的识别

1．（2026·山西吕梁·一模）中国高端装备已从产品出口升级为技术+标准+产能+服务+资本的全链条出海，覆盖轨交、工程机械、能源、航空、船舶、军工、工业母机等核心赛道，是中国制造向中国智造转型的标杆．以下四家中国高端装备企业的品牌图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．中国中铁B．中国铁建
C．中国交建D．中国中车
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
2．（2026·辽宁营口·一模）2026年，政府工作报告指出：要进一步深化拓展“人工智能+”，下面是四款人工智能大模型图标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据定义逐个判断即可，将一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能够与本身重合的图形是中心对称图形．
【详解】解：图A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
图B是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
图C不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
图D既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意．
3．（2026·四川巴中·一模）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
解密题型72 画平移、轴对称、旋转的图像

1．（2026·黑龙江·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)将向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长．
【答案】(1)见解析，；
(2)见解析，；
(3)．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可；
（3）利用勾股定理求出，再利用弧长公式求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求，；
（2）如图，即为所求，
（3）∵，
∴由勾股定理，得．
∴．
∴点旋转到点的过程中所经过的路径长为．
2．（2026·安徽宣城·一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，点C的坐标为．
(1)把以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，请画出，并写出点的坐标．
(2)以直线为对称轴，画出关于直线对称的．
【答案】(1)见解析，点的坐标为
(2)见解析
【分析】（1）根据位似图形的性质得到对应点的位置，再顺次连接即可画出对应图形，由图可得点的坐标；
（2）根据轴对称性质得到对应点的位置，再顺次连接即可画出对应图形．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求．
3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于轴成轴对称的，并写出的坐标________；
(2)________；
(3)在轴上画出一点（不写作法，保留作图痕迹），使的值最小，并直接写出点的坐标是________．
【答案】(1)见解析,
(2)
(3)见解析，
【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、三角形面积的计算以及最短路径问题．
（1）根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到点、、的坐标，描出各点，依次连接即可解答；
（2）采用割补法，构造一个能够完全包围的最小矩形，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可解答；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，由此得到点的位置和坐标．
【详解】（1）解：关于轴成轴对称的，如图即为所求，
由图可知，坐标为；
故答案为：；
（2）由图可知，；
（3）（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，如图所示，点即为所求；
点的坐标．
故答案为：．
解密题型73 黄金分割

1．（2026·陕西西安·三模）黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为_____．
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义可知较长线段是全长的倍，较短线段等于全长减去较长线段，据此计算即可．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到黄金矩形．依此作法，四边形、四边形也是黄金矩形．依次以点，，为圆心，作弧，弧，弧，曲线叫作“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为______（结果保留）．
【答案】
【分析】先根据题意求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．
【详解】解：黄金矩形中，，，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形是正方形，
，
“黄金螺线”的长为
．
3．（2026·甘肃兰州·一模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据比例关系列式计算即可．
【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为，
由题意得，，
解得，
∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为．
解密题型74 平行线分线段成比例

1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在中，是高，点E为边上一点，且，连接交于点F，，，，则的长为（ ）
A．7B．6C．5D．
【答案】A
【分析】过点C作交延长线于点G，由是高、得，故，；由得，得，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G．
∵是高，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
，
，
，
．
2．（2026·陕西西安·二模）如图，中，点、分别为、上一点，、交于，且，．则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先过点作交于点，利用和内错角、对顶角相等证明，得到；再由推出，结合得出，进而得到；最后设，则，计算出，从而求出．
【详解】解：过点作，交于点，
∵， ，
∴(两直线平行，内错角相等)，
又∵(对顶角相等)，
∴，
∴，
∵，
∴（平行线判定相似），
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
设，则，
，
∴．
3．（2026·上海·一模）某山丘在建造旅游景区时，在两山丘间建造吊桥，其抽象图如图所示，其中山丘，均为等腰直角三角形，山丘的底在一条直线上，为让处于最佳位置，建筑师连接，其和的交点记作M、N，那么桥梁和山丘底的数量关系为____．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．
先证明，，然后通过平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质证明为等腰直角三角形，继而可得到，再得到比例式证明即可．
【详解】解：∵，均为等腰直角三角形，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
由①②得，，
∴，
故答案为：．
解密题型75 相似三角形的实际应用

1．（2026·河北石家庄·一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ）
A．cmB．cmC．10cmD．cm
【答案】D
【分析】运用相似三角形的性质可得结论
【详解】如图，过点作，，
由题意可得：，
，
，
，，，
，
．
2．（2026·安徽滁州·一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________．
【答案】36
【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．
【详解】解：由图可知，，且，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即，
解得．
3．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，马路两侧有高度相同灯杆，当小明站在两灯杆之间的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为，在灯A的照射下小明的影长为．测得两路灯间距离米，小明身高米，米，米，求灯杆的高度．
【答案】米
【分析】设灯杆高度米，米，则米，证明 ，得出，①，证明，得出②，联立①②，求出，再求出即可解答．
【详解】 解：设灯杆高度米，米，则米，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴①，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴②，
联立①②，得，解得，
将代入①得：，解得：，
因此灯杆高度为米．
4．（2026·宁夏固原·一模）综合与实践
【活动主题】：测量学校旗杆的高度．
【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题．
【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等．
【方案设计】
【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题：
(1)利用方案测得旗杆的高度为_____米；
(2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度；
(3)袁超在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程）
【答案】(1)15
(2)图见解析，旗杆的高度为米
(3)还需要测出线段（或线段）的长度
【分析】（1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可；
（2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；
（3）根据题意可知、、、的长，则只需要求出的长即可，再可证明得到，则只需要知道的长即可．
【详解】（1）解：∵同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，
∴，
∴，
即，
解得，
∴利用方案测得旗杆的长度为米．
（2）解：补全测量示意图如下所示，过点作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得米，
∴旗杆的高度为米．
（3）解：如图所示：根据题意知、，
∵，
∴，
∴，
则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长，
∴还需要测出线段（或线段）的长度．
解密题型76 解直角三角形

1．（2026·四川绵阳·二模）如图，在中，，、、分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点，若，，，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】设，在中利用表示出，结合矩形性质及表示出，进而在中表示出，从而得到关于的表达式，最后在中利用勾股定理求出即可求解
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，,
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴．
2．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设与相交于点，由平行四边形的对角线互相平分可得，所以要求的最小值，即求的最小值，由垂线段最短可得，当时，取最小值，则过点作于点，通过解直角三角形和勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，，
如图，设与相交于点，过点作于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
当的长取最小值，的长取最小值，
由垂线段最短可得，当时，即与重合时，取最小值，
此时，，
的最小值是．
3．（2026·山东青岛·一模）如图，一个四棱柱的三视图如图所示，主视图中；俯视图中，；左视图中、．则这个四棱柱的侧面面积为______．
【答案】
【分析】根据三视图的投影规律，由主视图确定棱柱的高，由俯视图和左视图确定底面四边形的形状及各边长度．左视图的宽对应俯视图的高，结合角度关系求出底面各边长，进而求得底面周长，最后利用侧面积公式计算即可．
【详解】由主视图可知，该四棱柱的高．
由俯视图可知，底面为四边形，且，．
由左视图可知，底面四边形在垂直于方向上的投影长度为，且存在分界点．
过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，
根据左视图数据及图形位置关系，可知，，
在中，，则，
在中，，则，
∴，
∵，，
∴
在中，
∴
∴
∴底面周长
∴这个四棱柱的侧面面积为
解密题型77 解直角三角形的应用

1．（2026·山东淄博·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案．
(1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中）
①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理．
(2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由．
【答案】(1)②，③
(2)选择方案一，理由为测量工具较简单，方便；的高度约为
【分析】（1）“标杆方案”测量出各边的长度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出旗杆的高度；“测角仪方案”测量出角的度数，利用三角函数表示出各边的长度，列方程求出旗杆的高度；
（2）分别用两种不同的方案计算出旗杆的高度．
【详解】（1）解：测量出①，②，③，④，
可得：，，
，
根据可证，
，
根据对应边成比例求出的高度，
再根据旗杆的高度为求出结果，
“标杆方案”运用的知识是②相似三角形；
测出的度数，
可知，
测出，
可知，
，
根据，
可以求出的高度，
根据旗杆的高度为求出结果，
“测角仪方案”运用的知识是③锐角三角函数；
（2）解：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便，
如图：
由题意得：，，，
，，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
答：旗杆的高度约为；
选择方案二，理由为测量较准确，
由题意得：，，
设，
，，
，
在中，，，
，即，
解得（米），
答：旗杆的高度约为米．
2．（2026·重庆·一模）小佳和小馨两姐妹约定一起去U城天街吃晚餐．如图A，B，C，D在同一平面内．已知家A位于学校B的北偏东方向，位于高新天街D的北偏西方向，位于U城天街C的北偏东方向：学校B位于U城天街C的北偏东方向且距离6千米处：高新天街D位于U城天街C的正东方．（参考数据：）
(1)求家A与U城天街C的直线距离（结果保留根号）；
(2)小佳需要从家A出发，骑自行车匀速先到学校B拿数学作业，然后再到U城天街C吃晚餐；同时，小馨也从家A出发，先乘坐公交匀速前往高新天街D取维修的手机，再从高新天街D乘坐地铁1号线到U城天街C吃晚餐．已知骑自行车的速度为15千米/小时，公交车的速度为20千米/小时，地铁的速度为60千米/小时．小佳进校拿作业的时间与小馨取手机及转乘等待的时间相同，且路途畅通（红绿灯时间忽略不计）．请通过计算说明谁先到达U城天街C吃晚餐？（结果保留）
【答案】(1)家A与U城天街C的直线距离为千米
(2)小馨先到达U城天街C吃晚餐
【分析】本题考查方位角的理解和行程问题的综合应用．正确理解"北偏东""北偏西"的方向角含义是解题关键．
（1）过点A作于G，先求得，过点C作交的延长线于F，再根据直角三角形的性质求得的长；
（2）根据时间路程速度即可求解．
【详解】（1）解：由题意，知，
，是等边三角形，，
过点A作于G，
，
家A位于学校B的北偏东方向，学校B位于U城天街C的北偏东方向，
，
如图，过点C作交的延长线于F，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
（2）解：小佳从所用的时间为：（小时），
小馨从所用的时间为：（小时）
，
小馨先到达U城天街C吃晚餐．
3．（2026·山东滨州·一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
(1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离．
(2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，延长交于点，设的半径为，由可得，；根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长；
（2）延长，交于点，易证明四边形是矩形，则，在和中，利用三角函数计算出和即可．
【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为，
由题意可知，，
，，
，
弓形高，，
，，
在中，，
，
解得，
，
即圆心 到的距离为．
（2）解：如图，延长，交于点，
由题意可知，，，
在中，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
．
即的长度约为．
4．（2026·湖南邵阳·二模）近年来，国产人形机器人技术飞速发展，多款机器人登上2026年春晚舞台，引来无数观众的赞叹．某数学实践小组根据某个机器人的动作示意图，开展数学探究活动．
(1)图1为机器人的某一姿势示意图，其下肢伸展结构可近似抽象为等腰三角形，如图2．已知机器人的大腿上端点到地面水平线的距离约为厘米，机器人的两脚着地点，之间的距离约为厘米，请估计机器人的腿长．
(2)图3为机器人的另一姿势示意图，其右侧伸展结构可近似抽象为，如图4．已知点为机器人的右脚着地点，点为机器人的头顶最高点，点为机器人的机身连接点，直线为地面水平线．若，，请估计此时机器人的头顶点到地面水平线的距离（结果保留整数，参考数据：，）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，过点作，垂足为点．根据等腰三角形的定义可得，在中，，根据勾股定理即可求解．
（2）过点作，垂足为点．过点作，垂足为点，在中，求得，进而在，得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点．
因为为等腰三角形，，所以，
在中，，
．
答：机器人的腿的长度约为．
（2）如图，过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．在中，，
．
在中，，则．
所以，
在中，，
．
答：此时机器人的头顶点到地面水平线的距离约为．
解密题型78 三视图的相关计算

1．（2026·湖南·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______．
【答案】
【分析】首先得到此几何体为圆锥，再根据圆锥全面积等于侧面积加底面积求解即可．
【详解】解：根据三视图得，此几何体为圆锥，
∵直径为，母线长为，
∴半径为，
∴这个几何体的全面积为．
2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图所示为由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】A
【分析】由俯视图确定底层小正方体的个数和位置，由主视图确定每一列的最高层数，要使小正方体个数最少，则每一列中只需有一个位置达到最高层数，其余位置层数为1即可．
【详解】解：俯视图中共有5个小正方形，
该几何体最底层有5个小正方体．
主视图从左到右各列的高度分别为1，2，3，
第一列（左）只有1个位置，高度必为1；第二列（中）有2个位置，要使个数最少，则一个位置高度为2，另一个位置高度为1，共个；
第三列（右）有2个位置，要使个数最少，则一个位置高度为3，另一个位置高度为1，共个．
组成这个几何体的小正方体的个数最少为．
3．（2026·江苏徐州·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（ ）
A．8.4元B．17元C．34元D．50元
【答案】C
【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理先求解圆锥的母线长，再求出圆柱和圆锥的侧面积，即可得到油毡纸的面积，即可求解费用．
【详解】解：过点作于点，
由题意得，，
∴，，
∴，
∴，
∴买油毡纸要花费的费用（元）．
解密题型79 计算概率

1．（2026·安徽亳州·一模）如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，利用勾股定理可求得的长，根据切线的性质可得，利用等腰三角形三线合一结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长，从而可求得，，最后根据求解即可．
【详解】解：在等腰中，，，
，
如图，连接，
以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，
，
是等腰直角三角形，
点是的中点，
，
，，
小球停在图中阴影部分的概率是．
2．（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数．
【详解】解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右，
∴估计摸到白球的概率为，
设盒子中球的总个数为，
可得，
解得，
∴盒中红球个数为（个）．
3．（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种：
方案一：购物每满元减元；
方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示．
(1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率；
(2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠．
【答案】(1)
(2)选择方案一更为实惠
【分析】（1）利用列表法列出所有等可能的抽取结果，数出获得8折优惠的结果数，根据概率公式计算概率即可；
（2）分别计算方案一的实际付款金额，和方案二的平均实际付款金额，比较大小后即可判断哪种方案更实惠．
【详解】（1）解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之积（即获得8折优惠）的结果有8种．
所以获得8折优惠的概率为．
（2）解：若顾客选择方案一，购物金额为300元，实际付款为： （元）
若顾客选择方案二，由（1）可知： ，对应9折，实际付款元
，对应8折，实际付款元
，对应7折，实际付款元
方案二的平均实际付款为： （元）
因为，
所以顾客选择方案一更为实惠．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．
(1)小东抽中的是唐僧的概率为______；
(2)用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
【答案】(1)
(2)公平，理由见解析
【分析】（1）根据概率公式解答；
（2）画出树状图，可知所有等可能出现的结果，再得出师徒关系的结果，然后求出各自的概率比较可得答案．
【详解】（1）解：一共有4张卡片，抽到A的概率为；
（2）解：公平，理由如下：
画出树状图如下：
一共有12种等可能出现的结果，师徒关系的有6种，即，，
则，，
所以这个游戏公平．
解密题型80 数据分析

1．（2026·山西晋城·一模）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析．
数据整理：跳绳个数记为，共分为五组：
A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）．
被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134；
被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136．
数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析：
认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________，________；并补全频数直方图．
(2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数．
(3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由．
【答案】(1)，136，20，见解析
(2)128
(3)女生组更优秀，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值，先求出被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比，再根据百分比之和为1可得m的值；
（2）总人数分别乘以男、女生跳绳个数不少于140个的人数所占比例，再求和即可得出答案．
（3）根据众数、中位数及平均数的意义求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由男同学跳绳个数在C组的数据可知，C组人数为6人，则被抽取的男同学A组的人数为（人），被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为130、133，则中位数；
被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比为，B组人数所占百分比，即；
被抽取的A组女同学人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为：（人），D组人数为：（人），E组人数为：（人）， 因为C组中136的个数为5，在C组中的个数最多且大于其它组总人数，所以被抽取的女同学跳绳个数的众数．
补全频数分布直方图如下：
（2）解：（人），
答：估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数为128．
（3）解：我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）．
2．（2026·山东日照·一模）2026年1月16日，谷神星一号海遥七运载火箭在日照近海成功发射，“航天发射”正成为日照的新．某校为了解七年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七年级学生进行了测试，现从七年级学生中随机抽取40名学生的测试成绩（成绩用x表示，单位：分）进行了整理与分析，并分为A、B、C、D、E五个等级：
信息1：
信息2：七年级抽取学生成绩在C等级的数据是：
70，71，71，73，74，74，74，75，75，76，77，77，78；
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数，并补全条形统计图；
(2)七年级抽取学生成绩的中位数是_____________；
(3)七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计七年级能参加第二轮比赛的人数．
【答案】(1)七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数为10名，统计图见详解
(2)75.5
(3)该七年级能参加第二轮比赛的人数为440名
【分析】（1）由题意易得成绩在C等级的有13名学生，然后问题可求解；
（2）根据中位数的定义及（1）可知中位数落在C等级中，进而问题可求解；
（3）根据题意可直接进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：成绩在C等级的有13名学生，
∴七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数为（名），
补全条形统计图如下：
（2）解：∵，
∴根据中位数的定义可知：中位数为第20与第21个数据之和的平均数，即为；
（3）解：由题意得：
（名）；
答：该七年级能参加第二轮比赛的人数为440名．
3．（2026·西藏·一模）【项目背景】
为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计．
【数据收集与整理】
（一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．
A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀．
（二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下．
一分钟限时跳绳比赛成绩统计表
【数据分析与应用】
(1)任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组；
(2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数；
(3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率．
【答案】(1)50；C
(2)（人）
(3)
【分析】（1）根据掷实心球的女生的人数和占比可求掷实心球的女生总人数，进而根据中位数的定义求解即可；
（2）根据E组有5人，求得优秀率，再根据样本估计总体，即可求解；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到选手的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：由题意知A组占，有5人，
所以掷实心球的女生的人数为：（人）．
C组有 人
所以E组有人，
将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组；
（2）解：E组有5人，优秀率为
所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为 （人）
（3）由成绩统计表得跳绳个数在的选手共有人，依次记为，画树状图如下：
共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种，
∴恰好抽到选手的概率为．
4．（2026·河南郑州·二模）2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图．
根据以上信息，整理、分析数据，得到下表：
(1)________，________；
(2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数；
(3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可．
【答案】(1)；
(2)该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人
(3)第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可）
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可；
（2）先计算第二次测试成绩优秀的人在样本中的占比，再乘以社团的学生数即可；
（3）对比两次成绩的平均数、中位数和众数，得出结论．
【详解】（1）解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为，
∴第一次成绩的众数为分，即；
∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分，
∴第二次成绩的中位数为（分），即；
（2）解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为，
（人）．
答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人．
（3）解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可）·内容导览
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc227838459" 解密题型01 实数的性质 PAGEREF _Tc227838459 \h 2
\l "_Tc227838460" 解密题型02 实数的非负性 PAGEREF _Tc227838460 \h 4
\l "_Tc227838461" 解密题型03 比较有理数大小 PAGEREF _Tc227838461 \h 6
\l "_Tc227838462" 解密题型04 科学记数法 PAGEREF _Tc227838462 \h 10
\l "_Tc227838463" 解密题型05 实数的混合运算 PAGEREF _Tc227838463 \h 12
\l "_Tc227838464" 解密题型06 整式的混合运算 PAGEREF _Tc227838464 \h 13
\l "_Tc227838465" 解密题型07 整式的化简求值 PAGEREF _Tc227838465 \h 15
\l "_Tc227838466" 解密题型08 因式分解 PAGEREF _Tc227838466 \h 16
\l "_Tc227838467" 解密题型09 分式有、无意义的条件 PAGEREF _Tc227838467 \h 18
\l "_Tc227838468" 解密题型10 规律探究 PAGEREF _Tc227838468 \h 20
\l "_Tc227838469" 解密题型11 解方程（组）/不等式（组） PAGEREF _Tc227838469 \h 22
\l "_Tc227838470" 解密题型12 解方程（组）/不等式（组）的含参问题 PAGEREF _Tc227838470 \h 24
\l "_Tc227838471" 解密题型13 解方程（组）/不等式（组）与实际问题 PAGEREF _Tc227838471 \h 29
\l "_Tc227838472" 解密题型14 函数图像问题 PAGEREF _Tc227838472 \h 36
\l "_Tc227838473" 解密题型15 坐标系上点的坐标特征 PAGEREF _Tc227838473 \h 39
\l "_Tc227838474" 解密题型16 坐标系与图形变换综合 PAGEREF _Tc227838474 \h 41
\l "_Tc227838475" 解密题型17 点坐标规律探索 PAGEREF _Tc227838475 \h 45
\l "_Tc227838476" 解密题型18 待定系数法求函数解析式 PAGEREF _Tc227838476 \h 49
\l "_Tc227838477" 解密题型19 一次函数的性质 PAGEREF _Tc227838477 \h 51
\l "_Tc227838478" 解密题型20 反比例函数的性质 PAGEREF _Tc227838478 \h 54
\l "_Tc227838479" 解密题型21 二次函数的性质 PAGEREF _Tc227838479 \h 56
\l "_Tc227838480" 解密题型22 函数图像综合 PAGEREF _Tc227838480 \h 58
\l "_Tc227838481" 解密题型23 反比例系数k的几何意义 PAGEREF _Tc227838481 \h 61
\l "_Tc227838482" 解密题型24 二次函数图像与各项系数的关系 PAGEREF _Tc227838482 \h 66
\l "_Tc227838483" 解密题型25 函数与方程、不等式 PAGEREF _Tc227838483 \h 70
\l "_Tc227838484" 解密题型26 反比例函数与一次函数综合 PAGEREF _Tc227838484 \h 72
\l "_Tc227838485" 解密题型27 一次函数与实际问题 PAGEREF _Tc227838485 \h 78
\l "_Tc227838486" 解密题型28 二次函数与实际问题 PAGEREF _Tc227838486 \h 86
\l "_Tc227838487" 解密题型29 函数与图形变换问题 PAGEREF _Tc227838487 \h 97
\l "_Tc227838488" 解密题型30 函数与图形面积问题 PAGEREF _Tc227838488 \h 108
\l "_Tc227838489" 解密题型31 函数与特殊三角形存在性问题 PAGEREF _Tc227838489 \h 115
\l "_Tc227838490" 解密题型32 函数与特殊四边形存在性问题 PAGEREF _Tc227838490 \h 125
\l "_Tc227838491" 解密题型33 函数与特殊角存在性问题 PAGEREF _Tc227838491 \h 133
\l "_Tc227838492" 解密题型34 函数与最值问题 PAGEREF _Tc227838492 \h 140
\l "_Tc227838493" 解密题型35 整点问题 PAGEREF _Tc227838493 \h 147
\l "_Tc227838494" 解密题型36 几何图形初步 PAGEREF _Tc227838494 \h 152
\l "_Tc227838495" 解密题型37 正方形展开图 PAGEREF _Tc227838495 \h 154
\l "_Tc227838496" 解密题型38 运用数学知识解决实际问题 PAGEREF _Tc227838496 \h 155
\l "_Tc227838497" 解密题型39 利用平行线的性质与判定求解 PAGEREF _Tc227838497 \h 157
\l "_Tc227838498" 解密题型40 三角形的三边关系 PAGEREF _Tc227838498 \h 159
\l "_Tc227838499" 解密题型41 与三角形高、中线、角平分线有关的计算 PAGEREF _Tc227838499 \h 160
\l "_Tc227838500" 解密题型42 三角形内角和与外角和综合 PAGEREF _Tc227838500 \h 163
\l "_Tc227838501" 解密题型43 垂直平分线 PAGEREF _Tc227838501 \h 166
\l "_Tc227838502" 解密题型44 三角形中位线 PAGEREF _Tc227838502 \h 168
\l "_Tc227838503" 解密题型45 添加一个条件使两个三角形/全等相似 PAGEREF _Tc227838503 \h 172
\l "_Tc227838504" 解密题型46 利用全等/相似三角形的性质求解 PAGEREF _Tc227838504 \h 175
\l "_Tc227838505" 解密题型47 半角模型 PAGEREF _Tc227838505 \h 177
\l "_Tc227838506" 解密题型48 一线三等角模型 PAGEREF _Tc227838506 \h 186
\l "_Tc227838507" 解密题型49 手拉手模型 PAGEREF _Tc227838507 \h 190
\l "_Tc227838508" 解密题型50 利用平行四边形的性质与判定求解 PAGEREF _Tc227838508 \h 199
\l "_Tc227838509" 解密题型51 利用特殊四边形的性质与判定求解 PAGEREF _Tc227838509 \h 202
\l "_Tc227838510" 解密题型52 折叠问题 PAGEREF _Tc227838510 \h 206
\l "_Tc227838511" 解密题型53 中点四边形 PAGEREF _Tc227838511 \h 210
\l "_Tc227838512" 解密题型54 多边形及内角和 PAGEREF _Tc227838512 \h 216
\l "_Tc227838513" 解密题型55 四边形与最值问题 PAGEREF _Tc227838513 \h 219
\l "_Tc227838514" 解密题型56 十字架模型 PAGEREF _Tc227838514 \h 225
\l "_Tc227838515" 解密题型56 勾股定理 PAGEREF _Tc227838515 \h 235
\l "_Tc227838516" 解密题型57 垂径定理 PAGEREF _Tc227838516 \h 238
\l "_Tc227838517" 解密题型58 圆周角定理 PAGEREF _Tc227838517 \h 241
\l "_Tc227838518" 解密题型59 圆内接四边形 PAGEREF _Tc227838518 \h 244
\l "_Tc227838519" 解密题型60 点、直线与圆的位置关系 PAGEREF _Tc227838519 \h 246
\l "_Tc227838520" 解密题型61 切线的判定 PAGEREF _Tc227838520 \h 247
\l "_Tc227838521" 解密题型62 切线长定理 PAGEREF _Tc227838521 \h 250
\l "_Tc227838522" 解密题型63 正多边形与圆 PAGEREF _Tc227838522 \h 253
\l "_Tc227838523" 解密题型64 弧长与扇形面积 PAGEREF _Tc227838523 \h 257
\l "_Tc227838524" 解密题型65 计算不规则图形面积 PAGEREF _Tc227838524 \h 260
\l "_Tc227838525" 解密题型66 圆与三角形综合 PAGEREF _Tc227838525 \h 264
\l "_Tc227838526" 解密题型67 圆与四边形综合 PAGEREF _Tc227838526 \h 277
\l "_Tc227838527" 解密题型68 阿氏圆模型 PAGEREF _Tc227838527 \h 287
\l "_Tc227838528" 解密题型69 圆的综合问题 PAGEREF _Tc227838528 \h 292
\l "_Tc227838529" 解密题型70 利用平移、轴对称、旋转的性质求解 PAGEREF _Tc227838529 \h 299
\l "_Tc227838530" 解密题型71 轴对称图形的识别 PAGEREF _Tc227838530 \h 304
\l "_Tc227838531" 解密题型72 画平移、轴对称、旋转的图像 PAGEREF _Tc227838531 \h 304
\l "_Tc227838532" 解密题型73 黄金分割 PAGEREF _Tc227838532 \h 310
\l "_Tc227838533" 解密题型74 平行线分线段成比例 PAGEREF _Tc227838533 \h 312
\l "_Tc227838534" 解密题型75 相似三角形的实际应用 PAGEREF _Tc227838534 \h 316
\l "_Tc227838535" 解密题型76 解直角三角形 PAGEREF _Tc227838535 \h 320
\l "_Tc227838536" 解密题型77 解直角三角形的应用 PAGEREF _Tc227838536 \h 324
\l "_Tc227838537" 解密题型78 三视图的相关计算 PAGEREF _Tc227838537 \h 332
\l "_Tc227838538" 解密题型79 计算概率 PAGEREF _Tc227838538 \h 334
\l "_Tc227838539" 解密题型80 数据分析 PAGEREF _Tc227838539 \h 338
实数的性质是中考基础必考内容，常以选择、填空形式考查相反数、倒数、绝对值、数轴与无理数辨识，核心围绕概念辨析、符号判断、运算性质展开，侧重基础应用，难度低但易因概念混淆失分，是必须稳拿的送分考点。
1）相反数：实数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负实数的绝对值是它的相反数，即设a表示一个实数，则.
3）倒数：实数a的倒数是（a≠0），若a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数.
4）要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数.区分有理数和无理数既是一个重要的知识点，也是易错的问题.
实数非负性主要考查绝对值、平方、算术平方根三类非负模型，常以 “几个非负数之和为 0，则每一项均为 0” 的形式命题，侧重代数式求值与方程求解，属于中考高频基础考点，思路固定、易掌握。
常见的非负数有三种形式：
①绝对值的非负性：任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②平方的非负性：任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③算术平方根的非负性：任何非负数a的算术平方根是非负数，即a≥0且a≥0.
中考常以选择、填空考查有理数大小比较，核心方法有数轴法、作差法、绝对值法，正数大于 0、0 大于负数，两负数比较时绝对值大的反而小，题型基础、思路直接，是必拿分考点。
比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b.
物质
铝
酒精
液态氧
水
凝固点（单位：）
660
科学记数法是中考高频基础考点，主要考查大数与小数的表示形式，关键在于确定a×10n中a的范围与指数n的取值，题型简单、计算直接，属于易得分基础题型。
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为：
1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10；
2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1；
②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.
3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：
实数混合运算为中考必考计算题，核心考查零指数、负指数、绝对值、根式与三角函数的综合计算，按运算顺序逐步化简即可，注重步骤规范与符号判断。
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3），
在计算中常用的锐角三角函数值：
三角函数
30°
45°
60°
sin α
12
22
32
cs α
32
22
12
tan α
33
1
3
整式的混合运算为中考基础计算题，重点考查幂的运算、乘法公式与合并同类项，按先乘方、再乘除、最后加减的顺序运算，细心即可稳拿满分。
在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项.
整式化简求值是中考常考解答题，先利用公式与运算法则化简，再代入数值计算，步骤规范、思路固定，是典型的基础得分题型。
整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入.
因式分解是中考基础必考内容，常结合分式运算考查，核心掌握提公因式法与公式法，遵循 “一提二套三检查” 步骤，是代数运算的重要基础。
分式有、无意义的条件为中考基础考点，核心看分母取值：分母不为 0 时分式有意义，分母为 0 时分式无意义，概念清晰、判断直接，属于易得分题型。
1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零.
2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可.
【易错点】当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误.
规律探究是中考高频题型，常以数字、图形、等式变化呈现，关键在于观察序号与结果的关系，归纳通项公式，侧重逻辑推理与归纳总结能力。
解方程（组）与不等式（组）是中考必考基础题，侧重步骤规范与解集表示，方程组用代入或加减消元，不等式注意变号问题，属于必拿满分题型。
解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
解方程（组）/ 不等式（组）含参问题是中考中档热点，先按常规方法求解再结合解集、整数解、交点等条件列不等式，关键注意分类讨论与不等号方向，侧重逻辑严谨性。
解方程（组）/ 不等式（组）与实际问题是中考必考应用题，关键是找准等量或不等关系列方程（组）、不等式（组）求解，注意检验结果是否符合实际意义，侧重建模与应用能力。
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）．
生活经验：饮水适宜温度是（包括与）．
宇树科技机器人采购方案设计
素材1
购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元；
5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元．
素材2
每台四足机器人每日可服务观众150人次；
每台人形机器人每日可服务观众280人次．
素材3
科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元．
问题解决
函数图像问题是中考常考题型，重点考查图像位置、增减性、交点及数形结合思想，根据解析式判断特征，结合图像分析取值范围，侧重直观推理。
坐标系上点的坐标特征是中考基础考点，重点考查各象限符号、坐标轴上点、对称点及中点坐标，概念直接、判断简单，属于送分基础题型。
坐标系与图形变换综合是中考常考中档题，结合平移、旋转、对称、位似考查坐标变化，关键抓住变换规律确定对应点坐标，侧重数形结合与空间想象。
点坐标规律探索是中考高频题型，常以循环、平移、对称形式出现，关键找周期或通项公式，结合坐标符号变化规律求解，侧重归纳推理与数形结合。
待定系数法求函数解析式是中考必考核心题型，根据函数类型设出解析式，代入点坐标列方程（组）求解系数，思路固定、步骤清晰，是函数问题的基础得分点。
x
…
1
2
3
…
y
…
3
0
m
…
一次函数的性质是中考高频考点，重点考查 k、b 对图像位置与增减性的影响，结合图像判断取值范围，侧重数形结合与性质应用。
正比例函数和一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关.当k>0时，y随x的增大而增大；当k