2026年中考数学(通用版)考点突破训练11大压轴题型全预测(学生版+解析)

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解密题型01 新定义问题
1．（2026·湖南·模拟预测）我们定义：．若，，则（ ）
A．或B．或C．或D．
2．（2026·河南南阳·一模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中．，，，点在边上，使得是“类直角三角形”，则______．
3．（2026·安徽合肥·一模）我们定义：如果点在某一个函数的图像上，那么我们称点P为这个函数的“妙点”．
（1）请仔细观察点P的横纵坐标之间的关系，并写出点P所在直线的解析式______．
（2）若关于x的二次函数对于任意的n，恒有两个不同的“妙点”，则常数a的取值范围为_____．
解密题型02 阅读理解类问题
1．（2026·山西朔州·一模）阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务．
任务：
(1)问题1中这个相同的数量关系为______．
(2)将问题2的解答过程补充完整．
(3)如图，为等边三角形，请作出的布洛卡点，连接，，，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
2．（2026·安徽六安·一模）阅读下列材料，并完成相应任务．
在平面直角坐标系中，点，之间的距离可以用下面的公式进行计算：
，这个公式就叫做两点间距离公式．
下面就利用这个公式来解决几何问题：
如图，点E，F分别在边长为4的正方形的边上，，连接交于点G，求的长．
解：如图，以点B为原点，直线为x轴，直线为y轴建立坐标系，由题意知：，，，，，．
设直线的表达式为，把，代入，得，解得．
(1)若，，则的长为；
(2)直线的表达式为；
(3)同理，可由，得直线的表达式为，再由两个表达式联立成方程组，得……
(4)完成以上步骤，并求出的长．
3．（2026·吉林·一模）在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下：
(1)【观察发现】
如图1，在等边中，，，E，F分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法．
∵在等边中，，，
∴点为边上的中点，．
∴．
过点作，使，连接，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
连接，，当三点共线时，的最小值等于线段的长．
连接，
∴四边形是矩形．
∴．
【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形为矩形的过程；
②结合上述探究过程可知的最小值为 ．
(2)【类比应用】
如图2，已知正方形的边长为12，O为对角线的交点，M，N分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值．
(3)【拓展延伸】
如图3，矩形中，，，是的中点，F，G分别是和上的动点，且总有，则的最小值为 ．
解密题型03 综合与实践类问题
1．（25-26九年级下·安徽·月考）（1）【实践探究】如图1，在中，，，，求的值．小南构造了包含的直角三角形：延长到点，使，连接．可得，问题即转化为求的正切值，请按小南的思路求的值．
（2）【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值．
2．（2026·浙江温州·一模）综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有．
(1)【猜想验证】请证明上述结论．
(2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________．
(3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标．
3．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践
【研究背景】
如图1，在锐角中，的对边长分别为a，b，c，圆O是的外接圆，外接圆半径为R，
【操作探究】补充下面证明说理．
如图2，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），（半圆（或直径）所对的圆周角是直角），
，
．
(1)猜想：在锐角中，的对边长分别为a，b，c，圆O是的外接圆，外接圆半径为R，则有．
(2)【理解应用】如图，中，平分，则_________；
(3)【问题解决】太平湖位于黄山区，是青弋江上游一座人工大水库，有着“东方日内瓦”“未经雕琢的翡翠”之美誉．某综合与实践小组要绘制一幅太平湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，在空旷地找一点C，利用无人机多次测量并取平均值测得，利用测距仪多次测量并取平均值测得．求A，B两岛在图纸上的距离．（比例尺为，结果精确到．参考数据：）
解密题型04 现实热点问题
1．（2026·河南开封·一模）从2025年春晚机器人“秧”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻……这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为．点B、C是转动点，且、与始终在同一平面内．
(1)转动连杆、手臂使，，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度．（结果精确到，参考数据：，，）
(2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆、手臂，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
2．（2026·河南·一模）—赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职业联赛，于年月至年月举行．根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长度为，宽度为，女子排球比赛球网的高度为．如图，某女子排球运动员在场地边缘的处训练发球，为球网（球网位于球场的中间），为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，以点为原点，垂直于球网的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点．（点，，，，在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内）
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)通过计算判断排球能否越过球网；
(3)由于运动员改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为．若排球沿下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求的取值范围．
解密题型05 跨学科问题
1．（2026·江西·模拟预测）跨学科化学
数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·江西新余·模拟预测）一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．加入的稀盐酸时，产生的气体
B．加入的稀盐酸时，产生气体
C．加人的稀盐酸时，不会产生气体
D．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多
3．（2026·广东·一模）小佳同学在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关、、、、和一个小灯泡，当开关闭合时，再同时闭合开关、或、都可以使小灯泡发亮．
(1)当开关、已经闭合时，再任意闭合开关、、中的一个，小灯泡能亮起来的概率是________；
(2)当开关已经闭合时，再任意闭合开关、、、中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
4．（2026·河南许昌·一模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：）
5．（2026·河北邯郸·一模）如图1，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的铝块（重力为）分别悬挂在弹簧测力计，的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，弹簧测力计，各自的示数与铝块各自下降的高度之间的关系如图所示，当铝块没有接触到液体时，弹簧测力计的读数为；当铝块刚好完全浸入液体中时，弹簧测力计的读数为．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
(1)图2中的__________，__________；
(2)当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式；
(3)物体浸在液体中的体积相同的情况下，液体的密度越大，浮力就越大，当铝块浸入液面后，铝块重力．
①__________（填甲或乙）种液体的密度更大；
②当甲、乙液体中的铝块受到的浮力都为时，求铝块在甲、乙液体中浸入的深度差．
解密题型06 动点问题
1．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，沿折线运动，动点在上，且，连接．
(1)的面积为___________；
(2)当时，求线段的长；
(3)当时，求线段的长；
(4)当是直角三角形时，直接写出线段的长．
2．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作于点轴交于点，点是直线上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值：
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种结果的解答过程．
3．（2026·陕西西安·一模）按要求完成下列各题：
(1)问题提出：如图①，矩形的对角线的长为8，的半径为2，点E是上的动点，则点B、E之间的最大距离为____________；
(2)问题探究：如图②，在中，点B关于的对称点为点D，点G、F在上，连接并延长到点E，连接、、，若四边形是平行四边形，求证：；
(3)问题解决：如图③，某区计划将区域建成一个户外健身区，，．现要在线段上找两点D、E（D、E是上的动点，点D在点E的左侧），，点F是一个出入口，且点F是的中点，连接、，为方便市民出入，沿四边形的四边修建人行通道，以为直径在下方作半圆O（半圆随着移动而移动），将半圆O建成公园绿地运动区，点P是半圆O上的一个动点，从A到P沿直线修建一条塑胶跑道，设计人员要求在人行通道的长度（即四边形的周长）最短的条件下，塑胶跑道的长度尽可能的长．请你帮设计人员求出当人行通道的长度（即四边形的周长）最短时，塑胶跑道的最大长度．道（人行通道与塑胶跑道的宽度均忽略不计）
解密题型07 最值问题
1．（2026·河南许昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，连接，是的中点，是内一动点，连接，，，，保持的面积始终为8，当取最小值时，点的坐标是___________．
2．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____．
3．（2026·安徽宣城·一模）如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
4．（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，，，，点在边上，点在的延长线上，且，为的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
解密题型08 多结论正误判断题
1．（2026·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，分别是反比例图象上两个动点，轴于点A，轴于点，直线与轴、轴分别交于点和点．给出下面四个结论：①，②，③可能是等腰直角三角形，④与的面积相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．③④B．①②C．②③D．①③④
2．（2022·福建龙岩·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，点E是边的中点，点M，N分别是边上一点，将纸片沿直线对折，使点A与点E重合，的对应边与交于点G．则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在正方形中，O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长，交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于点G．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
解密题型09 图形变换综合题（折叠 / 旋转）
1．（2026·山西运城·二模）综合与探究
【问题情境】在中，，平分交于点．
(1)【猜想证明】如图1，平分交于点F，连接，判断四边形的形状并证明．
(2)【深入探究】平分交的延长线于点，交BE于点．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，直线与直线相交于点．
①以图2为例，求证：；
②若，，在旋转的过程中，连接，，当是以为直角边的直角三角形时，连接，请直接写出的长．
2．（2026·广东佛山·一模）在中，点，分别在边，上，将沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，四边形是正方形，边长为8，当为的中点时，求的长；
(3)如图3，四边形是矩形，连接，当，时，求的值．
3．（2026·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上．
(1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设．
（i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围；
（ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
解密题型10 函数综合压轴题
1．（2026·湖北武汉·二模）抛物线与轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
(1)求c的值；
(2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值；
(3)已知，直线与抛物线交于点E，过D的另一条直线与抛物线交于，连接，分别交x轴于P，Q两点．若的值．
2．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)连接，当时，求的值；
(3)设以为顶点的四边形的面积为，
①求关于的函数解析式；
②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围．
3．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数图象于点D，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点C的坐标；
(3)点P为反比例函数图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形为矩形时，求点Q的坐标．
解密题型11 几何模型综合题
1．（2026·安徽铜陵·二模）如图1，点E是正方形的边上一点（不与点A，D重合），连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，且．
(1)求的值；
(2)如图2，若点E是的中点，求的值；
(3)如图3，若，请确定点M的位置，并说明理由．
2．（2026·湖北武汉·一模）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且，连接交于点．
(1)如图（1），求证：；
(2)连接．
①如图（2），若平分，求证：；
②如图（3），连接，若平分，直接写出的值．
3．（2026·河南濮阳·一模）如图1，在中，，是中点．
(1)问题提出
兴趣小组的同学发现：利用“三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边”可以直接求出的取值范围是__________，但是对于的取值范围又该如何确定呢？
(2)问题解决
下面是三位同学的解题方法供你选择，请直接写出的取值范围是__________．
小明的作法：倍长中线．如图2，延长至点，使得，连接
小亮的作法：化中线为中位线．如图3，延长至点，使得，连接
小凯的作法：构造中位线．如图4，取的中点，连接
(3)方法应用
如图5，分别以，为腰构造等腰和等腰，连接．请写出和的关系，并说明理由．
(4)联系拓展
在（3）的条件下，将绕点在平面内旋转，当点，，在同一条直线上时，直接写出此时点和点的距离．
4．（2026·河南开封·一模）如图，在中，点为边上的动点，连接，沿折叠，点恰好落在边上的点处，点为射线上一动点，过点作交于点，交延长线于点．
(1)观察猜想
如图①，当点在线段上，点恰好为的中点时，用等式表示线段，，之间的数量关系：___________．
(2)问题探究
在（1）的条件下，若，求的长（写出求解过程）．
(3)拓展应用
如图②，当点在线段的延长线上时，过点作交延长线于点．若，且时，直接写出的值（用含的代数式表示）．
内容导览
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc228092975" 解密题型01 新定义问题 PAGEREF _Tc228092975 \h 1
\l "_Tc228092976" 解密题型02 阅读理解类问题 PAGEREF _Tc228092976 \h 1
\l "_Tc228092977" 解密题型03 综合与实践类问题 PAGEREF _Tc228092977 \h 2
\l "_Tc228092978" 解密题型04 现实热点问题 PAGEREF _Tc228092978 \h 6
\l "_Tc228092979" 解密题型05 跨学科问题 PAGEREF _Tc228092979 \h 7
\l "_Tc228092980" 解密题型06 动点问题 PAGEREF _Tc228092980 \h 9
\l "_Tc228092981" 解密题型07 最值问题 PAGEREF _Tc228092981 \h 11
\l "_Tc228092982" 解密题型08 多结论正误判断题 PAGEREF _Tc228092982 \h 13
\l "_Tc228092983" 解密题型09 图形变换综合题（折叠 / 旋转） PAGEREF _Tc228092983 \h 14
\l "_Tc228092984" 解密题型10 函数综合压轴题 PAGEREF _Tc228092984 \h 15
\l "_Tc228092985" 解密题型11 几何模型综合题 PAGEREF _Tc228092985 \h 17
以陌生概念、规则、运算为载体，融合初中核心知识，考查现场阅读理解、知识迁移、逻辑推理能力。命题重在剔除套路模板，侧重自主建模、分类讨论与规律探究，是区分学生综合运用与创新思维的高频压轴题型。
依托文字材料、解题方法或拓展模型，融合基础知识点，考查信息提取、迁移应用、类比推理能力。命题弱化固定套路，侧重即时理解、归纳总结与学以致用，侧重检测学生自主学习与综合解题素养。
三角形的布洛卡点
【概念理解】
定义：如图1，已知点为内部的一点，连接，若，则点叫做的布洛卡点．
【问题解决】
问题1：如图1，通过研究可以发现，与与与分别具有相同的数量关系．
问题2：如图2，在中，，点为的布洛卡点，且，求的值．
解：，
．
，
……
证明过程缺失
结合实际情境、动手操作、图形变换与方案探究，融合多模块知识交叉考查。侧重模型构建、数形结合、分类探究、方案分析，注重实操思维与实际应用能力，是中考综合性、创新性的核心压轴题型。
结合社会生活、时代热点、实际情境命题，串联方程、函数、统计、几何等核心知识。立足数学建模、数据运算、实际应用，考查文字解读与学以致用能力，紧扣课标应用导向，贴近中考命题趋势。
融合科学、人文、生活常识等多学科背景，结合初中数学核心知识设问。侧重情境融合、信息整合、知识迁移，打破学科壁垒，考查综合分析与实际应用能力，贴合新课标命题导向。
以点、线、图形动态运动为载体，结合几何性质与函数关系综合设问。核心考查分段分析、数形结合、分类讨论、临界取值，侧重动态变化规律探究与范围计算，是中考几何压轴高频难点题型。
依托函数、几何图形与线段变换，融合代数运算与几何模型。聚焦数形结合、范围约束、临界分析、模型转化，考查配方、二次函数性质及将军饮马等经典模型应用，是中考区分度核心题型。
以几何、函数综合图形为载体，融合零散知识点与隐藏条件，依托图形性质、数量关系综合设问。侧重逻辑推理、条件深挖、反例验证、细节辨析，陷阱密集、易错点集中，是中考选择填空核心区分度题型。
以折叠、旋转、平移等几何变换为载体，依托图形全等、边角不变量、特殊图形性质设问。重点考查等量转化、构造辅助线、分类讨论、数形结合，变换后隐藏关系多、图形重构复杂，是几何高频压轴难点题型。
以一次、反比例、二次函数为核心载体，融合图象性质、方程不等式、几何计算与动态探究。重点考查数形结合、含参分析、最值探究、交点转化、范围讨论，知识跨度大、综合性强，是中考核心压轴、核心拉分题型。
以全等、相似、特殊四边形及经典几何模型为核心载体，结合线段、角度、面积计算综合命题。侧重模型识别、结论迁移、辅助线构造、边角转化，题型套路性强、综合度高，是中考几何板块高频重难点与区分度题型。