2026年中考数学题型破译专练：80大热点题型全预测(含解题大招+15大辅助线技巧)(学生版+解析)

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1．（2026·陕西榆林·一模）在0，，，，中，无理数有________个．
2．（2026·山东淄博·一模）下列运算结果为正有理数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·江苏徐州·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·江苏徐州·一模）下列说法正确的个数是（ ）
①的相反数是2026；②的绝对值是2026；③的倒数是2026．
A．3B．2C．1D．0
解密题型02 实数的非负性
1．（2026·贵州遵义·一模）若为有理数，且，则_____．
2．（2026·四川内江·一模）在中，、，的对边分别为、、，且，则的面积为______．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在锐角中，若，则的度数为________．
解密题型03 比较有理数大小
1．（2026·四川南充·一模）在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是__________．
2．（2025·四川资阳·模拟预测）若， 比较四个数的大小，并用“”连接__________________．
3．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______．
4．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
解密题型04 科学记数法
1．（2026·浙江杭州·一模）2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·河南周口·一模）据悉，某国产高端单台服务器搭载的自研芯片，每秒可以完成亿次浮点运算，能支撑超大规模工业仿真计算．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·山东济宁·一模）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为______秒．
解密题型05 实数的混合运算
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）计算：．
2．（2026·广东深圳·一模）计算：．
解密题型06 整式的混合运算
1．（2026·河南周口·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026·天津河西·一模）计算的结果为________．
3．（2026·广东广州·一模）计算：______．
4．（2026·甘肃兰州·一模）计算：．
解密题型07 整式的化简求值
1．（2026·广东阳江·一模）已知，则代数式的值为______．
2．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则_____．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，求代数式的值．
解密题型08 因式分解
1．（2026·重庆·一模）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026·陕西西安·三模）因式分解：___________．
3．（2025·河南信阳·三模）一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”．
【观察】，
，
．
【猜想】（1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除．
【验证】（2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想．
（3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的．
解密题型09 分式有、无意义的条件
1．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（ ）
A．化为最简分式等于B．分式无意义的条件是
C．当时，分式的值为零D．当时，分式无意义
2．（2026·河南南阳·一模）已知式子，在实数范围内均有意义，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）函数 的自变量 x的取值范围是_________________
解密题型10 规律探究
1．（2026·重庆·一模）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，则图⑦的棋子颗数为（ ）
A．40B．53C．68D．85
2．（2026·云南大理·一模）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为81时，则的值为__________．
4．（2026·甘肃天水·一模）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________．
解密题型11 解方程（组）/不等式（组）
1．（2026·江苏扬州·一模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
2．（2026·江苏南京·模拟预测）解方程（组）
(1)解方程：；
(2)解方程组．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：
解密题型12 解方程（组）/不等式（组）的含参问题
1．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______________．
2．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．
3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______．
4．（2025·四川眉山·一模）已知是方程的两个根，则的值为_____．
5．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______．
6．（2026·四川巴中·一模）关于的方程有增根，则的值为______．
7．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____．
8．（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________.
9．（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______．
解密题型13 解方程（组）/不等式（组）与实际问题
1．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
(1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____；
(2)设小明接温水的时间为，
①若最终杯子中水的温度是，求的值；
②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围．
2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）某商店销售、两种水果．水果标价14元/千克，水果标价18元/千克．
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了、两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买、两种水果，要求水果比水果多买1千克．小明到这家商店后，发现、两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折：一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买水果多少千克？
3．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．
(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；
(2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？
4．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）．
(1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示）
(2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由．
(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数．
5．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售．
(1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？
(2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值．
6．（2026·广东深圳·二模）综合与实践
年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务：
(1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？
(2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？
7．（2026·山西吕梁·一模）2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，持续改善阅读环境，某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，已知阅读桌的单价为600元/张，阅读椅的单价为120元/把，且要求购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍，则最多可购置多少张阅读桌？
解密题型14 函数图像问题
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）小明在数学课上看到老师用画板生成了丰富的函数图象，课后自己也尝试利用网络画板研究函数的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构判断小明得到的图象是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·浙江金华·一模）如图，点为的重心，当动点从点出发沿的边逆时针运动一周，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．的面积为
3．（2026·山西朔州·一模）某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多
解密题型15 坐标系上点的坐标特征
1．（2026·河北邯郸·一模）在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____．
2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为______．
3．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限．
解密题型16 坐标系与图形变换综合
1．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点O旋转得到，此时，则C点坐标为_______．
2．（2022九年级·重庆北碚·专题练习）如图，线段的两端点的坐标分别为、，以点为位似中心，在点的同一侧将线段缩小为原来的后，得到线段，则端点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2025·湖北·二模）如图，正方形的边长为5，点的坐标为，平行于轴，现将正方形向左平移2个单位，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A．B．C．D．
解密题型17 点坐标规律探索
1．（2026·河南南阳·一模）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，⋯，，都在函数图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ）
A．B．1C．D．0
2．（2026·河南洛阳·一模）如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________．
解密题型18 待定系数法求函数解析式
1．（2026·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______．
2．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________．
3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
则下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的开口向下B．二次函数图象的对称轴为
C．若点在该函数图象上，则D．当时，y随x的增大而增大
解密题型19 一次函数的性质
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
3．（2026·贵州遵义·一模）已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（ ）
A．第一、三、四象限B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第一、二、三象限
4．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________．
解密题型20 反比例函数的性质
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______．
2．（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（ ）
A．一定在原点左侧B．一定在原点右侧
C．一定在1的左侧D．一定在1的右侧
3．（2026·河南驻马店·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限
B．图象与轴有一个交点
C．当时，随的增大而减小
D．如果点和点均在该函数的图象上，那么
解密题型21 二次函数的性质
1．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是8．则的值为（ ）
A．B．C．1或D．或
2．（2026·陕西汉中·一模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
下列关于该二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．对称轴为直线
C．有最大值D．图象与x轴有两个交点
3．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________．
解密题型22 函数图像综合
1．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
解密题型23 反比例系数k的几何意义
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，则的值为________．
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点．
（1）与的面积之和为______；
（2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______．
3．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______．
4．（2026·陕西西安·二模）如图，平面直角坐标系的原点O是菱形的中心，经过B、D两点的反比例函数解析式．若，，则经过两点的反比例函数解析式是_________．
解密题型24 二次函数图像与各项系数的关系
1．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号）
2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，有下列五个结论：
①；②；③若点，是抛物线上的三点，则；④，是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，若，则；⑤．其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
解密题型25 函数与方程、不等式
1．（25-26九年级上·山东威海·期中）抛物线与坐标轴的交点个数为_______个．
2．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____．
3．（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
解密题型26 反比例函数与一次函数综合
1．（2026·安徽宣城·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A．
(1)求k的值及点B的坐标．
(2)连接，求．
2．（2026·甘肃临夏·一模）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点
(1)点的坐标为 ．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)将直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离．
3．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
4．（2025·贵州黔南·二模）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．
画出函数图象
（1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线．
观察函数图象
（2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
得出结论
（3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________．
解密题型27 一次函数与实际问题
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元．
(1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？
2．（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关．
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，．
【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示．
【解决问题】
(1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N；
(2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式；
②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式；
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可）
3．（2026·黑龙江绥化·二模）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元．
(1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元；
(2)超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？
(3)该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题：
①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时；
②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米．
4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示．
(1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________；
(2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间；
(3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围．
解密题型28 二次函数与实际问题
1．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践
如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长．
(3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）某林区消防大队利用无人机进行消防演练，无人机升空后在点C所在高度水平匀速飞行，到达指定位置A时，空投一枚模拟灭火干粉罐．干粉罐灭火弹离开无人机后，在空中做平抛运动，轨迹为一段抛物线，如图所示，空投点A即为抛物线的最高点．若无人机程序设计空投点坐标，投放目标点坐标．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)如果在距离空投点A水平距离20米处有一棵高10米的树木．请通过计算判断干粉罐是否会撞到树木；如果干粉罐会碰到树木，保持无人机原有速度不变（即平抛运动轨迹抛物线形状不变）且水平位置不变，仅调整无人机空投点高度，求调整后空投点的高度至少为多少米时，干粉罐才能避开树木（结果保留整数）
3．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
4．（2026·安徽阜阳·模拟预测）综合与实践
【项目背景】点茶是中国古代的一种沏茶方法，始于唐，盛于宋，是宋代斗茶与文人雅士日常品饮的核心沏茶技艺，其中“分茶”更是将沏茶升华为兼具实用性与观赏性的艺术．茶艺师复刻“分茶”技艺时，倒茶的水流轨迹、茶壶壶嘴造型、茶碗的移动与承接，看似是行云流水的技艺展现，实则暗藏着丰富的数学规律．
【项目准备】
模型抽象：在一次茶会上，我们将茶艺师表演“分茶”技艺时倒茶的情景抽象为如图所示的数学模型．已知茶壶壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水轨迹在同一条抛物线上；点B、C所在直线与x轴（桌面）平行，茶碗边沿点E与壶口C的连线垂直于x轴．

核心条件：
①，；
②壶柄与竖直方向夹角为，，线段AB与壶柄平行；
③茶碗的底面直径为，碗口直径为，高度为，茶碗的侧内壁剖面图可以抽象为二次函数的部分图象，茶碗底部中心初始坐标为，茶碗碗口中心F与底部中心的连线垂直于桌面；
④当点A相对桌面的高度时，点A的横坐标为0，抛物线水流恰好经过F点，且抛物线的顶点在线段的垂直平分线上．
【项目任务】
(1)任务一：求曲线BC所在抛物线的解析式；
(2)任务二：点茶时，前期调膏要低注慢淋，避免冲散茶末，因此要求茶艺师在前期注水时水流距离茶碗壁的竖直高度不得超过．判断此次倒茶过程中，水流距离茶碗壁的竖直高度是否符合要求；
(3)任务三：若为了节目效果，茶碗盛水后会匀速上浮，上浮速度为，同时沿x轴正方向以的速度平移．茶艺师手持茶壶竖直向上平移（横坐标不变），平移高度为，平移后茶水轨迹为原抛物线竖直平移后的图形．设茶碗移动时间为，当茶水轨迹经过茶碗上沿点E处时，分茶效果最佳，因此要求茶水落点始终在茶碗边沿E，求h与t的函数关系式，并求出当时，点A距离桌面的高度．
5．（2026·广西桂林·一模）【综合与实践】
【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计
某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下：
【问题探究】
(1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程；
(2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值；
(3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因．
解密题型29 函数与图形变换问题
1．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知锐角的边的长为，面积为，，点在上，点在上，四边形为正方形（与在的异侧），其边长为，正方形与的公共面积为．
(1)当正方形的边恰好落在上时，求边长．
(2)当不落在上时，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中）
(3)求的最大值．
2．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将三角板绕点顺时针旋转至，
①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标；
②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由．
3．（2026·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，，求的最大值；
(3)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围．
4．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点．
①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果与相似，求平移的距离．
解密题型30 函数与图形面积问题
1．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
3．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集
(3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
解密题型31 函数与特殊三角形存在性问题

1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由：
(4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
2．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为．
(1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴；
(2)若，求的取值范围；
(3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值；
(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解密题型32 函数与特殊四边形存在性问题
1．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数相交于点．
(1)求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点且在点C下方，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，若M为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点N，使得以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．
解密题型33 函数与特殊角存在性问题
1．（2026·黑龙江·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解密题型34 函数与最值问题
1．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求、的值；
(2)点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标；
(3)在线段上是否存在点，使存在最小值？若存在，请直接写出点的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
2．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
3．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出中的取值范围；
(3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
解密题型35 整点问题
1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称．
(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______；
(2)当时，求抛物线的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为．
①当时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
解密题型36 几何图形初步
1．（2026·辽宁营口·一模）紫砂壶是我国非物质文化遗产之一，成型工艺特别，造型样式丰富，陶器色泽古朴典雅如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，从上面看到的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·河南周口·一模）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·陕西西安·三模）陕西耀州窑是宋代六大窑系之一，它以独特的剔刻花装饰、莹澈的青釉而著称，是北方青瓷烧造技术的集大成者．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列瓷器的形状最为接近的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为____．
解密题型37 正方形展开图
1．（2026·河南周口·二模）新情境 河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（ ）
A．国B．玉C．雕D．乡
2．（2026·河南·一模）如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字互为相反数；则的值为（ ）
A．B．C．3D．6
3．（2026·河北保定·模拟预测）将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（ ）
A．B．C．D．
解密题型38 运用数学知识解决实际问题
1．（2026·吉林辽源·一模）某班同学在操场上站成笔直的一排，只要确定两个同学的位置，这一排的位置就确定了，依据是（ ）
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．过不共线的三点可以确定三条直线
2．（2025·吉林·三模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩B．木板上弹墨线
C．两钉子固定木条D．弯曲河道改直
3．（2025·吉林·模拟预测）如图所示，小明到小颖家有三条路，小明想尽快到小颖家，请你帮他选线路______，用数学知识解释为______．
解密题型39 利用平行线的性质与判定求解
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）把两块分别含角和含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·安徽安庆·一模）如图，已知四边形是矩形，点D在直线上，若平分，则下列结论不正确的是（ ）
A．平分B．
C． D．是等边三角形
3．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____．
解密题型40 三角形的三边关系

解密题型41 与三角形高、中线、角平分线有关的计算

1．（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（ ）
A．6B．7C．8D．9
52．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值．
2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（ ）
A．3B．6C．12D．24
3．（2026·河南·一模）如图，已知点分别为的中点，的面积为2，则阴影部分的面积为__________．
解密题型42 三角形内角和与外角和综合

1．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·辽宁营口·一模）如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·广东东莞·一模）如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，，若， 则的度数是 ．
解密题型43 垂直平分线

1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，交于点O，若点N恰为的中点，则的长为______，的长为________．
2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，已知矩形的顶点，按以下步骤作图：
①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N；
②作直线，分别交边，边于点E，D．
若D点坐标为，连接，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
解密题型44 三角形中位线

1．（2026·四川达州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，则的长为__________．
3．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．如图，在中，分别是边上的中线，三条中线交于重心G．
【性质探究】(1)小颖发现点E、D分别是的中点，由此联想到三角形中位线，请你根据小颖的思路，证明：；
【迁移应用】(2)经过探究，小颖进一步发现：以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形．请你帮助小颖完成这一结论的证明．
【创新研究】
(3)探究由三条中线为边构成的三角形与的面积之间的数量关系．若设的面积为S，由三条中线构成的三角形的面积为，请写出S与之间的数量关系．
解密题型45 添加一个条件使两个三角形/全等相似

1．（2026·湖南湘潭·一模）如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）．
3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在和中，，若添加一个条件，仍不能使得和相似的是（ ）
A．B．
C．D．
解密题型46 利用全等/相似三角形的性质求解

1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，，在边上，，，交于，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，已知，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为_____．
3．（2026·广西贵港·一模）如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为（ ）
A．B．C．D．9
解密题型47 半角模型

1．（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动．
如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足．
(1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____．
(2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长．
(3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果．
2．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）【建立模型】如图1，正方形的边长为6，点E，F分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
【模型应用】
（2）当时，①____________；
②求的长．
【模型拓展】
（3）如图，等腰直角三角形中，，，点M，N在边上，且，若，，求的长．
3．（2025·甘肃天水·一模）【模型建立】
（1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
解密题型48 一线三等角模型

1．（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（ ）
A．16B．12C．8D．4
2．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
解密题型49 手拉手模型

1．（2026·河南周口·一模）综合探究
(1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________；
(2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值；
(3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长．
2．（2026·广东深圳·一模）如图1为正方形和正方形，连接．
(1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由；
(3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长．
3．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题：
(1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明．
(2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接．
①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________；
②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长．
(3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围．
解密题型50 利用平行四边形的性质与判定求解

1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______．
2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（ ）
A．20B．22C．24D．48
3．（2026·安徽芜湖·一模）如图，菱形的对角线相交于点，，点，分别是边，的中点，连接，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
解密题型51 利用特殊四边形的性质与判定求解

1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在菱形中，，则四边形的面积与菱形的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（ ）
A．B．C．5D．10
3．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
解密题型52 折叠问题

1．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·江苏南通·一模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______．
解密题型53 中点四边形

1．（2026·广西南宁·一模）如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____．
依据2是指：_____．
(2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．
(3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____．
解密题型54 多边形及内角和

1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图是一个由正方形和菱形构成的对称环状图案，其外轮廓为一个正八边形，下列判断正确的是（）
A．该正八边形的每个内角为
B．该正八边形的对角线共有条
C．该环状图案的对称轴有条
D．该正八边形的每个外角为
2．（2026·山西太原·一模）跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·湖南岳阳·一模）苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则__________．
解密题型55 四边形与最值问题

1．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____．
2．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______．
3．（2026·四川达州·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________ ．
4．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______________．
解密题型56 十字架模型

1．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题．
【尝试解决】
如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且．
(1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ．
(2)在（1）的基础上，求证：．
(3)【类比应用】
如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长．
(4)【拓展提升】
如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值．
2．（2026·四川南充·一模）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长．
3．（2026·安徽阜阳·一模）菱形中，，为边，上的点，，相交于点．
(1)如图，若，，求证：；
(2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论；
(3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值．
解密题型56 勾股定理

1．（2026·辽宁营口·一模）如图，四边形ABCD中，，，，，．是的中点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·湖北襄阳·一模）在中，所对的边分别为、、．下列所给数据中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·山东济宁·一模）如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解密题型57 垂径定理

1．（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（ ）
A．米B．米C．米D．5米
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
3．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．4cmB．C．D．
解密题型58 圆周角定理

1．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（ ）．
A．B．C．D．3
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的直径，，为的切线，C为上一个动点，连接交于点D，过点D作，垂足为点E．当时，则的长为__________若，，则y关于x的函数关系式为__________．
解密题型59 圆内接四边形

1．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（ ）
A．55°B．65°C．70°D．78°
2．（2026·重庆巴南·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
解密题型60 点、直线与圆的位置关系

1．（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________
2．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，，若以点为圆心，长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相切或相交
3．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
解密题型61 切线的判定

1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知是的直径，点F在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
2．（2026·湖北随州·一模）如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求优弧的长．
解密题型62 切线长定理

1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______．
3．（2026·河南周口·模拟预测）嵩岳寺塔位于登封市嵩山南麓，初建于北魏正光四年（523年），是中国现存最古老的底座近似圆形的砖塔．为了保护嵩岳寺塔，计划围上圆形的围栏．因受测量工具限制，小峰想了这样的方法来测量：把圆形区域与直尺相切于点，再相切于点，两条切线交于点．测得，若米，则圆形围栏的周长为______米．（结果保留根号和）
解密题型63 正多边形与圆

1．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2026·山西长治·一模）如图，在正六边形中，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径作，与正六边形交于点D．若正六边形的边长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·河北廊坊·一模）如图，O为正六边形内部（不含边界）的任意一点，边的延长线交于点G，若，，用含a，b的代数式表示的面积为_________．
4．（2026·广东东莞·一模）《墨子•天文志》记载： “执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美、如图，正方形的边长为1，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为__________．
解密题型64 弧长与扇形面积

1．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为____________．
2．（2026·湖南湘潭·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）．
3．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______．
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形的面积为，半径是，则此扇形的圆心角度数为______．
解密题型65 计算不规则图形面积

1．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，于点．分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点．再以点为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______．
2．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______．
解密题型66 圆与三角形综合

1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知内接于，圆心O在的内部，于点D，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点G为的中点，连接，过点C作于点F，交于点E，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点H，连接，若平分，，，求的面积．
2．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，与相切于点（点和在直线同侧），交于点，延长交于点，连接和交于点，连接．
(1)证明：；
(2)①证明：平分；
②连接，若，，，求的长．
3（2026·陕西西安·一模）问题提出
(1)如图①，在中，，，求面积的最大值______．
问题探究
(2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值；
问题解决
(3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值．
解密题型67 圆与四边形综合

1．（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)当点P是的中点时，．若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连接．当与的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的的长．
2．（2025·湖南郴州·二模）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，
①若，，求的长度；
②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，
求证：．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结．
．
，，．
是等边三角形．
，．
．
，．
点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小．
【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长．
（2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点．
【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径．
解密题型68 阿氏圆模型

1．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值．
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值；
(2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
(3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值．
2．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的长；
②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由．
解密题型69 圆的综合问题

1．（2026·陕西西安·三模）解答下面各题
(1)如图①，已知，，则的度数为______．
(2)如图②，已知，且，求证；
(3)如图③五边形为冬奥会花样滑冰场馆设计初稿．下方四边形为比赛场地，上方为候场区及观众席区，其中，，；射线为场馆外围围栏，．线段为场馆入口，且、、、四点共线．冬奥会吉祥物蒂娜（点）在场馆内沿线段进行表演，吉祥物米洛（点）在场馆外沿射线进行表演，并且满足．其中为观众席区域，点为幸运观众与吉祥物互动位置，为使观看和互动效果最佳，要在线段上且，为容纳更多观众，请问是否存在点使得面积最大；若存在，请求出观众席的最大面积．
2．（2025·海南海口·二模）如图1，在中，，点M，N分别为边，的中点，连接．
【初步尝试】（1）与的数量关系是________，与的位置关系是________．
【特例研讨】（2）如图2，若，，先将绕点B顺时针旋转（为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接，．
①猜想的形状并证明；
②求出的长．
【深入探究】（3）若，将绕点B顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，直接写出你的结论．
解密题型70 利用平移、轴对称、旋转的性质求解

1．（2025·广东深圳·三模）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（ ）
A．1B．3C．D．
2．（2025·广东佛山·三模）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2026·安徽合肥·一模）如图，将沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处，的周长等于，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
解密题型71 轴对称图形的识别

1．（2026·山西吕梁·一模）中国高端装备已从产品出口升级为技术+标准+产能+服务+资本的全链条出海，覆盖轨交、工程机械、能源、航空、船舶、军工、工业母机等核心赛道，是中国制造向中国智造转型的标杆．以下四家中国高端装备企业的品牌图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．中国中铁B．中国铁建
C．中国交建D．中国中车
2．（2026·辽宁营口·一模）2026年，政府工作报告指出：要进一步深化拓展“人工智能+”，下面是四款人工智能大模型图标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·四川巴中·一模）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解密题型72 画平移、轴对称、旋转的图像

1．（2026·黑龙江·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)将向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长．
2．（2026·安徽宣城·一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，点C的坐标为．
(1)把以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，请画出，并写出点的坐标．
(2)以直线为对称轴，画出关于直线对称的．
3．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于轴成轴对称的，并写出的坐标________；
(2)________；
(3)在轴上画出一点（不写作法，保留作图痕迹），使的值最小，并直接写出点的坐标是________．
解密题型73 黄金分割

1．（2026·陕西西安·三模）黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为_____．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到黄金矩形．依此作法，四边形、四边形也是黄金矩形．依次以点，，为圆心，作弧，弧，弧，曲线叫作“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为______（结果保留）．
3．（2026·甘肃兰州·一模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号）
解密题型74 平行线分线段成比例

1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在中，是高，点E为边上一点，且，连接交于点F，，，，则的长为（ ）
A．7B．6C．5D．
2．（2026·陕西西安·二模）如图，中，点、分别为、上一点，、交于，且，．则值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·上海·一模）某山丘在建造旅游景区时，在两山丘间建造吊桥，其抽象图如图所示，其中山丘，均为等腰直角三角形，山丘的底在一条直线上，为让处于最佳位置，建筑师连接，其和的交点记作M、N，那么桥梁和山丘底的数量关系为____．
解密题型75 相似三角形的实际应用

1．（2026·河北石家庄·一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ）
A．cmB．cmC．10cmD．cm
2．（2026·安徽滁州·一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________．
3．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，马路两侧有高度相同灯杆，当小明站在两灯杆之间的点N处时，在灯C的照射下小明的影长为，在灯A的照射下小明的影长为．测得两路灯间距离米，小明身高米，米，米，求灯杆的高度．
4．（2026·宁夏固原·一模）综合与实践
【活动主题】：测量学校旗杆的高度．
【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题．
【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等．
【方案设计】
【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题：
(1)利用方案测得旗杆的高度为_____米；
(2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度；
(3)袁超在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程）
解密题型76 解直角三角形

1．（2026·四川绵阳·二模）如图，在中，，、、分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点，若，，，则（ ）
A．B．2C．D．
2．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·山东青岛·一模）如图，一个四棱柱的三视图如图所示，主视图中；俯视图中，；左视图中、．则这个四棱柱的侧面面积为______．
解密题型77 解直角三角形的应用

1．（2026·山东淄博·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案．
(1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中）
①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理．
(2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由．
2．（2026·重庆·一模）小佳和小馨两姐妹约定一起去U城天街吃晚餐．如图A，B，C，D在同一平面内．已知家A位于学校B的北偏东方向，位于高新天街D的北偏西方向，位于U城天街C的北偏东方向：学校B位于U城天街C的北偏东方向且距离6千米处：高新天街D位于U城天街C的正东方．（参考数据：）
(1)求家A与U城天街C的直线距离（结果保留根号）；
(2)小佳需要从家A出发，骑自行车匀速先到学校B拿数学作业，然后再到U城天街C吃晚餐；同时，小馨也从家A出发，先乘坐公交匀速前往高新天街D取维修的手机，再从高新天街D乘坐地铁1号线到U城天街C吃晚餐．已知骑自行车的速度为15千米/小时，公交车的速度为20千米/小时，地铁的速度为60千米/小时．小佳进校拿作业的时间与小馨取手机及转乘等待的时间相同，且路途畅通（红绿灯时间忽略不计）．请通过计算说明谁先到达U城天街C吃晚餐？（结果保留）
3．（2026·山东滨州·一模）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
(1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离．
(2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）
4．（2026·湖南邵阳·二模）近年来，国产人形机器人技术飞速发展，多款机器人登上2026年春晚舞台，引来无数观众的赞叹．某数学实践小组根据某个机器人的动作示意图，开展数学探究活动．
(1)图1为机器人的某一姿势示意图，其下肢伸展结构可近似抽象为等腰三角形，如图2．已知机器人的大腿上端点到地面水平线的距离约为厘米，机器人的两脚着地点，之间的距离约为厘米，请估计机器人的腿长．
(2)图3为机器人的另一姿势示意图，其右侧伸展结构可近似抽象为，如图4．已知点为机器人的右脚着地点，点为机器人的头顶最高点，点为机器人的机身连接点，直线为地面水平线．若，，请估计此时机器人的头顶点到地面水平线的距离（结果保留整数，参考数据：，）．
解密题型78 三视图的相关计算

1．（2026·湖南·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______．
2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图所示为由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．（2026·江苏徐州·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（ ）
A．8.4元B．17元C．34元D．50元
解密题型79 计算概率

1．（2026·安徽亳州·一模）如图，在等腰中，，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，与相切于点，交于点，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．（2026·福建厦门·一模）为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种：
方案一：购物每满元减元；
方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示．
(1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率；
(2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．
(1)小东抽中的是唐僧的概率为______；
(2)用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
解密题型80 数据分析

1．（2026·山西晋城·一模）为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析．
数据整理：跳绳个数记为，共分为五组：
A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）．
被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134；
被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136．
数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析：
认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________，________；并补全频数直方图．
(2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数．
(3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由．
2．（2026·山东日照·一模）2026年1月16日，谷神星一号海遥七运载火箭在日照近海成功发射，“航天发射”正成为日照的新．某校为了解七年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七年级学生进行了测试，现从七年级学生中随机抽取40名学生的测试成绩（成绩用x表示，单位：分）进行了整理与分析，并分为A、B、C、D、E五个等级：
信息1：
信息2：七年级抽取学生成绩在C等级的数据是：
70，71，71，73，74，74，74，75，75，76，77，77，78；
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求七年级抽取学生测试成绩在B等级的学生人数，并补全条形统计图；
(2)七年级抽取学生成绩的中位数是_____________；
(3)七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计七年级能参加第二轮比赛的人数．
3．（2026·西藏·一模）【项目背景】
为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计．
【数据收集与整理】
（一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．
A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀．
（二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下．
一分钟限时跳绳比赛成绩统计表
【数据分析与应用】
(1)任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组；
(2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数；
(3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率．
4．（2026·河南郑州·二模）2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图．
根据以上信息，整理、分析数据，得到下表：
(1)________，________；
(2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数；
(3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可．
内容导览
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc227838459" 解密题型01 实数的性质 PAGEREF _Tc227838459 \h 2
\l "_Tc227838460" 解密题型02 实数的非负性 PAGEREF _Tc227838460 \h 3
\l "_Tc227838461" 解密题型03 比较有理数大小 PAGEREF _Tc227838461 \h 4
\l "_Tc227838462" 解密题型04 科学记数法 PAGEREF _Tc227838462 \h 6
\l "_Tc227838463" 解密题型05 实数的混合运算 PAGEREF _Tc227838463 \h 7
\l "_Tc227838464" 解密题型06 整式的混合运算 PAGEREF _Tc227838464 \h 7
\l "_Tc227838465" 解密题型07 整式的化简求值 PAGEREF _Tc227838465 \h 8
\l "_Tc227838466" 解密题型08 因式分解 PAGEREF _Tc227838466 \h 9
\l "_Tc227838467" 解密题型09 分式有、无意义的条件 PAGEREF _Tc227838467 \h 9
\l "_Tc227838468" 解密题型10 规律探究 PAGEREF _Tc227838468 \h 10
\l "_Tc227838469" 解密题型11 解方程（组）/不等式（组） PAGEREF _Tc227838469 \h 11
\l "_Tc227838470" 解密题型12 解方程（组）/不等式（组）的含参问题 PAGEREF _Tc227838470 \h 12
\l "_Tc227838471" 解密题型13 解方程（组）/不等式（组）与实际问题 PAGEREF _Tc227838471 \h 13
\l "_Tc227838472" 解密题型14 函数图像问题 PAGEREF _Tc227838472 \h 15
\l "_Tc227838473" 解密题型15 坐标系上点的坐标特征 PAGEREF _Tc227838473 \h 16
\l "_Tc227838474" 解密题型16 坐标系与图形变换综合 PAGEREF _Tc227838474 \h 17
\l "_Tc227838475" 解密题型17 点坐标规律探索 PAGEREF _Tc227838475 \h 18
\l "_Tc227838476" 解密题型18 待定系数法求函数解析式 PAGEREF _Tc227838476 \h 20
\l "_Tc227838477" 解密题型19 一次函数的性质 PAGEREF _Tc227838477 \h 21
\l "_Tc227838478" 解密题型20 反比例函数的性质 PAGEREF _Tc227838478 \h 21
\l "_Tc227838479" 解密题型21 二次函数的性质 PAGEREF _Tc227838479 \h 23
\l "_Tc227838480" 解密题型22 函数图像综合 PAGEREF _Tc227838480 \h 23
\l "_Tc227838481" 解密题型23 反比例系数k的几何意义 PAGEREF _Tc227838481 \h 24
\l "_Tc227838482" 解密题型24 二次函数图像与各项系数的关系 PAGEREF _Tc227838482 \h 26
\l "_Tc227838483" 解密题型25 函数与方程、不等式 PAGEREF _Tc227838483 \h 27
\l "_Tc227838484" 解密题型26 反比例函数与一次函数综合 PAGEREF _Tc227838484 \h 28
\l "_Tc227838485" 解密题型27 一次函数与实际问题 PAGEREF _Tc227838485 \h 31
\l "_Tc227838486" 解密题型28 二次函数与实际问题 PAGEREF _Tc227838486 \h 33
\l "_Tc227838487" 解密题型29 函数与图形变换问题 PAGEREF _Tc227838487 \h 36
\l "_Tc227838488" 解密题型30 函数与图形面积问题 PAGEREF _Tc227838488 \h 38
\l "_Tc227838489" 解密题型31 函数与特殊三角形存在性问题 PAGEREF _Tc227838489 \h 40
\l "_Tc227838490" 解密题型32 函数与特殊四边形存在性问题 PAGEREF _Tc227838490 \h 42
\l "_Tc227838491" 解密题型33 函数与特殊角存在性问题 PAGEREF _Tc227838491 \h 43
\l "_Tc227838492" 解密题型34 函数与最值问题 PAGEREF _Tc227838492 \h 44
\l "_Tc227838493" 解密题型35 整点问题 PAGEREF _Tc227838493 \h 46
\l "_Tc227838494" 解密题型36 几何图形初步 PAGEREF _Tc227838494 \h 47
\l "_Tc227838495" 解密题型37 正方形展开图 PAGEREF _Tc227838495 \h 48
\l "_Tc227838496" 解密题型38 运用数学知识解决实际问题 PAGEREF _Tc227838496 \h 49
\l "_Tc227838497" 解密题型39 利用平行线的性质与判定求解 PAGEREF _Tc227838497 \h 50
\l "_Tc227838498" 解密题型40 三角形的三边关系 PAGEREF _Tc227838498 \h 51
\l "_Tc227838499" 解密题型41 与三角形高、中线、角平分线有关的计算 PAGEREF _Tc227838499 \h 51
\l "_Tc227838500" 解密题型42 三角形内角和与外角和综合 PAGEREF _Tc227838500 \h 52
\l "_Tc227838501" 解密题型43 垂直平分线 PAGEREF _Tc227838501 \h 54
\l "_Tc227838502" 解密题型44 三角形中位线 PAGEREF _Tc227838502 \h 54
\l "_Tc227838503" 解密题型45 添加一个条件使两个三角形/全等相似 PAGEREF _Tc227838503 \h 56
\l "_Tc227838504" 解密题型46 利用全等/相似三角形的性质求解 PAGEREF _Tc227838504 \h 57
\l "_Tc227838505" 解密题型47 半角模型 PAGEREF _Tc227838505 \h 58
\l "_Tc227838506" 解密题型48 一线三等角模型 PAGEREF _Tc227838506 \h 60
\l "_Tc227838507" 解密题型49 手拉手模型 PAGEREF _Tc227838507 \h 61
\l "_Tc227838508" 解密题型50 利用平行四边形的性质与判定求解 PAGEREF _Tc227838508 \h 63
\l "_Tc227838509" 解密题型51 利用特殊四边形的性质与判定求解 PAGEREF _Tc227838509 \h 64
\l "_Tc227838510" 解密题型52 折叠问题 PAGEREF _Tc227838510 \h 65
\l "_Tc227838511" 解密题型53 中点四边形 PAGEREF _Tc227838511 \h 66
\l "_Tc227838512" 解密题型54 多边形及内角和 PAGEREF _Tc227838512 \h 69
\l "_Tc227838513" 解密题型55 四边形与最值问题 PAGEREF _Tc227838513 \h 70
\l "_Tc227838514" 解密题型56 十字架模型 PAGEREF _Tc227838514 \h 71
\l "_Tc227838515" 解密题型56 勾股定理 PAGEREF _Tc227838515 \h 73
\l "_Tc227838516" 解密题型57 垂径定理 PAGEREF _Tc227838516 \h 74
\l "_Tc227838517" 解密题型58 圆周角定理 PAGEREF _Tc227838517 \h 75
\l "_Tc227838518" 解密题型59 圆内接四边形 PAGEREF _Tc227838518 \h 76
\l "_Tc227838519" 解密题型60 点、直线与圆的位置关系 PAGEREF _Tc227838519 \h 76
\l "_Tc227838520" 解密题型61 切线的判定 PAGEREF _Tc227838520 \h 77
\l "_Tc227838521" 解密题型62 切线长定理 PAGEREF _Tc227838521 \h 78
\l "_Tc227838522" 解密题型63 正多边形与圆 PAGEREF _Tc227838522 \h 79
\l "_Tc227838523" 解密题型64 弧长与扇形面积 PAGEREF _Tc227838523 \h 80
\l "_Tc227838524" 解密题型65 计算不规则图形面积 PAGEREF _Tc227838524 \h 82
\l "_Tc227838525" 解密题型66 圆与三角形综合 PAGEREF _Tc227838525 \h 83
\l "_Tc227838526" 解密题型67 圆与四边形综合 PAGEREF _Tc227838526 \h 84
\l "_Tc227838527" 解密题型68 阿氏圆模型 PAGEREF _Tc227838527 \h 86
\l "_Tc227838528" 解密题型69 圆的综合问题 PAGEREF _Tc227838528 \h 88
\l "_Tc227838529" 解密题型70 利用平移、轴对称、旋转的性质求解 PAGEREF _Tc227838529 \h 89
\l "_Tc227838530" 解密题型71 轴对称图形的识别 PAGEREF _Tc227838530 \h 90
\l "_Tc227838531" 解密题型72 画平移、轴对称、旋转的图像 PAGEREF _Tc227838531 \h 91
\l "_Tc227838532" 解密题型73 黄金分割 PAGEREF _Tc227838532 \h 93
\l "_Tc227838533" 解密题型74 平行线分线段成比例 PAGEREF _Tc227838533 \h 94
\l "_Tc227838534" 解密题型75 相似三角形的实际应用 PAGEREF _Tc227838534 \h 95
\l "_Tc227838535" 解密题型76 解直角三角形 PAGEREF _Tc227838535 \h 97
\l "_Tc227838536" 解密题型77 解直角三角形的应用 PAGEREF _Tc227838536 \h 98
\l "_Tc227838537" 解密题型78 三视图的相关计算 PAGEREF _Tc227838537 \h 101
\l "_Tc227838538" 解密题型79 计算概率 PAGEREF _Tc227838538 \h 102
\l "_Tc227838539" 解密题型80 数据分析 PAGEREF _Tc227838539 \h 103
实数的性质是中考基础必考内容，常以选择、填空形式考查相反数、倒数、绝对值、数轴与无理数辨识，核心围绕概念辨析、符号判断、运算性质展开，侧重基础应用，难度低但易因概念混淆失分，是必须稳拿的送分考点。
1）相反数：实数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负实数的绝对值是它的相反数，即设a表示一个实数，则.
3）倒数：实数a的倒数是（a≠0），若a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数.
4）要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数.区分有理数和无理数既是一个重要的知识点，也是易错的问题.
实数非负性主要考查绝对值、平方、算术平方根三类非负模型，常以 “几个非负数之和为 0，则每一项均为 0” 的形式命题，侧重代数式求值与方程求解，属于中考高频基础考点，思路固定、易掌握。
常见的非负数有三种形式：
①绝对值的非负性：任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②平方的非负性：任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③算术平方根的非负性：任何非负数a的算术平方根是非负数，即a≥0且a≥0.
中考常以选择、填空考查有理数大小比较，核心方法有数轴法、作差法、绝对值法，正数大于 0、0 大于负数，两负数比较时绝对值大的反而小，题型基础、思路直接，是必拿分考点。
比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b.
物质
铝
酒精
液态氧
水
凝固点（单位：）
660
科学记数法是中考高频基础考点，主要考查大数与小数的表示形式，关键在于确定a×10n中a的范围与指数n的取值，题型简单、计算直接，属于易得分基础题型。
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为：
1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10；
2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1；
②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.
3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：
实数混合运算为中考必考计算题，核心考查零指数、负指数、绝对值、根式与三角函数的综合计算，按运算顺序逐步化简即可，注重步骤规范与符号判断。
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3），
在计算中常用的锐角三角函数值：
三角函数
30°
45°
60°
sin α
12
22
32
cs α
32
22
12
tan α
33
1
3
整式的混合运算为中考基础计算题，重点考查幂的运算、乘法公式与合并同类项，按先乘方、再乘除、最后加减的顺序运算，细心即可稳拿满分。
在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项.
整式化简求值是中考常考解答题，先利用公式与运算法则化简，再代入数值计算，步骤规范、思路固定，是典型的基础得分题型。
整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入.
因式分解是中考基础必考内容，常结合分式运算考查，核心掌握提公因式法与公式法，遵循 “一提二套三检查” 步骤，是代数运算的重要基础。
分式有、无意义的条件为中考基础考点，核心看分母取值：分母不为 0 时分式有意义，分母为 0 时分式无意义，概念清晰、判断直接，属于易得分题型。
1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零.
2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可.
【易错点】当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误.
规律探究是中考高频题型，常以数字、图形、等式变化呈现，关键在于观察序号与结果的关系，归纳通项公式，侧重逻辑推理与归纳总结能力。
解方程（组）与不等式（组）是中考必考基础题，侧重步骤规范与解集表示，方程组用代入或加减消元，不等式注意变号问题，属于必拿满分题型。
解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
解方程（组）/ 不等式（组）含参问题是中考中档热点，先按常规方法求解再结合解集、整数解、交点等条件列不等式，关键注意分类讨论与不等号方向，侧重逻辑严谨性。
解方程（组）/ 不等式（组）与实际问题是中考必考应用题，关键是找准等量或不等关系列方程（组）、不等式（组）求解，注意检验结果是否符合实际意义，侧重建模与应用能力。
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）．
生活经验：饮水适宜温度是（包括与）．
宇树科技机器人采购方案设计
素材1
购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元；
5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元．
素材2
每台四足机器人每日可服务观众150人次；
每台人形机器人每日可服务观众280人次．
素材3
科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元．
问题解决
函数图像问题是中考常考题型，重点考查图像位置、增减性、交点及数形结合思想，根据解析式判断特征，结合图像分析取值范围，侧重直观推理。
坐标系上点的坐标特征是中考基础考点，重点考查各象限符号、坐标轴上点、对称点及中点坐标，概念直接、判断简单，属于送分基础题型。
坐标系与图形变换综合是中考常考中档题，结合平移、旋转、对称、位似考查坐标变化，关键抓住变换规律确定对应点坐标，侧重数形结合与空间想象。
点坐标规律探索是中考高频题型，常以循环、平移、对称形式出现，关键找周期或通项公式，结合坐标符号变化规律求解，侧重归纳推理与数形结合。
待定系数法求函数解析式是中考必考核心题型，根据函数类型设出解析式，代入点坐标列方程（组）求解系数，思路固定、步骤清晰，是函数问题的基础得分点。
x
…
1
2
3
…
y
…
3
0
m
…
一次函数的性质是中考高频考点，重点考查 k、b 对图像位置与增减性的影响，结合图像判断取值范围，侧重数形结合与性质应用。
正比例函数和一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关.当k>0时，y随x的增大而增大；当k