清单02 中考数学考前重点题型归纳（25个题型115题）（抢分清单）2026年中考数学终极冲刺讲练测 练习+答案

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题型03 整式运算的正误 题型04 平行线中求角
题型05 函数图象共存问题 题型06 函数图象与几何图形综合
题型07 三角形中的计算 题型08 特殊的平行四边形中的计算
题型09 圆中的计算 题型10 实数的运算
题型11 分式的化简求值 题型12 方程、不等式组的解法
题型13 用列表法或树状图求概率 题型14 统计的综合问题
题型15 尺规作图与无刻度作图 题型16 一次函数与反比例函数的综合
题型17 二次函数的综合 题型18 利用函数解决实际问题
题型19 用锐角三角函数解决测高问题 题型20 圆中的证明与计算
题型21 特殊的平行四边形中的证明与计算 题型22 项目式学习问题
题型23 几何与函数新定义型问题
题型归纳
(每个题型5道题左右)
题型01 科学记数法
1．（2026·山东青岛·一模）中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》海内外多项传播数据刷新纪录．截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，将23063000000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案．
【详解】解：．
2．（2026·广西玉林·一模）2026年国务院政府工作报告提出民生保障相关目标，其中全国城镇新增就业预期目标为12000000人以上，全力保障民生就业大局稳定．数据12000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的形式为，其中，为整数，解答即可．
【详解】解：数据12000000用科学记数法表示为．
3．（2026·安徽马鞍山·一模）据安徽省汽车办消息，2025年上半年，安徽汽车产量达万辆，位居全国第一．数据万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将万表示成形式为的形式，其中，n为整数，确定a、n的值即可解答．
【详解】解：∵1万，
∴万，即选项C符合题意．
4．（2026·四川成都·一模）国家统计局2026年1月19日发布数据．初步核算，2025全年国内生产总值1401879亿元，按不变价格计算，比上年增长．经济社会发展主要目标任务圆满实现，“十四五”胜利收官．“十四五”时期，中国经济总量先后突破110万亿元、120万亿元、130万亿元、140万亿元，实现“四连跳”．将数据1400000亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可求解．
【详解】解：．
5．（2026·山东聊城·一模）2026年央视春晚舞台上，人形机器人“组团炫技”，成为全网热议的“顶流”．工业和信息化部部长李乐成介绍，2025年我国人工智能核心产业规模超过了1.2万亿元，企业数量超过6200家．万亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法．将万亿用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答．
【详解】解：万亿．
题型02 轴对称、中心对称图形、视图
6．（2026·山西运城·一模）数学世界中有许多美妙的几何图形等待着你去发现，下列四个几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求．
7．（2026·广东佛山·一模）根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600万辆大关，连续第11年稳居全球首位．下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
8．（2026·贵州遵义·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．
【详解】解：根据定义可知A选项为中心对称图形．
9．（2026·安徽合肥·一模）合肥渡江战役纪念馆，主体建筑如两艘并行的巨型战舰，直指长江方向；馆身与地面呈角上扬，明确象征年渡江战役胜利，寓意“中国号”巨轮乘风破浪、扬帆起航．其中一艘战舰简化几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会观察图形，得到相对应的三视图，进行解答，即可．
【详解】解：由图可得，战舰简化几何体的俯视图为：
故选：C．
10．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）下图为年米兰冬奥会颁奖现场领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：从正面看，该几何体是由三个矩形组成的图形，中间的矩形最高，左边的矩形高度次之，右边的矩形最矮，
故此领奖台的主视图是．
题型03 整式运算的正误
11．（2026·四川成都·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则，完全平方公式和平方差公式，逐一判断选项即可．
【详解】解：选项A：∵不是同类项，不能合并，∴A错误；
选项B：∵根据积的乘方运算法则得，∴B错误；
选项C：∵根据完全平方公式得，∴C错误；
选项D：∵根据平方差公式得，等式成立，∴D正确．
12．（2026·山东聊城·一模）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、零指数幂的运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：选项A： 合并同类项时，系数相加，字母和对应指数不变，，A错误．
选项B： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，B正确．
选项C： 积的乘方等于各因式乘方的积，，，C错误．
选项D： 任何非零数的次幂都等于，，D错误．
13．（2026·广东江门·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式、同底数幂乘法、积的乘方与负整数指数幂、二次根式化简，各运算法则逐一判断选项即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
14．（2026·湖南长沙·二模）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加法运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则一一判断即可．
【详解】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误；
B：，∴B错误；
C：，∴C正确；
D：，∴D错误．
15．（2026·江苏徐州·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法法则，逐一计算判断即可．
【详解】解：，
A错误；
，，
B正确；
，
C错误；
，
D错误．
题型04 平行线中求角
16．（2026·四川南充·一模）如图，直线，点A、B分别在直线n、m上，连接，过点作，交直线于．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】平行线的性质和直角三角形的性质．根据垂直定义得到，利用平行线性质“两直线平行，内错角相等”得到，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
17．（2026·甘肃平凉·一模）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正多边形的内角和公式可求出正五边形的每个内角度数，在四边形中求出即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
正五边形的每个内角度数为：，
在四边形中，，
∵，
∴．
18．（2026·山东东营·一模）2026年米兰冬季奥林匹克运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点C作，则，根据平行线的性质得到，，进而由角的和差即可求解．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
19．（2026·山西吕梁·一模）图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中，且，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，求出，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴.
20．（2026·山西晋中·一模）折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻．图1为折叠电动车实物图，图2为示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平角的定义求出，再根据外角的性质求出，然后根据两直线平行，内错角相等得，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
题型05 函数图象共存问题
21．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案．
【详解】解：，
分两种情况：
（1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合．
故选D
22．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象．
【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限
∴
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，
∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限
∴，
∴
∴
∴一次函数的图象y随x的增大而减小，
∴一次函数的图象大致是：
23．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图像的大致位置．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交点在轴上方，
∴，
∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图像分布在第一、三象限．
24．（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线可得，，则，，再由一次函数与反比例函数经过的象限即可判断．
【详解】解：由抛物线可得，，
∴，
∴直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限
故D选项符合题意．
25．（2026·安徽蚌埠·一模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求得，，，，求得，再根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：根据题意可得，，
∵一次函数与反比例函数的交点，
∴，，即，
∴，
∴，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
当时，，
∴B选项中的图象符合题意．
题型06 函数图象与几何图形综合
26．（2026·甘肃陇南·一模）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值．
【详解】解：四边形是菱形，，
，．
如图1，当点N在上运动时，则，．
过点M作于点E．
在中，，
．
．
当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）．
．
如图2，当点N在上运动时，，．
过点N作于点H．
在中，，
．
．
当时，．
解得，（不符合题意，舍去）．
．
27．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．连接，有最小值为
C．若点M是边的中点，则的最小值为1
D．连接，则的最小值为
【答案】C
【详解】解：由题意得，
∴当时，，，
在中，，
∴，即，
解得（负值已舍），
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵中，是斜边上的中点，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴当时，取最小值，此时最小值为8，即的最小值为，
∴有最小值为，故选项B正确，不符合题意；
以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
那么，，，，
∵和分别为和的中点，
∴，，
，
，
时，取最小值，此时最小值为，故选项C错误，符合题意；
∵已知，，，设，
∴，，
消去得，
∴点在直线上运动，
作点关于直线的对称点，
∴的最小值为的长，
∴的最小值，故选项D正确，不符合题意．
28．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示．
有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③存在两个的值，使得的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】由题中的点，运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函数图象与性质讨论求解．
【详解】解：当时，，
，
，
则，且，
四边形是平行四边形，
在平行四边形中，，
则，故①正确；
，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
走完用时（秒），
过点作，如图所示：
在中，，则，
，则由勾股定理可得，
当时，，则，
当时，的最大面积为；
当时，过点作，过点作，如图所示：
，，
在中，，则，
，
，则由勾股定理可得，
，
在平行四边形中，，则，
在中，，，则，
由勾股定理可得，
则，
，
由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小，
当时，有最大值，为；
综上所述，当时，的最大面积为，故②正确；
由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达，
点，总共运动时间为秒，
由②的判定过程可知，当时，的最大面积为，
，
解得；
当时，，
解得或；
综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误；
则题中正确结论是①②，共2个．
29．（2026·天津南开·一模）四边形中，，，，，．动点M从点C出发，以的速度沿边运动，过点M作边的垂线交四边形的边于点N；同时动点P从点B出发，以的速度沿边，边运动．规定点N与P相遇时，停止运动．连接，．设运动的时间为．当时，点M，N，P的位置如图所示．有下列结论：
①时，；
②当时，的面积为；
③当时，的最大面积为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】对于结论①根据已知条件分别计算时和的长度，然后比较两者是否相等；对于结论②当时，分别确定点M、N、P的位置，进而求出的底和高，最后根据三角形面积公式计算其面积；对于结论③分情况讨论，得到面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可。
【详解】解：已知动点M从点C出发，速度为，
当时，；
动点P从点B出发，速度为，
当时，，
∵，
∴，
∴，结论①正确；
作于点，则四边形是矩形，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
当时，，，；
，此时点P在上，且；
过点P作于点H，
则，
∴，
∴，结论②正确；
当，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
当，
同理，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
综上，当时，的最大面积为，结论③错误．
综上，正确结论的个数是2个．
30．（2026·北京·一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为；
②点C的坐标是；
③；
④．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】A
【分析】过作轴于点，由菱形的面积可求得，在中，可求得，过作轴于点，由菱形的性质可求得点坐标，则可求得双曲线解析式；过作轴于点，则，可求得，可求得点坐标和；在中，由勾股定理可求得，结合条件可求得，则可求得，可得出答案．
【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点，
，
，
，即，
，
在中，，，由勾股定理可得，
，
四边形为菱形，
为中点，
，，
，
双曲线过点，
，解得，
双曲线解析式为，
故①正确；
又由上可知四边形为矩形，
，
，且，
，
故②正确；
在中，，，
，
故③正确；
在中，，，
，
，
，
，
故④不正确；
综上可知正确的为①②③共三个．
题型07 三角形中的计算
31．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，，点D是的中点，连接，于点E，，连接，则的周长为______．
【答案】/
【分析】过点作于点，利用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出，，，进而求出，，再利用勾股定理求出，最后根据三角形周长公式求解，即可解题．
解题的关键在于灵活运用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理分析问题．
【详解】解：过点作于点
，点D是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的周长为：．
32．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，，点在边上，，动点在边上．将沿折叠得到，则点到的最短距离为_____．
【答案】
【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，求出的值，再运用勾股定理求出，同理得，结合三角形三边关系以及垂线段最短进行列式计算，即可作答．
【详解】解：分别过点F，D作，，连接，如图所示：
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴折叠，
∴，
则在中，，
∵垂线段最短，
∴，
∴的最小值为，
即点到的最短距离为．
33．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，D为的中点，平分，交，于点E，F，则_____________．
【答案】
【分析】过点作，，过点作交于点，设，则，，利用角平分线的性质和面积公式求得，根据和，计算出即可解答．
【详解】解：如图，过点作，，过点作交于点，
，D为的中点，
，
设，则，，
可得，
，
平分，，，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
34．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为直线上一点，将射线绕点D逆时针旋转，交过点B平行于的直线于点E，若，则线段的最小值是________．
【答案】
【分析】在直线上取点F，使，连接，可得为等边三角形，设，则，证明，可得，即，可得，从而得到当最小时，最小，且当时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图，在直线上取点F，使，连接，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
设，则，
由旋转的性质得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴或（舍去），
即，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，且当时，取得最小值，
如图，
此时，
∴，
即的最小值为．
35．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______．
【答案】/
【分析】连接，根据三角形的三边关系得出当点在的延长线时，的长度取得最大值，证明，得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴当点在的延长线时，的长度取得最大值，
由题意得，均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的长最大值为．
题型08 特殊的平行四边形中的计算
36．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】延长至F，使得，连接，可得垂直平分，得，得，得点F在射线上运动，当时，最短，为 , 根据三角形中位线性质得即可．
【详解】解：延长至F，使得，连接，如图:
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴点F在与成角的射线上运动，
∴当时，最短，
此时，，
∴，
∵，
∴,
∵E是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴,
故线段的最小值为．
37．（2026·陕西西安·一模）如图正方形中，E为边上任意一点（不与点A、D重合），将绕点C逆时针旋转至F，连接，取的中点P，若，则的长为______．
【答案】
【分析】根据题意，证明，得点共线，再证明，得到，则，证明，得，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵将绕点C逆时针旋转至F，
∴，
∴，则，
∴，
∴，则，
∴点共线，
∵点P是中点，
∴在中，，在中，，
∴，且，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
38．（2026·四川成都·二模）如图，将菱形绕点A逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点E，若，，则的长为 _____________ ．
【答案】
【分析】先证明，过点作交于点，然后根据平行线的性质证明，，求解即可．
【详解】解：根据题意，得，，
在和中
，
，
四边形是菱形，
，，，
∴，
，
点在上，
过点作交于点
，
，
，
∴
，
，
，
,
,
;
39．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形是原立方体的一个面，点，，是原立方体的顶点，展开后点，，，均在矩形的边上，若点，，在同一直线上，则的值是______．
【答案】
【分析】过点作于点，不妨设，小正方形的边长为1，先证明四边形是矩形，根据，得到，接着，算得，再证明，从而得出答案．
【详解】解：过点作于点，不妨设，小正方形的边长为1，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去负值），
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
40．（2026·黑龙江·一模）为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直角坐标系，矩形是充电站的平面示意图，矩形是第一个停车位，矩形是第二个停车位……，所有车位长，宽相同，按图示并列划定．若，点坐标为，点坐标为，则的坐标为______．
【答案】
【分析】分别求出，，再求出车库的宽度，求出，可求出的纵坐标，求出，可求出的横坐标，即可解决问题．
【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴,
∴,
∴，
∴,
同理可得：，，
∴，,
∴的坐标为．
题型09 圆中的计算
41．（2026·山东聊城·一模）如图，在中，，是的外接圆，为的中点，为延长线上一点，若，则________．
【答案】/37度
【分析】先设，，根据同弧所对的圆周角相等，推出，，根据三角形的内角和定理得到，再根据四点共圆得到，，通过计算可推出，最后根据，列出方程计算即可．
【详解】解：设，，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四点共圆，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
解得：，
∴．
42．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，为直径上一点，弦经过点．若，，，则弦的长为___________．
【答案】
【分析】先求出，过点作于点，连接，解求出的长，再在 中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长．
【详解】解：，

圆的半径
点为的中点


过点作于点，连接
，
在中，

在 中，，
根据勾股定理得：
．
43．（2026·山东日照·模拟预测）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点，，且，，，求阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】连接 ，根据切线的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质可证 ，设 ，则 ，根据勾股定理列方程 ，即可求得半径，再根据阴影部分的面积 即可求解．
【详解】解：连接 ，
为 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积 ．
44．（2026·河南周口·一模）如图，在扇形中，已知，，正方形的顶点、、分别在、、上，把正方形的沿直线向右平移，得到正方形，其中点的对应点恰好与重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】先求出正方形的边长，再结合扇形及三角形的面积公式求出正方形中空白部分的面积，据此可解决问题．熟知图形平移的性质及正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∴，
由平移可得：，，
∴，，
∴，
∴正方形的面积为：，，
∵，
∴阴影部分的面积为：．
45．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________．
【答案】a或
【分析】分两种情况，根据“反直角三角形”定义和圆周角定理、等边三角形的性质、锐角三角函数进行解答即可．
【详解】解：如图，
∵等边的边长为，
∴，
∴，
∵为“反直角三角形”，
∴，
∴，
∴
当点落在点上时，，
∵为“反直角三角形”，
∴，
∴，
∴
作于点，
∴，
∵，
∴，
综上可知，或．
题型10 实数的运算
46．（2026·江苏苏州·模拟预测）计算：
【答案】
【详解】解：原式
．
47．（2026·湖南长沙·二模）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
48．（2026·广东梅州·模拟预测）计算：
【答案】
【分析】先计算乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法．
【详解】解：
．
49．（2026·山东济南·一模）计算：．
【答案】
【分析】先分别计算有理数乘方、绝对值、二次根式的平方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再按有理数加减法则从左到右依次计算即可．
【详解】解：原式
．
50．（2026·山东济南·一模）计算：．
【答案】．
【分析】先进行算术平方根、特殊三角函数值、零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂运算，然后合并计算即可得到最终结果．
【详解】解：
．
题型11 分式的化简求值
51．（2026·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】原式括号内先通分计算减法，再进行除法运算，然后把代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
；
当，．
52．（2026·甘肃平凉·一模）先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，分式无意义，
取，
当时，原式．
53．（2026·重庆·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，4
【分析】先利用分式的混合运算进行化简，再根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，确定字母的值，求值即可．
【详解】解：原式
，
；
由，
得，
故原式．
54．（2026·山东东营·一模）计算、化简求值：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)2026
(2)，
【分析】（1）根据负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质化简即可求解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，
原式．
55．（2026·山东菏泽·一模）计算
(1)计算：
(2)先化简，再求值：，其中
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂、求算术平方根、计算零次幂、将特殊角的三角函数值代入，然后计算加减法即可；
（2）先计算分式的混合运算，然后代入求解即可
【详解】（1）解：原式
（2）
，
当时，
原式
题型12 方程、不等式组的解法
56．（2026·浙江金华·一模）解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
掌握消元法解方程组是解题的关键．
【详解】解：，
由得：，
解得，
将代入②中得：，
解得，
方程组的解为．
57．（2026·陕西榆林·模拟预测）解方程：．
【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤计算即可得出结果，注意检验．
【详解】解：去分母可得：，
去括号可得：，
解得：．
经检验，是原分式方程的根，
∴分式方程的解为．
58．（2026·安徽六安·二模）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）因式分解法求解即可．
（2）根据分式方程的求解步骤求解即可．
【详解】（1）解：
∴
解得，．
（2）解：
方程两边同乘，去分母得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的根．
59．（2026·甘肃平凉·一模）解不等式组，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】，非负整数解为，．
【分析】分别解两个不等式，取公共部分，即为不等式组的解集，写出非负整数解即可．
【详解】解：，
由得，
由得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的非负整数解为，．
60．（2026·天津河北·一模）解不等式组，请结合解题过程，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据解不等式的基本步骤解答即可；
（2）根据解不等式的基本步骤解答即可；
（3）根据不等式的意义表示即可；
（4）根据不等式组解集的意义求解即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得；
（2）解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得；
系数化为1，得；
（3）解：根据题意，表示如下：
（4）解：根据题意，得原不等式组的解集为．
题型13 用列表法或树状图求概率
61．（2026·陕西西安·二模）2026年两会期间，航天科技工作者表示火箭重复使用技术将支撑航天产品化发展．某校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动，其中甲同学在这次航天知识科普竞赛活动中的成绩为A等级，乙、丙、丁三名同学的成绩均为B等级．
(1)若从甲、乙、丙、丁这四名同学中随机抽取1人进行知识分享，则选中的同学成绩为A等级的概率为______；
(2)若从甲、乙、丙、丁这四名同学中随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出选中的两名同学的成绩等级不同的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知成绩为A等级的只有甲，利用概率公式计算即可；
（2）根据题意画树状图，得到所有等可能的结果种，其中选中的两名同学的成绩等级不同的结果有种，用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可知成绩为A等级的只有甲，
选中的同学成绩为A等级的概率为；
（2）解：根据题意画树状图如下，
得到所有等可能的结果种，其中选中的两名同学的成绩等级不同的结果有种，
选中的两名同学的成绩等级不同的概率为．
62．（2026·江西上饶·二模）在学校组织的国学比赛中，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手需在每个环节中抽取一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读．
(1)“小明在第一环节抽到的题目是经典诵读”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
(2)请用列表法或画树状图法，求小明参加总决赛所抽取题目都是成语题目（成语故事，成语接龙，成语听写）的概率．
【答案】(1)不可能
(2)
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据画树状图可进行求解概率．
【详解】（1）解：由题意可知：在第一环节中没有经典诵读这道题，所以“小明在第一环节抽到的题目是经典诵读”是不可能事件；
（2）解：令第一环节的四个题目分别用，，，表示，第二环节的三个题目分别用表示，画树状图如图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明参加总决赛所抽取题目都是成语题目的结果有2种，
∴P（小明参加总决赛所抽取题目都是成语题目）．
63．（2026·甘肃平凉·一模）中国象棋源于先秦时期的六博等游戏，历经演变，唐代牛僧孺加入“炮”使其接近现代形制，至宋代完全定型，融合古代兵法智慧，传承至今．张彤和李颖利用象棋棋盘和棋子做游戏，张彤将四枚棋子（除正面汉字不同外，其余均相同）反面朝上搅匀后放在棋盘上，其中有两个“马”、一个“兵”、一个“士”．李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正面汉字，不放回，张彤再随机从剩下的三枚棋子中摸一枚棋子．
(1)李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为_____；
(2)游戏规定：若两人摸到的棋子中只要正面上的汉字有“士”，则李颖胜，否则，张彤胜．请用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方是否公平．
【答案】(1)
(2)公平
【分析】（1）利用简单事件的概率公式直接计算即可；
（2）将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为，画出树状图，则可得在两人摸到的棋子中的所有等可能的结果，以及两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”的结果、汉字没有“士”的结果，再利用概率公式计算他们各自获胜的概率，据此进行判断即可．
【详解】（1）解：∵李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子共有4种等可能的结果，其中，摸到的棋子正面上的汉字是“马”的结果有2种，
∴李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为．
（2）解：将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为，画出树状图如下：
由图可知，在两人摸到的棋子中，共有12种等可能的结果，其中，两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”的结果有6种，汉字没有“士”的结果也有6种，
则李颖胜的概率为，张彤胜的概率为，
∴两人获胜的概率相等，
∴这个游戏对双方公平．
64．（2026·陕西宝鸡·一模）中国画讲求“以形写神、形神兼备”的基本造型法则，其按题材可分为人物画、山水画、花鸟画三大类（如图），爱好美术的晓伟同学计划从这三类中选择一类进行学习，他制作了两个不透明的小盒子，在盒中放了3个黄球和1个红球，在盒中放了3个红球和1个黄球（这些球除颜色不同外其他均相同），分别摇匀后，先从盒中随机摸出一个球，再从盒中随机摸出一个球．若摸出的两个球均为黄球，则选择人物画进行学习；若摸出的两个球均为红球，则选择山水画进行学习；若摸出的两个球颜色不同，则选择花鸟画进行学习．
(1)晓伟从盒中摸出的是黄球的概率为___________；
(2)请用列表或画树状图的方法求晓伟最终选择花鸟画进行学习的概率．
【答案】(1)
(2)见解析，
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵在盒中放了3个黄球和1个红球，
∴晓伟从盒中摸出的是黄球的概率为；
（2）解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有种等可能的情况数，其中摸出的两个球颜色不同的情况数有10种情况，
∴晓伟最终选择花鸟画进行学习的概率为．
65．（2026·甘肃陇南·一模）数学活动小组在网上找到了四张图片（用分别表示燃放烟花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融），有的是物理变化，有的是化学变化．他们设置了一次跨学科的游戏活动，制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上．
(1)从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是物理变化的概率是____；
(2)从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先根据题意画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2种，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：四张图片中，物理变化有两张，故从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是物理变化的概率是．
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有，种，
．
题型14 统计的综合问题
66．（2026·陕西榆林·模拟预测）为科学掌握校园餐饮节约情况，进一步推动“光盘行动”常态化开展，某校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析，为后续开展针对性节约宣传提供依据．已知所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用表示，共分成五组：A．；B．；C．；D．；E．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的餐余重量数据：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418．
八年级20名学生的餐余重量在B组中的数据：120，123，144，153，172，180，198．
七、八年级20名学生的餐余重量统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)图表中的 ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？并说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级餐余重量不超过100克的学生共有多少人．
【答案】(1)151，176，20
(2)八年级的学生“光盘行动”落实得更好，因为七年级学生餐余重量的平均数和中位数均大于八年级
(3)估计该校七、八年级餐余重量不超过100克的学生共有245人
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，由各项百分比和为求出；
（2）根据平均数和中位数进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是，故；
八年级A组的人数为（人），则把八年级20名学生的餐余重量按照从低到高的顺序排列，第10个和第11个数据分别为172和180，故；
B组占比为，则，故；
（2）解：八年级的学生“光盘行动”落实得更好，
理由如下：
七年级所抽学生的餐余重量的平均数和中位数均高于八年级，故八年级的学生“光盘行动”落实得更好；
（3）解：该校七、八年级共有980名学生，则
（人），
答：估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有245人．
67．（2026·重庆·模拟预测）为了加强学生的传统文化和非遗保护意识，某校对学生进行传统文化知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩是：61，63，65，68，72，73，76, 81, 85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100；
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，85，88，89，90；
七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表
根据上述信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握传统文化知识更好？并说明理由；
(3)若该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有多少名？
【答案】(1)88；；
(2)八年级的学生掌握传统文化知识更好，理由见解析
(3)估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有320名．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义可求出的值，再根据八年级20名学生测试成绩在组的人数可求出；
（2）根据中位数和众数的大小可得答案；
（3）求出样本中七、八年级中优秀所占的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是88分，共出现3次，
∴众数，
八年级名学生成绩组有（人），组有（人），组有人，组有（人），
将名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为88，89，
∴，
，
∴；
（2）解：八年级的学生掌握传统文化知识更好，
理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高；
（3）解：（名）．
估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有320名．
68．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）2025年，人工智能正深度融入各行各业，等模型备受瞩目，相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了________人，条形统计图中A类所对应的人数为________；
(2)扇形统计图中A类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按进行排序，试求这些学生关注类型的中位数在________类；
(3)若该学校共有学生2000人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有多少人？
【答案】(1)500，150
(2)，C
(3)人
【分析】（1）用类的人数除以占比即可求解共调查的人数；再由总数减去的人数即可求解类的人数；
（2）用乘以A类的占比，即可求解圆心角；再由中位数的定义即可求解中位数在哪一类；
（3）用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：此次共调查了：（人）；
条形统计图中A类所对应的人数：（人）；
（2）解：；
由于调查总数500人，那么中位数为第和第个数据的平均数，由条形统计图可得第和第个数据在类；
（3）解：（人），
答：全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有人．
69．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）为增强学生的交通安全意识，某校开展了“交通安全知识竞赛”活动，并从七年级和八年级中各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行数据整理，得到统计图表如下：
根据以上信息解答问题：
(1)填空：表中的___________，___________；
(2)你认为___________年级的成绩更整齐，理由是___________；
(3)若规定7分及以上为优秀，该校八年级共2000名学生参加了此次竞赛，估计此次竞赛成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】(1)8，8
(2)八，八年级的方差更小
(3)此次竞赛成绩优秀的学生人数约是1520人
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差越小越稳定判断即可；
（3）用样本中优秀学生的占比来估计总体优秀学生的占比，进一步可求得答案．
【详解】（1）解：八年级随机抽取50名学生的竞赛成绩中，分值为8分的学生人数最多，有15人，所以众数；
将八年级随机抽取的50名学生的竞赛成绩从小到大排列，中间两名学生的竞赛成绩都为8分，所以中位数；
（2）解：八年级的成绩更整齐，理由是八年级的方差更小；
（3）解：（人），
答：此次竞赛成绩优秀的学生人数约是1520人．
70．（2026·四川德阳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息，甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中____________，____________．
(2)计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中D组对应的圆心角；
(3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评，请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先找出甲款评分中出现次数最多的数得到众数，再根据乙款各等级人数确定中位数位置，取第10、11个数的平均数得到；
（2）先算出乙款D组人数占样本的比例，再用乘以该比例得到对应圆心角；
（3）用树状图列出所有种等可能结果，数出至少一人选丙的种情况，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率．
【详解】（1）解：根据题意可知，甲款满意度的众数为85，故；
乙款A、B组共有个数据，
则乙组的中位数为第10个、第11个数的平均数，即，故；
（2）解：根据（1）可知，乙款C组人数为人，则D组人数为人，
则其对应圆心角：；
（3）解：画树状图列出所有可能的结果为：
共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择的结果数为种，
故两人中至少有一人选择的概率为．
题型15 尺规作图与无刻度作图
71．（2026·广西钦州·一模）如图，在正方形中，点E在边上，连接．
(1)尺规作图：作，交线段于点F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）首先由正方形的性质得到，，然后根据证明即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
∴．
72．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在中，，，，请用无刻度直尺和圆规完成作图并解答．
(1)在边上作点，使经过点，且与相切于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求线段的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】（1）作的平分线，与的交点即为点，以点为圆心，为半径作圆，与的交点即为点；
（2）连接，由切线的性质可得，进而可证明，则，化简得，结合和可计算出，进一步可计算出和．
【详解】（1）解：和点如图所示：
由角平分线性质可知，点到和的距离相等，都等于半径，因此与相切于点；
（2）解：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，解得，
∴，
由勾股定理可得，．
73．（2026·广西南宁·二模）如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接．
(1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，证明：．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分别以点B，O为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点F，则点F即为所求作；
（2）先根据平行四边形的对角线互相平分得出，即可得出，再根据“边角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求作；
（2）证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
74．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平行四边形中，，且，点为的中点，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中，作出的中点；
(2)在图2中，作一个以为对角线的正方形；
(3)在图3中，作一个以为对角线的正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了限定工具作图，熟练掌握平行四边形的判定与性质、正方形的判定是解题的关键．
（1）连接，交于点，连接并延长交于点，此时点即为所求。由平行四边形对角线互相平分可以知道点是的中点，所以是的中位线，由此可证明点即为的中点；
（2）连接并延长交延长线于，连接，四边形即为所求的正方形；由作法和已知容易证明，进而可得四边形是平行四边形，再由，且，可得平行四边形既是矩形也是菱形，所以四边形是正方形；
（3）连接，交于点，连接交于点，连接并延长交于，连接、，四边形即为所求的正方形．由平行四边形性质可知是的中点，由点为的中点，可知，，由三角形中线相交于一点可知是的中线，，由此证明四边形是平行四边形，也是矩形和菱形．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图，四边形即为所求的正方形；
（3）解：四边形即为所求的正方形．
75．（2026·广西桂林·一模）如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，连接，交于点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使得，且交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)图见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据过直线外一点作直线平行线的尺规作图方法作出即可；
（2）结合垂径定理逆定理得，再结合可证，即是的切线；
（3）先由直径所对的圆周角为直角得，再由勾股定理得，利用两角相等证明，根据相似三角形的性质即可求出的长．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求：
（2）证明：点是弧的中点，
，
为半径，
，
，
，
即，
是的切线；
（3）解：为的直径，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
题型16 一次函数与反比例函数的综合
76．（2026·河南开封·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点P为射线上位于点A右侧的一点，且，过点P作轴，垂足为Q，交反比例函数的图象于点M．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求，的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先确定，代入求解即可；
（2）过点A作轴，垂足为N，证明，利用函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，过点A作轴，垂足为N，
∵轴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
将代入正比例函数，
得，
将代入反比例函数，
得，
∴，
∴，；
77．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12．
(1)求k的值；
(2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设点，结合轴，得出，根据面积公式以及的面积为12，进行列式计算，即可作答．
（2）先得出，再代入反比例函数求出，假设存在点使得四边形为平行四边形，
结合平行四边形以为对角线，列式计算得，因为，即不在反比例函数的图象上．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，
设点，
∵轴，
则点，
∴
∵
点，
的面积为12，
，
解得，
∴k的值为．
（2）解：不存在．
理由如下：
，，
∴，
由（1）得k的值为．
把代入
得，
，
由（1）得k的值为．
把代入，得，
得，
假设存在点使得四边形为平行四边形，
根据题意得，平行四边形以为对角线，
，，
，
∵
即不在反比例函数的图象上．
78．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，．
(1)分别求出直线和双曲线的函数表达式；
(2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式，再将代入反比例函数解析式求出n的值，进而可求直线的函数表达式；
（2）设，先求出m的取值范围，再根据题意得到的面积的函数表达式，根据二次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：，
∴，
将代入得，
∴，
将、代入得：
解得：，
∴；
（2）解：设，
∵点是线段上的一个动点，
∴，
∵过点作轴于点，是轴上一点，
∴，到的距离为m，
∴的面积，
∵，
∴当时，的面积最大，
∵在的范围内，
∴当的面积最大时，．
79．（2026·四川南充·一模）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)若点与点关于轴对称，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入计算即可；
（2）将直线与双曲线联立求解即可；
（3）先求出，再根据轴对称的性质得到，可知，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：，
∴；
（2）解：将直线与双曲线联立得，
解得：，
经检验，均为原分式方程的解，
当时，，
∴；
（3）解：当时，，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴的面积．
80．（2026·河南周口·一模）如图，已知一次函数与，它们的图象与轴分别交于两点，交点在反比例函数的图象上，是的角平分线，与交于点．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)尺规作图：求作的高线（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)在（2）的条件下，连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）联立与，可得点的坐标，即可求得反比例函数的表达式；
（2）以点为圆心画弧，与轴交于两点，再以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接与轴交于点，则即为所求；
（3）过点作轴于点，先证明，再证明，可得，即可得垂直平分．
【详解】（1）解：联立，
解得，
∴，
将代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式．
（2）解：如图，即为所求．
（3）证明：∵一次函数与的图象与轴分别交于两点，
令，得，
由（1）可知，
过点作轴于点，则，
∴，，
，
∴，
∴，
由（2）得是的高线，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
题型17 二次函数的综合
81．（2026·山东日照·模拟预测）已知抛物线．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)已知，是该抛物线上的两个点，且，求的值：
(3)当时，函数的最大值为32．
①求的值；
②若，是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点和点之间的抛物线部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴，根据抛物线对称性列方程计算即可；
（3）①分情况讨论：若时，则当时，的最大值为0，不符合题意；当时，由二次函数的性质可求出的值；
②求出点和点之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2，求出，，由或可求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标是；
（2）解：∵抛物线的对称轴为，，是该抛物线上的两个点，且，
∴，
解得；
（3）解：①∵由（1）知该抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
∵，
∴当时，的最大值为32，则，解得；
当时，抛物线开口向下，，则当时，的最大值为0，这与的最大值为32相矛盾，故不符合题意．
综上，的值为2；
②由①知该抛物线的表达式为，
∵抛物线的对称轴为直线，顶点为，
∴的最小值为0．
∵，两点在对称轴两侧，
∴，
∵最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴点M和点N之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2，
当时，得，解得，，
即抛物线上纵坐标为2的点为和，
当时，则，解得，
当时，则，得，解得，
综上，t的取值范围是．
82．（2026·天津河北·一模）已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，点为拋物线顶点，．
(1)若，，求抛物线顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点，连接，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接．
①当时，求点的坐标与拋物线的解析式；
②当时，求的值．
【答案】(1)
(2)①，；②
【分析】（1）根据题干条件写出抛物线的解析式，化为顶点式后得出顶点坐标；
（2）①根据题干可得二次函数的表达式为，从而得到点的坐标为，则，容易得到，结合计算出的值，最后写出点的坐标和抛物线的解析式即可；
②由①可知，，结合可得，分析函数的图象与性质可知，点在点的右侧，因此点的坐标为，将点代入，解方程求出的值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴抛物线为，
∴顶点的坐标为；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
将点代入，得，
∴，
∴，
∵轴，且点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴点的坐标为，抛物线的解析式为；
②由①可知，，，
∵，
∴，
∵轴，且点的坐标为，
∴点的坐标为或，
如图，
∵抛物线过点，图象开口向上，
∴点在抛物线内部，
又∵抛物线的对称轴为直线，
∴直线与抛物线在第一象限只有一个交点，
∴点在点的右侧，即点的坐标为，
将点代入，得：
，
整理，得，
∵，
∴，
解得或（负值，舍去），
∴．
83．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点．
(1)当时，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若点位于直线下方的抛物线上，线段与交于点，当最大时，求点的坐标；
(3)点坐标为，点坐标为，连接，若抛物线与线段有交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)当时，抛物线与线段有交点
【分析】（1）先令抛物线解析式中，因式分解求出、两点坐标，再结合的面积求出的长度，确定点坐标，代入解析式求出的值，从而得到抛物线的表达式；
（2）先求出直线的解析式，过点、分别作轴的平行线交直线于点、，利用相似三角形将​转化为，设出点的坐标表示出的长度，将表示为关于的二次函数，求出其最大值对应的值，进而得到点的坐标；
（3）先分别代入、两点坐标求出对应的值，再求出线段的解析式，联立抛物线与直线的方程得到一元二次方程，再根据判别式等于求出抛物线与线段相切时的值，验证切点横坐标在线段范围内后，综合得到的取值范围．
【详解】（1）解：∵与轴交于，两点，
∴令，则，
，
解得，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
把点的坐标代入，得
，
解得，
把代入解析式，得
；
（2）解：如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
∴，
∴，
∴，
∵直线过，，
∴设直线的解析式为，则
，
解得，
∴，
当时，，
∴点，
设点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大为，
此时，
∴当最大时，点的坐标为；
（3）解：若过点，
∴，
即，
若过点，
∴，
即，
∵，，
∴设直线的解析式为，则
，
解得，
∴，
若抛物线与线段有交点，
∴，
∴，
当线段与抛物线仅有一个交点时，
，
解得：，（舍去），
综上，当时，抛物线与线段有交点．
84．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究
如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围；
③如图③，E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，，则的最小值是______．
【答案】(1)
(2)①；②；③5
【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；
（2）①延长与轴相交于点，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；
②如图②，过点作轴，交线段于点．由①可知．由平移，得，则，结合轴，得出，则，在中，．设点的横坐标为．则，求出直线的解析式，根据轴，点在线段上，得出．表示出，再根据二次函数的性质即可求解；
③过点作，且，连接，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可；
【详解】（1）解：∵在二次函数的图象上，
设该二次函数为，
，
．
（2）解：①把代入，
得，
，
如图，延长与轴相交于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
把代入，得，
解得，
∴直线的解析式为：，
∵点是直线与二次函数的交点，
∴联立解析式，
解得或，
．
②如图②，过点作轴，交线段于点．
由①可知．
由平移，得，
，
∵轴，
，
，
，
∴在中，．
设点的横坐标为．
，
设直线的解析式为．
把点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
∵轴，点在线段上，
∴．
∴．
∴当时，有最大值，最大值为．
∴．
∴的最大值为．
∵，
∴．
③如图，过点作，且，
连接，
设交轴为点．
，且，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
当时，最小，即最小，
，
，
此时三点共线且轴，
∴点的坐标为与点重合，满足在线段上．
∴的最小值为5．
85．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）抛物线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点作轴的垂线交抛物线于点，交抛物线于点，交线段于点．
①求证：
②顺次连接，，，，四边形的形状随着值的变化而变化，判定四边形能否是矩形，如果能是矩形，求出相应的值；如果不能是矩形，说明理由；
(3)已知是的函数，其图象记为，当时，；当时，．直线与图象有四个交点，自左向右依次标记为，，，．
①直接写出图象的解析式，并指明自变量的取值范围；
②若，直接写出的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)①证明见解析；②四边形不能是矩形，理由见解析
(3)①；②
【分析】（1）先求出点，的坐标，再用待定系数法求解出抛物线的解析式；
（2）①先求出直线的函数表达式，用表示点、、的坐标，计算出、的表达式，即可判断二者是否相等；②假设四边形能是矩形，通过计算得出，不满足矩形的对角线相等，与假设矛盾，故得出四边形不能是矩形；
（3）①根据题意，得出函数图象，即可得出函数的解析式；②将交点问题转换为方程根的问题，结合一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：∵点，在抛物线上，
∴，，
∴，，
代入抛物线，
得，解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①令直线的函数表达式为，
将点，代入，
得，解得，
∴直线的函数表达式为，
当时，，，，
即，，，
∴，
，
∴．
②假设四边形能是矩形，则其对角线交点为点，
则该情况下点为中点，
∵，，
∴，，
当时，，，
∴，，
∴，
∵，不满足矩形的对角线相等，与假设矛盾，
故四边形不能是矩形．
（3）解：①根据题意，可得函数实际图象如下：
∵，，
∴．
②若与图象有四个交点，自左向右依次标记为，，，，
可判断出点，为与部分的两个交点，设其交点横坐标为、；
点，为与部分的两个交点，设其交点横坐标为、；
故可得方程，，
化简得，，
则、为方程的两个解，、为方程的两个解，
∴，，，，
故，，
∵，
∴，
化简得，
解得．
题型18 利用函数解决实际问题
86．（2026·四川成都·一模）爱媛号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均/亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均元/，地头统货净收入元/．
(1)求销售总收入y（元）与地头统货销量（）之间的函数关系式；
(2)若人工、化肥等种植成本为元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润．
【答案】(1)
(2)元
【分析】（）先根据亩柑橘的总产量、地头统货销量求出电商零售销量，再结合电商销量不超过地头销量的条件确定的取值范围，最后根据两种销售方式的净收入列出销售总收入与的函数关系式；
（）先计算出亩柑橘的总种植成本，再用销售总收入减去总种植成本得到利润关于的一次函数，结合一次函数的单调性，在的取值范围内取最小值求出最大利润．
【详解】（1）解：∵总产量为，地头统货销量为，
∴电商零售销量为，
∵电商零售销量不超过地头统货销量的，
∴
解得：
∵，
∴的取值范围是，
地头统货收入元，电商零售收入元，
因此，销售总收入：
；
（2）解：设利润为，
总种植成本为：元
则，
代入得：
∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，
∴当取最小值时，
取得最大值：
因此该农户去年种植的最大利润为元．
87．（2026·陕西榆林·模拟预测）为进一步提升公园景观设施安全性，优化通行体验，某公园拟对园内抛物线形观景拱桥进行加固修缮．该拱桥的跨度，最高点到地面的竖直距离为．施工期间搭建的“脚手架”可看成矩形（点分别在抛物线上，点分别在直线上）．以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；
(2)若“脚手架”的三边所用钢材长度为（是地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）设点，由题意得到相关线段长度，从而列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点，
∴设拱桥所在抛物线的函数表达式为，
将代入表达式，得，解得，
∴拱桥所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：设点，
根据题意得，，，，
∵，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴．
88．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于50元/盒时，每天销量稳定在100盒；当售价高于50元/盒时，售价每提高1元，每天少售2盒．
(1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)若设海鲜粽每盒售价为元，每天销售海鲜粽的利润为元，求与之间的关系式；
(3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价．
【答案】(1)海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元
(2)
(3)最大利润为1750元，此时海鲜粽每盒售价为65元
【分析】（1）设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，根据用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，列出方程，解方程即可；
（2）分为当时及当时，两种情况分类讨论，列出关系式即可；
（3）分两种情况，分别求出一次函数及二次函数的最值，再进行比较即可求出该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润．
【详解】（1）解：设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；
（2）解：当时，此时销量固定为100盒．单盒利润为元．
则总利润：
当时，售价比50元提高了元，销量减少盒．此时销量为：（盒）．单盒利润为元．
则总利润：
；
∴与之间的关系式
（3）解：根据题意得：，
解得：，
∴，
当时，，
因为，
所以随的增大而增大．
当时，取得最大值，为：，
当时：
∵
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
当时，y取得最大值，，
∵，
该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润为元，此时海鲜粽每盒售价为65元．
89．（2026·浙江湖州·模拟预测）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即．
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计）
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表：
(1)请根据以上信息，求k的值（单位：）．
(2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少?
(3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值．
【答案】(1)
(2)旋转半径r至少为
(3)
【分析】（1）根据，结合表格信息代入计算即可；
（2）当时，，结合反比例函数图象的性质求解即可；
（3）根据题意，过点B作于点E，作于点F，，得四边形为矩形，，再根据正弦值的计算即可求解．
【详解】（1）解：．
（2）解：当时，，
因为反比例函数在的范围内，v随着r的增大而减小，
所以当时，，
即旋转半径r至少为．
（3）解：当时，，即，
如图，过点B作于点E，作于点F，
因为，
所以，
因为四边形为矩形，
所以，
所以．
90．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）篮球投篮抛物线运动分析综合实践活动表
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求篮球飞行的抛物线解析式（不写自变量取值范围）
(2)若篮筐中心与出手点的水平距离是，判断此次投篮能否命中篮筐？
【答案】(1)
(2)不能
【分析】（）设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解；
（）把代入抛物线的解析式求出的值，与篮筐中心距地面高度比较即可判断求解；
本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴篮球飞行的抛物线解析式为；
（2）解：把代入，得，
∵，
∴此次投篮不能命中篮筐．
题型19 用锐角三角函数解决测高问题
91．（2026·湖南长沙·二模）2025年8月17日，岳麓山顶的长沙广播电视发射塔（如图1）焕新升级后以“长沙之眼”观景平台的新身份亮相，在“长沙之眼”里踱着步，转个圈，橘子洲、五一商圈、梅溪湖国际艺术中心等长沙地标就尽收眼底．如图2．“长沙之眼”高度为，从距离塔底点26米的点出发，沿着一段坡度为的斜坡走50米到达点，此时回头看塔顶点，仰角刚好是，已知点在点的正下方，三点在同一水平线上．点，在同一平面内，请回答下列问题：
(1)求斜坡的高度；
(2)求“长沙之眼”的高度．
【答案】(1)14米
(2)88米
【分析】（1）根据坡度可得，再设，根据勾股定理可得答案；
（2）作，根据题意知米，再求出（米），然后根据矩形的性质可得，，接下来根据等腰三角形的性质求出，最后根据得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可知米，且坡度为，
∴．
设，根据勾股定理，得，
即，
解得，
∴米，米；
（2）解：如图所示，过点D作，交于点F，根据题意知米，
∴（米）．
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米．
在中，，
∴，
∴米，
∴（米），
所以“长沙之眼”的高度是88米．
92．（2026·山东聊城·一模）聊城古城始建于宋熙宁三年，城墙历史悠久，北门（宣威门）为古城重要出入口，建筑风格古朴典雅．某数学兴趣小组想用无人机测量聊城古城区北门城楼的高度（水平地面）．
测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面高的点A处，在此处测得北门城楼顶端P的俯角为；再将无人机沿水平方向向城楼飞行到达点B，此时测得城楼底端Q的俯角为．若A，B，P，Q在同一平面内，求北门城楼的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，）
【答案】北门城楼的高度约为
【分析】延长交延长线于C，先证明，然后在中，利用求出的长，再求的长即可．
【详解】解：如图，延长交延长线于C，
由题意知，，，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
答：北门城楼的高度约为．
93．（2026·山西晋中·一模）城市雕塑能够折射出城市的历史底蕴、精神气质和文化内涵．图1是某红色文化主题公园内的雕塑，它能够提醒人们不忘初心和使命，砥砺前行；如图2所示是其抽象成的示意图．四边形为雕塑侧面图，四边形为石基底座，连接，已知，测得，，，的长为，的长为，石基底座的高为．（结果精确到，参考数据：，，，）
(1)求的长；
(2)求点到地面的距离．
【答案】(1)的长约为
(2)点到地面的距离约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，矩形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明四边形为矩形，再根据，代入数值计算，得，同理，把数值代入得，即可作答．
（2）先证明四边形为矩形，则，再把数值代入计算，得，又因为石基底座的高为，故，最后把数值代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则，
∵
∴
∴四边形为矩形，
在中，，
；
∵四边形为矩形，
在中，，
则，
，
，
的长约为．
（2）解：过点作于点，分别交、于点、，
同理得四边形为矩形，
，
在中，，，
，
∴．
∵石基底座的高为．
∴，
答：点到地面的距离的长约为4.3米．
94．（2026·重庆·模拟预测）端午安康，某古城文旅局举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原古驿道寻宝路线：打卡点在打卡点的正南方向米处：打卡点在打卡点的北偏西方向：打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向：打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，）
(1)求打卡点、之间的距离；（结果保留整数）
(2)比赛中，小育从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小陶从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小育与小陶的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小育跑了多少米？（结果保留整数）
【答案】(1)、之间的距离为
(2)小育跑了
【分析】（1）过点作于点，延长、交于点，求出相关的角度，根据三角函数，依次计算、、、、，最终求出的长度；
（2）先求出的长度，结合提议判断小陶的路线为，由相遇问题即可求解．
【详解】（1）解：过点作于点，延长、交于点，如下图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
根据题意，小育比小陶的速度要快，
可判断出小陶的路线为，
∵小育与小陶的速度之比为，
∴小育与小陶的路程之比为，
∵，
∴小育的路程为．
95．（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
(1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：）
【答案】(1)1.7米
(2)0.6米
【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解；
（2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，作于点，则，
由题意得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵O为的中点，米，
∴米，
在中，，
，，
∴支点到小竹竿的距离（米）；
（2）解：由（1）知，，，
∴米，
如图，作于点，则，
同理可得，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴米，
∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米．
题型20 圆中的证明与计算
96．（2026·安徽六安·一模）如图，已知内接于，是的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据点为的中点，推出，结合圆的性质，推出，再根据，推出，即可证明；
（2）设与相交于点，根据是的直径，推出四边形是矩形，结合直角三角形的性质可得，推出，即可求出，再证明为中位线即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）如图，设与相交于点．
∵是的直径，
∴．
又，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，点为的中点，
∴是的中位线．
∴．
97．（2026·甘肃平凉·一模）如图，是的直径，点在上，为的中点，连接，，，与相交于点H，过点作直线，交的延长线于点G．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于点，由点D为的中点，得垂直平分，因为，所以，即可证明是的切线；
（2）连接，，由是的直径，得，则，可证明四边形是矩形，所以，由，得，则和都是等边三角形，求得，则，，由，得，由，求得，由即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，交于点，
∵为的中点，
垂直平分，
∵，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：如图，连接，，则，设交于点H，
是的直径，
，
，
∴四边形是矩形，
，
∵，D为的中点，
，
，
和都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是．
98．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点E，交于点F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的半径；
②求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①的半径为5；②．
【分析】（1）证明，得到，即可证明是的切线；
（2）①根据正切函数的定义求得，得到，再利用勾股定理即可求解；
②设，，由勾股定理求得，再利用平行线分线段成比例即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
设，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴．
99．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，D是边上一点（不与点A，B重合），经过点A，C，D．
(1)如图1，连接，若，，
①求的度数；
②若又满足，，求的长．
(2)如图2，过点D作，交于点E，连接，若，求证：．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【分析】（1）①根据等边对等角得到，根据圆周角定理，等边对等角得到，再根据角的和差计算即可；
②延长交于点M，由角的和差可得，根据特殊角的三角函数值的计算得到，结合题意得到，由此即可求解；
（2）如图，连接，设，由圆周角定理，三角形内角和定理等知识得到四边形是平行四边形，结合题意即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②如图，延长交于点M，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
100．（2026·陕西西安·二模）探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题
(1)【问题提出】如图1，四边形内接于，，则的度数为______°；
(2)【问题探究】如图2，在四边形中，，连接，，过点C作交于点E，，，求的长；
(3)【问题解决】如图3，是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在边上修一个入水口，再修一个经过点、、的圆形水池，为的直径，沿、和架设木桥，在区域内种植荷花，已知，，，设的长为，区域的面积为．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计）
①求与之间的函数关系式；
②由于预算有限，要求区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即面积的最小值）．
【答案】(1)
(2)
(3)①
②
【分析】（1）利用圆的内接四边形对角互补即可求出结果；
（3）根据四边形内角和定理可得，根据同角的余角相等，可证，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长度；
（3）①利用勾股定理可以求出，根据的长为，可得，根据圆内接四边形的性质可证，根据相似三角形对应边成比例可得，利用勾股定理可得，根据圆周角定理可证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得；
②利用二次函数的性质求出的最小值即可．
【详解】（1）解：四边形内接于，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
在四边形中，，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）①解：如下图所示，连接，
，，，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
又，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：整理，
可得：，
，
有最小值，
当时，的最小值为．
题型21 特殊的平行四边形中的证明与计算
101．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到．
(1)如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：；
(2)如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值；
(3)如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)能，或或或
【分析】（1）记与的交点为点，根据折叠的性质进而得出点，在的垂直平分线上，证明，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）过点F作交于点M，根据题意设，则，勾股定理求得，证明，进而得出，证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）①当，点在上方时，延长交于点，过点作于点，②当，点在下方时，交于点，过点作延长线于点，③当，点在上方时，延长交的延长线于点，过点作于点，④当，点在下方时，交的延长线于点，过点作直线于点，解，即可求解；⑤不存在的情况．
【详解】（1）证明：记与的交点为点，
翻折得到，
，，，
∴点，在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：过点F作交于点M，
在平行四边形中，，
∴四边形是矩形，
，
，
∴设，则，
由勾股定理得：，
，
由翻折得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当，点在上方时，
如图，延长交于点，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
②当，点在下方时，
如图，交于点，过点作延长线于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
③当，点在上方时，
如图，延长交的延长线于点，过点作于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，，
设，
则，，，
，
解得，
；
④当，点在下方时，
如图，交的延长线于点，过点作直线于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
⑤不存在的情况；
综上所述，或或或．
102．（2026·山东青岛·一模）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题．
(1)【问题情境】如图，在正方形中，，，分别是边，，上的点，于点．判断线段，的数量关系____________；
(2)【尝试应用】如图，在正方形网格中，点，，，为格点，交于点，则____________；
(3)【拓展提升】如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接，分别交线段，于点，．则____________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）平移线段至，交于点，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得出，即可得出结论；
（）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，根据勾股定理求出，，，可推出，即可得出结果；
（）平移线段至处，连接，证明得出，，推出，即可得出结果．
【详解】（1）解：平移线段至，交于点，如图所示，
由平移的性质得：，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图所示，
∴，
设正方形网格的边长为单位，
由勾股定理可得：，，，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：平移线段至处，连接，如图所示，
则，四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形与四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
103．（2026·江苏无锡·一模）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图2，当P为的中点，，时．
①长度为_______；
②求的长；
(2)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，设为y，为，求y与的函数关系．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用折叠和勾股定理求解即可，②证明，由相似三角形的性质得出，求出，再根据线段的和差关系即可得出．
（2）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，由相似三角形的性质进一步即可得出和的函数关系．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，，
∵P为的中点，
∴，
由折叠的性质得出，
设，则，
在中，．
即，
解得；
②四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
，
∵，
，
，
，
．
（2）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
又，
，
是等腰三角形，
，
为中点，，四边形为矩形，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即．
104．（2026·山西晋中·一模）综合与探究：
【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为．
(1)【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形．
(2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．
(3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形为菱形，见解析
(3)
【分析】（1）结合菱形的性质，得，运用旋转的性质得，故是等边三角形；
（2）根据四边形是菱形，得，由旋转的性质得，再证明四边形为平行四边形，又因为，故四边形为菱形，
（3）运用菱形的性质以及旋转的性质得垂直平分线段，然后结合勾股定理列式得，解得，即可求得，然后在中，运用勾股定理 列式计算，得．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴四边形为平行四边形，
∵
∴四边形为菱形；
（3）解：连接交于点，
由题意知，，
∴垂直平分线段，
∴，，
∴,
由菱形知，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
105．（2026·广东汕头·一模）【图形感知】
如图1，在四边形中，已知，，．
(1)求的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点．
(2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由；
②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长；
(3)如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①四边形是矩形，见解析；②
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解；
②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可；
（3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解： ①四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
②延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
∵点恰好落在边上，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴点在的对角线上，
∵，，
又∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质得，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴点在以为直径的上，连接，，
∴，即点在上时，线段存在最小值，
∵，
∴线段的最小值为．
题型22 项目式学习问题
106．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，四边形为矩形，
∴，，
∴，，
设米，则米，米，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，解得，
∴（米），
答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
107．（2026·湖南株洲·一模）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题：
(1)当水桶为空水桶状态时，桥梁没有发生形变，如图1（、、在同一条直线上），已知两课桌之间的距离，，求吊绳的长．
(2)移动课桌，并在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，测得，，请计算此时水桶下降的高度（参考数据：，，）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可先求出的长度，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理，能求出的度数，在中，利用三角函数的定义求出的长度．
（2）在中， ，根据利用三角函数的定义表示出与的关系，同理在中，表示出与的另一个关系，再合并求解即可．
【详解】（1）由题意可知：，是中点，，
∴，且，．
在中， ​ ，
∴，
解得．
（2）由题意得：，
在中，，，
在中，，，
∴
解得
∴此时水桶下降的高度约为．
108．（2025·山西大同·二模）项目化学习
【项目主题】研究击球运动
【项目背景】甲、乙、丙、丁四个学习小组开展实践活动，探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关问题．
【项目素材】
素材一：甲小组调试击球机器，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线．
素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度（米）与水平距离（米）的部分数据如下：
素材三：丙小组用监测仪器测得球的水平距离（米）与飞行时间（秒）的部分数据如下：
素材四：如图，丁小组在草坪边山坡上的点处放置一个球框，并测得山坡的坡角米，米．（参考数据：）
【解决问题】
(1)求与之间的函数关系式．
(2)当球的飞行时间为秒时，求球的飞行高度．
(3)若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由．
【答案】(1)
(2)当球的飞行时间为秒时，球的飞行高度为16米
(3)球不能落在点处的球筐中，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解直角三角形的应用，掌握用待定系数法函数解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出与之间的函数关系式即可；
（2）根据由素材三，先用待定系数法求出与的函数关系到式，然后把代入，求出x值，再把将代入与之间的函数关系式握，求出h值即可；
（3）先解，求出（米）．从而求得（米）．然后由由（2）得当时，，比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为．
将代入，得
解得
与之间的函数关系式为．
（2）解：由素材三，可得与是正比例函数关系，设．
将代入，得．
．
当时，．
将代入，得．
当球的飞行时间为秒时，球的飞行高度为16米．
（3）解：球不能落在点处的球筐中．
理由：在中，（米），
（米）．
（米）．
由（2）得当时，．
，
球不能落在点处的球筐中．
109．（2026·江苏南京·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：车轮的形状
项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．
【合作探究】
(1)探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______；
(2)探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为6cm，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______；
(3)探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
【拓展延伸】
如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．
(4)探究D组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．
A． B．
C． D．
(5)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．请简要说明此时线段的中点的运动轨迹．
【答案】(1)8
(2)
(3)
(4)A
(5)点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上
【分析】本题考查了圆的有关性质、垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和推理．
（1）圆形车轮半径为，轴心到地面距离为半径，最高点到轴心距离也为半径；
（2）轴心最低点高度是正方形中心（轴心）到边的距离为边长一半，轴心最高点高度是到顶点的距离为对角线一半；
（3） 正三角形滚动一周，每经过一个顶点，绕该顶点旋转，共旋转3次，总旋转角度为．
（4）最高点到地面距离恒定→轨迹为水平直线．轴心 O 在滚动中围绕各顶点做圆弧运动 → 轨迹呈周期性波动曲线．
（5）连接，，，，，取、的中点，连接，，，再证明，得出即可确定轨迹．
【详解】（1）解：最高点到地面距离为；
（2）解：轴心最低点高度是正方形中心（轴心）到边的距离为边长一半，
轴心最高点高度为到顶点的距离为对角线一半，
因此高度差为．
（3）解：如图，连接，过点作，
∵正三角形边长为，，
∴，
∴，
∴其中心（轴心）到顶点的距离（外接圆半径）．
∴正三角形滚动一周，每经过一个顶点，绕该顶点旋转，共旋转3次，总旋转角度为．
∴经过的路径长为一个整圆的周长：．
（4）解： 莱洛三角形滚动时始终夹在两条平行线之间，最高点到地面距离不变，因此最高点轨迹为水平直线，排除最高点是曲线的选项B、D； 滚动过程中，轴心在顶点接触地面时高度最高，共出现3次高度峰值，轨迹为三段起伏的波浪线，符合的是选项A．
（5）解：连接，，，，，取、的中点R、S，连接，，，
∵点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、的中点为，的中点为，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点与点重合时，点为中点，当点与点重合时，点为中点，此时，，
故点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上；
110．（2025·山西·一模）项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度．
（3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解．
（1）首先根据喷药口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式；
（2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度．
（3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度．
【详解】解：（1），点与点到点的距离相等，
，
点的坐标为．
，
点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．
解得．
点所在抛物线的函数表达式为．
（2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，
喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
点的坐标为．
此时无人机摄像头距离地面的高度为．
．
答∶ 无人机应该下降的高度为．
（3） ∵，点坐标为，
∴点坐标为 ．
∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同，
设所在抛物线表达式为
∵无人机高度为，
∵抛物线是从点（相对高度），
∴代入到中，得
．
解得， ．
，
关于y轴对称，
，
长
题型23 几何与函数新定义型问题
111．（2026·河南开封·模拟预测）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫作菱形的“和谐线”．如图1，在菱形中，P是的中点，连接，，则折线叫作菱形的“和谐线”，折线的长叫作“和谐线”的长．已知在菱形中，，P是的中点，连接，．
(1)如图1，若，，求“和谐线”的长；
(2)如图2，若，请探究“和谐线”的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由；
(3)若，且“和谐线”中的或与菱形的一条对角线相等，求“和谐线”的长．
【答案】(1)“和谐线”的长为
(2)“和谐线”的长等于，理由见解析
(3)“和谐线”的长为或
【分析】（1）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答；
（2）证明，列出比例式，求出代入比例式求解即可；
（3）由已知得“和谐线”中的或只能与菱形中较短的对角线相等，分以下情况讨论：当时，过点P作，交的延长线于点E，过点B作于点F；当时，过点C作，交的延长线于点E，分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：如图1，连接，
在菱形中，，，
∴为等边三角形，
∵点P为的中点，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴“和谐线”的长为．
（2）解：“和谐线”的长等于．
理由：如图2，
在菱形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴“和谐线”的长为．
（3）解：“和谐线”的长为或．
由已知得“和谐线”中的或只能与菱形中较短的对角线相等，
①当时，如图3，过点P作，交的延长线于点E，过点B作于点F，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，，
在中，，
∴；
②当时，同理可证，，；
③当时，同理可得，，；
④当时，如图4，过点C作，交的延长线于点E，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，得，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，“和谐线”的长为或．
112．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践
在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究．
定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”．
(1)初步判断
下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）．
①矩形 ②正方形 ③菱形 ④平行四边形
(2)性质探究
根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究．
①如图1，“豫式四边形”中，，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由；
②如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为“豫式四边形”；
(3)拓展应用
如图3，中，，在直线的右上方存在点D，使得四边形为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为时，请直接写出的长．
【答案】(1)②
(2)①，理由见解析；②见解析
(3)或
【分析】（1）根据“豫式四边形”的定义判断即可；
（2）①根据“豫式四边形”的定义可得，再根据“”证明，可得；
②过点作，交于点，证明，推出，即可证明四边形为“豫式四边形”；
（3）分两种情况，即或，作出图形，计算的长即可．
【详解】（1）解：①矩形对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不一定属于“豫式四边形”；
②正方形对角互补，邻边相等，故正方形一定属于“豫式四边形”；
③菱形对角相等，不一定互补，邻边一定相等，故菱形不属于“豫式四边形”；
④平行四边形对角相等，不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不属于“豫式四边形”；
即答案为②；
（2）①解：，理由如下：
四边形为“豫式四边形”，
，
，
，
，，
，
；
②证明：如图，过点作，交于点，
平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
四边形为“豫式四边形”；
（3）解：要使四边形为“豫式四边形”，则，
，
，
当时，如图，作，连接，
，，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
根据勾股定理可得，
可得，
解得，
当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去，
；
当时，如图，作，连接，
同理可得，
设，则，，
，
根据勾股定理可得，
可得，
解得，
当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去，
，
综上，的值为或．
113．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值．
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
深入探究
（2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是．
①伴随值为 ；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标．
【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或
【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键．
（1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可；
（2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可．
【详解】解：（1）对于二次函数
当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ；
当伴随值为时，其伴随二次函数是 ；
当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ；
当伴随值为时，其伴随二次函数是 ；
故选：C．
（2）①设伴随值为t，
则 ，
，
．
故答案为：2；
②列表：
依次描出点，
画图如图所示：
③令 得或；
令 得或．
结合函数图象可知，只能是或，
或3．
当时，，此时且随x的增大而减小，
∴当时，有最小值，为
∴此时W的最低点的坐标为．
当时，，此时且随x的增大而增大，
∴当时，有最小值，为
∴此时W的最低点的坐标为．
综上，W的最低点的坐标为或．
114．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标
③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）3，；（2）①；②P点坐标为或；③或
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②由①得：函数的图象为抛物线，
令，
解得：或，
∴，
将代入，则，
∴，
令，
解得：或，
∵轴，
∴，
设点，
如图，过点P作于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
当时，即，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
当时，即，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
综上，当时，点P的坐标为或；
③∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图象上滑动，
顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在 上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
115．（2026·广东深圳·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”．
(1)【理解定义】
如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”．
(2)【运用定义】
如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”．
(3)【拓展提升】
如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)1或
【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断；
（2）根据平行四边形的性质得到，，，，则，，得到为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出和的长，进而推出是等腰三角形，即可证明；
（3）由翻折可知，，，，则是等腰三角形，根据是的“奇妙分割线”，可知为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段的长即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即为直角三角形，
∵，
∴为等腰三角形，
∴是的“奇妙分割线”；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴，为直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是的“奇妙分割线”；
（3）解：由翻折可知，，，，
∴是等腰三角形，
又∵是的“奇妙分割线”，
∴为直角三角形；
①当时，，
∵
∴，
∴，
如图，过点A作交的延长线于F，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，
如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
由①可知，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，即，
解得，
∴；
③当时，不存在满足题意的图形，舍去；
综上，的长为1或．
年级
平均数
中位数
众数
七
200
195
八
190
220
年级
平均数
众数
中位数
七年级
83
a
87
八年级
83
91
b
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8
8
八年级
设备
平均数
中位数
众数
甲
86
a
乙
86
b
87
旋转半径r（）
30
40
50
转动速度v（）
200
150
120
活动主题
分析篮球投篮的抛物线运动轨迹，判断投篮是否命中篮筐
活动准备
．查阅抛物线运动相关的数学知识；．准备纸笔用于建立平面直角坐标系并计算、
采集数据
右图为篮球投篮轨迹的平面示意图，信息如下：
．篮球出手点距地面高度为；
．篮球运动到最高点时，距地面高度为，且水平距离出手点；
．篮筐中心距地面高度为．
设计方案
考虑分析投篮轨迹的需要，确定原点，建立平面直角坐标系．
确定思路
小组成员经过讨论，确定以小明出手点在地面的垂直投影为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系．顶点的坐标为，分析数据得到点的坐标为，进而求出抛物线的表达式，从而解决问题．
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上．
图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量
在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计
计算
……
交流展示
……
项目主题
桥梁模型的承重试验
活动目标
经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题
当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计
工具
状态一
（空水桶）
状态二
（水桶内加一定量的水）
示意图
说明：为的中点
水平距离/米
0
6
18
30
36
飞行高度/米
0
9
21
25
24
飞行时间/秒
0
1
1.5
2
2.5
水平距离/米
0
15
22.5
30
37.5
0
2
3
4
6
5
5