高中数学北师大版 (2019)必修 第二册复数的三角表示式优秀学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册复数的三角表示式优秀学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 复数的三角表示
【知识点的认识】
在复平面中，我们设r=|OZ|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在射线为终边的角，
则a＝rcsθ，b＝rsinθ，z＝a+bi＝r（csθ+isinθ），
我们把r（csθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，其中r是复数的模，(2)(2)+22+2=22是复数的辐角．
【解题方法点拨】
（1）复数的三角形式Z＝r（csθ+isinθ）满足以下条件：
①r≥0；
②加号连接；
③cs在前，sin在后；
④θ前后一致，可为任意值．
（2）代数式化三角式的步骤：
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角；
④求出复数三角式．
注意：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值．
1．已知Z1=−1+3i，Z2=csθ+isinθ(θ∈R)，则|Z1•Z2|＝（ ）
A．4B．1C．2D．不确定
【答案】C
【解答】解：∵Z1=−1+3i=2(cs2π3+isin2π3)，
且Z2＝csθ+isinθ，
∴Z1•Z2=2[cs(θ+2π3)+isin(θ+2π3)]，
则|Z1•Z2|＝2．
故选：C．
2．下列复数中与复数z=4−1−3i相等的是（ ）
A．2(csπ3+isinπ3)B．2(cs2π3+isin2π3)
C．−1−3iD．−2+23i
【答案】B
【解答】解：z=4−1−3i=4(−1+3i)(−1−3i)(−1+3i)=−1+3i，则CD错误；
2(csπ3+isinπ3)=2×12+2×32i=1+3i，则A错误；
2(cs2π3+isin2π3)=−1+3i，故B正确．
故选：B．
3．若复数z＝r（csθ+isinθ）（r＞0，θ∈R），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角，则复数z=32+12i的三角形式正确的是（ ）
A．csπ6+isinπ6B．sinπ6+icsπ6
C．csπ3+isinπ3D．sinπ3+icsπ3
【答案】A
【解答】解：z=32+12i的模为1，辐角为π6，
则复数z=32+12i 的三角形式为csπ6+isinπ6．
故选：A．
（多选）4．设z为复数，且z不为0，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．5+i＞4+i
B．若z=csπ3+isinπ3，则|z|＝1
C．若z＝1+i，则z=−1−i
D．zz=z2|z|2
【答案】BD
【解答】解：因为虚数不能比较大小，故A错误；
因为z=csπ3+isinπ3=12+32i，所以|z|=(12)2+(32)2=1，故B正确；
因为z＝1+i，所以z=1−i，故C错误；
设z＝a+bi（a，b∈R），
则z⋅z=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，|z|2=(a2+b2)2=a2+b2，
所以z⋅z=|z|2，
所以zz=z⋅zz⋅z=z2|z|2，故D正确．
故选：BD．
（多选）5．欧拉公式exi＝csx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．eπ4i=22−22i
B．eπi2为纯虚数
C．复数exi的模长等于1
D．eπi3的共轭复数为12−32i
【答案】BCD
【解答】解：A．eπ4i=csπ4+isinπ4=22+22i，故A错误；
B．eπ2i=csπ2+isinπ2=i，∴eπ2i为纯虚数，故B正确；
C．exi＝csx+isinx，∴复数exi的模长为cs2x+sin2x=1，故C正确；
D．eπ3i=csπ3+isinπ3=12+32i，∴eπ3i的共轭复数为12−32i，故D正确．
故选：BCD．
6．已知复数z1=2sinθ−3i，z2＝1+（2csθ）i，θ∈[0，π]．
（1）若z1＝z2，求角θ；
（2）复数z1，z2对应的向量分别是a→，b→．
（i）求a→⋅b→的取值范围；
（ii）存在θ使等式（λa→−b→）•（a→−λb→）＝0成立，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）5π6；
（2）（ⅰ）[−23，4]；（ⅱ）(−∞，−3]∪[−33，+∞)．
【解答】解：（1）∵z1=2sinθ−3i，z2＝1+（2csθ）i，且z1＝z2，
∴2sinθ＝1，2csθ=−3，即sinθ=12，csθ=−32，
又θ∈[0，π]，故θ=5π6．
（2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，a→=(2sinθ，−3)，b→=(1，2csθ)，
∴a→⋅b→=2sinθ−23csθ=4sin(θ−π3)，
又θ∈[0，π]，则−π3≤θ−π3≤2π3．
∴当θ−π3=π2时，a→⋅b→取最大值为4，
当θ−π3=−π3时，a→⋅b→取最小值为−23，
∴a→⋅b→的取值范围为[−23，4]；
（ⅱ）∵a→=(2sinθ，−3)，b→=(1，2csθ)，
∴λa→−b→=(2λsinθ−1，−3λ−2csθ)，a→−λb→=(2sinθ−λ，−3−2λcsθ)．
又(λa→−b→)⋅(a→−λb→)=0，则(2λsinθ−1)(2sinθ−λ)+(−3λ−2csθ)(−3−2λcsθ)=0，
化简得，8λ+(λ2+1)(23csθ−2sinθ)=0，
∴8λλ2+1=4sin(θ−π3)．
由（ⅰ）的结论可知4sin(θ−π3)∈[−23，4]，
∴−23≤8λλ2+1≤4，
解得λ≤−3或λ≥−33，
综上所述，λ的取值范围为：(−∞，−3]∪[−33，+∞)．
7．形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式，而任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（csθ+isinθ）的形式，即a=rcsθ，b=rsinθ，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．复数z＝r（csθ+isinθ）叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若OZ1=r1(csθ1+isinθ1)，OZ2=r2(csθ2+isinθ2)，则r1（csθ1+isinθ1）•r2（csθ2+isinθ2）＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．其几何意义是把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍．
（1）试将z＝3+3i写成三角形式（辐角取主值）；
（2）复平面内，将z＝3+3i对应的向量绕原点O顺时针方向旋转60°，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为z1，求z1(csπ10+isinπ10)(cs3π10+isin3π10)(cs3π5+isin3π5)；
（3）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数f（x）＝x2+1x2，x∈C．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数t，使得f（x）≥t成立，复数x在复平面上对应的点为A，O为坐标原点，点P（3，0），以PA为边作正方形PAMN，其中M，N在PA上方，求线段OM的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由z＝3+3i，得z=23(32+12i)=23(csπ6+isinπ6)；
（2）∵z1=z⋅[cs(−π3)+isin(−π3)]×2
=23(csπ6+isinπ6)[cs(−π3)+isin(−π3)]×2
=43[cs（−π6）+isin（−π6）]，
∴z1(csπ10+isinπ10)(cs3π10+isin3π10)(cs3π5+isin3π5)
＝z1（csπ+isinπ）＝﹣z1=−43(32−12i)=−6+23i；
（3）设x＝a+bi（a，b∈R，a≠0，b＞0），
则f（x）=x2+1x2=(a+bi)2+1(a+bi)2=(a2−b2)+2abi+1(a2−b2)+2abi
=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi[(a2−b2)+2abi][(a2−b2)−2abi]=(a2−b2)+2abi+(a2−b2)−2abi(a2−b2)+4a2b2
=(a2−b2)+a2−b2(a2+b2)2+[2ab−2ab(a2+b2)2]i．
由题意可知，f（x）为实数，则2ab−2ab(a2+b2)2=0，
∵a≠0，b＞0，∴a2+b2＝1，
当a2+b2＝1时，f（x）＝2（a2﹣b2）＝2（2a2﹣1）＞﹣2（a≠0），符合题意，
则点A的轨迹为单位圆的一部分．
设A（csθ，sinθ），θ∈（0，π2）∪（π2，π），
PA→=(csθ−3，sinθ)所表示的复数为z1，
则z1＝（csθ﹣3）+isinθ，
记PM→所表示的复数为z2，则z2＝z1•[cs（−π4）+isin（−π4）]⋅2
＝[（csθ﹣3）+isinθ]•（22−22i）⋅2=（csθ+sinθ﹣3）+（sinθ﹣csθ+3）i．
故M（csθ+sinθ，sinθ﹣csθ+3），
|OM|=(csθ+sinθ)2+(sinθ−csθ+3)2=11+6(sinθ−csθ)=11+62sin(θ−π4)．
∴当sin（θ−π4）＝1，即θ=34π，|OM|max=11+62．
8．已知复数z＝a+bi（a，b∈R）可以表示为三角形式：z＝r（csθ+isinθ），其中r=a2+b2，θ是以x轴非负半轴为始边，向量OZ→所在射线为终边的角．已知z1＝r1（csθ1+isinθ1）与z2＝r2（csθ2+isinθ2）的乘积z1z2＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
（1）试将z=1−3i写成三角形式；
（2）当|z|＝1时，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值；
（3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ，cs3θ＝4cs3θ﹣3csθ．
【答案】（1）z＝2（csα+isinα），其中α=5π3+2kπ，k∈Z；
（2）|z2﹣z+1|的最大值为3，最小值为0；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）z=1−3i=2(12−32i)=2(csα+isinα)，
其中csα=12，sinα=−32，则α=5π3+2kπ，k∈Z，
故z＝2[cs（5π3+2kπ）+isin（5π3+2kπ）]，k∈Z；
（2）已知|z|＝1，设z＝csθ+isinθ（θ∈R），
则|z2﹣z+1|＝|cs2θ+isin2θ﹣csθ﹣isinθ+1|
＝|（cs2θ﹣csθ+1）+（sin2θ﹣sinθ）i|
=(cs2θ−csθ+1)2+(sin2θ−sinθ)2
=3+2cs2θ−2csθ−2csθcs2θ−2sinθsin2θ
=3+2cs2θ−4csθ=4cs2θ−4csθ+1=|1−2csθ|，
∵﹣1≤csθ≤1，∴﹣1≤1﹣2csθ≤3，可得0≤|1﹣2csθ|≤3，
故|z2﹣z+1|的最大值为3，此时csθ＝﹣1，最小值为0，此时csθ=12；
（3）设z＝csθ+isinθ，则z3＝（csθ+isinθ）3＝cs3θ+isin3θ，
而（csθ+isinθ）3＝cs3θ+3ics2θsinθ﹣3csθsin2θ﹣isin3θ
＝cs3θ﹣3csθ（1﹣cs2θ）+3i（1﹣sin2θ）sinθ﹣isin3θ
＝4cs3θ﹣3csθ+i（3sinθ﹣4sin3θ），
故sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ，cs3θ＝4cs3θ﹣3csθ．
9．定义：复数z＝a+bi（a，b∈R）的三角形式为z＝r（csθ+isinθ），其中r=a2+b2，csθ=ar，sinθ=br，r是复数z的模，θ是复数z的辐角，规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．
（1）求出方程x2+6x+12＝0的所有复数根，并求这些根的辐角的主值；
（2）已知z1＝5（cs50°+ics320°），z2＝3（sin130°+ics490°），求arg（z1•z2）．
【答案】（1）方程的复数根为−3±3i，辐角主值分别为7π6和5π6．
（2）π18．
【解答】解：（1）方程x2+6x+12＝0，配方得（x+3）2＝﹣3．
因为﹣3＝3（csπ+isinπ），根据复数开方运算，x+3=3(csπ+2kπ2+isinπ+2kπ2)（k＝0，1）．
当k＝0时，x+3=3(csπ2+isinπ2)=3i，解得x=−3+3i；
当k＝1时，x+3=3(cs3π2+isin3π2)=−3i，解得x=−3−3i．
对于z1=−3−3i，模r1=(−3)2+(−3)2=23，
csθ1=−323=−32，sinθ1=−323=−12，结合0≤θ＜2π，得θ1=7π6．
对于z2=−3+3i，模r2=(−3)2+(3)2=23，
csθ2=−323=−32，sinθ2=323=12，结合0≤θ＜2π，得θ2=5π6．
故方程的复数根为−3±3i，辐角主值分别为7π6和5π6．
（2）先化简z1：cs320°＝cs（360°﹣40°）＝cs（﹣40°）＝cs40°＝sin50°，
所以z1＝5（cs50°+isin50°）．
再化简z2：sin130°＝sin（90°+40°）＝cs40°，cs490°＝cs（360°+130°）＝cs130°＝cs（90°+40°）＝﹣sin40°＝sin（﹣40°），
所以z2＝3（cs40°+isin（﹣40°））＝3（cs（﹣40°）+isin（﹣40°））．
根据复数三角形式乘法法则，z1•z2＝5×3[cs（50°﹣40°）+isin（50°﹣40°）]＝15（cs10°+isin10°）．
所以arg(z1⋅z2)=10°=π18．
故arg（z1•z2）的值为π18．
10．形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式．任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（csθ+isinθ）的形式，即a=rcsθb=rsinθ，其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量OZ→所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数．z＝a+bi的辐角，规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为argz．z＝r（csθ+isinθ）叫做复数的三角形式．根据复数乘法运算的三角表示知：z2＝（r（csθ+isinθ））2＝r2（cs2θ+isin2θ）．推广，到n次幂有：zn＝（r（csθ+isinθ））n＝rn（csnθ+isinnθ）此结论称为棣莫弗定理．下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z＝r（csθ+isinθ）（r＞0）是1的3次方根，则z3＝1＝cs0+isin0．所以（r（csθ+isinθ））3＝r3（cs3θ+isin3θ）＝cs0+isin0．因为相等的复数的模相等，辐角可以相差2π的整数倍．所以r3=13θ=0+2kπ(k∈Z)，r=1θ=2kπ3(k∈Z)所以1的3次方根是cs2kπ3+isin2kπ3(k∈Z).由三角函数周期性可得，1的3次方根为：w0=cs0+isin0=1；w1=cs2π3+isin2π3=−12+32i；w2=cs4π3+isin4π3=−12−32i请结合材料回答以下问题：
（1）将z=1+3i表示成三角形式（辐角取主值）；
（2）在复数范围内，求出1的8次方根；
（3）在复数范围内是否存在满足以下条件的集合S＝{a0，a1，a2，…，a7}；
（ⅰ）0∉S；
（ⅱ）任意m，n∈{0，1，2，3，4，5，6，7}，都有aman∈S．若存请确定集合S；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）以z=2(csπ3+isinπ3)
（2）1，22+22i，i，−22+22i，−1，−22−22i，−i，22−22i．
（3）存在这样的集合，S={1，22+22i，i，−22+22i，−1，−22−22i，−i，22−22i}
【解答】解：（1）对于z=1+3i，在复平面内对应点(1，3)，位于第一象限．
计算模r：r=12+(3)2=2．
求辐角θ：tanθ=31=3，又因点在第一象限，且0≤θ＜2π，故θ=π3．
所以z的三角形式为z=2(csπ3+isinπ3)．
（2）1的三角形式为1＝cs0+isin0．设z＝r（csθ+isinθ）（r＞0）是1的8次方根，则z8＝1．
根据棣莫弗定理，[r（csθ+isinθ）]8＝r8（cs8θ+isin8θ）＝cs0+isin0．
由复数相等条件，模相等得r8＝1（r＞0），故r＝1；辐角满足8θ＝2kπ（k∈Z），即θ=kπ4（k∈Z）．
取k＝0，1，2，⋯，7，得到8个不同的根：
当k＝0时，z0＝cs0+isin0＝1；
当k＝1时，z1=csπ4+isinπ4=22+22i；
当k＝2时，z2=csπ2+isinπ2=i；
当k＝3时，z3=cs3π4+isin3π4=−22+22i；
当k＝4时，z4＝csπ+isinπ＝﹣1；
当k＝5时，z5=cs5π4+isin5π4=−22−22i；
当k＝6时，z6=cs3π2+isin3π2=−i；
当k＝7时，z7=cs7π4+isin7π4=22−22i．
故（1）z=2(csπ3+isinπ3)；（2）1的8次方根为1，22+22i，i，−22+22i，−1，−22−22i，−i，22−22i．
（3）取S={1，22+22i，i，−22+22i，−1，−22−22i，−i，22−22i}，
zm=csmπ4+isinmπ4，m=0，1，2，⋯，7，
zn=csnπ4+isinnπ4，n=0，1，2，⋯，7，
则zm⋅zn=(csmπ4+isinmπ4)(csnπ4+isinnπ4)
=csmπ4csnπ4+isinmπ4csnπ4+icsmπ4sinnπ4−sinmπ4sinnπ4
=cs(mπ4+nπ4)+isin(mπ4+nπ4)=cs(m+n4)π+i(m+n4)π，
因为n＝0，1，2，…，7，m＝0，1，2，…，7，所以m+n＝0，1，2，…，14，
所以(m+n4)π是π4的整数倍，故zm•zn∈S．
所以在复数范围内存在满足以下条件的集合S＝{a0，a1，a2，，a7}；
（i） 0∉S；
（ii） 任意m，n∈{0，1，2，3，4，5，6，7}，都有 aman∈S．
11．已知：
①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（csθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（csθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
②方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根；
（1）求证：r1（csθ1+isinθ1）•r2（csθ2+isinθ2）＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；
（2）设ω=−12+32i，求ω2024；
（3）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合．
【答案】（1）证明见解析；
（2）−12−32i；
（3）{1，12+32i，−12+32i，−1，−12−32i，12−32i}．
【解答】（1）证明：r1（csθ1+isinθ1）•r2（csθ2+isinθ2）
＝r1r2[csθ1csθ2﹣sinθ1sinθ2+（csθ1sinθ2+sinθ1csθ2）i]
＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；
（2）ω=−12+32i=cs2π3+isin2π3，
则ω2024=(cs2π3+isin2π3)2024=cs4048π3+isin4048π3=cs4π3+isin4π3=−12−32i；
（3）设x＝csθ+isinθ，则x6＝（csθ+isinθ）6＝cs6θ+isin6θ＝1，
因此sin6θ＝0，cs6θ＝1，6θ＝2kπ，k∈Z，解得θ=kπ3，k∈Z，
取k＝0，1，2，3，4，5，则对应的θ依次为0，π3，2π3，π，4π3，5π3，
因此对应的x依次为1，12+32i，−12+32i，−1，−12−32i，12−32i，
可得所求的集合是{1，12+32i，−12+32i，−1，−12−32i，12−32i}．
12．一般地，任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R），i称为虚数单位，都可以表示成r（csθ+isinθ）的形式，即a=rcsθb=rsinθ，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz，r（csθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．特别是当r＝1时，csθ+isinθ＝eiθ，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系．请你根据材料解决以下问题：
（1）设复数z1=r1eiα，z2=r2eiβ，求z1•z2、z1z2的三角形式；
（2）设复数z3=1−e−iθ，z4=1+eiθ，其中θ∈（π，2π），求argz3+argz4；
（3）在△ABC中，已知a、b、c为三个内角A，B，C的对应边．借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：b2＝a2+c2﹣2accsB．
温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分．
【答案】（1）z1•z2＝r1r2ei（α+β），z1z2=r1r2ei（α﹣β）；（2）7π2；（3）证明见解析．
【解答】解：（1）因为复数z1=r1eiα=r1（csα+isinα），复数z2=r2eiβ=r2（csβ+isinβ），
所以z1•z2＝r1（csα+isinα）•r2（csβ+isinβ）＝r1r2（csαcsβ﹣sinαsinβ）+i（sinαcsβ+sinβcsα）
＝r1r2[cs（α+β）+isin（α+β）]＝r1r2ei（α+β），
z1z2=r1(csα+isinα)r2(csβ+isinβ)=r1r2•(csα+isinα)(csβ−isinβ)(csβ+isinβ)(csβ−isinβ)=r1r2⋅(csαcsβ+sinαsinβ)+i(sinαcsβ−sinβcsα)cs2β+sin2β
=r1r2⋅[cs（α﹣β）+isin（α﹣β）]=r1r2ei（α﹣β）．
综上所述，z1•z2＝r1r2ei（α+β），z1z2=r1r2ei（α﹣β）．
（2）因为复数z3=1−e−iθ=1﹣cs（﹣θ）﹣isin（﹣θ）＝1﹣csθ+isinθ＝2sin2θ2+2isinθ2csθ2=2sinθ2（sinθ2+icsθ2）
＝2sinθ2[cs（5π2−θ2）+isin（5π2−θ2）]，
z4=1+eiθ=1+csθ+isinθ＝2cs2θ2+2isinθ2csθ2=2csθ2（csθ2+isinθ2）＝﹣2csθ2[cs（π+θ2）+isin（π+θ2）]．
因为θ∈（π，2π），所以sinθ2＞0，﹣csθ2＞0，3π2＜5π2−θ2＜2π，3π2＜π+θ2＜2π，
所以argz3=5π2−θ2，argz4＝π+θ2，
所以argz3+argz4=5π2−θ2+π+θ2=7π2．
（3）证明：以B为原点，BC→为实轴正方向确定复平面，并不妨设点A在实轴上方，则点A，B，C在复平面上分别表示复数ceiB，0，a，
所以b2=|AC→|2=|ceiB﹣a|2＝|ccsB﹣a+icsinB|2＝（ccsB﹣a）2+c2sin2B＝a2+c2﹣2accsB．
▉题型2 复数的代数形式与三角形式互化
【知识点的认识】
复数的代数形式为a+bi，三角形式为r（csθ+isinθ），其中r为模，θ为辐角．两种形式可以通过公式互相转换．
【解题方法点拨】
﹣代数形式转三角形式：计算复数的模r=a2+b2和辐角θ．
﹣三角形式转代数形式：使用公式a＝rcsθ和b＝rsinθ转换．
13．复数−12+32i的三角形式是（ ）
A．cs60°+isin60°B．﹣cs60°+isin60°
C．cs120°+isin60°D．cs120°+isin120°
【答案】D
【解答】解：令z=−12+32i=r(csθ+isinθ)(r＞0，0°≤θ＜360°)，
则r＝|z|＝1，所以csθ=−12sinθ=32，
因为0°≤θ＜360°，所以θ＝120°，
−12+32i的三角形式是cs120°+isin120°．
故选：D．
14．写出复数z=3+i的三角形式是 z=2(csπ6+isinπ6)． ．（辐角θ∈[0，2π））
【答案】2(csπ6+isinπ6)．
【解答】解：复数z=3+i=2(csπ6+isinπ6)．
故答案为：2(csπ6+isinπ6)．
15．欧拉公式：eix＝csx+isinx（e是自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式．
（I）根据欧拉公式将e56πi化成复数的代数形式；
（Ⅱ）设函数f（x）＝e2ix+e﹣2ix+4sinxcsx，0≤x≤π2，求f（x）的值域．
【答案】（I）e56πi=−32+12i；
（Ⅱ）[−2，22]．
【解答】解：（I）e56πi=cs56π+isin56π=−32+12i；
（Ⅱ）f（x）＝e2ix+e﹣2ix+4sinxcsx＝（cs2x+isin2x）+（cs2x﹣isin2x）+2sin2x
=2sin2x+2cs2x=22sin(2x+π4)，
∵x∈[0，π2]，∴2x∈[0，π]，2x+π4∈[π4，5π4]，
当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)max=22；
当2x+π4=5π4，即x=π2时，f（x）min＝﹣2；
∴f（x）的值域为[−2，22]．
▉题型3 复数的辐角和辐角主值
【知识点的认识】
复数a+bi的辐角是复平面中该复数点与正实轴的夹角．辐角主值是[0，2π）范围内的角度．
【解题方法点拨】
﹣计算辐角．
﹣主值范围：将计算得到的角度调整到[0，2π）范围内．
16．我们知道复数有三角形式，z＝r（csθ+isinθ），其中r为复数的模，θ为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若OZ1→=r1(csθ1+isinθ1)，OZ2→=r2(csθ2+isinθ2)，则r1（csθ1+isinθ1）•r2（csθ2+isinθ2）＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．其几何意义是把向量OZ1→绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍．
已知圆O半径为1，圆O的内接正方形ABCD的四个顶点均在圆O上运动，建立如图所示坐标系，设A点所对应的复数为z1，B点所对应的复数为z2，C点所对应的复数为z3，D点所对应的复数为z4．
（1）若z1=32+12i，求出z2，z3；
（2）如图，若P（2，0），以PA为边作等边△PAQ，且Q在AP上方．
（ⅰ）求线段OQ长度的最小值；
（ⅱ）若PQ→=xOA→+yOD→（x，y∈R），求x+y的取值范围．
【答案】（1）z2=−12+32i，z3=−32−12i；
（2）（ⅰ）1；
（ⅱ）[1+32−22，1+32+22]．
【解答】解：（1）∵z1=32+12i，
∴z2=z1⋅(cs90°+isin90°)=(32+12i)⋅i=−12+32i，z3=z2⋅(cs90°+isin90°)=(−12+32i)⋅i=−32−12i；
（2）（ⅰ）设z1＝csθ+isinθ，θ∈[0，2π），PA→所表示的复数为z5，PQ→所表示的复数为z6，
则z5＝csθ﹣2+isinθ，z6=z5⋅(cs(−π3)+isin(−π3))=cs(θ−π3)−1+i[sin(θ−π3)+3]，
故Q(cs(θ−π3)+1，sin(θ−π3)+3)，
得|OQ|=[cs(θ−π3)+1]2+[sin(θ−π3)+3]2
=5+23sin(θ−π3)+2cs(θ−π3)=5+4sin(θ−π3+φ)，其中tanφ=33，
当sin(θ−π3+φ)=−1时，线段OQ长度取最小值为1；
（ⅱ）设z1＝csθ+isinθ，则z4＝sinθ﹣icsθ，即D点坐标为（sinθ，﹣csθ），
此时PQ→=(cs(θ−π3)−1，sin(θ−π3)+3)，OA→=(csθ，sinθ)，OD→=(sinθ，−csθ)，
由PQ→=xOA→+yOD→（x，y∈R），
得：(cs(θ−π3)−1，sin(θ−π3)+3)=x(csθ，sinθ)+y(sinθ，−csθ)，
即cs(θ−π3)−1=xcsθ+ysinθsin(θ−π3)+3=xsinθ−ycsθ，解得x=csπ3−csθ+3sinθy=sinπ3−sinθ−3csθ，
∴x=12−csθ+3sinθy=32−sinθ−3csθ，
故x+y=1+32−(1+3)csθ+(3−1)sinθ=1+32+22sin(θ+γ)，其中tanγ=−3+13−1，
可得x+y∈[1+32−22，1+32+22]．
▉题型4 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝r1（csθ1+isinθ1）和z2＝r2（csθ2+isinθ2）的乘积是z1z2＝r1r2（cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2））．
﹣除法：复数z1除以复数z2是z1z2=r1r2(cs(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2))．
【解题方法点拨】
﹣三角形式计算：利用三角形式进行复数乘法和除法，简化计算．
﹣几何意义：理解复数乘法和除法在复平面中的几何意义，如旋转和缩放．
17．计算：(csπ4+isinπ4csπ4−isinπ4)6= ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：csπ4+isinπ4csπ4−isinπ4=22+22i22−22i=(22+22i)2(22−22i)(22+22i)=i，
则(csπ4+isinπ4csπ4−isinπ4)6=i6＝﹣1．
故答案为：﹣1．
题型1 复数的三角表示
题型2 复数的代数形式与三角形式互化
题型3 复数的辐角和辐角主值
题型4 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义