数学必修 第二册复数的四则运算优质学案

这是一份数学必修 第二册复数的四则运算优质学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 复数的加、减运算及其几何意义
【知识点的认识】
﹣加法：两个复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．
﹣减法：两个复数z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．
﹣几何意义：加法和减法可以看作是复平面中向量的平移操作．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对复数的实部和虚部进行加减．
﹣几何解释：将复数加减看作平面上的向量操作，如平移或位移．
1．已知i为虚数单位，若复数z满足|z﹣4i|＝2，则|z+1﹣i|的最大值是 10+2 ．
【答案】10+2．
【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），
则|z−4i|=|a+(b−4)i|=a2+(b−4)2=2，
即a2+（b﹣4）2＝4，则点（a，b）的轨迹为圆心在（0，4），半径为2的圆，
|z+1−i|=|(a+1)+(b−1)i|=(a+1)2+(b−1)2，其表示点（a，b）到点（﹣1，1）的距离，
其最大值为（﹣1，1）到圆心的距离加上半径，即(−1−0)2+(4−1)2+2=10+2．
故答案为：10+2．
2．已知z1＝3+4i，z2＝1﹣i，则|z1+z2|＝ 5 ．
【答案】5．
【解答】解：由z1＝3+4i，z2＝1﹣i，得z1+z2＝3+4i+1﹣i＝4+3i，
则|z1+z2|=42+32=5．
故答案为：5．
3．计算：
（1）（2+i）﹣[（6+5i）﹣（4+3i）]+（﹣1+i）；
（2）（1﹣2i）+（﹣2+3i）+（3﹣4i）+（﹣4+5i）+…+（﹣2016+2017i）+（2017﹣2018i）．
【答案】（1）﹣1；（2）1009﹣1010i．
【解答】解：（1）（2+i）﹣[（6+5i）﹣（4+3i）]+（﹣1+i）
＝（2+i）﹣（2+2i）+（﹣1+i）
＝﹣1；
（2）（1﹣2i）+（﹣2+3i）+（3﹣4i）+（﹣4+5i）+…+（﹣2016+2017i）+（2017﹣2018i）
＝（1﹣2+3﹣4+...+2015﹣2016+2017）+（﹣2+3﹣4+5﹣...﹣2016+2017﹣2018）i
＝1009﹣1010i．
▉题型2 复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
【解题方法点拨】
﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．
﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．
4．若复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，则复数z＝（b﹣i）i的虚部为（ ）
A．﹣2B．2C．2iD．﹣2i
【答案】B
【解答】解：∵z1＝（2﹣i）（b+i）＝（2b+1）+（2﹣b）i∈R，复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，
∴2﹣b＝0，解得b＝2，
∴z＝（2﹣i）i＝1+2i，则复数z的虚部为2．
故选：B．
5．已知复数z1＝2﹣i，z2＝1+i，则z1z2＝（ ）
A．﹣1+iB．1﹣2 iC．2+iD．3+i
【答案】D
【解答】解：由z1＝2﹣i，z2＝1+i，
得z1•z2＝（2﹣i）（1+i）＝2+2i﹣i﹣i2＝3+i．
故选：D．
6．若a+i1+i=−1+2i（a∈R，i为虚数单位），则a的值为（ ）
A．1B．﹣3C．5D．2
【答案】B
【解答】解：因为a+i1+i=−1+2i，
所以a＝（﹣1+2i）（1+i）﹣i＝﹣1﹣i+2i+2i2﹣i＝﹣3．
故选：B．
7．计算（2+2i）（1﹣2i）（i为虚数单位）的结果是（ ）
A．﹣2+4iB．﹣2﹣4iC．6+2iD．6﹣2i
【答案】D
【解答】解：（2+2i）（1﹣2i）＝2+4﹣2i＝6﹣2i．
故选：D．
（多选）8．设复数为z＝1+i，则下列命题正确的是（ ）
A．|z|2=z⋅zB．z2=z⋅zC．z2=(z)2D．|z2|＝|z|2
【答案】AD
【解答】解：z＝1+i，
则z2＝（1+i）2＝2i，|z|2＝12+12＝2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，故A正确，B错误；
(z)2=(1−i)2=−2i，故C错误；
|z2|＝|2i|＝2，故|z2|＝|z|2，故D正确．
故选：AD．
（多选）9．已知复数z=2−ii2+i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为z，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数z所对应的点位于第四象限
B．z=12−32i
C．z⋅z=52
D．zz=45+35i
【答案】CD
【解答】解：z=2−ii2+i=2−i−1+i=(2−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−3−i2，
在复平面内复数z所对应的点为（−32，−12），位于第三象限，A错误，
z=−32+12i，B错误，
z•z=|z|2＝（−32）2+（−12）2=52，C正确，
zz=z2zz=25z2=25（−32−12i）2=25（94+32i−14）=25（2+32i）=45+35i，故D正确．
故选：CD．
10．已知i为虚数单位，（1+i）（3﹣i）﹣i＝a+bi，（a，b∈R），则ab＝ 4 ．
【答案】4
【解答】解：（1+i）（3﹣i）﹣i＝a+bi，（a，b∈R），
则4+i＝a+bi，
故a＝4，b＝1，
故ab＝4．
故答案为：4．
11．已知复数z是方程x2+6x+13＝0的一个复数根，且z的虚部大于零．
（1）求z；
（2）若az＝b﹣i（a，b∈R，i为虚数单位），求ab．
【答案】（1）z＝﹣3+2i；
（2）ab=−34．
【解答】解：（1）由x2+6x+13＝（x+3）2+4＝0，即（x+3）2＝﹣4，
可得x+3＝±2i，解得x＝﹣3±2i，
因为z的虚部大于零，所以z＝﹣3+2i
（2）由（1）知z＝﹣3+2i，因为az＝b﹣i，所以az＝a（﹣3+2i）＝﹣3a+2ai＝b﹣i
则−3a=b2a=−1，
解得a=−12，b=32，
所以ab=−34．
▉题型3 复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1z2=(a1+b1i)(a2−b2i)a22+b22．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
12．已知复数z满足（1﹣i）z＝1+5i，则z的共轭复数是（ ）
A．2+3iB．2﹣3iC．﹣2+3iD．﹣2﹣3i
【答案】D
【解答】解：由题可得：z=1+5i1−i=(1+5i)(1+i)(1−i)(1+i)=−4+6i2=−2+3i，
故z的共轭复数为﹣2﹣3i．
故选：D．
13．若复数z满足z（1+2i）＝5﹣i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．−115B．115C．−95D．95
【答案】A
【解答】解：由z（1+2i）＝5﹣i，
z=5−i1+2i=(5−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=3−11i5=35−115i，
所以z的虚部为−115．
故选：A．
14．已知复数z满足（1﹣3i）z＝2i，复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解答】解：z=2i1−3i=2i(1+3i)(1−3i)(1+3i)=−35+15i，在复平面内对应的点为(−35，15)，位于第二象限．
故选：B．
15．若复数z满足z=4−i1−i+2i，则z的虚部为（ ）
A．−72B．72C．72iD．−72i
【答案】A
【解答】解：因为z=4−i1−i+2i=(4−i)(1+i)(1−i)(1+i)+2i=5+3i2+2i=52+72i，
所以z=52−72i，其z的虚部为−72．
故选：A．
16．已知复数z满足iz=1﹣i（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．−12B．12C．−12iD．12i
【答案】B
【解答】解：由iz=1﹣i，
得z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=i2+i1−i2=−12+i2，
则z的虚部为12．
故选：B．
▉题型4 复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
【解题方法点拨】
﹣运算顺序：根据运算优先级（括号、乘除、加减）进行混合运算．
﹣应用：在复数计算中应用混合运算解决复杂问题．
17．已知复数z满足（1+z）（2﹣i）＝i（i为虚数单位），则z＝（ ）
A．−65+25iB．45+25iC．−65−25iD．−45−25i
【答案】A
【解答】解：由题可得：1+z=i2−i=i(2+i)(2−i)(2+i)=2i−15，
所以z=2i−15−1=−65+25i．
故选：A．
18．已知2−mi1+ni=i，（m，n∈R），则mn=（ ）
A．12B．−12C．2D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由2−mi1+ni=i得2﹣mi＝i（1+ni），即2﹣mi＝﹣n+i，
所以m＝﹣1，n＝﹣2，所以mn=12．
故选：A．
（多选）19．若z1，z2是复数，则下列说法错误的是（ ）
A．若|z1|＝1，则1z1+z1∈R
B．若z13=z23，则z1＝z2
C．若z1z2∈R，|z2|≠0，则z1z2∈R
D．若z12+z22=0，则z1＝z2或z1＝﹣z2
【答案】BCD
【解答】解：A选项，设z1＝a+bi，a，b∈R，由|z1|＝1，
得a2+b2=1，z1+1z1=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bia2+b2=2a∈R，故A选项正确；
B选项，当z1=1，z2=−12+32i时，满足z13=z23，但z1≠z2，故B选项错误；
C选项，当z1＝1+i，z2＝1﹣i时，满足z1z2＝（1+i）（1﹣i）＝2∈R，
但z1z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i∉R，故C选项错误；
D选项，当z1＝1，z2＝i时，满足z12+z22=0，但z1≠±z2，故D选项错误．
故选：BCD．
（多选）20．已知i为虚数单位，复数z满足z=1+5i1+i，则（ ）
A．z的实部为3
B．z的虚部为2i
C．z⋅z=13
D．z在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解答】解：由题意结合复数的除法运算可得z=1+5i1+i=(1+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=1+5i−i−5i22=3+2i，
则z的实部为3，z的虚部为2，不是2i，所以选项A正确，选项B错误；
由于|z|=|1+5i||1+i|=12+5212+12=13，z⋅z=|z|2=13，z=3−2i在复平面内对应的点（3，﹣2）在第四象限，所以选项C、选项D都正确．
故选：ACD．
21．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数．事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元n（n∈N*）次复系数多项式方程f（x）＝0至少有一个复数根．
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元n（n∈N*）次复系数多项式f（x）在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系．
设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）
在复数集C内的根为x1、x2，容易得到x1+x2=−a1a2x1x2=a0a2
设实系数一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0＝0（a3≠0）①
在复数集C内的根为x1、x2、x3，可以得到，方程①可变形为a3（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0
展开得：a3x3﹣a3（x1+x2+x3）x2+a3（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣a3x1x2x3＝0②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：x1+x2+x3=−a2a3x1x2+x1x3+x2x3=a1a3x1x2x3=−a0a3
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
（1）对于方程3x3+2x2﹣x+5＝0在复数集C内的根为x1、x2、x3，求x12+x22+x32的值；
（2）如果实系数一元四次方程a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝0（a4≠0）在复数集C内的根为x1、x2、x3、x4，试找到根与系数之间的关系；
（3）已知函数g（x）＝x3+bx+2，对于方程g（x）＝k在复数集C内的根为x1、x2、x3，当k∈[0，1]时，求x13+x23+x33的最大值．
【答案】（1）109；
（2）答案见解析；
（3）﹣3．
【解答】解：（1）由阅读材料可知：x1+x2+x3=−23，x1x2+x1x3+x2x3=−13，
故x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=109；
（2）因为实系数一元四次方程a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝0（a4≠0）在复数集C内的根为x1、x2、x3、x4，
由材料可知：一元四次方程可改写为a4（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（x﹣x4）＝0，
展开得：a4x4−a4(x1+x2+x3+x4)x3+a4(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x2−a4（x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4）x+a4x1x2x3x4＝0，
故可得：x1+x2+x3+x4=−a3a4x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=a2a4x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=−a1a4x1x2x3x4=a0a4；
（3）由题有g（x）﹣k＝0的三个实根为x1，x2，x3，
设x3+bx+（2﹣k）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），
展开得x3+bx+(2−k)=x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x−x1x2x3，
故x1+x2+x3＝0，
则x13+x23+x33=(k−2)−bx1+(k−2)−bx2+(k−2)−bx3
＝3k﹣6，
又k∈[0，1]，故3k﹣6∈[﹣6，﹣3]，
综上：当k∈[0，1]时，x13+x23+x33的最大值为﹣3．
题型1 复数的加、减运算及其几何意义
题型2 复数的乘法及乘方运算
题型3 复数的除法运算
题型4 复数的混合运算