高中数学北师大版 (2019)必修 第二册复数的几何意义优秀学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册复数的几何意义优秀学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
【解题方法点拨】
﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．
﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝（1+i）2，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．0B．iC．﹣1D．﹣i
【答案】C
【解答】解：由（1﹣i）z＝（1+i）2可得z=(1+i)21−i=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，
所以z=−1−i，
因此z虚部为﹣1．
故选：C．
2．若z（1+i）＝2，则z虚部是（ ）
A．﹣1B．1C．iD．﹣i
【答案】A
【解答】解：因为z（1+i）＝2，
所以z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2−2i1−i2=2−2i2=1﹣i，
所以z虚部是﹣1．
故选：A．
3．已知复数z＝﹣2+i，则（ ）
A．z的虚部为iB．|z|＝5
C．z=−2−iD．z＞z
【答案】C
【解答】解：由z＝﹣2+i，得z的虚部为1，故A错误；
|z|=(−2)2+12=5，故B错误；
由共轭复数的定义可知z=−2−i，故C正确；
由虚数不能比较大小可知，D错误．
故选：C．
4．复数z＝1+2i，则z1−i（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．32B．32iC．3D．3i
【答案】A
【解答】解：由题意，z1−i=1+2i1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+32i，虚部为32．
故选：A．
5．已知复数z=1+2i2i，则z的虚部为（ ）
A．1B．12C．−12iD．−12
【答案】D
【解答】解：复数z=1+2i2i=1−12i，其虚部为−12．
故选：D．
▉题型2 纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
6．复数z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0B．±3C．3D．0或3
【答案】A
【解答】解：由z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，
由纯虚数的定义可知，m2−9≠0m2−3m=0，所以m＝0．
故选：A．
7．若（x+3i）2是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数x＝（ ）
A．3B．±1C．﹣1D．±3
【答案】D
【解答】解：∵（x+3i）2＝x2+6xi﹣9为纯虚数，
∴x2−9=06x≠0，解得x＝±3．
故选：D．
8．已知复数z＝（1﹣i）（2+ai）（a∈R）为纯虚数，则a＝ ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：因为z＝（1﹣i）（2+ai）＝（2+a）+（a﹣2）i为纯虚数，所以2+a=0a−2≠0，解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
9．已知复数z＝1+i是关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，复数z1＝a+bi．
（1）求|z1|；
（2）若复数z2＝z1+（m﹣1）+（m﹣2）i（m∈R）为纯虚数，求z2z．
【答案】（1）22；（2）32+32i．
【解答】解：（1）由题知（1+i）2+a（1+i）+b＝0，
整理得 （a+b）+（a+2）i＝0，则a+b=0a+2=0，解得a=−2b=2，
所以z1＝﹣2+2i，
|z1|=(−2)2+22=22．
（2）由（1）知，z2＝z1+（m﹣1）+（m﹣2）i＝（m﹣3）+mi，
因为复数z2为纯虚数，所以m−3=0m≠0，解得m＝3，所以z2＝3i，
所以z2z=3i1+i=3i(1−i)(1+i)(1−i)=3+3i2=32+32i．
▉题型3 复数的相等
【知识点的认识】
复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．
【解题方法点拨】
﹣比较分量：通过比较两个复数的实部和虚部，判断它们是否相等．
﹣应用：在复数方程中使用复数相等的条件求解未知数．
10．已知复数z满足（i+3）z＝2，则z＝（ ）
A．35−15iB．−35−15iC．35+15iD．−35+15i
【答案】A
【解答】解：复数z满足（i+3）z＝2，
则z=23+i=2(3−i)(3−i)(3+i)=35−15i．
故选：A．
11．已知i为虚数单位，2+ni1−mi=−i(m，n∈R)，则mn=（ ）
A．12B．−12C．2D．﹣2
【答案】C
【解答】解：由2+ni1−mi=−i，得2+ni＝﹣i﹣m，
则﹣m＝2，n＝﹣1，即m＝﹣2，n＝﹣1．
∴mn=2．
故选：C．
12．已知复数z1＝m+（4﹣m2）i（m∈R），z2＝2csθ+（λ+3sinθ）i（λ，θ∈R），并且z1＝z2，则λ的取值范围为（ ）
A．﹣7≤λ≤916B．916≤λ≤7C．﹣1≤λ＜1D．−916≤λ≤7
【答案】D
【解答】解：由z1＝z2，得m=2csθ4−m2=λ+3sinθ，
消去m得λ＝4sin2θ﹣3sinθ＝4（sinθ−38）2−916，
因为﹣1≤sinθ≤1，
结合二次函数的性质得，−916≤λ≤7．
故选：D．
▉题型4 复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
13．复数z=(1−2i)(3+i)5在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解答】解：由z=(1−2i)(3+i)5=5−5i5=1−i，
得复数z在复平面内对应的点的坐标为 （1，﹣1），在第四象限．
故选：D．
14．已知i是虚数单位，在复平面内，复数z＝i•（3+i），则z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解答】解：z＝i•（3+i）＝﹣1+3i，在复平面内，复数z对应的点是（﹣1，3），在第二象限．
故选：B．
15．当23＜m＜1时，复数Z＝m（3+i）﹣（2﹣i）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解答】解：由z＝m（3+i）﹣（2﹣i）＝（3m﹣2）+（m+1）i
又23＜m＜1，则3m−2＞0m+1＞0，
所以复数z在复平面内对应的点为（3m﹣2，m+1），位于第一象限，
故选：A．
16．在复平面内，复数2﹣3i、﹣1+2i对应的向量分别是OA→、OB→，其中O是坐标原点，则向量AB→对应的复数为 ﹣3+5i ．
【答案】﹣3+5i．
【解答】解：由题意可知，OA→=(2，−3)，OB→=(−1，2)，
所以AB→=OB→−OA→=(−1，2)−(2，−3)=(−3，5)，则向量AB→对应的复数为﹣3+5i．
故答案为：﹣3+5i．
▉题型5 由复平面中的点确定复数
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣从点到复数：通过点的坐标（x，y），直接确定复数x+yi．
﹣几何解释：理解复数的几何意义并应用于实际问题中．
（多选）17．在复平面内，OZ1→，OZ2→对应的复数分别为z1=12+32i，z2＝csθ+isinθ，且OZ1→⊥OZ2→，则z2可能是（ ）
A．−32+12iB．32+12iC．32−12iD．−32−12i
【答案】AC
【解答】解：因为z1=12+32i，z2＝csθ+isinθ，且OZ1→⊥OZ2→，
所以(12，32)⋅(csθ，sinθ)=0，即12csθ+32sinθ＝0，即csθ=−3sinθ，
又因为sin2θ+cs2θ＝1，所以sinθ=12且csθ=−32或sinθ=−12且csθ=32，
所以z2=−32+12i或z2=32−12i．
故选：AC．
▉题型6 共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
|Z|=|Z|；|Z1+Z2|=Z1+Z2；|Z1−Z2|=Z1−Z2；ZZ=|Z|2
18．已知复数z=51−2i，则z=（ ）
A．2+iB．﹣2+iC．﹣2﹣iD．1﹣2i
【答案】D
【解答】解：复数z=51−2i=5(1+2i)(1−2i)(1+2i)=1+2i，则z=1−2i．
故选：D．
19．若复数z=3−i1+i，则复数z的共轭复数z=（ ）
A．1+2iB．﹣1+2iC．﹣1﹣2iD．1﹣2i
【答案】A
【解答】解：复数z=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1﹣2i，
故z=1+2i．
故选：A．
20．已知复数z满足i4z=12−32i（i为虚数单位，z是z的共轭复数），则下列说法正确的是（ ）
A．z=12+32iB．|z|=2C．z=−12−32iD．|z|=104
【答案】A
【解答】解：因为i4＝1，
所以由i4z=12−32i，得z=12−32i，
可得z=12+32i，故A正确，C错误；
|z|=14+94=102，故BD错误．
故选：A．
21．已知复数z满足z+3z=4+2i，则z的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
【答案】B
【解答】设z＝a+bi，a，b∈R，
z+3z=4+2i，
则a+bi+3（a﹣bi）＝4a﹣2bi，即4a﹣2bi＝4+2i，即4a=4−2b=2，解得a=1b=−1，
故z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．
故选：B．
▉题型7 复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=a2+b2．
22．已知z＝1﹣3i，则|z+1i|=（ ）
A．2B．3C．13D．17
【答案】C
【解答】解：∵z＝1﹣3i，
∴|z+1i|=|1+3i+1i|=|2+3i||i|=4+9=13．
故选：C．
23．已知复数z＝4+2i，则|z|＝（ ）
A．22B．25C．5D．20
【答案】B
【解答】解：由z＝4+2i，得|z|=42+22=16+4=25．
故选：B．
24．若复数z满足|z+i|+|z﹣i|＝2，那么|z﹣1|的最大值是（ ）
A．1B．2C．2D．5
【答案】B
【解答】解：由复数z满足|z+i|+|z﹣i|＝2，
可知复数z在复平面内对应点的轨迹为以A（0，﹣1）、B（0，1）为两端点的线段，
而|z﹣1|的几何意义为线段上的点到点（1，0）的距离，
则|z﹣1|的最大值是2．
故选：B．题型1 复数的实部与虚部
题型2 纯虚数
题型3 复数的相等
题型4 复数对应复平面中的点
题型5 由复平面中的点确定复数
题型6 共轭复数
题型7 复数的模