高中北师大版 (2019)从速度的倍数到向量的数乘精品学案设计

这是一份高中北师大版 (2019)从速度的倍数到向量的数乘精品学案设计，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
1．已知向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴AB→与AC→共线，
∴存在实数k，使AB→=kAC→，即λa→+b→=k(a→+μb→)，
又向量a→，b→不共线，∴λ=k1=μk⇒λμ=1，
由λ＞0，μ＞0，∴λ+4μ≥24λμ=4，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
2．已知e1→，e2→是两个不共线的向量，且向量xe1→+3e2→，e1→+ye2→同向，则x+2y的最小值为（ ）
A．12B．6C．26D．6
【答案】C
【解答】解：由向量xe1→+3e2→，e1→+ye2→同向，e1→，e2→是两个不共线的向量，
得x1=3y，且x＞0，y＞0，则xy＝3，
因此x+2y≥22xy=26，当且仅当x=6，y=62时取等号，
所以x+2y的最小值为26．
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．向量AB→与向量BA→的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为|AB→|=|BA→|，所以向量AB→与向量BA→的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当b→=0→时，a→与c→可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
4．已知平面向量a→=（1，2），b→=（2x，x﹣1），且a→∥（b→−a→），则x＝（ ）
A．−13B．13C．53D．3
【答案】A
【解答】解：a→=(1，2)，b→−a→=(2x−1，x−3)，
由a→∥(b→−a→)，得2（2x﹣1）＝x﹣3，所以x=−13．
故选：A．
5．设a→，b→是两个不共线的向量，若向量ka→−b→与−2a→+kb→的方向相同，则k＝（ ）
A．2B．−2C．2D．﹣2
【答案】B
【解答】解：由题意知ka→−b→=λ(−2a→+kb→)，λ＞0，即k=−2λ−1=kλλ＞0，解得λ=22，k=−2．
故选：B．
6．设a→，b→为两个非零向量，则“a→|a→|=b→|b→|”是“a→∥b→”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由a→|a→|=b→|b→|，可得a→=|a→||b→|b→，
因为|a→||b→|为常数，所以由向量共线定理可得a→∥b→，
所以由“a→|a→|=b→|b→|”可以推出“a→∥b→”，
当a→∥b→时，由向量共线定理可得a→=λb→，
此时λ=|a→||b→|或λ=−|a→||b→|，
所以由“a→∥b→”推不出“a→|a→|=b→|b→|”，
所以“a→|a→|=b→|b→|”是“a→∥b→”充分不必要条件．
故选：A．
（多选）7．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若a→，b→是共线的单位向量，则a→=b→
B．若a→=b→，则|a→|=|b→|
C．若a→≠b→，则a→，b→不是共线向量
D．若a→∥b→，则一定存在实数λ，使得a→=λb→
【答案】ACD
【解答】解：若a→，b→是共线的单位向量，则a→=b→或a→=−b→，故A错误；
两向量相等，即大小相等，方向相同，故B正确；
若a→≠b→，a→，b→的长度可能不等，但方向相同或相反，
此时a→，b→共线，故C错误；
若a→∥b→，如a→≠0且b→=0时，
则不存在实数λ，使得a→=λb→成立，故D错误．
故选：ACD．
（多选）8．已知向量a→=(1，−2)，|b→|=4|a→|，a→∥b→，则b→可能是（ ）
A．（4，﹣8）B．（2，﹣4）C．（﹣4，﹣8）D．（﹣4，8）
【答案】AD
【解答】解：向量a→=(1，−2)，|b→|=4|a→|，a→∥b→，
∵a→∥b→，∴设b→=λa→(λ∈R)，∴b→=(λ，−2λ)．
∵|b→|=4|a→|，∴λ2+（﹣2λ）2＝5λ2＝16×[12+（﹣2）2]＝80，即λ2＝16，解得λ＝±4．
∴b→=(4，−8)或b→=(−4，8)．
故选：AD．
（多选）9．下列说法不正确的是（ ）
A．若a→≠0→，b→≠0→，a→∥b→，则a→与b→的方向相同或者相反
B．若a→，b→为非零向量，且a→|a→|=b→|b→|，则a→与b→共线
C．若a→∥b→，则存在唯一的实数λ使得a→=λb→
D．若e1→，e2→是两个单位向量，且|e1→−e2→|=1，则|e1→+e2→|=2
【答案】CD
【解答】解：对于A，若a→≠0→，b→≠0→，a→∥b→，则a→与b→的方向相同或相反，选项A正确；
对于B，由a→，b→为非零向量，a→|a→|表示与a→方向相同的单位向量，b→|b→|表示与b→方向相同的单位向量，且a→|a→|=b→|b→|，所以a→与b→共线，选项B正确；
对于C，当b→=0→，且a→为非零向量时，此时λ不存在，选项C错误；
对于D，由|e1→−e2→|=1，得e1→2−2e1→•e2→+e→22=1，即1+1−2e1→⋅e2→=1，解得2e1→⋅e2→=1，
所以|e1→+e2→|=(e1→+e2→)2=1+1+2e1→⋅e2→=3，选项D错误．
故选：CD．
10．已知向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使AB→=kAC→，即λa→+b→=k(a→+μb→)，
又向量a→，b→不共线，所以λ=k1=μk⇒λμ=1，由λ＞0，μ＞0，所以λ+4μ≥24λμ=4，
当且仅当λ＝4μ＝2时，取等号，即λ+4μ的最小值为4．
故答案为：4．
11．设a→和b→是两个不共线的向量，若AB→=ma→+2b→，CB→=a→+b→，CD→=2a→−b→，且A，B，D三点共线，则实数m的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：因为A，B，D三点共线，所以AB→∥BD→，
又BD→=CD→−CB→=a→−2b→，
所以存在实数λ使得ma→+2b→=λ(a→−2b→)，
所以m=λ2=−2λ，
解得m＝λ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．已知向量a→=(x，1)，b→=(4，x)，当x＝ ﹣2 时，a→与b→方向相反．
【答案】﹣2．
【解答】解：当a→∥b→时，x2﹣1×4＝0，解出x＝2或x＝﹣2，
当x＝2时，a→=(2，1)，b→=(4，2)，此时b→=2a→，a→与b→方向相同，不满足条件；
当x＝﹣2时，a→=(−2，1)，b→=(4，−2)，此时b→=−2a→，a→与b→方向相反，满足条件．
故答案为：﹣2．
13．设A，B，C，D为平面内的四点，A（﹣2，0），B（0，4），C（2，﹣3）．
（1）若AB→=2CD→，求点D坐标；
（2）设向量a→=AB→，b→=BC→，若(a→+2b→)与(ka→−b→)平行，求实数k的值．
【答案】（1）（3，﹣1）；
（2）−12．
【解答】解：（1）因为A（﹣2，0），B（0，4），C（2，﹣3），设D（x，y），
所以AB→=(2，4)，CD→=(x−2，y+3)，
因为AB→=2CD→，所以2=2(x−2)4=2(y+3)，解得x=3y=−1，
所以点D坐标为（3，﹣1）；
（2）由题意，a→=AB→=(2，4)，b→=BC→=(2，−7)，
所以a→+2b→=(6，−10)，ka→−b→=(2k−2，4k+7)，
因为(a→+2b→)与(ka→−b→)平行，
所以（4k+7）×6＝（﹣10）×（2k﹣2），解得k=−12．
▉题型2 平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量a→的积是一个向量，记作λa→，它的大小为|λa→|＝|λ||a→|，其方向与λ的正负有关．若|λa→|≠0，当λ＞0时，λa→的方向与a→的方向相同，当λ＜0时，λa→的方向与a→的方向相反．
当λ＝0时，λa→与a→平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有a→∥b→⇔a→=λb→
（2）向量数乘运算的法则
①1a→=a→；（﹣1）a→=a→；
②（λμ）a→=λ（μ）a→=μ（λa→）；
③（λ+μ）a→=λa→+μa→；
④λ（a→+b→）＝λa→+λb→．
一般地，λa→+μb→叫做a→，b→的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果l→=λa→+μb→，则称l→可以用a→，b→线性表示．
14．△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且AH→=xAB→+yAC→，则x2+y2的最小值是（ ）
A．15B．12C．1D．2
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，D是AC的中点，则AC→=2AD→，
∴AH→=xAB→+yAC→=xAB→+2yAD→，
∵B，H，D三点共线，∴x+2y＝1（x＞0，y＞0），
∴x2+y2=(1−2y)2+y2=5y2−4y+1=5(y−25)2+15≥15，故x2+y2的最小值为15．
故选：A．
15．已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则BE→=（ ）
A．AD→−12AB→B．AD→+12AB→C．AB→+12AD→D．AB→−12AD→
【答案】A
【解答】解：利用已知条件：则BE→=BC→+CE→=BC→+12CD→=AD→−12AB→．
故选：A．
16．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具．如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中AB⊥BC，AC⊥AD，AB＝BC＝2，AD＝AC，若BD→=xAC→+yAD→，则xy＝（ ）
A．34B．−34C．32D．−32
【答案】B
【解答】解：以B为坐标原点，BC→，BA→的方向分别为x，y轴的正方向，
建立如图所示的直角坐标系．
所以（2，4）＝（2x+2y，﹣2x+2y），
则作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
AB＝BC＝2，AD＝AC，
则A（0，2），B（0，0），C（2，0），D（2，4），
则BD→=(2，4)，AC→=（2，﹣2），AD→=(2，2)．
因为BD→=xAC→+yAD→，
所以2x+2y=2−2x+2y=4，解得x=−12y=32，
故xy=−12×32=−34．
故选：B．
17．在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又CM→=tCP→，则t＝（ ）
A．12B．23C．34D．−12
【答案】C
【解答】解：因为C、M、P三点共线，点Q是BC中点，
所以CM→=λCA→+（1﹣λ）CQ→=λCA→+12（1﹣λ）CB→，
又因为P是AB上靠近点A三等分点，
所以CP→=CA→+13AB→=CA→+13(CB→−CA→)=23CA→+13CB→，
因为CM→=tCP→，
所以λCA→+12（1﹣λ）CB→=2t3CA→+13CB→，
所以λ=2t312(1−λ)=t3，解得λ=12t=34．
故选：C．
18．已知D为△ABC所在平面内一点，且AD→=13AB→+14AC→，若S表示面积，则S△BCDS△ABC=（ ）
A．512B．14C．13D．23
【答案】A
【解答】解：如图，过D作DM∥AC，DN∥AB，
则四边形AMDN为平行四边形，
作DG⊥AB，DH⊥AC，
因AD→=13AB→+14AC→，则AM→=13AB→，AN→=14AC→，
设S＝S△ABC，
则S△ADC=12×|AC|×|DH|=13S，
S△ADB=12×|AB|×|DG|=14S，
S△BCD=S△ABC−S△ABD−S△ACD=512S，
则S△BCDS△ABC=512．
故选：A．
19．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AO→=m2AM→+n2AN→，m＞0，n＞0，则2m+8n的最小值为（ ）
A．2B．8C．9D．18
【答案】C
【解答】解：由于AO→=m2AM→+n2AN→，m＞0，n＞0，
所以m2+n2=1，
所以(m2+n2)(2m+8n)=1+4+4mn+nm≥1+4+4＝9（n＝2m），
故选：C．
（多选）20．△ABC中，D为AB上一点且满足AD→=2DB→．若P为线段CD上一点，且AP→=λAB→+μAC→(λ，μ为正实数），则下列结论正确的是（ ）
A．CD→=13CA→+23CB→
B．3λ+2μ＝2
C．λμ的最大值为112
D．12λ+13μ的最小值为2512
【答案】ABD
【解答】解：CD→=CB→+BD→=CB→+13BA→=13CA→+23CB→，故A正确；
由AD→=2DB→，可得AB→=32AD→，
又AP→=λAB→+μAC→=3λ2AD→+μAC→，D，P，C三点共线，
则3λ2+μ=1，即3λ+2μ＝2，故B正确；
由λ，μ为正实数，3λ+2μ=2≥26λμ，得λμ≤16，当且仅当3λ＝2μ时等号成立，故C错误；
12λ+13μ=12(12λ+13μ)(3λ+2μ)=12(32+μλ+λμ+23)≥2512，当且仅当λ＝μ时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
21．如图，在△ABC中，已知BD→=12DC→，AE→=2EC→，P是线段AD与BE的交点，若AP→=mAB→+nAC→，则m+n的值为 67 ．
【答案】67．
【解答】解：在△ABC中，已知BD→=12DC→，AE→=2EC→，P是线段AD与BE的交点，
设AP→=λAD→(0＜λ＜1)，由BD→=12DC→得BD→=13BC→，
故AP→=λAD→=λ(AB→+BD→)=λ(AB→+13BC→)=λAB→+λ3(AC→−AB→)
=2λ3AB→+λ3AC→，
由AE→=2EC→得AE→=23AC→，
故AP→=2λ3AB→+λ2AE→，
由于B，P，E三点共线，故2λ3+λ2=1，则λ=67，
又AP→=mAB→+nAC→，故m=2λ3，n=λ3，
所以m+n=2λ3+λ3=67．
故答案为：67．
22．在△ABC中，D为AC上的一点，满足AD→=12DC→．若P为BD上的一点，满足AP→=λAB→+μAC→（λ＞0，μ＞0），则λ与μ的关系为 λ+3μ＝1 ．
【答案】λ+3μ＝1．
【解答】解：在△ABC中，D为AC上的一点，满足AD→=12DC→，所以AC→=3AD→，
若P为BD上的一点，满足AP→=λAB→+μAC→（λ＞0，μ＞0），
所以AP→=λAB→+μAC→=λAB→+3μAD→，
因为B，P，D三点共线，
所以λ+3μ＝1．
故答案为：λ+3μ＝1．
23．如图，在△ABC中，AE→=EB→，CD→=2DB→，点O为AD和CE的交点，设BA→=a→，BC→=b→．
（1）若BO→=xa→+yb→，求x，y的值；
（2）若F在AC上，OF⊥AC，且|a→|＝2|b→|＝10，求|CF→||CA→|的取值范围．
【答案】（1）x=25，y=15；（2）（0，815）．
【解答】解：（1）在△ABC中，AE→=ED→，CD→=2DB→，点O为AD和CE的交点，且BA→=a→，BC→=b→，设EO→=λEC→，AO→=μAD→，
根据向量的减法法则得，BO→−BE→=EO→=λEC→=λ（BC→−BE→），
BO→−BA→=AO→=μAD→=μ（BD→−BA→），
所以BO→=1−λ2BA→+λBC→，BO→=（1﹣μ）BA→+13μBC→；
由平面向量基本定理得1−λ2=1−μλ=13μ，解得λ=15μ=35，
又因为BO→=xa→+yb→，所以x=1−152=25，y=15；（2）因为F在AC上，OF⊥AC，且|a→|＝2|b→|＝10，
由（1）知，EO→=15EC→，
根据向量的减法法则得，OC→=45EC→=45（BC→−BE→）=45（BC→−12BA→）
=45BC→−25BA→=45b→−25a→；
因为C、F、A三点共线，所以设CF→=kCA→，a→与b→的夹角为θ，其中θ∈（0，π），
根据向量的加法和减法法则得：OF→=OC→+CF→=OC→+kCA→=OC→+k（BA→−BC→）
=45b→−25a→+k（a→−b→）＝（k−25）a→+（45−k）b→，
根据向量减法法则得：AC→=BC→−BA→=b→−a→，
因为OF⊥AC，根据平面向量数量积运算得：
OF→•AC→=[（k−25）a→+（45−k）b→]•（b→−a→）＝0，
即（25−k）a→2+（45−k）b→2+（2k−65）a→•b→=0，
根据平面向量数量积公式得：100（25−k）+25（45−k）+50（2k−65）csθ＝0，
所以csθ=25k−1220k−12，
因为两向量夹角θ∈（0，π），所以csθ∈（﹣1，1），
所以﹣1＜25k−1220k−12＜1，解得0＜k＜815，
所以|CF||CA|的取值范围是（0，815）．
题型1 平面向量的平行向量
题型2 平面向量的数乘与线性运算