北师大版 (2019)必修 第二册任意角优秀学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册任意角优秀学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 任意角的概念
【知识点的认识】
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
【解题方法点拨】
角的概念注意的问题
注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
1．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度．因此分为24个节气，则芒种为黄经（ ）
A．60度B．75度C．270度D．285度
【答案】B
【解答】解：春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经5×15°＝75°．
故选：B．
2．−256π是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【解答】解：−256π=−6π+11π6，
∴−256π是第四象限角．
故选：D．
3．经过5分钟，分针的转动角为（ ）
A．﹣60°B．﹣30°C．30°D．60°
【答案】B
【解答】解：由题意可得分针顺时针转过30°，
可得分针转动角为﹣30°．
故选：B．
4．小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）
A．−π3radB．−π6radC．π6radD．π3rad
【答案】B
【解答】解：由于时钟经过12小时转了﹣2π rad，
所以时钟经过1小时转了−π6 rad，
即需要将时钟的时针旋转−π6 rad．
故选：B．
5．终边在一三象限角平分线的角的集合为 {α|α＝kπ+π4，k∈z } ．
【答案】{α|α＝kπ+π4，k∈z }
【解答】解：设角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角为α，
当角的终边在第一象限的平分线上时，则α＝2kπ+π4，k∈z，
当角的终边在第三象限的平分线上时，则 α＝2kπ+5π4，k∈z，
综上，α＝2kπ+π4，k∈z 或α＝2kπ+5π4，k∈z，
即 α＝kπ+π4，k∈z，
故终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α＝kπ+π4，k∈z }．
故答案为：{α|α＝kπ+π4，k∈z }．
▉题型2 终边相同的角（角度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}
【解题方法点拨】
终边相同的角的应用
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和θ+360°k（其中k为整数）．
﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值．
6．下列各角中，与996°终边相同的角为（ ）
A．﹣84°B．﹣276°C．245°D．84°
【答案】A
【解答】解：对于A项，因996°﹣（﹣84°）＝1080°＝3×360°，故A项正确；
对于B项，因996°﹣（﹣276°）＝1272°不是360°的整倍数，故B项错误；
对于C项，因996°﹣245°＝751°不是360°的整倍数，故C项错误；
对于D项，因996°﹣84°＝912°不是360°的整倍数，故D项错误．
故选：A．
7．下列各角中，与2025°终边相同的角为（ ）
A．﹣135°B．﹣49°C．245°D．53°
【答案】A
【解答】解：由于2025°表示为：2025°＝6×360°﹣135°，
可得2025°与﹣135°的终边相同．
故选：A．
8．下列与999°角终边相同的角为（ ）
A．﹣91°B．91°C．﹣81°D．81°
【答案】C
【解答】解：999°＝﹣81°+3×360°，
所以与999°角终边相同的角为﹣81°．
故选：C．
9．下列各角中与420°角的终边相同的是（ ）
A．60°B．70°C．100°D．130°
【答案】A
【解答】解：与420°终边相同的角为α＝420°+k•360°，k∈Z，
取k＝﹣1，得α＝60°，
∴60°与420°终边相同．
故选：A．
10．﹣1650°的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解答】解：因为﹣1650°＝﹣5×360°+150°，
又因为150°为第二象限角，即﹣1650°的终边在第二象限．
故选：B．
11．下列各角中，与2025°角终边相同的是（ ）
A．225°B．﹣225°C．45°D．﹣45°
【答案】A
【解答】解：由于2025°表示为：2025°＝5×360°+225°，
所以与2025°角终边相同的是225°．
故选：A．
12．下列选项中，与角α＝﹣40°终边相同的角是（ ）
A．﹣400°B．﹣380°C．310°D．330°
【答案】A
【解答】解：与角α＝﹣40°终边相同的角的集合表示为{θ|θ＝﹣40°+k•360°，k∈Z}，
结合选项可知，当k＝﹣1时，θ＝﹣400°与角α＝﹣40°终边相同，A符合题意．
故选：A．
13．与2023°终边相同的角是（ ）
A．﹣487°B．﹣143°C．143°D．223°
【答案】D
【解答】解：∵2023°＝5×360°+223°，
∴与2023°终边相同的角是223°．
故选：D．
14．下列各角中，与2286°角终边相同的角是（ ）
A．36°B．126°C．216°D．﹣306°
【答案】B
【解答】解：因为2286°＝360°×6+126°，
所以2286°与126°的终边相同．
故选：B．
▉题型3 象限角、轴线角
【知识点的认识】
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．
【解题方法点拨】
（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
15．若θ＝2025°，则θ的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解答】解：因为2025°＝5×360°+225°，易知225°的终边在第三象限．
故选：C．
16．已知角α＝1345°，则角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解答】解：由题意可得α＝1345°＝360°×3+180°+85°，
则角α的终边在第三象限．
故选：C．
17．把−23π6表示成2kπ+θ（k∈Z）的形式，且使θ∈（0，2π），则θ的值为（ ）
A．5π6B．7π6C．π6D．11π6
【答案】C
【解答】解：因为−23π6=−4π+π6，π6∈(0，2π)，
所以θ的值为π6．
故选：C．
18．已知有如下命题：
①把5π4化成角度是225°；
②若扇形的面积为2cm2，扇形圆心角θ的弧度数是4，则扇形的周长为6cm；
③设α是第一象限的角，则α2所在的象限为第一象限；
④2rad角是第二象限角，
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解答】解：对于命题①，由题意可得5π4=54×180°=225°，故①正确；
对于命题②，设扇形的半径为R，弧长为L，由题有L=4R2=12×LR，解得R＝1，L＝4，
可得扇形的周长为C＝L+2R＝4+2＝6cm，故②正确；
对于命题③，取α＝390°＝360°+30°，
则可得α＝390°是第一象限的角，
但又由于α2=390°2=195°是第三象限角，故③错误；
对于命题④，由于π2＜2＜π，可得2rad角是第二象限角，故④正确．
故选：D．
19．下列说法中，正确的是（ ）
A．长为1的弧所对的圆心角是1弧度的角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．﹣830°是第二象限角
D．﹣124°与236°是终边相同的角
【答案】D
【解答】解：长为半径的弧所对的圆心角是1弧度的角，选项A错误；
120°是第二象限角，390°是第一象限角，390°＞120°，选项B错误；
﹣830°＝250°﹣3×360°所以﹣830°是第三象限角，选项C错误；
因为236°＝﹣124°+360°，所以﹣124°与236°是终边相同的角，选项D正确．
故选：D．
20．若π＜θ＜3π2，则点M（csθ，tanθ）位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【答案】B
【解答】解：由π＜θ＜3π2，得csθ＜0，tanθ＞0，
所以点M（csθ，tanθ）位于第二象限．
故选：B．
21．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是（ ）
A．（π6，π3）
B．（2π3，7π6）
C．[2π3，7π6]
D．[2kπ+2π3，2kπ+7π6]（k∈Z）
【答案】D
【解答】解：角α的终边落在如图所示的阴影部分内，
则角α在一个周期内的范围是[2π3，7π6]，
则角α的取值范围是[2kπ+2π3，2kπ+7π6]（k∈Z），
故选：D．
（多选）22．下列说法正确的是（ ）
A．若sinα•csα＞0，则α为第一象限角
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30°
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的集合是{α|α=π4+kπ，k∈Z}
D．在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为3π2cm2
【答案】BC
【解答】解：A．若sinα•csα＞0，则α为第一象限角或第三象限角，错误；
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30°，正确；
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的终边再直线y＝x上，故角的集合是{α|α=π4+kπ，k∈Z}，正确；
D．弧长l=π6×3=π2，扇形面积为12×π2×3=3π4，故错误；
故选：BC．
23．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围 {α|30°+k•180°≤α＜105°+k•180°，k∈Z} ．
【答案】{α|30°+k•180°≤α＜105°+k•180°，k∈Z}．
【解答】解：由题意，终边在30°角的终边所在直线上的角的集合S1＝{α|30°+k•180°，k∈Z}，
终边在105°角的终边所在直线上的角的集合S2＝{α|105°+k•180°，k∈Z}，
可得角α的取值范围为{α|30°+k•180°≤α＜105°+k•180°，k∈Z}．
故答案为：{α|30°+k•180°≤α＜105°+k•180°，k∈Z}．
题型1 任意角的概念
题型2 终边相同的角（角度制）
题型3 象限角、轴线角