北师大版 (2019)必修 第二册正切函数的定义优质学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册正切函数的定义优质学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 诱导公式
【知识点的认识】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
公式
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（π2+x）＝sin（π2−x）＝csx
②余弦函数：表达式为y＝csx；
有cs（π+x）＝cs（π﹣x）＝﹣csx，cs（﹣x）＝csx，cs（π2−x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（π2−x）＝ctx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝ctx；
ct（﹣x）＝﹣ctx，ct（π2−x）＝tanx，ct（π+x）＝ctx．
【解题方法点拨】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cs（α+2kπ）＝csα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα．
公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cs（π﹣α）＝﹣csα．
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα=sinαcsα化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cs θ）2＝1±2sin θcsθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cs2θ＝cs2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
1．已知sin(60°+α)=−14，则cs（30°﹣α）的值为（ ）
A．−14B．14C．−223D．223
【答案】A
【解答】解：cs(30°−α)=cs[90°−(60°+α)]=sin(60°+α)=−14．
故选：A．
2．已知cs（π﹣α）=−45，则sin（α+π2）＝（ ）
A．35B．45C．−35D．−45
【答案】B
【解答】解：∵cs（π﹣α）=−45，
∴csα=45，
∴sin（α+π2）＝csα=45．
故选：B．
3．已知α∈(π2，π)，若cs(π6−α)=−24，则sin(α+5π6)的值为（ ）
A．−24B．24C．−144D．144
【答案】C
【解答】解：设θ=π6−α，则csθ=−24，α=π6−θ，
则sin(α+5π6)=sin（π6−θ+5π6）＝sin（π﹣θ）＝sinθ，
∵α∈(π2，π)，∴θ∈（−5π6，−π3），
则sinθ=−1−(−24)2=−144，
故选：C．
4．已知α、β均为第二象限角，且cs(α−π2)=55，sinβ=1010．
（1）求csα的值；
（2）求tan（α+β）的值．
【答案】（1）−255；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）由诱导公式可知sinα=cs(α−π2)=55，
所以csα=−255；
（2）由第一问可知tanα=−12，同理tanβ=−13，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−1．
▉题型2 运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
5．sin4π3=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】A
【解答】解：∵sin4π3=sin（π+π3）＝﹣sinπ3=−32．
故选：A．
6．cs480°的值为 −12 ．
【答案】−12
【解答】解：∵cs480°＝cs（360°+120°）＝c0s120°=−12．
∴cs480°的值为−12．
故答案为：−12．
7．已知f(α)=sin(π−α)cs(2π−α)sin(3π2−α)cs(π+α)cs(7π2−α)．
（1）化简f（α）；
（2）若θ是第三象限角，且f(θ+π4)=35，求f(θ−π4)的值．
【答案】（1）f（α）＝﹣csα；
（2）45．
【解答】解：（1）f(α)=sinαcsα(−csα)(−csα)(−sinα)=−csα．
（2）因为f（α）＝﹣csα，f(θ+π4)=35，所以cs(θ+π4)=−35，
又因为θ是第三象限角，所以θ+π4为第三象限角，
所以sin(θ+π4)=−1−cs2(θ+π4)=−45，
故f(θ−π4)=−cs(θ−π4)=−cs(π4−θ)=−cs[π2−(θ+π4)]=−sin(θ+π4)=45．
8．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣1，2）．
（1）求sinα和tanα的值；
（2）若f(α)=sin(π2+α)tan(π+α)+2cs(π−α)sinα+cs(−α)，化简并求值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵OP=5，由三角函数的定义得sinα=255，tanα＝﹣2；
（2）∵f(α)=sin(π2+α)tan(π+α)+2cs(π−α)sinα+cs(−α)=csαsinαcsα−2csαsinα+csα=sinα−2csαsinα+csα，
∴f(α)=tanα−2tanα+1=−2−2−1=4．
9．已知点P（﹣12，5）为角θ终边上一点．
（1）求sinθ，csθ的值；
（2）求sin(π2+θ)+sin(−π−θ)cs(−θ)的值．
【答案】（1）513，−1213；
（2）712．
【解答】解：（1）由题意得r＝|OP|=(−12)2+52=13，
所以sinθ=yr=513，csθ=xr=−1213．
（2）根据诱导公式可得sin（π2+θ）＝csθ，
sin（﹣π﹣θ）＝﹣sin（π+θ）＝﹣（﹣sinθ）＝sinθ，cs（﹣θ）＝csθ，
所以sin(π2+θ)+sin(−π−θ)cs(−θ)=csθ+sinθcsθ=−1213+513−1213=712．
▉题型3 正切函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcs x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcs x+b（sin x±cs x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求解．
正切函数的值域
正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．
【解题方法点拨】
例：函数y=|csx|csx+tanx|tanx|的值域为 {﹣2，0，2} ．
解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，
当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，
当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，
可知函数的值域是{﹣2，0，2}，
故答案为：{﹣2，0，2}．
10．函数y＝tan（π4−x）的定义域是（ ）
A．{x|x≠π4}B．{x|x≠−π4}
C．{x|x≠kπ+π4，k∈Z}D．{x|x≠3π4+kπ，k∈Z}
【答案】D
【解答】解：函数y＝tan（π4−x）＝﹣tan（x−π4），
令x−π4≠π2+kπ，k∈Z，
解得x≠3π4+kπ，k∈Z，
∴函数y的定义域是{x|x≠3π4+kπ，k∈Z}．
故选：D．
11．函数y=tan(4x+π3)的定义域为 {x|x≠kπ4+π24，k∈Z} ．
【答案】{x|x≠kπ4+π24，k∈Z}．
【解答】解：对于函数y=tan(4x+π3)，
由4x+π3≠kπ+π2，k∈Z，即x≠kπ4+π24，k∈Z，
所以函数y=tan(4x+π3)的定义域为{x|x≠kπ4+π24，k∈Z}．
故答案为：{x|x≠kπ4+π24，k∈Z}．
12．函数y=3tan(x−π4)的定义域是 {x|x≠kπ+3π4，k∈ Z} ．
【答案】{x|x≠kπ+3π4，k∈ Z}．
【解答】解：令x−π4≠π2+kπ，k∈Z，
解得x≠kπ+3π4，k∈Z，
所以函数y＝3tan（x−π4）的定义域为{x|x≠kπ+3π4，k∈ Z}，
故答案为：{x|x≠kπ+3π4，k∈ Z}．
13．设函数f(x)=tan(x2−π3)．
（1）求函数f（x）的定义域、周期和单调区间；
（2）求不等式−1≤f(x)≤3的解集．
【答案】（1）f（x）的定义域是{x|x≠5π3+2kπ，k∈Z}，2π；
单调增区间是(−π3+2kπ，5π3+2kπ)（k∈Z）；
（2）解集是{x|π6+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z}．
【解答】解：（1）由x2−π3≠π2+kπ，
得x≠5π3+2kπ（k∈Z），
∴f（x）的定义域是{x|x≠5π3+2kπ，k∈Z}，
∵ω=12，∴最小正周期T=πω=π12=2π，
由−π2+kπ＜x2−π3＜π2+kπ（k∈Z），得−π3+2kπ＜x＜5π3+2kπ（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调增区间是(−π3+2kπ，5π3+2kπ)（k∈Z）．
综上，所以函数f（x）定义域是{x|x≠5π3+2kπ，k∈Z}，最小正周期2π，
单调增区间是(−π3+2kπ，5π3+2kπ)（k∈Z）．
（2）由−1≤tan(x2−π3)≤3，得−π4+kπ≤x2−π3≤π3+kπ（k∈Z）．
解得π6+2kπ≤x≤4π3+2kπ（k∈Z）．
∴不等式−1≤f(x)≤3的解集是{x|π6+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z}．
▉题型4 正切函数的单调性和周期性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
正切函数的周期性
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
14．已知函数f(x)=tan(ωx−π6)(ω＞0)，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（x）的最小正周期是2π，则ω＝2
B．当ω＝1时，f（x）的对称中心为(kπ+π6，0)(k∈Z)
C．当ω＝2时，f(−π12)＜f(2π5)
D．若f（x）在区间(π3，π)上单调递增，则0＜ω≤23
【答案】D
【解答】解：对于A选项：函数f(x)=tan(ωx−π6)(ω＞0)，由于f（x）的最小正周期是πω=2π，所以ω=12，故A错误；
对于B选项：当ω＝1时，令x−π6=kπ2，则x=kπ2+π6，k∈Z，所以f（x）的对称中心为(kπ2+π6，0)(k∈Z)，故B错误；
对于C选项；ω＝2时，f(−π12)=tan(−π3)，
f(2π5)=tan(4π5−π6)=tan19π30=tan(19π30−π)=tan(−11π30)，
−π2＜−11π30＜−π3＜0，y＝tanx在(−π2，0)上单调递增，所以tan(−11π30)＜tan(−π3)，即f(2π5)＜f(−π12)，故C错误；
对于D选项：若f（x）在区间(π3，π)上单调递增，则πω3−π6≥−π2+kππω−π6≤π2+kπ(k∈Z)，又因为ω＞0，所以0＜ω≤23，故D正确．
故选：D．
（多选）15．已知函数f（x）＝tan（csx），则（ ）
A．f（x）为偶函数
B．π为f（x）的一个周期
C．f（x）的最大值为tan1
D．f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）
【答案】ACD
【解答】解：对于A，f（x）＝tan（csx）的定义域为R，∵f（﹣x）＝tan[cs（﹣x）]＝tan（csx）＝f（x），∴f（x）为偶函数，选项A正确；
对于B，∵f（π+x）＝tan[cs（π+x）]＝tan（﹣csx）＝﹣tan（csx）＝﹣f（x），∴π不是f（x）的一个周期，选项B错误；
对于C，∵﹣1≤csx≤1，函数y＝tanx在[﹣1，1]上单调递增，∴f（x）的最大值为tan1，选项C正确；
对于D，∵函数y＝csx在[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）上单调递增，且函数y＝tanx在[﹣1，1]上单调递增，
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z），选项D正确．
故选：ACD．
（多选）16．已知函数f(x)=tan(x+π3)在(π3，m)上单调递增，则m可能的取值为（ ）
A．π2B．2π3C．7π6D．5π4
【答案】ABC
【解答】解：令kπ−π2＜x+π3＜kπ+π2(k∈Z)，解得x∈(kπ−56π，kπ+π6)(k∈Z)，
故f(x)=tan(x+π3)的单调递增区间为(kπ−56π，kπ+π6)(k∈Z)，
令k＝1得，一个单调递增区间为(π6，7π6)，
要想函数f(x)=tan(x+π3)在(π3，m)上单调递增，
故π3＜m≤7π6，所以π2，2π3，7π6满足要求，5π4不合要求．
故选：ABC．
17．函数f(x)=tan(π2x+π4)的单调递增区间为 (2k−32，2k+12)(k∈Z) ．
【答案】(2k−32，2k+12)(k∈Z)．
【解答】解：对于函数f(x)=tan(π2x+π4)，由kπ−π2＜ π2x+π4＜ kπ+π2(k∈Z)，
可得2k−32＜ x＜ 2k+12(k∈Z)，
所以，函数f（x）的单调递增区间为(2k−32，2k+12)(k∈Z)．
故答案为：(2k−32，2k+12)(k∈Z)．
18．已知函数f(x)=tan(x2−π3)．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【答案】（1）{x|x≠2kπ+5π3，k∈Z}；
（2）递增区间为(−π3+2kπ，5π3+2kπ)(k∈Z)，无递减区间．
【解答】解：（1）由题意函数f(x)=tan(x2−π3)，
令x2−π3≠kπ+π2(k∈Z)，
可得x≠2kπ+5π3(k∈Z)，
可得f（x）的定义域为{x|x≠2kπ+5π3，k∈Z}；
（2）令−π2+kπ＜x2−π3＜π2+kπ(k∈Z)，
解得：−π3+2kπ＜x＜5π3+2kπ(k∈Z)，
可得f（x）的递增区间为(−π3+2kπ，5π3+2kπ)(k∈Z)，无递减区间．
▉题型5 正切函数的奇偶性与对称性
【知识点的认识】
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
19．“函数y=tan(x2−φ)的图象关于点(π4，0)对称”是“φ=π8+kπ，k∈Z”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：函数y=tan(x2−φ)的图象关于点(π4，0)对称，则π42−φ=kπ2，k∈Z，
可得φ=π8+kπ2，k∈Z，
所以{φ|φ=π8+kπ，k∈Z}⫋{φ|φ=π8+kπ2，k∈Z}，
所以“函数y=tan(x2−φ)的图象关于点(π4，0)对称”是“φ=π8+kπ，k∈Z”的必要不充分条件．
故选：B．
20．“x0＝π”是“函数y＝tanx的一个对称中心是（x0，0）”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，当x0＝π时，此时tanx0＝0，y＝tanx的图像关于（x0，0）中心对称，
当函数y＝tanx的图像关于（x0，0）中心对称时，x0=k2π，k∈Z，此时x0不一定为π，
所以“x0＝π”是“函数y＝tanx的图像关于（x0，0）中心对称”的充分不必要条件．
故选：A．
21．函数f(x)=tan(3x−π3)的图象的一个对称中心是（ ）
A．(−π9，0)B．(−π18，0)C．(2π9，0)D．(π3，0)
【答案】B
【解答】解：根据题意，f(x)=tan(3x−π3)，
令3x−π3=kπ2，解可得x=kπ6+π9，k∈Z，
即函数f(x)=tan(3x−π3)的图象的对称中心为（kπ6+π9，0），k∈Z，
分析选项：B符合．
故选：B．
22．函数f（x）＝3tan（4x+π12）的对称中心为 （kπ8−π48，0）（k∈Z） ．
【答案】（kπ8−π48，0）（k∈Z）．
【解答】解：f（x）＝3tan（4x+π12），
令4x+π12=kπ2，k∈Ζ，
解得x=kπ8−π48，k∈Ζ，
所以f(x)=3tan(4x+π12)的对称中心为（kπ8−π48，0）（k∈Z）．
故答案为：（kπ8−π48，0）（k∈Z）．题型1 诱导公式
题型2 运用诱导公式化简求值
题型3 正切函数的定义域和值域
题型4 正切函数的单调性和周期性
题型5 正切函数的奇偶性与对称性