北师大版 (2019)必修 第二册从位移的合成到向量的加减法优质学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册从位移的合成到向量的加减法优质学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 平面向量的加法
【知识点的认识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量 叫做a→与b→的和，记作a→+b→，即a→+b→=AB→+BC→=AC→
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD→=AB→+BC→=AC→，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是AB→与AD→的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①a→+0→=0→+a→=a→；a→+（−a→）=0→；
②a→+b→=b→+a→；
③（a→+b→）+c→=a→+（b→+c→）．
1．在边长为1的正六边形ABCDEF中，设AC→=a→，BD→=b→，则向量CE→=（ ）
A．b→−a→B．a→+3b→C．a→−b→D．12a→+32b→
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，AC→=a→，BD→=b→，
如图，在正六边形ABCDEF中，AE∥BD，且AE＝BD，
则BD→=AE→=b→，所以CE→=AE→−AC→=b→−a→．
故选：A．
2．若点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AB→=a→，BC→=b→，则向量CO→=（ ）
A．12a→+12b→B．−12a→−12b→C．12a→−12b→D．−12a→+12b→
【答案】B
【解答】解：点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AB→=a→，BC→=b→，
则AC→=a→+b→，CO→=−12AC→=−12a→−12b→．
故选：B．
3．AB→+AD→+BD→=（ ）
A．0→B．2AD→C．2AB→D．2BD→
【答案】B
【解答】解：根据平面向量的加法运算及数乘运算可知，
AB→+AD→+BD→=AB→+BD→+AD→=AD→+AD→=2AD→．
故选：B．
4．如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则AO→+OB→+AD→=（ ）
A．AC→B．AD→C．BD→D．0→
【答案】A
【解答】解：AO→+OB→+AD→=AB→+AD→=AB→+BC→=AC→．
故选：A．
5．AB→+AD→+BD→=（ ）
A．0→B．2AD→C．2AB→D．2BD→
【答案】B
【解答】解：由向量的加法运算法则可知，AB→+AD→+BD→=AB→+BD→+AD→=2AD→．
故选：B．
6．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB→|＝2，则|BC→+DC→|＝ 23 ．
【答案】23
【解答】解：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB→|＝2
∵|AD→+AB→|2＝|AD→|2+|AB→|2+2|AD→|•|AB→|cs∠DAB＝4+4+2×2×2×12=12，
∴|BC→+DC→|＝|AD→+AB→|＝23，
故答案为：23．
▉题型2 平面向量的减法
【知识点的认识】
向量的减法及其几何意义：
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→−b→=a→+（−b→）．
设a→=OA→，b→=OB→，则．即=OA→−OB→=OA→+(−OB→)=OA→+BO→=BO→+OA=BA→．即OA→−OB→=BA→
特征；有共同起点的两个向量a→、b→，其差a→−b→仍然是一个向量，叫做a→与b→的差向量，其起点是减向量b→的终点，终点是被减向量a→的终点．（减终指向被减终）
7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA→=λCE→+μDB→，则λ+μ的值为（ ）
A．65B．85C．2D．83
【答案】B
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB＝1，则D（0，0），C（2，0），A（0，2），
B（1，2），E（0，1）．
CA→=（﹣2，2），CE→=（﹣2，1），DB→=（1，2），
∵CA→=λCE→+μDB→，∴（﹣2，2）＝λ（﹣2，1）+μ（1，2），
∴−2λ+μ=−2λ+2μ=2，
解得λ=65，μ=25．
则λ+μ=85．
故选：B．
8．若从同一发射源射出的两个粒子α，β在某一时刻的位移分别为a→=(−1，3)，b→=(2，4)，则该时刻β相对于α的位移的坐标为 （3，1） ．
【答案】（3，1）．
【解答】解：a→=(−1，3)，b→=(2，4)，
则β相对于α的位移为b→−a→=(2，4)−(−1，3)=(3，1)．
故答案为：（3，1）．
▉题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量 叫做a→与b→的和，记作a→+b→，即a→+b→=AB→+BC→=AC→
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
9．若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（ ）
A．AD→=BC→B．DA→+DC→=DB→C．AB→−AD→=DB→D．AD→+BC→=0→
【答案】D
【解答】解：如图所示：
对于A，平行四边形ABCD对边平行且相等，所以AD→=BC→，故A正确；
对于B，利用向量加法的平行四边形法则得DA→+DC→=DB→，故B正确；
对于C，利用向量减法的三角形法则得AB→−AD→=DB→，故C正确；
对于D，∵AD→与BC→是相等的非零向量，∴AD→+BC→≠0，故D错误．
故选：D．
10．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记CA→=m→，CD→=n→，则CB→=（ ）
A．3m→−2n→B．﹣2m→+3n→C．3m→+2n→D．2m→+3n→
【答案】B
【解答】解：如图，
CD→=CA→+AD→=CA→+12DB→=CA→+12(CB→−CD→)=CA→+12CB→−12CD→，
∴12CB→=32CD→−CA→，即CB→=3CD→−2CA→=3n→−2m→．
故选：B．
11．P是△ABC所在平面上一点，满足|PB→−PC→|﹣|PB→+PC→−2PA→|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【解答】解：P是△ABC所在平面上一点，且|PB→−PC→|﹣|PB→+PC→−2PA→|＝0，
∴|CB→|﹣|（PB→−PA→）+（PC→−PA→）|＝0，
即|CB→|＝|AB→+AC→|，
∴|AB→−AC→|＝|AC→+AB→|，
两边平方并化简得AC→•AB→=0，
∴AC→⊥AB→，
∴∠A＝90°，
则△ABC是直角三角形．
故选：B．
▉题型4 平面向量的加减混合运算
【知识点的认识】
1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量 叫做a→与b→的和，记作a→+b→，即a→+b→=AB→+BC→=AC→
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD→=AB→+BC→=AC→，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是AB→与AD→的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①a→+0→=0→+a→=a→；a→+（−a→）=0→；
②a→+b→=b→+a→；
③（a→+b→）+c→=a→+（b→+c→）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→−b→=a→+（−b→）．
设a→=OA→，b→=OB→，则．即=OA→−OB→=OA→+(−OB→)=OA→+BO→=BO→+OA=BA→．即OA→−OB→=BA→
特征；有共同起点的两个向量a→、b→，其差a→−b→仍然是一个向量，叫做a→与b→的差向量，其起点是减向量b→的终点，终点是被减向量a→的终点．（减终指向被减终）
12．化简：AB→−(DC→−BC→)+DA→=（ ）
A．2AD→B．AD→C．0→D．2DA→
【答案】C
【解答】解：由向量的线性运算，AB→−(DC→−BC→)+DA→=AB→−DC→+BC→+DA→=AB→+BC→−(DC→−DA→)=AC→−AC→=0→．
故选：C．
13．化简AB→+BC→−AD→=（ ）
A．AD→B．DB→C．DC→D．AB→
【答案】C
【解答】解：根据向量的线性运算可知，AB→+BC→−AD→=AC→−AD→=DC→．
故选：C．
14．已知正六边形ABCDEF，则AC→+BD→−FD→=（ ）
A．BC→B．AE→C．BE→D．AC→
【答案】B
【解答】解：AC→+BD→−FD→=AC→+BF→=AC→+CE→=AE→．
故选：B．
15．(2a→−b→)−(2a→+b→)等于（ ）
A．a→−2b→B．−2b→C．0→D．b→−a→
【答案】B
【解答】解：根据向量的运算法则，可得(2a→−b→)−(2a→+b→)=2a→−b→−2a→−b→=−2b→．
故选：B．
16．MN→−MQ→+2NQ→=（ ）
A．MQ→B．QM→C．NQ→D．QN→
【答案】C
【解答】解：MN→−MQ→+2NQ→=QN→+2NQ→=NQ→．
故选：C．
17．如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足AM→=3MB→，N是AC上的点且满足AN→=NC→，CM与BN交于P点，且AP→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝（ ）
A．12B．23C．34D．45
【答案】D
【解答】解：设BP→=xBN→，CP→=yCM→，x∈R，y∈R，
由AP→=AB→+BP→=AB→+xBN→=AB→+12x(BC→+BA→)=AB→+12x(AC→−AB→−AB→)=(1−x)AB→+12xAC→，
又由AP→=AC→+CP→=AC→+yCM→=AC→+y(AM→−AC→)=(1−y)AC→+34yAB→，
所以1−x=34y12x=1−y，解得x=45，y=25，可得AP→=35AB→+15AC→，
因为AP→=λAB→+μAC→，所以λ=35，μ=15，所以λ+μ=35+15=45．
故选：D．
（多选）18．对于任意一个四边形，下列式子能化简为BC→的是 （ ）
A．BA→+AD→+DC→B．BD→+DA→+AC→C．AB→+BD→+DC→D．DC→+BA→+AD→
【答案】ABD
【解答】解：对于A，BA→+AD→+DC→=BD→+DC→=BC→，故A正确，
对于B，BD→+DA→+AC→=BA→+AC→=BC→，故B正确，
对于C，AB→+BD→+DC→=AD→+DC→=AC→，故C错误，
对于D，DC→+BA→+AD→=DC→+BD→=BD→+DC→=BC→，故D正确．
故选：ABD．
（多选）19．下列运算正确的是（ ）
A．(−3)⋅2a→=−6a→B．2(a→+b→)−(2b→−a→)=3a→
C．(a→+2b→)−(2b→+a→)=0D．2(3a→−b→)=6a→−2b→
【答案】ABD
【解答】解：由向量的数乘运算可知，(−3)⋅2a→=−6a→，故A正确．
由向量的数乘运算可知，2(a→+b→)−(2b→−a→)=2a→+2b→−2b→+a→=3a→，故B正确．
由向量的数乘运算可知，(a→+2b→)−(2b→+a→)=a→+2b→−2b→−a→=0→，故C错误．
由向量的数乘运算可知，2(3a→−b→)=6a→−2b→，故D正确．
故选：ABD．
（多选）20．下列四个等式中，正确的是（ ）
A．a→+b→=b→+a→B．﹣（−a→）=a→
C．AB→+BC→+CA→=0→D．a→+（−a→）=0→
【答案】ABCD
【解答】解：对于A，由向量的加法满足交换律得a→+b→=b→+a→，故A正确；
对于B，由向量的运算法则得﹣（−a→）=a→，故B正确；
对于C，由向量运算法则得AB→+BC→+CA→=0→，故C正确；
对于D，由向量运算法则得a→+(−a→)=0→，故D正确．
故选：ABCD．
21．AB→−AD→+BF→的化简结果为 DF→ ．
【答案】DF→．
【解答】解：因为AB→−AD→=DB→，
所以AB→−AD→+BF→=DB→+BF→=DF→．
故答案为：DF→．
22．AB→−NC→+NA→+BM→= CM→ ．
【答案】CM→．
【解答】解：AB→−NC→+NA→+BM→
=AB→+CN→+NA→+BM→
=CN→+NA→+AB→+BM→=CM→．
故答案为：CM→．
23．已知e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，AB→=2e1→+e2→，BE→=−e1→+λe2→，EC→=−2e1→+e2→，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）已知e1→=（2，1），e2→=（2，﹣2），点D（3，5），若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AE→=AB→+BE→=（2e1→+e2→）+（−e1→+λe2→）=e1→+（1+λ）e2→．
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得AE→=kEC→，
即e1→+（1+λ）e2→=k（﹣2e1→+e2→），
得（1+2k）e1→=（k﹣1﹣λ）e2→．
∵e1→，e2→是平面内两个不共线的非零向量，
∴1+2k=0λ=k−1，解得k=−12，λ=−32．
（2）BC→=BE→+EC→=−3e1→−12e2→
＝（﹣6，﹣3）+（﹣1，1）＝（﹣7，﹣2）．
∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
∴AD→=BC→．
设A（x，y），则AD→=（3﹣x，5﹣y），
∵BC→=（﹣7，﹣2），
∴3−x=−75−y=−2，解得x=10y=7，即点A的坐标为（10，7）．
24．化简下列各式：
（1）AB→+BC→+CD→+DA→；
（2）AB→+DF→+CD→+BC→+FA→；
（3）（AB→+MB→）+（BO→+BC→）+OM→．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AB→+BC→+CD→+DA→=(AB→+BC→)+CD→+DA→=AC→+CD→+DA→=AD→+DA→=0→；
（2）AB→+DF→+CD→+BC→+FA→=(AB→+BC→)+CD→+(DF→+FA→)=AC→+CD→+DA→=AD→+DA→=0→；
（3）(AB→+MB→)+(BO→+BC→)+OM→=AB→+MB→+BO→+BC→+OM→=AB→+BO→+OM→+MB→+BC→=AC→．
题型1 平面向量的加法
题型2 平面向量的减法
题型3 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
题型4 平面向量的加减混合运算