2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题5.3圆锥曲线离心率问题(培优热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题5.3圆锥曲线离心率问题(培优热点专练)(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了设双曲线等内容，欢迎下载使用。

题型01 利用a，b，c的齐次式求离心率
1．（2025·北京·二模）设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．2
2．（2025·江西九江·二模）已知点在椭圆上，点在圆上.若的最大值等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点为双曲线左支上一点，若△APF周长的最小值为6b，则双曲线的离心率为 .
4．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型02 利用对称性求离心率
1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足OM=OP+ON，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·河南信阳·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于A，B两点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
5．（2025·江西·二模）已知点 F为双曲线的左焦点，C上A，B两点关于原点O 对称(点A 在第一象限)，且 设△AFB 的面积为S，若则C的离心率为 .
题型03 构造中位线求离心率
1．（2025·河南郑州·模拟预测）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为 .
2．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ）
A．3B．C．2D．
3．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别是是坐标原点，是上一点，且，过作的平分线的垂线，垂足为M，则 ．
4．（2025·湖北黄冈·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且在第二象限，，点Q在的平分线上，满足且（O为坐标原点），则C的离心率为 .
5．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率 ．
题型04 利用余弦定理求离心率
1．（2025·湖南长沙·三模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·四川达州·模拟预测）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．4
题型05 利用正弦定理求离心率
1．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与椭圆切于点的切线方程为
D．若直线的斜率存在，则
2．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ．
3．（2025·安徽滁州·二模）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ．
题型06 由双曲线的渐近线性质求离心率
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（ ）
A．B．
C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为
2．（2025·山东德州·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
3．（2025·湖南·模拟预测）将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图解. 如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到. 现将双曲线C：绕原点O旋转适当的角度后，得到函数的图象. 则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A．B．C．2D．4
4．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·重庆·模拟预测）已知，是双曲线C：的焦点，过C上一点P作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，记，的面积分别为，，若的最小值为，则C的离心率为（ ）.
A．B．C．D．2
题型07与立体几何结合求离心率
1．（2025·福建·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（ ）

A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有
4．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型08 求离心率的范围
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知双曲线，若直线与没有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·四川成都·三模）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ．
（建议用时：30分钟）
1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为 ．
2．（2025·江西·二模）已知点 F为双曲线的左焦点，C上A，B两点关于原点O 对称(点A 在第一象限)，且 设△AFB 的面积为S，若则C的离心率为 .
3．（2025·广西南宁·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（ ）
A．5B．C．4D．
4．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，为椭圆C：（）的左、右焦点，点P在y轴上，点Q在C上，且，，则椭圆C的离心率为 .
7．（2025·安徽安庆·模拟预测）设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为 .
8．（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线的右焦点为，以（为坐标原点）为直径的圆与的渐近线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为 ．
9．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足OM=OP+ON，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·浙江金华·一模）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
近三年：
1、圆锥曲线的离心率是近3年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档及以上。 离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建关于离心率e的方程或不等式。
2、从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入圆锥曲线的几何性质之中。 命题常通过以下形式呈现：
几何条件转化型： 题目给出诸如“焦点三角形”、“渐近线夹角”、“直线与曲线位置关系”等几何条件，要求学生将其转化为关于 a,b,c 的等量关系，进而求解e。
方程思想型： 通过直线与圆锥曲线联立，结合韦达定理，利用弦长、向量垂直、面积等条件构建方程。
不等式求范围型： 题目条件隐含不等关系（如存在某交点、构成锐角三角形等），最终需求离心率的取值范围。
预测2026年：
离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识的交汇性和思想的灵活性。其考查可能更加侧重于：
与平面几何的结合： 深入挖掘焦点三角形、中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系。
与向量的结合： 利用向量共线、垂直的数量积条件作为建立方程的桥梁。
与函数、不等式的结合： 将离心率表示为某个变量的函数，从而利用函数单调性或基本不等式求范围。
探索创新情境： 在相对新颖的图形或条件设置下，考查学生转化与化归的核心能力。复习中必须强化数形结合思想，熟练运用定义、方程、不等式等主要工具。
解｜题｜策｜略
将题目中所有几何条件（长度、角度、垂直、平行、比例关系等）最终转化为一个只包含基础量 a,b,c 的方程。由于离心率 e=ca，且圆锥曲线中a,b,c 存在固有关系（椭圆：c2=a2−b2；双曲线：c2=a2+b2），目标就是将方程化为关于 e 的方程。
解｜题｜策｜略
充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性。当题目中出现的图形或条件具有对称性时（例如，平行四边形、关于原点对称的图形、等腰等边三角形等），通过对称性可以推断出关键点的坐标、线段相等或角度相等关系，从而快速建立关于 a, b, c 的方程。
解｜题｜策｜略
1、当题目条件中出现 “中点”（尤其是焦点弦中点、焦点与顶点连线的中点等）时，主动构造三角形的中位线。中位线具备“平行于底边且等于底边一半”的性质，这可以将椭圆/双曲线上的点与焦点、中心等关键元素联系起来，从而建立关于 a, c 的等量关系。
2、若遇到角分线时，可做角分线的垂线，这时的角分线也是中垂线，从而也可以构造中位线。
解｜题｜策｜略
在圆锥曲线中，大部分的小题都围绕着焦点三角形，而焦点三角形本质上也是三角形，所以这里可以把圆锥曲线的基本性质联立解三角形的方法来解决问题。
例如在给出的焦点三角形中，已知某些角度时，可以考虑使用余弦定理，通过建立三角形边角之间的关系，并结合圆锥曲线的定义，最终消去变量，得到关于离心率​ 的方程若。有两个三角形共边时，还可以多次使用余弦定理来解决。
解｜题｜策｜略
当焦点三角形中已知多个角的关系（特别是顶角θ和底角 α,β的关系）时，正弦定理法是最优选择。
解｜题｜策｜略
双曲线的渐近线有很多性质，本节仅展示部分渐近线的性质
1、过双曲线的焦点作渐近线的垂线，焦点、原点、垂点三点构成的直角三角形的三边分别为a,b,c
2、以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为P(a,b),通常以“渐近线上一点P，有PF1⊥PF2”形式出现。
解｜题｜策｜略
这种题目的背景来源于圆锥曲线本质，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到不同的截口曲线，统称为圆锥曲线。这例综合类型的题，要用到立体几何知识跟圆锥曲线的性质结合。目标在寻找圆锥曲线的长轴短轴所在的位置，根据立体几何知识求出长轴短轴，从而求出离心率。
解｜题｜策｜略
要求离心率的范围，就要从题目信息中建立关于离心率的不等式，常见的依据有：
1、焦半径的取值范围
2、圆锥曲线上的坐标的取值范围
3、焦点三角形的顶角的取值范围
4、与圆锥曲线有交点，联立得到的范围
等，根据以上这些条件，构建离心率的不等式从而得到离心率的范围。