2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点14椭圆性质及离心率(培优专项训练)(学生版+解析)

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考向01 定义与轨迹1：定义型
1．（25-26·广东广州·）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义判断即可.
【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义.
则，，又，所以，
所以点的轨迹方程为.
故选：B.
2．（25-26高二上·山东菏泽· ）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程.
【详解】设动圆圆心为，半径为，
圆，即的圆心，半径；
圆，即的圆心，半径，
而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切，
得，整理得，
因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆，
长半轴长，半焦距，短半轴长，
所以所求轨迹方程为.
故选：B
3．（25-26 江西模拟预测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程．
【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为，
则，，切点为，
∵，，∴O是AB中点，∴是梯形的中位线，
∴，又∵圆C的方程为，半径，
∴，∴，即，∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设该椭圆的方程为，则，，
∴，，，∴动点P的轨迹方程为.故选：D
4．（25-26高二上·江西·期中）动圆过点，且与圆内切，设P是动圆圆心的轨迹上一点，，则的最大值是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】设动圆的半径为，，，根据椭圆的定义得到点的轨迹是以，为焦点的椭圆，即可求出的轨迹方程，再判断再椭圆内部，结合椭圆的定义得到，即可得解.
【详解】因为，所以点在圆内，
又圆的半径为，圆心为，设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且长半轴长为，半焦距为，
所以短半轴长为，点轨迹方程为.
又，所以点在椭圆内部，又，
所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值是.故选：A
考向02 定义与轨迹2：相关点法求轨迹
5．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算用点的坐标表示出点的坐标，再利用给定线段长求出方程.
【详解】设点，由，得，
则，而线段长为3，即，因此，
所以动点的轨迹方程为.
故选：A
6．（25-26高三·全国·专题练习）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ）
A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
【答案】C
【分析】设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆.
【详解】设，则，所以.
因为，所以代入，得，即，
则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆.
故选：C.
7．（25-26高三·全国·专题练习）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，依题意得到，从而代曲线的方程求解．
【详解】解：设，依题意可知即
因为点在曲线上，所以，即，故选：A．
8．（2025高三·全国·专题练习）已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，，结合已知有，再由及向量共线的坐标表示有，联立即可得轨迹.
【详解】设，，由，可得①．
设，由于点在线段上，且，即，所以，可得，即，代入①式，可得，整理得.故选：A
考向03 定义与轨迹3：第三定义
9．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，得，设，结合，，得到，代入得到点的轨迹方程．
【详解】设，由已知得，，则，即，
所以，设，因为，，
所以，，所以，
所以，所以，因此，即，
所以点的轨迹方程为．故选：A.
10．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设的坐标为，根据两点斜率表达式得到方程，化简即可.
【详解】设的坐标为，则，
整理得，故点的轨迹方程为．
故选：D．
11．（25-26高二上·安徽·月考）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可.
【详解】设点，则，且，
可得，化简得，即，且.
故选：D.
12．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简.
【详解】设，则由已知得，
化简得.
故选：C．
考向04 焦点三角形1：余弦定理
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与交于，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据方程可得，结合椭圆定义可得，再利用余弦定理以及几何性质分析求解.
【详解】由椭圆方程可知：，即，
因为，且，可得，
在中，，
由椭圆性质可知：，即四边形为平行四边形，
所以.故选：A.
2．（2025·福建厦门·模拟预测）已知，分别为椭圆：的左、右顶点，为上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积求出的代数式，结合导数与单调性、最值求解即可.
【详解】椭圆左顶点，右顶点.
当与或重合时，不存在.
设（），则，即.
，.
.
，
.
所以.
令，则，所以.令，，
则.
当时，，，所以，所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，.故选：A.
3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，若，.则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、两点间距离公式进行求解即可.
【详解】，
因为，所以，
由椭圆的定义，，
，
因为，又因为斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，
所以点是椭圆的上顶点，且点在第三象限，设坐标为，
由余弦定理可知：，，
所以，因此椭圆的方程为，
因为点在该椭圆上，所以，因为，，所以，
，代入中，
得，解得，或舍去，把代入中，得，或舍去，
所以点的坐标为.故选：D
4．（2026·重庆·模拟预测）椭圆的离心率为，左，右焦点为为上一点，过点且斜率为的直线与仅有一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，应用点在椭圆上及切线斜率为，得出，再应用两点间距离公式及余弦定理计算求解.
【详解】设，因为为上一点，所以，
且过切线为，所以，且即，
得，代入椭圆方程得，
计算得，又因为，
所以
在中，
.故选：C.
考向05 焦点三角形2：焦半径
5．（25-26·辽宁沈阳·开学考试）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（ ）
A．24B．26C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义及中垂线的性质求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式列出方程，进而求出三角形周长.
【详解】因为椭圆离心率为，故，则，
又，故，
故为等边三角形，为的垂直平分线，
所以，，则的周长等于，
其中，则的周长为，
直线的斜率为，故直线的斜率为，
故直线为，联立，得，
又，故，设，则，
故，解得，
故，则的周长为.
6．（25-26高三·全国·专题练习）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】椭圆的左焦点为，求出椭圆的两个焦点的坐标，根据椭圆定义得，结合得，根据几何关系求出的范围，从而可得到一个不等式组，进行求解可得m的一个范围；再根据A在椭圆内可得m的另外一个范围；综合两个范围即可得到答案．
【详解】设椭圆的左焦点为，
因，则，则，则，，
由椭圆的定义可知，，∴，
∴，∴，∵，
∴，当三点共线时，等号成立，∵椭圆上存在一点，使得，
∴，解得，又∵点为椭圆内一点，∴，解得或，综上可得的取值范围为，故选：B．
7．（24-25高三·全国·课后作业）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ）
A．B．C．D．与弦的斜率有关
【答案】B
【分析】不妨设为椭圆的右焦点，，，证明，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，将式子化简整理可得．
【详解】令，设，，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得，则，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，整理得：，方程的判别式，所以，，设椭圆的离心率为，
则
同理，所以，
综上，.故选：B.
8．（2025·重庆·模拟预测）已知为圆上动点，过作轴的垂线，垂足为，为线段的中点，设动点的轨迹为， 若为轨迹上的任意一点，且，， 则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，先求得动点的轨迹为焦点在轴的椭圆，再根据椭圆的定义，可得，再结合三角不等式，可得，即可求解.
【详解】设，，过作轴的垂线，垂足为，则，
因为为圆上动点，为线段的中点，
所以，化简整理，可得动点的轨迹的方程为，
即动点的轨迹为焦点在轴，长轴，短轴，焦距的椭圆，
所以为椭圆的左焦点，点在椭圆内，如图所示，
设椭圆的右焦点为， 则，
由三角不等式，可得，即三点共线时，即运动到位置时，取得最大值，为， 又，，所以，
所以，即的最大值为.故选：C
考向06 焦点三角形3：焦点圆
9．（2025·凉山·模拟预测）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先连接 ，，设 ，利用椭圆的定义用 表示出 ，，，再运用勾股定理求出，并求出 的值，最后求得直线 的斜率即可.
【详解】连接 ，，
∵点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，∴，设∵，∴，∴，，
∴，在中，∵，
∴，解得，∴，在中，∴，
∵ P 在第一象限，直线 向下倾斜，∴直线的斜率为，故选：A.
10．（25-26高二上·湖南怀化·期末）设分别是椭圆C：的左、右焦点，圆与椭圆C在第一象限内的交点为，延长与椭圆C交于点，若，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆过点知，设，根据椭圆定义得，；在直角三角形中应用勾股定理可解得与的关系，再在直角三角形中利用勾股定理建立与的方程，从而求出离心率.
【详解】如图，连接，线段是圆O的直径，所以，
设，所以，在直角三角形中，，整理得，在直角三角形中，，
，得，即．故选：A.
11．（2025·山西·三模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，直线的斜率为，则椭圆的长轴长等于（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】C
【分析】根据直径所对圆周角为和椭圆焦点弦的性质，用椭圆参数表示出直线的斜率，求出结果.
【详解】由在以为直径的圆上，得．
设，则由直线的斜率为，得，所以，，
设，则有，．
又在椭圆上，有，得，．
又因为，解得，故椭圆的长轴长为6.
故选：C.
12．（23-24高二上·贵州毕节·期末）设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】分析题意，找到垂直关系，利用椭圆的定义表示边长，运用勾股定理消参，用倾斜角和斜率的关系得到答案即可.
【详解】
点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，
，设，在Rt中，，
，解得，在Rt中，所以直线的斜率为，故选：B.
考向07 焦点三角形4：椭圆与圆
13．（2025·河南南阳·模拟预测）圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如：椭圆C:可以被认为由圆作纵向压缩变换或由圆作横向拉伸变换得到的．依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为_________．
【答案】
【详解】试题分析：∵圆的面积公式是S=πa2或S=πb2，∴椭圆的面积公式是S=πab，
考点：类比推理．
14．（25-26高二上·广东·月考）画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其方程为.已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，则动点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为________（用含的式子表示）；若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据题意求出椭圆的蒙日圆方程，由原点到椭圆上任意一点的距离最大值为，即可求得椭圆上的点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值；当时，得椭圆的方程为，设，，由判断，与椭圆相切，可得直线的方程和直线的方程，同构得到直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出，结合即可求出的范围.
【详解】因为椭圆，其离心率，则，所以，
故该椭圆的蒙日圆方程为，其半径为，
由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为，原点到椭圆上任意一点的距离最大值为，
故椭圆上的点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为；.
若，则椭圆的方程为，即，蒙日圆方程为，
不妨设，因为其在蒙日圆上，所以，设，，
又，由蒙日圆的性质，，与椭圆相切，、分别为切点，
故直线的方程为，直线的方程为，将代入，的直线方程中可得，所以直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，
消去得，则有，，所以
.，，即，，故.故答案为：；.
15．（21-22高二上·四川绵阳·月考）如图，P为椭圆上的动点，过P作椭圆的切线交圆于M，N，过M，N作切线交于Q，则Q的轨迹方程为_______________；的最大值为_________________．
【答案】
【分析】先求出椭圆在点处的切线方程，再求出圆上过点M的切线方程，过点N的切线方程，从而得到直线的方程，对照系数后得到，利用代入法求出点Q的轨迹方程；
再利用基本不等式求出，利用三角形面积公式和向量的相关计算得到.
【详解】设点，椭圆在点处的切线方程为，则，且，
联立与得：，由，得：，①由得：，代入①中得：，
整理得：，②由可得：③，④，
将③④代入②中，，整理得：，即，
所以，所以椭圆在点处的切线方程为，
整理得：，即，设，，圆上过M的切线方程为，则，，联立与得：，由得：，⑤
由得：，将其代入⑤中，整理得：，
由得：，即，解得：，
所以圆上过M的切线方程为：，整理得：，
同理可得：圆过N的切线方程为，设，则，
所以点满足方程，故直线的方程为，
又因为直线的方程为，对照系数可得：，
由于，所以，所以Q的轨迹方程为；
由基本不等式得：，即，
当且仅当时，等号成立，
.故答案为：，.
【点睛】过椭圆上一点的切线方程或者过圆上一点的切线方程，要熟记公式且能推导出，在解题中经常用到，若再选择和填空题中遇到可直接使用，达到事半功倍的效果.
16．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知为坐标原点，椭圆，圆，圆，点，射线交圆，椭圆，圆分别于点，若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】由圆的性质，椭圆的性质结合题意画出图形，再点同时在椭圆与射线上，求出，最后令，利用导数分析取值范围即可；
【详解】由题意可得的半径为，的半径为，其位置关系如下：
由图可得，设，因为点同时在椭圆与射线上，所以，，解得，则，
若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，即，可得
所以，设，，则，设此式等于，
求导可得，因为，所以导数恒大于零，故在时为增函数，
所以取值范围为.故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用点同时在椭圆与射线上，求出，再设，由导数分析单调性进而求出取值范围.
考向08 离心率1：第一定义型
1．（25-26高三上·广东汕尾·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由数量积运算得，从而是直角三角形，然后由已知及勾股定理、椭圆的定义可求得离心率．
【详解】椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且满足，如图，
，由定义可知，
将代入到中，可得，
即，解得，那么．
线段的中垂线过原点，，又因为，
，那么是以为直角顶点的直角三角形．
在中，根据勾股定理可得，其中，
将代入，可得，即，化简可得，即．
椭圆的离心率，且，．故选：A．
2．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出和，再利用余弦定理列式求解.
【详解】令椭圆C：的右焦点为，设该椭圆半焦距为，
由A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，得四边形是平行四边形，
则，，由椭圆定义得，
由余弦定理得，整理得，
所以椭圆C的离心率为.故选：C
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆的定义求出，利用余弦定理及求解即可.
【详解】设，由于与等高，，所以， 又，，∴，又，∴，
在中，，∵，，
在中，，
化简可得，解得，故选：D
4．（25-26高二上·山东日照·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示.
由切线长定理可得，，.
则，
由可知，四边形为正方形，且其边长为.
由对称性可知，由椭圆定义可得①，
又因为，所以②，
联立①②可得，.由勾股定理可得，即，
整理可得，即，即，整理可得，因此，.
故选：A
考向09 离心率2：a、b、c齐次型
5．（2025·吉林·模拟预测）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围.
【详解】
设，因为，又点为半椭圆上一点，所以，所以
，因为存在，
所以，即在上有解，
因为，且，
所以在上有解，即在上有解，所以又因为， 所以，
即，解得，故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为在上有解，从而得到不等式组，解出即可
6．（2025·广东佛山·模拟预测）已知椭圆C：的左焦点为，O为坐标原点，右顶点为A，以A为圆心，为半径的圆与椭圆C交于M，N两点，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质和定义，结合余弦定理及两点间距离公式列方程组求出的关系，进而利用椭圆的离心率公式计算求解．
【详解】
椭圆C：，设椭圆的半焦距为，
左焦点，右顶点，以A为圆心，为半径的圆的半径，
在中，，由余弦定理得：，解得，
，，设点，由两点间距离公式得：
①，② ，③，
式①减去②得，解得，式③减去①得，
即，
即，化简整理得，
，化简整理得，解得（舍去）或，
，故A正确．故选：A．
7．（23-24高三全国专题练习）已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标法列得不等式，变形后求得离心率的取值.
【详解】设，则，，，
，
因为，所以，又，所以时，取得最大值，
恒成立，则，变形得，又，故解得.故选：D.
8．（25-26高三全国专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，所以可设焦点，利用向量的坐标关系，用表示出点、的坐标，利用，建立关于、、的方程，根据的关系，结合离心率公式，求解离心率.
【详解】椭圆焦点，其中，离心率，设在轴上，故，
由得：解得，即，
由，故，因在第四象限，，故，得，在椭圆上，代入，化简得：，
代入，整理得：，令，解二次方程得（舍去），故.故选：D.
考向10 离心率3：直角三角形
9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）椭圆（）的离心率，左右焦点分别为，，点在椭圆上，则满足以为斜边的直角三角形有（ ）个.
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】以为斜边的直角三角形的个数，可以转化为以为圆心，以为半径的圆与椭圆的交点个数，结合图形即可求解.
【详解】因为椭圆的离心率，即，设，则，，
以为斜边的直角三角形的个数，即为以为圆心，以为半径的圆与椭圆的交点个数，
因为，所以圆与椭圆有个交点，如图，所以以为斜边的直角三角形有个.
故选：B.
10．（23-24高三全国专题练习）如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．故选：B
11．（21-22高三浙江宁波模拟预测）是坐标原点，是椭圆：上一点且在第一象限，是椭圆的右焦点，延长，分别交于，两点，已知，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设左焦点，连接，，，设，根据对称性以及椭圆的定义求出、、、，根据对称性由，可得，在中由勾股定理可得，在中由勾股定理可得的关系，进而可得离心率.
【详解】设椭圆左焦点，连接，，，设，由对称性可得，
由椭圆的定义可得：，，，因为，，所以，
在中，由勾股定理可得，即，解得：，
在中，，，，
由，可得，即，
所以离心率，故选：D.
12．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意设，从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得关于的表示，进而得解.
【详解】因为，不妨设，则，
由椭圆的定义与对称性可得，，，
因为，所以，则，解得，
则，故，则在中，由，
得，解得，所以椭圆的离心率为.故选：C.
考向11 离心率4：双余弦定理型
13．（2024高三·全国·专题练习）已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算以及数量积运算律可得，连接并利用椭圆的定义求，再由余弦定理求，易知，建立方程求间的关系，进而可得椭圆的离心率
【详解】如下图所示：

因为为平行四边形的边的中点，所以
，
所以，所以．
连接，由椭圆的定义可知，；
设，则，故，在中，．
在中，．在平行四边形中，，所以， 所以，则，整理得，
所以椭圆的离心率为，故选：D．
【点睛】方法点睛：处理本题中向量数量积问题时还可以利用平面向量中的极化恒等式：或．其几何意义为向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”的平方差的．
14．（山东省淄博市淄博实验中学、淄博齐盛高级中学2024-2025学年高二上学期第一次模块考试数学试题）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定在上，设，由椭圆的定义用表示出，由余弦定理确定的关系，然后在中用余弦定理求得关系，得离心率．
【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，，
，设，则，，，
又，∴，中，由余弦定理得：，∴，化简得，
∴，，中，，由余弦定理得，解得，故选：B．
15．（2024高三·全国·专题练习）已知分别是椭圆的中心、右焦点和上顶点，直线与椭圆交于另一点．若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义与已知条件将与的各边用表示出来，再利用余弦定理建立等量关系，从而得到关于离心率的方程，解三次方程可以采用试根法．本题也可利用既是的一个内角，也是的一个内角，分别在这两个三角形中利用余弦定理建立关于离心率的方程，即可求得结果
【详解】设，则，设椭圆左焦点为，连接，，如图，则，
在中，，，由余弦定理的推论，得．在中，由余弦定理的推论，得
，因为，
所以，故，整理，得（可将四个选项中的数值依次代入，只有符合此方程），即，解得．故选：A．
16．（2026·山东东营·一模）点 P 在以为焦点的椭圆 上，若 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得各角的正弦值，根据正弦定理及比例的性质即可求得，即椭圆的离心率.
【详解】中，若 则，所以.
因为 ，所以；因为所以，
因为，所以.由，得.
所以.
由正弦定理，得，
设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率.
考向12 离心率5：双底角型
17．（21-22高二上·山西晋城·月考）设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，利用正弦定理，求得与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案.
【详解】设，在中，由正弦定理得，
可得，又由，所以，
所以.故选：B.
18．（25-26高三全国专题练习）设为椭圆（）上一点，，为焦点，如果，，那么椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意，为直角三角形，求出的表达式，再结合椭圆的定义，进而可求得和的关系，从而可求椭圆的离心率．
【详解】∵，，∴为直角三角形，，
∴，，∴，∴，
∴.
故选：D．
【点睛】本题考查椭圆的定义和椭圆的简单几何性质，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.
19．（25-26高三全国专题练习）已知椭圆（）的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】利用正弦定理，结合椭圆的定义以及焦半径的取值范围列出关于的不等式，进而可得结果.
【详解】由正弦定理得因为，
，即，又，故选：D.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，考查了正弦定理的应用，属于中档题.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.
20．（25-26高二上·河南许昌·期末）法国数学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【分析】注意到椭圆两条互相垂直的切线的交点为，据此可得椭圆的“蒙日圆”方程为：，然后讨论椭圆焦点位置结合题设可得答案.
【详解】对于椭圆，其两条互相垂直的切线的交点为，由题干信息，可得在椭圆“蒙日圆”上，又“蒙日圆”圆心在，则“蒙日圆”半径为，
即椭圆的“蒙日圆”方程为：.
对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得
，，，则“蒙日圆”方程为：；
对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得
，，，则“蒙日圆”方程为：.故选：C
考向13 离心率6：切线型
21．（25-26高三全国专题练习）两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于，可得，所以椭圆的离心率为；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.
【详解】法一：设内椭圆方程为，外椭圆为，
切线的方程为，联立消去可得：，因为直线为椭圆的切线，所以，化简可得：，设直线的方程为：，同理可得，因为两切线斜率之积等于，所以，所以椭圆的离心率为.
故选：B.
法二；设内层椭圆：，外层椭圆：.设切点，，，，
切线：，切线：，∴①，②，
又∵，即，即，即，
∴，同理，∴，∴，将，代入椭圆中得：，经分析得：，由①②可知，∴，∴，∴.故选：B.
22．（24-25高三全国专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点点处的切线为直线，过作直线的垂线，垂足在圆上，当时，，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，作出图形，结合椭圆的光学性质求出即可.
【详解】延长至，使，连接，
由直线是椭圆在点点处的切线，且，得三点共线，，
而为的中点，则，即，
令椭圆半焦距为，当时，设，则，解得，
，即，
所以椭圆的离心率.故选：B
23．（2025高三重庆模拟预测）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解.
【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：，则有①，
由极线的定义得直线的方程为，即，原点到直线的距离，化简得②，对比①②式得出，，则有，因为椭圆的离心率在内，所以，
所以，
当且仅当，即时取等，此时，所以的最大值为.故选：D.
24．（24-25高三上·福建福州·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率.
【详解】由椭圆定义可知，由，故，，
点满足，即，则，
又，，
即，又，
故，则，即，
即平分，又，故，
则，则，，
，由，
故，即，即，即，故.故选：B.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据已知条件得到线段之间的关系，继而利用余弦定理求出c，即可求解.
考向14 离心率7：焦点弦定比型
25．（25-26高三全国专题练习）已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与椭圆相交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，结合题目所给条件及椭圆定义可得，即可表示出、、、，再借助余弦定理及计算即可得解.
【详解】设，则，，则，
由椭圆定义可得，故，即有，，，则，则有，
整理得，即.故选：C.
26．（2025福建模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可求得，，，，因此分别为右顶点和左顶点，从而可求离心率.
【详解】因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，又，所以，，
，所以，所以椭圆的离心率为.故选：D.
27．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可得的坐标，再代入椭圆方程化简可得离心率.
【详解】由题意，，设则由，可得，
解得，即，
又在椭圆上，故，即，故，即离心率.故选：B
28．（25-26高三全国专题练习）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（ ）
A．B．8C．D．12
【答案】C
【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解.
【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，
因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形，
即为的中点，因为为的中点，所以OH为的中位线，
故，设，由椭圆定义知，，故，解得，
故在中，边上高为.故面积为.
故选：C
考向15 离心率8：内心型
29．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，，上有一点位于第一象限，线段交轴于点，若为的角平分线，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】法1，利用角平分线定理及三角形相似可得，，利用椭圆的定义求出，即可求离心率，
法2，设，，，利用面积关系列出方程求解.
【详解】如图，法1：由角平分线性质得①．
因为，，故，
可得②，
联立①②，，．
所以，椭圆离心率.
法2：设，，则．设，则，
由，可得．
，所以，，
故，所以为等腰直角三角形，所以，所以，
.故选：C
30．（2024高三全国专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是坐标原点，为的内心.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形内心的定义，结合等腰三角形和椭圆的对称性、椭圆的离心率公式进行求解即可.
【详解】因为上顶点为，
所以是等腰三角形，所以内心在纵轴上，如图所示：因为是的内心，
所以设，因为，所以，
所以在直角三角形中，，在直角三角形中，，
所以，或舍去，
所以
.故选：C
31．（2022·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
【详解】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，
故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，
在中，，解得：，所以椭圆离心率为.

故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.
32．（2026·山东日照·一模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________．
【答案】
【分析】先由焦点可得，，进而可得，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得离心率的值.
【详解】由焦点，得，，所以抛物线的方程为，准线为.又由，得，所以，设椭圆的左焦点为，有，故，则，可得离心率为.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年开学测评数学试卷）已知、分别为椭圆的左、右焦点，的焦距为，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知为钝角，则，利用平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】易知点、、，
所以，，所以，即为钝角，
又因为为等腰三角形，所以，即，解得.
2．（25-26广东模拟预测）与圆及圆都内切的动圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线的一支上C．抛物线上D．圆上
【答案】A
【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都内切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.
【详解】设所求圆的半径为，圆心为，
圆：的圆心，半径，
圆化为标准方程得，则圆心，半径，
因为，所以两圆内含，因为该动圆与两圆都内切，易知，
由题意可得，两式相加得，
所以圆心在椭圆上.故选：A.
3．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）设分别是椭圆的左右焦点，过椭圆上一点作切线交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的光学性质可得，求出，，结合椭圆的定义即可得解.
【详解】设切线交轴于点，
由椭圆的光学性质可得，
则，又，则在中，，，
由椭圆的定义得，即，解得，
所以该椭圆的离心率是.故选：A.
4．（25-26高三全国专题练习）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上点处的曲率半径公式为，若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆方程化简曲率半径表达式，根据单调性得到曲率半径最值对应的表达式，列方程组求解得，从而得到椭圆标准方程.
【详解】 已知点在椭圆上，故，
代入曲率半径公式中括号部分： ，
由于，系数，故是关于的减函数，且，因此与同增减.
当（短轴端点），取最大值，此时最大：
当（长轴端点），取最小值，此时最小：
已知，得方程组： a2b=92b2a=43 两式相乘得，即，
代入第一个方程得：，解得，即，进而得.
所以 ，故椭圆标准方程为.
5．（25-26·安徽六安·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作，垂足为，表示出，由，可得，即可表示出，再在中利用勾股定理得到、的关系，从而转化为离心率的方程，解得即可.
【详解】如图所示，作，垂足为.
∵，∴，∴点为的中点.∴，.
∵，∴，∴，则，
∴.在中，∴，
化简可得，∴，解得或，又，所以.
故选：A.
6．（25-26高三全国专题练习）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．-2C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义与几何性质，结合余弦定理求解即可.
【详解】由题可知，
所以，
设，则，
根据反射规律可知：，所以，
所以，所以，
整理并化简得，所以，因为，所以，所以，所以，所以直线的斜率为
7．（25-26高三上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、、在椭圆上，且满足，，若椭圆的离心率，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解法一：设、、，利用平面向量的坐标运算得出，同理得出，由此得出，令，则，即可得出的取值范围；
解法二：利用二级结论得出，推导出，，由此得出，结合可得出的取值范围.
【详解】解法一：设、、，易知、，
由可得，所以，整理得，
又因为，所以，则，
所以，由，可得，
同理，所以，
所以．因为，令，则，，
所以．
解法二：因为，所以．
又（二级结论），其中，故，
所以，故，同理，
所以．
由，则，可得．故选：B.
8．（25-26高三上·广东汕尾·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由数量积运算得，从而是直角三角形，然后由已知及勾股定理、椭圆的定义可求得离心率．
【详解】椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且满足，如图，
，由定义可知，
将代入到中，可得，
即，解得，那么．
线段的中垂线过原点，，又因为，
，那么是以为直角顶点的直角三角形．
在中，根据勾股定理可得，其中，
将代入，可得，即，
化简可得，即．椭圆的离心率，且，．
故选：A．
二、多选题
9．（2026·湖南岳阳·一模）如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．的最小值为
C．
D．当直线斜率都存在时，
【答案】ABC
【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，与互补，求出的最大角即可；对于C：直接利用向量的坐标运算求解；对于D：设，，结合斜率公式及点在椭圆上即可判断.
【详解】对于A，设动圆的半径为，又动圆与圆外切且与圆内切，，则且不重合，
故点的轨迹是以为焦点的椭圆（去掉重合的点），
则曲线的方程为，故A正确，
对于B，由图可知与互补，当点P为椭圆短轴端点时，最大，此时，所以，
则的最大值为，所以的最小值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
对于D，设，则，即，由题意设，则，即，则，故D错误，
故选：ABC.
10．（25-26高三上·广东·期末）已知为坐标原点，椭圆的长轴长为4，离心率为，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，连接，并分别延长交椭圆于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的方程为
B．若，则
C．若直线，的斜率分别为，，则
D．
【答案】ABD
【分析】由题意列出方程组求得椭圆方程判断A；由焦点坐标写出直线方程，联立直线方程与抛物线方程，设交点坐标，由韦达定理得到交点坐标与参数的关系，然后由向量的数量关系求得交点坐标，即可求得，判断B选项；由求出参数，然后求得，通过斜率公式写出，即可求得，判断C选项；设坐标，由斜率得到横纵坐标的关系，代入椭圆方程得到纵坐标与纵坐标的关系，借助椭圆方程求得，判断D选项.
【详解】由题意可知，解得，∴椭圆的方程为，A选项正确；
抛物线焦点，设，则，则，
设，则，∵，且，则，∴，即，，
∴，，即，∴，B选项正确；
∴，∴，设，，∵，
∴∴，C选项错误；
，同理，设,
，∴，同理，∴，
∵在椭圆上，，∴，
∵在椭圆上，，∴，∴，
同理，∴，
，
，D选项正确.
故选：ABD
11．（25-26高三上·贵州遵义·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，在平面内有两点，，则下列说法中正确的有（ ）
A．的离心率为
B．存在点，使得的面积为2
C．若点为，的中点，且，，则
D．当，时，过的直线与交于点（异于，），若直线，与轴分别交于，两点，且，则直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆方程得出，求出离心率判断选项A；利用焦点三角形公式，求出面积最大值判断选项B；利用向量关系结合椭圆定义推出，判断选项C；联立直线方程，利用距离相等条件，结合三点共线求出直线的斜率，判断选项D．
【详解】椭圆：中，，
左、右焦点分别为、，选项A：离心率，故A正确；
选项B：的面积，，，
，故B错误；
选项C： 由得，故，
由得，故，点为，的中点，，
，，
，同理可得，，故，
，，故C正确；
选项D：直线的斜率为，方程为，与轴交点为，
设直线的斜率为，方程为，联立椭圆方程得，由韦达定理得，代入得，，，
，，设点，则，，，化简整理得，解得或（舍去，与重合），，在直线上，即三点共线，，，化简整理得，解得，
即（舍去，与重合）或，，故D正确
故选：ACD．
三、填空题
12．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知椭圆的左焦点为，以为圆心、为半径的圆与交于，两点，若，则的离心率为_____．
【答案】或
【分析】记右焦点为，利用倍角公式求出，再在中利用余弦定理可得.
【详解】不妨设焦距为2c，记右焦点为，易知，，
由定义知，记，显然其为锐角，
故由，解得.
在中由余弦定理得，化简得，即，可得离心率或.
13．（2026·江西·一模）已知，是椭圆的两个焦点，为第一象限内椭圆上的一个动点，为的内心，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率___________
【答案】
【分析】利用三角形中位线的性质得到，利用椭圆的定义得到，利用离心率的公式得解.
【详解】如图：延长交直线于．由题可知，则，，
因为，，所以，则.故答案为：.
14．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为为上与顶点不重合的一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【分析】设，设内切圆与边相切于点，结合圆的切线长的性质和椭圆性质可得，由内切圆性质可得，，由条件确定关系，由此可求离心率.
【详解】如图，不妨设在第一象限，过点分别作的垂线，垂足分别为，
设，
因为，所以，利用两点间距离公式可以得到，
代入，可得，同理，所以，
又因为，所以，又因为，所以，
所以内心的横坐标为，则，所以，
又因为，所以，化简得，所以.
结束
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近三年：近三年高考数学对椭圆的考查以小题（选择题、填空题）为主得考察，考查内容稳定、命题形式多样，难度集中在中等偏上，核心围绕椭圆的定义、性质及离心率展开，椭圆常与圆（如蒙日圆、外接圆、内切圆）、向量（数量积、共线）、三角函数（斜率、角度关系）、切线性质的结合。
预测2026年：未来小题为主对于椭圆的考察，重点考查离心率、焦点三角形、定义与轨迹，可能增加与函数、导数（如最值问题）的结合，命题更侧重 “几何性质 + 代数运算” 的综合应用。要重点总结离心率不同模型的解题规律，提升综合分析与快速计算能力
椭圆的定义需要强调的
1.轨迹在平面内，如果是空间中，则得到的是椭球；
2.定义中的常数（距离之和）要大于，否则轨迹不是椭圆．
3.椭圆的标准方程，焦点一定在坐标轴上，且两个焦点连线的中点一定是原
点，至于焦点在哪个坐标轴上，需要比较中的大小．
椭圆定义求轨迹方程一般方法：
1.定义法。主要是椭圆定义。
2.直接法：求谁设谁，设点列等量关系式化简。
如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出Px,y,用x,y表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程.
第一步：设所求轨迹的点，曲线上的动点；
第二步：找出与的关系，由表示，即；
第三步：满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．
基本规律
第三定义，又叫中点弦定理
1.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
2.AB是椭圆的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则
焦点三角形
（1）焦点三角形面积：
椭圆：
2．顶角
椭圆顶角在短轴顶点处最大。
3．与正余弦定理结合
设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
点P是椭圆上一动点，则有：
1.焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；
|2.PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近；
3.椭圆焦半径：
以椭圆两个焦点为直径端点的圆，简称为“焦点圆”：
1.如果cb，则该圆与椭圆有、四个交点。
2.可以借助焦点三角形（直角）来解决，也可以通过圆的方程与椭圆方程联立解交点坐标。
焦点三角形
第一定义思维求离心率：
1.椭圆第一定义：
2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
焦点三角形定角为直角：
1.点P是椭圆上一动点.B是短轴端点，则有：动点角范围：0≤∠F1PF2≤∠F1BF2；
2.利用椭圆的定义和勾股定理。
焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：

圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
焦点四边形具有中心对称性质。
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
圆的切线：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
同理，椭圆与双曲线的切线与切点弦统一方程为：
过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
三角形内心：
角平分线的交点，角平分线定理应用；
如果是椭圆焦点三角形，则周长是2a+2c。
三角形内心，还可以考虑面积分割法。