2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03圆锥曲线的离心率解法归类(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03圆锥曲线的离心率解法归类(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了定义法，齐次式法，特殊值法等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc4029" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc4029 \h 2
\l "_Tc6126" 题型一：结合正余弦定理解焦点三角形求离心率 PAGEREF _Tc6126 \h 2
\l "_Tc16538" 题型二：双焦点三角形模型求离心率 PAGEREF _Tc16538 \h 2
\l "_Tc12745" 题型三：构造齐次式方程求离心率 PAGEREF _Tc12745 \h 2
\l "_Tc20437" 题型四：两次余弦定理求离心率 PAGEREF _Tc20437 \h 3
\l "_Tc18269" 题型五：利用对称构造平行四边形求离心率 PAGEREF _Tc18269 \h 4
\l "_Tc14450" 题型六：椭圆双曲线共焦点求离心率 PAGEREF _Tc14450 \h 5
\l "_Tc14361" 题型七：点差法求离心率 PAGEREF _Tc14361 \h 6
\l "_Tc29342" 题型八：渐近线的垂线模型求离心率 PAGEREF _Tc29342 \h 7
\l "_Tc16397" 题型九：根据有界性求离心率取值范围 PAGEREF _Tc16397 \h 8
\l "_Tc9338" 题型十：与基本不等式的结合求离心率取值范围 PAGEREF _Tc9338 \h 9
\l "_Tc1529" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc1529 \h 10
\l "_Tc5719" 巩固过关 PAGEREF _Tc5719 \h 10
\l "_Tc25368" 创新提升 PAGEREF _Tc25368 \h 10
求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
题型一：结合正余弦定理解焦点三角形求离心率
【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率 .
【变式1-1】已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-2】为双曲线（，）上一点，，分别为其左、右焦点，为坐标原点.若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-3】已知椭圆E的两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且，tan∠PF2F1＝－3，则椭圆E的离心率为 ．
题型二：双焦点三角形模型求离心率
【例3】已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（ ）

A．B．C．D．
【例4】已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为 ．
【变式2-2】已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】已知椭圆的左右焦点分别为为，过的直线与交于两点.若，，则椭圆的离心率为 .
题型三：构造齐次式方程求离心率
【例5】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【例6】是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A．B．C．2D．
【变式3-2】已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 .
题型四：两次余弦定理求离心率
【例7】已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为 .
【例8】已知是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为 ．
【变式4-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，，，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】如图，已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，若构成一个公差为等差数列，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．
C．D．
题型五：利用对称构造平行四边形求离心率
【例9】已知是双曲线的左焦点，过原点的直线与相交于两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【例10】已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．1
【变式5-2】已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于、两点，若，，则的离心率（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】如图，是双曲线的右焦点，过原点的直线分别交的左、右两支于两点.若，且线段的中点在的一条渐近线上，则的离心率为 .
题型六：椭圆双曲线共焦点求离心率
【例11】已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 与 在第一象限的交点为 ，且 ，若双曲线 的离心率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例12】（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
【变式6-1】（多选）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（ ）
A．B．
C．是直角三角形D．是个定值
【变式6-2】已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是
【变式6-3】已知是椭圆（）和双曲线（，）的一个交点，，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，，则，满足的关系式为 ．
题型七：点差法求离心率
【例13】过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例14】已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【变式7-1】已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为 .
题型八：渐近线的垂线模型求离心率
【例15】已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【例16】如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．

【变式8-1】设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 .
【变式8-2】已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为 .
【变式8-3】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，过点且与的渐近线垂直的直线与双曲线的左支交于点，且，则 .
题型九：根据有界性求离心率取值范围
【例17】已知椭圆的左焦点为，离心率为，是上的任意一点，到直线的距离为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例18】已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【变式9-1】已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为 .
【变式9-2】已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 .
【变式9-3】已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ．
题型十：与基本不等式的结合求离心率取值范围
【例19】已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【例20】从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【变式10-1】已知双曲线的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【变式10-2】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 .
巩固过关
1．双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．椭圆和圆，（c为椭圆的半焦距），对任意的恒有四个交点，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）

A．B．C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
9．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是 .
11．双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率 .
12．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为 .
创新提升
1．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的右焦点为，直线与交于两点，若（为坐标原点），且，则的离心率为 ．
5．设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别与椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为 .
重难点专训03 圆锥曲线的离心率解法归类
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc28268" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc28268 \h 1
\l "_Tc4029" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc4029 \h 2
\l "_Tc6126" 题型一：结合正余弦定理解焦点三角形求离心率 PAGEREF _Tc6126 \h 2
\l "_Tc16538" 题型二：双焦点三角形模型求离心率 PAGEREF _Tc16538 \h 2
\l "_Tc12745" 题型三：构造齐次式方程求离心率 PAGEREF _Tc12745 \h 5
\l "_Tc20437" 题型四：两次余弦定理求离心率 PAGEREF _Tc20437 \h 8
\l "_Tc18269" 题型五：利用对称构造平行四边形求离心率 PAGEREF _Tc18269 \h 12
\l "_Tc14450" 题型六：椭圆双曲线共焦点求离心率 PAGEREF _Tc14450 \h 16
\l "_Tc14361" 题型七：点差法求离心率 PAGEREF _Tc14361 \h 20
\l "_Tc29342" 题型八：渐近线的垂线模型求离心率 PAGEREF _Tc29342 \h 24
\l "_Tc16397" 题型九：根据有界性求离心率取值范围 PAGEREF _Tc16397 \h 27
\l "_Tc9338" 题型十：与基本不等式的结合求离心率取值范围 PAGEREF _Tc9338 \h 31
\l "_Tc1529" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc1529 \h 38
\l "_Tc5719" 巩固过关 PAGEREF _Tc5719 \h 38
\l "_Tc25368" 创新提升 PAGEREF _Tc25368 \h 38
求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
题型一：结合正余弦定理解焦点三角形求离心率
【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以椭圆的离心率.
故选：B.
【例2】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率 .
【答案】
【详解】设，由双曲线定义可得，
即，所以，
又，，
在中，由余弦定理得，
即，解得，故离心率.
故答案为：
【变式1-1】已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】令双曲线的长轴长为，焦距为，则，而，
则，由及余弦定理得，
解得，所以的离心率为.
故选：A
【变式1-2】为双曲线（，）上一点，，分别为其左、右焦点，为坐标原点.若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】由，以及正弦定理可得，
因为，所以，，
因为，，所以，所以，
在中，.
化简可得，所以的离心率.
故选：B
【变式1-3】已知椭圆E的两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且，tan∠PF2F1＝－3，则椭圆E的离心率为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，因为，所以
又，所以，
则
，
解得，
则在中，由正弦定理可得，
，
则
所以离心率
．
故答案为：.
题型二：双焦点三角形模型求离心率
【例3】已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，即，
令，得到，，
由双曲线定义得，，
因为以AB为直径的圆过，所以，
故，得到，
整理得，解得，
则，，
在中，由余弦定理得，
得，
整理得，则，故A正确.
故选：A
【例4】已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】连接，设，，则，
因为，所以，
在中，，所以，
化简得，则，，
在中，，
所以，即，所以离心率.
【变式2-1】已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【详解】
的面积是面积的两倍，，
设，则，
由双曲线定义知：，，
，，
即，解得：或（舍），，，
，即，，
双曲线的离心率.
故答案为：.
【变式2-2】已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如下图所示，设，则，，
所以，得，

由椭圆定义可得，，，
所以，
所以为等腰直角三角形，得，，
故该椭圆的离心率为.
故选：D.
【变式2-3】已知椭圆的左右焦点分别为为，过的直线与交于两点.若，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】如图，
由已知可设，则，
由椭圆的定义有，故．
，故点A为椭圆的上顶点或下顶点.
在中，由余弦定理推论得．
在中，设，
故，得，
故．
故答案为：．
题型三：构造齐次式方程求离心率
【例5】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】

连接，依题意可得，所以，
所以，
所以，
所以，
则的坐标为，所以，即，
可得，化简得，解得，即．
故选：A
【例6】是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：轴，，
而由得
，即，
解得舍或.
故选：D.
【变式3-1】是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线
因为是双曲线的左、右焦点
所以（-c，0），（c，0）
因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）
则
解得
所以为（）
因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为
将以的（）代入圆的方程得
化简整理得 ，所以
所以选B
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．
【变式3-2】已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据题意可得，，，则，，
由得．设点坐标为，如图所示．
将代入椭圆方程可得，解得，
可得，直线PA方程为，
联立解得，即，
易知的角平分线倾斜角为，斜率为，
直线方程为，联立解得，
所以的面积为，
面积为，
依题意有，即，所以离心率．
故选：D.
【变式3-3】已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 .
【答案】
【详解】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.

因为，所以也是的中点.设，
由双曲线的定义得，所以，
在中，由，得，所以，
在中，由，得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）变用公式，整体求出；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出的关系；（4）构造的齐次式，解出.
题型四：两次余弦定理求离心率
【例7】已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】由题可知，由椭圆的定义知：，，
所以，又因为，
所以，
，所以，
解得：，，
所以在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
所以，可得：，即，
所以，因为，
所以.
故答案为：.

【例8】已知是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【详解】
由题意可得，所以，
又，
所以在中，，
在中，，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
【变式4-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，，，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以.
连接，，由题及椭圆的定义得，，，.
设，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，得，
所以该椭圆的离心率.
故选：D.
【变式4-2】已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】椭圆E的焦点为，则，
如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有，
在中，由余弦定理推论得，
在中，由余弦定理得，解得，
，
所求椭圆E的离心率为.
故选：B．
【变式4-3】如图，已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，若构成一个公差为等差数列，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由椭圆的定义，，，
，即，
，解得，
，
设椭圆的半焦距为，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，
，即，
解得，即，
所以椭圆的离心率.
故选：B.
题型五：利用对称构造平行四边形求离心率
【例9】已知是双曲线的左焦点，过原点的直线与相交于两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【详解】如图，设双曲线右焦点为，连接.
因，又，则为直角三角形，又由双曲线对称性可知四边形为平行四边形，
结合为直角三角形，则四边形为矩形，则为直角三角形.
因，又，则，
设，则.
则.
故选：A
【例10】已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，

则，而，则有，又点A，B关于原点O对称，
即四边形为平行四边形，且是矩形，于是，有，，
因此，当且仅当时取等号，
即有，，则离心率有，而，解得，
所以椭圆离心率的最小值为.
故选：D
【变式5-1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【详解】结合双曲线的对称性可知，，，
所以为等边三角形，则，则.
由双曲线的定义，得，
所以，，
则.
故选：A
【点睛】求解双曲线的离心率，方向有三种，一个是求得和，从而求得双曲线的离心率；一种是求得的等量关系式，化简可求得双曲线的离心率；还有一种是求得的等量关系式，先求得，再求得双曲线的离心率.
【变式5-2】已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于、两点，若，，则的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示：
因为过原点的直线交椭圆于、两点，则、关于原点对称，即为的中点，
又因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，则，
所以，，
因为，且，所以，，，
由余弦定理可得，则，
因此，椭圆的离心率为.
故选：A.
【变式5-3】如图，是双曲线的右焦点，过原点的直线分别交的左、右两支于两点.若，且线段的中
点在的一条渐近线上，则的离心率为 .
【答案】
【详解】如图，设的左焦点为，连接，，
与渐近线的交点为，由题意可知M为的中点，
由双曲线对称性可知，O为的中点，所以，
由得，，所以，
又，渐近线，
所以，
所以，所以，，
又由双曲线的定义可知，
所以，所以，所以.
故答案为：
题型六：椭圆双曲线共焦点求离心率
【例11】已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 与 在第一象限的交点为 ，且 ，若双曲线 的离心率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设椭圆的半焦距为，则双曲线的半焦距也为，
设，，
在中，；在中，，
所以，；
由于P在第一象限，且，
由对称性得，点Q为曲线和在第三象限的交点，
所以四边形为平行四边形；
由于，所以，
在中，由余弦定理得，，
化简得，，即，
则，即，由于，即，
所以解得，即椭圆的离心率为.
故选：A．
【例12】（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以；
又因为是双曲线的焦点，所以
所以，故A正确；
对于B，由题意可得，两式平方整理得，
在中，由，得，即，
又由，，可得，解得，故B正确；
对于C，由B可得，即，即，故C错误；
对于D，由C可得，
所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确．
故选：ABD.
【变式6-1】（多选）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（ ）
A．B．
C．是直角三角形D．是个定值
【答案】ACD
【详解】选项A，因为有公共的焦点，得，
即，又，所以可得.故A正确；
选项B，因为有公共的焦点，可得，，，
得，即，故B错误；
选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得，
，，所以，，，，
所以，故是直角三角形，故C正确；
选项D，因为有公共的焦点，可得，，，
因此，故D正确.
故选：ACD.
【变式6-2】已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是
【答案】
【详解】因为，，
所以，所以，所以，

记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，，
则由椭圆和双曲线定义可得：①，②，
则①2+②2可得，
由勾股定理知，代入上式可得，
整理得，即，
故，的关系是.
故答案为：
【变式6-3】已知是椭圆（）和双曲线（，）的一个交点，，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，，则，满足的关系式为 ．
【答案】
【详解】设，，由题意得
代入整理得，于是．
故答案为：．
题型七：点差法求离心率
【例13】过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，
因为为线段的中点，所以，
由，两式相减可得：，
整理得，即，
所以，则，即椭圆的焦点在轴上，
即，则，
所以.
故选：B.
【例14】已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【详解】由已知直线的方程为，即，
设，
由得，
则即，
则，，
线段的中点是，则，，
整理得，即，
故选：A.
【变式7-1】已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
则，两式相减可得，
，即，
即，，故.
故选：B
【变式7-2】已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设点、，由题意可得，
因为点是的中点，则，
因为，这两个等式作差可得，
所以，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
【变式7-3】已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】
【详解】因为，，过作轴交于，
则，，
所以的横坐标为，即的横坐标为，且，
即，
设，，，，则的中点，，
即，，
所以，又，所以，
将，的坐标代入椭圆的方程可得，
作差整理可得，
即，
所以则.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用点差法是解决中点弦问题的常用方法.
题型八：渐近线的垂线模型求离心率
【例15】已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】由题意得，，双曲线的渐近线方程为，
如图，不妨设点在直线上，
即点在直线上，
则，
在直角中，，
所以，
故，
在中，，
所以，
所以，
故双曲线的离心率.
故选：C.
【例16】如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．

【答案】/
【详解】已知直线，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为.
又直线过点，可得直线的方程为，
联立直线与直线的方程，
解得，则，所以点的坐标为.
在直线的方程中，令，可得，
所以点的坐标为.
因为，所以为的中点，
设点的坐标为， 可得，解得.
因为点在另一条渐近线上，
所以将代入可得：.
化简可得，即，
又因为，所以，则.
所以.
故答案为：.
【变式8-1】设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 .
【答案】
【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限，
设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为，
又，则．由，可知．
设双曲线C的左焦点为，连接，
由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理可得，
整理得，即，则，，所以C的离心率．
故答案为：.
【变式8-2】已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为 .
【答案】2
【详解】
由题意，，双曲线的渐近线为，如上图，
设点在上，则，故，
所以，则，故，
所以，故，则椭圆离心率为.
故答案为：2
【变式8-3】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，过点且与的渐近线垂直的直线与双曲线的左支交于点，且，则 .
【答案】
【详解】由题意得到渐近线的距离为，
则，
由，，
得，
在中，由正弦定理，
得，
由，得.
由余弦定理得，
得，得.
故答案为：.
题型九：根据有界性求离心率取值范围
【例17】已知椭圆的左焦点为，离心率为，是上的任意一点，到直线的距离为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，；
，整理可得：，即，
又，，则，，又，
的取值范围为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
【例18】已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意有，
所以有，即，
整理可得，解得或.
又因为在双曲线中，，所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选:C.
【变式9-1】已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【详解】如图，
的面积最大值为存在直线使到直线的距离为，
设，则为，
到的距离为有解，
平方整理得，即①，
又②
两式相减得，所以有解，
又，即，
所以，
.
故答案为：
【变式9-2】已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则
则

同理可得
由，可得
，又
所以，即，即
所以，即，即，即
所以，即
故答案为：
【变式9-3】已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【详解】如下图所示，根据题意可得，
设，则直线的方程为，
所以直线与轴的交点，
由可得，即，
整理得，即；
又因为P为双曲线右支上一点，所以，
当时，共线与题意不符，即；
可得，整理得，即，
解得或（舍）；
即双曲线E的离心率的取值范围为.
故答案为：
题型十：与基本不等式的结合求离心率取值范围
【例19】已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【详解】
如图，
设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，由对称性可设点在第一象限，
则根据椭圆及双曲线的定义可得，，
所以，又，
在中，由余弦定理得：，
化简得：，得到，从而有，
整理得，当且仅当，即时等号成立.
故选：A.
【例20】从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：，则有①
由极线的定义得直线的方程为，
原点到直线的距离，化简得②，
对比①②式得出，则有，
所以.
当且仅当，即时取等，此时.
故选：D.
【变式10-1】已知双曲线的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【详解】因为渐近线方程为，
所以双曲线方程可设为
，，
，，
．
第一次取等号的条件为，即，
第二次取等号的条件为，即．
的最小值为．
故选：D．
【变式10-2】已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图：
根据椭圆和双曲线的定义，可得.
又，，所以∽.
所以.
又，，
所以，
当且仅当，即时取“”.
故选：C
【变式10-3】已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 .
【答案】
【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，

则，由以为直径的圆过原点，得，
则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形，
于是，有，，
因此，当且仅当时取等号，
即有，，则离心率有，而，解得，
所以椭圆离心率的最小值为.
故答案为：
巩固过关
1．双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】详解】由题意，双曲线的渐近线方程为．
因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以渐近线为，且，
所以双曲线的离心率．
故选：A．
2．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】详解】
设，因为，所以，
由椭圆的定义可得，，
因为，在中由勾股定理得，解得
所以，，
在中由勾股定理得，从而可得.
故选：A
3．已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】详解】因为，所以设，则，
因为点在轴上，所以，
因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即，
由，所以，所以，
即，解得，
所以，，则，
在中，由余弦定理得：，
即，所以，所以.
故选：B.
4．已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】详解】因为的渐近线上一点满足，且，

所以在中，而，则，
所以，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：B
5．椭圆和圆，（c为椭圆的半焦距），对任意的恒有四个交点，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】详解】依题意，对于恒成立，则，
由，得，，，，
由，得，整理得，又，
所以椭圆的离心率e的取值范围为.
故选：D
6．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】详解】设椭圆：，
双曲线：，可得，所以，
解得，所以，
，，
，，
因为四边形为矩形，所以在中，，
，即，
，，即的离心率是.
故选：C.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又，
如图，

设，四边形为等腰梯形，
，即，；
由椭圆定义知，，，
解得.
故选：B.
8．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图．由题意可得，
易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点，
所以，故为直角三角形，由题意，，设，
则，解得或（舍），
所以，．
故选：B
9．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】详解】设椭圆的半焦距为，
椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.
设，因为，所以，
所以，则，将点代入椭圆方程得，所以，
即，则，由得，
又，所以，
化简得，
所以，解得（负根舍去）.
故选：B
10．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则，
所以，，
所以，且，
则．
故答案为：.
11．双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率 .
【答案】2
【分析】详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，
∴，即离心率为.
故答案为：2
12．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为 .
【答案】2
【分析】详解】由题意，则为正三角形，

则A到渐近线距离为，，渐近线为，
所以，故，可得，故.
故答案为：2
创新提升
1．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】详解】由题设，令，故，，
所以，故①，
由，令，则，
由，则，
所以，整理得，
由，则，
所以，整理得，
所以，整理得②，
联立①②，得，，故，即，
所以.
故选：D
2．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，
所以，则，，
设，则
所以；由于，
因为，所以，则，则，
因为，所以
故选：B
3．已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点，

所以点，所以直线的斜率为，
所以
由，得，，
中，根据余弦定理可知，整理为，
即，，
解得：
所以椭圆的离心率为.
故选：B
4．已知双曲线的右焦点为，直线与交于两点，若（为坐标原点），且，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】详解】如图，设的左焦点为，连接，，
，
，
，
，．
设的半焦距为，则，
由对称性，可得，
，
，
在中，由余弦定理得，
又，即，
联立两式，得，
化简，得，故离心率．
故答案为：
5．设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别与椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】如图所示，令，因为，可得，
所以，可得，
因为，令，则，
由椭圆的定义，可得，
又由，则，
所以，整理得，
又因为，可得，
所以，整理得，
所以，整理得，
联立方程组，解得，故，
又因为，所以，所以.
故答案为：.